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LIEU DU CONTROLE:... NOTE: ...
Module : Mécanique Analytique et Vibrations /Filière SMP / S.5
Matière: Vibrations / Controle Final Sesssion de Janvier 2015
SUJET:
On considère un “oscillateur harmonique à un seul degré de liberté non amorti forcé” . Il est composé d’un corps (C) de masse m accroché à un ressort élastique de raideur k. Il effectue un mouvement d’oscillations verticales . Cet oscillateur est soumis à une excitation extérieure F(t) qui dépend du temps t.
On désigne par x(t) le déplacement de la masse m.
QUESTIONS
I./ Etude des vibrations non amorties et forcées
I.1°) Faire une figure.
Réponse :
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I.2°) Ecrire l’énergie cinétique T de l’oscillateur harmonique.
Réponse :
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I.3°) Donner l’énergie potentielle U du système oscillant.
Réponse :
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I.4°) En déduire l’expression du lagrangien L du système.
Réponse :
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I.5°) Déterminer l’équation différentielle qui régit les oscillations du système forcé non amorti.On notera par ω0 sa pulsation propre.
Réponse :
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I.6°) En considérant le cas d’une excitation extérieure harmonique F(t) de la forme :
Où F0 est l’amplitude de la force extérieure, Ω sa pulsation et φ sa phase.
I.6.1) Calculer la solution complète de l’équation différentielle obtenue dans 5°). On cherchera la solution générale sans second membre xSSM(t) et une solution particulière xASM(t) sous la forme : , ayant le même facteur périodique .
N.B: On désignera par x0 l’amplitude du mouvement non forcé et θ sa phase. Réponse :
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6.2) Commenter la solution obtenue.
Réponse :
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II./ Etude du phénomène de résonance
II.1°) Pourquoi la solution obtenue dans I.6.1) n’est pas applicable dans le cas de la
“résonance” ? Justifier votre réponse.
Réponse :
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II.2°) Lorsque Ω tend vers ω0, chercher une solution particulière xASM (t) ayant la forme : )
où β est une constante à déterminer. Donner alors l’expression x(t) de la solution complète au voisinage de la résonance et faire une conclusion.
Réponse :
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III./ Etude du phénomène de battements
III.1°) En Posant Ω = ω0+ε, avec ε un petit paramètre et en écrivant la solution générale sous la forme complexe suivante:
Où A et B sont des constantes. Donner l’expression de l’amplitude C des petites oscillations au voisinage de la résonance en termes de A, B et ε.
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III.2°) En posant :
Montrer que l’amplitude C oscille périodiquement avec la fréqence ε et varie entre les bornes : , c’est ce qu’on appelle “Phénomène de battements”.
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Filière : SMP , Matière: Vibrations, Semestre.5 Session d’Automne, Année Universitaire : 20152016
SOLUTION DE L’EPREUVE DU CONTROLE FINAL DE LA MATIERE VIBRATIONS / S.5 / SMP
SESSION .1 DE JANVIER 2015 REPONSES AUX QUESTIONS DE L’EPREUVE I./ Etude des vibrations non amorties et forcées
I.1°) Faire une figure. (1 point) Réponse :
I.2°) Energie cinétique T de l’oscillateur harmonique. (2 points) Réponse :
© Pr.M.Jamal / Solution de l’épreuve du contrôle final des Vibrations / Session de Janvier 2015
I.3°) Energie potentielle U du système oscillant. (2 points) Réponse :
I.4°) Expressiion du lagrangien L du système.(1 point) Réponse :
I.5°) Equation différentielle qui régit les oscillations du système forcé non amorti: (2 points)
Réponse :
L’équation d’Euler-Lagrange :
donne
I.6.1) Solution complète( 3 points) Réponse :
La solution complète de : est: x(t) = xSSM (t) + xASM (t) avec
© Pr.M.Jamal / Solution de l’épreuve du contrôle final des Vibrations / Session de Janvier 2015
et où
La solution complète est donnée par :
Avec x0 et θ sont des constantes d’intégration que l’on détermine par les conditions initiales.
I.6.2) Commentaire de la solution obtenue. (1.5 points) Réponse :
La solution représente le mouvement oscillatoire de l’oscillateur harmonique non amorti soumis à une force extérieure périodique. C’est l’ensemble de deux oscillations l’une avec la pulsation ω0 et l’autre avec la pulsation Ω de l’exciation extérieure.
II./ Etude du phénomène de résonance (1.5 point ) Réponse :
II.1°) La solution obtenue dans I.6.1) qui est donnée par:
n’est pas applicable dans le cas de la “résonance” où la pulsation Ω de l’exciation extérieure qui provoque les oscillations du système coincide avec la pulsation propre ω0 de celui-ci, car l’amplitude des x ASM (t) tend vers l’infini ! .
II.2°) Expressions de β et de la solution complète x(t) au voisinage de la résonance et conclusion. (2 points)
Réponse :
© Pr.M.Jamal / Solution de l’épreuve du contrôle final des Vibrations / Session de Janvier 2015
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* Conclusion:Dans le cas de la résonance, l’amplitude des oscillations croît avec le temps.
III./ Etude du phénomène de battements
III.1°) Expression de l’amplitude C des petites oscillations au voisinage de la résonance en termes de A, B et ε. (2 points)
L’amplitude du mouvement est donnée par le module de C : , soit:
III.2°) En posant :
Montrons que l’amplitude C oscille périodiquement avec la fréquence ε et varie entre les bornes : . (2 points)
Ainsi, l’amplitude oscille périodiquement avec la fréquence ε. Comme:
© Pr.M.Jamal / Solution de l’épreuve du contrôle final des Vibrations / Session de Janvier 2015
Ce qu’il fallait démontrer.
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© Pr.M.Jamal / Solution de l’épreuve du contrôle final des Vibrations / Session de Janvier 2015
