التكاملات على المسار وتطبيقاتها في الأنظمة الكمية المبددة

يـملعلا ثحـبلاو يلاعلا ميلعـتلا ةرازو يداولا رضخل همح ديهـشلا ةعماـج ةـقيقدلا مولـعلا ةيلـك ءايزيفلا مسق :بيترتلا مقر :لسلستلا مقر

ةداهش لينل جرخت ةركذم

يميداكأرتساـم

ةداملا مولع :لاجم ءايزـيفلا :عرف ةقاطو عاعشإ ةيقيبطت ءايزيف :صصخت ءاميش يشومللا :دادعإ نم :عوـضوـملا

ةدّدبملا ةيمكلا ةمظنألا يف اهتاقيبطتو راسملا ىلع تالماكتلا

2019/06/22 :موي تشقون :نم ةنوكملا ةشقانملا ةنجل مامأ اسـيئر أ دعاسم ذاتسأ ىليل ساروب اشقانم أ رضاحم ذاتسأ حابصم ه لا فيض ارطؤم ذاتسأ لامج وض 2019/2018 :يعماجلا مسوملا

ةفاك ىلع ةقلغملا ةمظنلأا يف ةيمكلا رهاوظلا ةساردل ةفورعملاو ةريثكلا تبثأ ،تايوتسملا راسملا ىلع لماكتلا ةقينأو ةلاعف ةادأ هنأ دحاو نآ يف ةجلاعمل دبملا ةمظنلأا ةد اضيأ ، دبتلا ةرهاظ نأ ثيح ةجتان د ماظنلا لصو نع يف ببستي يذلاو هطيحمب إ لاقتن ع ريغ طيحملا ىلإ ماظنلا نم ةقاطلل سوك ، دماخت و ىلإ ةفاضلإاب ماظنلا حجرأت تلا يشلات ةرهاظ طبار . يف ةركذملا هذه مدقن ل ةعجارم أك راسملا ىلع لماكتلا ةقيرط مكلا كيناكيم ةساردل ةليدب ةيضاير ةاد هلمعتسنو ، ا جذومن ةساردل دبملا ةمظنلأل غريبنيزياه ليثمت لامعتساب هتجلاعم دعب اذهو ،ةد روحمتتس يذلا جذومنلا اذه . انتسارد هلوح ماظن يف اساسأ لثمتي يمك طبترم هطيحم عم طيحملا ثيح ، ي نم يرارح نازخ هنأ ىلع ذخؤ ةيقفاوتلا تازازهلا . طيحملا ةيرح تاجرد نم صلختلا دعب ، اهتلماكم ربع ،راسملا ىلع لماكتلا ةغايص يف هنع ربعم ةلزتخم ةفاثك ةفوفصم ةطساوب حوتفملا ماظنلل ةيكيمانيدلا ةلاحلا فصت ةلاعف لعف ةلاد ىلع لصحن ا .)ةلاعفلا ( ةديدجلا لعفلا ةلاد ةطساوب

:ةيحاتفملا تاملكلا

ريثأتلا ,يرارحلا يزازتهلإا نازخلا ,حجرأتلا ,دماختلا ,لصولا ,رشتنملا ,يمكلا ددبتلا ,راسملا ىلع لماكتلا ,يلادلا ةلاد .ةلزتخملا نازتلإا ةفاثك ةفوفصم ,حوتفملا يمكلا ماظنلا ,لاعفلا لعفلا

Abstract

Path integral is a mathematical tool which offers an alternative view point for quantum mechanics. In addition to its wide and well known use to study quantum phenomena in closed systems at all levels, it has proven to be a powerful and elegant tool to investigate dissipative systems as well. Dissipation results from the coupling of the system to its environment which causes an irreversible transition of energy from the system to the environment, damping and fluctuating of the system and decoherence phenomenon.

In this dissertation we review the path integral approach to quantum mechanics and employ it to study a specific dissipative model, after describing it within Heisenberg picture. The model on which we focus is a system coupled to its environment taken to be thermal reservoir of harmonic oscillators. By integrating out the environment degrees of freedom an effective action weighting the paths of the open quantum system in the functional integral description is obtained, thereby describing the state and dynamics of this system from the equilibrium reduced density matrix constructed using this action.

Keyword

: path integral, quantum dissipation, propagator, coupling, damping, fluctuating, thermal oscillated reservoir, influence functional, effective action, open quantum system, equilibrium reduced density matrix.

ءادهإ

ىلإو تاحلاصلاب امهيرمع يف ه لا دمأ نيزيزعلا يبأو يمأ اهرونو يتايح ةرهز ىلإ لمعلا اذه يدهأ نأ ينفرشي يتاوخأ و يتوخإ

نافرع و ركش

هناسحإ ليمج ىلع لجو زع ه لا دمحأو ركشأ ةيادب ,ه لا اناده نأ الول يدتهنل انك ام و اذهل اناده يذلا ه ل دمحلا .هدنع الوبقم نوكي نأ وجرأ يذلا ,عضاوتملا لمعلا اذه زاجنإ يف يل هقيفوت نسحو ثحبلا حور ايف ثبو للك وأ للم نود صالخإ لكب يندشرأو ينملع نم ىلإ ريدقتلا و ركشلا غلابب مدقتأ امك يتريسم يف يل دنسلا معن تناك يتلا هتاهيجوتو هحئاصنب ةظحلل ولو يلع لخبي نأ نود هدهج و هتقو صصخ امك يملعلا .ملعلا ةبلطل ارخذ هميديو ءازجلا ريخ هيزجي نأ ه لا لأسأ يذلا "وض لامج" ذاتسألا ةرينملا ةعمشلا ىلإ ,ةيملعلا ,لمعلا اذهل مهتقو نم ءزج صيصختب مهمركتل ةشقانملا ةنجل ءاضعأ ةداسلل نانتمإلاو ركشلا ليزجب مدقتأ امك .ةبيط ةملكب ولو نوعلا دي يل مدق نم لكلو ,يندشرأو يندعاس نم لكل ,رضخل همح ةعماجب ءايزيفلا مسقو دعب نمو لبق نم دمحلا ه لو

سرهفلا

iv لاكشألا ةمئاق 1 ةماعلا ةمدقملا 1 5 :(Path Integral) راسملا ىلع لماكتلا 2 5 . . . :ديهمت 2.1 5 . . . :راسملا ىلع لماكتلا ةادأك (Propagator) رشتنملاب فيرعتلا 2.2 7 . . . :مكـلا كيناكيمل راسملا ىلع لماكتلا ليثمت 2.3 10 . . . :ةيكيسالكلا ةياهنلا 2.4 10 . . . :رغنيدورش ةلداعم عم راسملا ىلع لماكتلا ؤفاكت 2.5 12 . . :راسملا ىلع لماكتلا ةطساوب مكـلا كيناكيم يف ةيجذومنلاو ةيساسألا لئاسملا ضعب ةجلاعم 2.6 12 . . . :رحلا مسجلا ةلأسم ةجلاعم 2.6.1 14 . . . :(Driven Harmonic Oscillator)عوفدم يقفاوت زازه ةلأسم ةجلاعم 2.6.2

19 :مكـلا كيناكيم ةطساوب ةدّدبملا ةمظنألا فصو 3 19 . . . :ديهمت 3.1 19 . . . :هب لوصوملا طيحملا عم ماظنلا ةلمج نوتليماه 3.2 21 . . . :(يرارحلا يزازتهإلا نازخلا)طيحملا ءاصقإ 3.3 22 . . . :طيحملا تازازهل ةيفيطلا ةفاثكلا جاردإ 3.4 27 :ةدّدبملا ةيمكلا ةمظنألا ةسارد يف راسملا ىلع لماكتلا بولسأ قيبطت 4 27 . . . :ديهمت 4.1 27 . . . :رشتنملا ةلالدب اينمز ةروطتملا ةفاثكلا ةفوفصم ليثمت 4.2 28 . . . :راسملا ىلع لماكتلا ةطساوب نازتإلا ةفاثك ةفوفصم ليثمت 4.3 30 . . . :طيحملا ءاصقإ 4.4 35 . . . :ةلاعفلا لعفلا ةلاد ةرابع ةغايص 4.5 35 . . . :راسملا ىلع لماكتلا ةطساوب ةدّدبملا ةيمكلا ةمظنألا ةجلاعم تاقيبطتو جئاتن 4.6 38 ةماعلا ةمتاخلا 5 40 Appendix ا 40 . . . :ةيلضافتلا طيحملا ةكرح ةلداعم لح 1.ا لصولا رابتعإب طيحملل نازتإلا ةفاثك ةفوفصم ةطساوب ىطعملا حجرأتلا ةوق طسوتم مادعنإ تابثإ 2.ا 43 . . . :طيحملا عم

44 . . . :طقف طيحملا رابتعإب ζ(t)ةوقلل يرارحلا طسوتملا مادعنإ تابثإ 3.ا 44 . . . :شيوشتلا طبر ةلاد ةرابع داجيإ 4.ا 46 . . . :يروف ةلسلس لكش يف لماكتلا ةاون رشن 5.ا 47 . . . :(4.37) ةقالعلا تابثإ 6.ا 48 . . . : دماختلا ةاونل سالبال ليوحت زاجنإ 7.ا 50 عجارملا

لاكشألا ةمئاق

يف (semigroup) ةيصاخ ةجيتن K(x, t, x′, 0)رشتنملا كيكفت نع ةجتانلا تارشتنملا ليثمت 2.1 6 . . . .[3] ناكملاو نامزلا ءاضف 9 . . . .[3]لاقتنإلا ةعس يف ةمهاسملا تاراسملا ضعب ليثمت 2.2 20 . . . .[18] هطيحمب لوصوم ماظنل يطيطخت مسر 3.1 23 . . . .[3]R ةمواقم ةجيتن يموأ دماختل عضاخLC زازه 3.2

ةمدقملا

ةماعلا

1 لصفلا

ةماعلا ةمدقملا

قباطتي امب ةيمكلا رهاوظلا ريسفت يف مكـلا كيناكيمل عماللاو لئاهلا حاجنلاءايزيفلا لاجم يف دحأ ىلع ايفخ دعي مل تاؤبنتلا لوح اهل ضرعتي لازي ال يتلا تالادجلاو تاكيكشتلا لك مغر ,عقاولا ضرأ ىلع ةيبيرجتلا جئاتنلا عم حمسي لب ,ينايعلا ملاعلا نيب و يرهجملا ملاعلا لجأ نم ةيرظنك هنيب ضقانت دجوي الف .يسيئر لكشب تاسايقلاو .هنمض يكيسالكلا كولسلا مهفب هرودب رسفيو جلاعي ادج ينغ لاجم وه ,مكـلا كيناكيم عورف مهأ نم دعي يذلا يئاصحإلا مكـلا كيناكيمف .ةيئاقلتلا ةيمكلا تاحجرأتلل يكيمانيدلا كولسلا عم ةلماعتملا ةيرظنلاب فرعُيو ةيمكلا ةيرارحلا رهاوظلاو ةمظنألا ديدع يهو ,[1] مكـلا كيناكيم تايادب ذنم اهتجلاعم ةلكشم تحرُط ,صوصخلا هجو ىلع ,”dissipation”دّدبتلا ةرهاظف ايرارح نزاوتم هنأ ربتعُي يذلا هطيحمب ماظنلا لصو ةجيتن ثدحت ,[2] ةيقيقحلا ةمظنألا يف دوجولا ةيلك ةرهاظ ريغ ةقيرطب ةقاطلا لاقتنإ ىلإ ةفاضإ ماظنلا ةيرح ةجرد تاحجرأت يف ببستٺ ةيحجرأت ةوق دلوت ىلإ يدؤي امم امومع ريثأت دجوي .ةيكيسالكلاو ةيمكلا ةمظنألا نم لك يف نيريثأتلا نيذه ثدحي امنيب ,طيحملا ىلإ ماظنلا نم ةسوكع يشالتب ىعدت ةيلمع يف ةيمكلا تالاحلل طبارتملا بكارتلا مده يف لثمتي يمكلا ملاعلاب طقف صاخ طيحملاب لصولل ثلاث ريثأتلا اذه .طيحملا ةيرح تاجردو ماظنلا نيب ”entanglement” يمكلا كباشتلا ةجيتن ”decoherence” طبارتلا لخادتلا لوح تامولعملا نأل ناكم لك يف ةدوجوم يمكلا كباشتلا ةرهاظف .[3] ةيمكلا بيساوحلا ذيفنت يف مهم سايق ةادأك فرصتي يطيحملا لصولا نأ ىنعمب .اهب طيحي ام ىلإ ةيئايزيفلا لاكشألا ضعب يف اديعب لمحت يمكلا .[1] روطلا تاطابترإل لصاوتم ريمدت ىلإدوقت ةرمتسم فصو مت يكيسالكلا مكـلا كيناكيم يفف .اهتجلاعمو اهريسفتل تالواحملا تلاوت ةيدّدبتلا ةرهاظلا هذه ةيمهأل ارظن ,ةيحجرأت ةوقو كاكتحإ ةوق لكش يف ماظنلا ريثأت اهيف رهظي يتلا (Langevin) ةلداعم ىلع دامتعإلاب دّدبتملا ماظنلا ’Einstein’, نم لك تاسارد لالخ نم ةينواربلا ةكرحلا ةساردل ساسألا ةيكيسالكلا جئاتنلا تلكش ثيح

ةيرهاوظ ةلداعمك تدب اهنكـل ةممعملا (Langevin) ةلداعم ىلإ لوصولا مت و .’Smoluchowski’ و’Langevin’

تاجرد لجأ نمو ,ةركاذلا ةنمزأب ةنراقم ةليوط ةنمزأ لجأ نم الإ دمصت نأ اهنكمي ال ةحصلا نم ديقم لاجم كلمت ربتعي مل دماختلل فصولا اذه نأ امك ,اهيف ةيمكلا تاريثأتلا لك روهظو ثودح بوجو عقوت مت ةضفخنملا ةرارحلا ىلإ ءوجللا مت كلذل .ةدّدبملا ةمظنألا فصو نع كيسالكلا زجع كلذب, اهلصوو ةيرحلا تاجردل ةيرهجملا ليصافتلا ’Caldirola’, ’Kanai’ مه قيرطلا اذه اوعبتإ نيذلا نيثحابلا لوأ نيب نم ميمكتلل ةديدع تالواحم تءاج و مكـلا ةيلمعلا هذه نكـل ةيكيسالكلا ةكرحلا ةلداعم يف كاكتحإلا دح لخدت ةقيرطب نمزلاب ةقلعتم ةلتك اولمعتسا نيذلا كيناكيم يف دّدبتلا فصول ةعونتم بيلاسأ تروط 1921 ماع ’Pauli’ لامعأ ذنم .بايترإلا أدبم اديج جلاعت ال

ةيلمع ليدعت ىلع تدمتعإ اهادحإ :ةيساسأ تائف ثالث ىلإ ممسقنت ةعونتملا تالواحملا .كسامتم لكشب مكـلا

Stochastic) ةيئاوشعلا رغنيدورش ةلداعم تمدختسا ةثلاثلاو (طيحملا+ماظنلا) بولسأ تلمعتسا ىرخألا ,ميمكتلا

ةيرظن حرتقإ 'Dekker' ىلوألا ةئفلا نمض نيلواحملا نيب نم .ةعشألا ةلاح لجأ نم (Schr¨odinger Equation

ةلاد لجأ نم (Fokker-Plank) ةلداعم ليكشت ةداعإ يأ ,ةدقعملا تاريغتملا لجأ نم ينوناقلا ميمعتلا ةيلمعل ةلداعم يف ىضوفلا عبانم ليثمت لثم اهيف كوكشم تدب ةيرظنلا يف تايضارتفإلا ضعب كلذ مغر ,'Wigner' عيزوت ةطساوب اقحال تدجو ةلداعملا سفن .ةيطخلا ريغ رغنيدورش ةلداعم عم ةيرظن مدق ’Kostin’ .مزعلاو عضوملا ,بكارتلا أدبم كهتنت ةيرظنلا هذه نأ دجو نكـل .ةيئاوشعلا (Nelson) نوسلين ميمكت ةيلمع لامعتساب ’Yasue’ ةيرظنلا تايساسألا نأ ةقيقح نأ ىلإ ةفاضإلاب ةرقتسملا دماختلا تالاح لثم ةبيرملا جئاتنلا ضعب اضيأ حنمتو لثم ,ادج ةصاخلا تالاحلا لجأ نم طقف جئاتن حنمت نأ رثكألا ىلع اهنكمي بيلاسألا هذهف .ايلك ةحضاو ريغ اهل نكمي الو ةلشاف اهرابتعإ مت ىلوألا ةعومجملل تالواحملا هذه لك نذإ .فيعض لكشب ةدماختملا ةيطخلا ةمظنألا

Gisin, Percival, Dalibard,) ءاملعلا نم ةعومجمل ةديدع تالواحم تلمش دقف ةثلاثلا ةئفلا امأ .اهيلع دامتعإلا

ينوتليماه ريغ كيمانيد ضارتفإ ىلع يسيئر لكشب تدمتعإ (مهريغوPetruccioneوCastin, Zoller, Breuer

ملاع روهظو ةجوملا ةلادل يئاقلتلا يئاوشعلا رايهنإلا حرشل (Shr¨odinger) رغنيدورش ةلداعم يف يساسأ ليدعتك ةيددعلا ةاكاحملا و ةجذمنلا قرط ىلع تدمتعإف تاديقعت تهجاوو تاحيحصت و تاليدعت اهتقفار نكـل ,يكيسالك يذلا وه حاجن رثكألا يعيبطلا بولسألا .ةجوملا ةلادل (Monte-Carlo Simulation) ولراك يتنوم ةاكاحم اهمهأ .ةيسايقلا ميمكتلا دعاوقل لثتمي يذلا و دماختلا ةرهاظ فصول ظوفحم يلك ماظنل تانوكمك طيحملا عم ماظنلا ربتعي فصوت ثيح ,رغنيدورش روصتب لمعي مسق :نيمسق ىلإ امومع مسقنت (طيحملا+ماظنلا) بولسأ ىلع ةدمتعملا قرطلا مسقلاو ,ةلزتخملا ةفاثكلا ةفوفصم لجأ نم ةممعملا ةيمكلا ةيساسألا تالداعملا ةلالدب ايحالطصإ ماظنلا ةيكيمانيد (Langevin) تالداعم ةلالدب يكيمانيدلا فصولا هيف ىطعي يذلاو (Heisenberg) غرېبنزياه روصتب لمعي رخآلا .[1] لزتخملا ماظنلاب ةصاخلاو عوضوملاب ةقلعتملا تارثؤملا لجأ نم ةممعملا الوأ اهميدقتو اهحارتقإ مت .ممعم لكشب مكـلا كيناكيم يف ةليدب رظن ةهجو ضرعت ةادأ ترهظ ,ىرخأ ةهج نم يشملل ةرمتسم ةياهن اهرابتعإ نكمي يتلا ,ةينواربلا ةكرحلل ةيئاصحإلا صئاصخلا فصول ةليسوك 'Wigner' لبق نم

,روهشملا نياتشنيأ لمع نم ماهلإب ,ةعطقتم ةينمز تاوطخ عم (Markovian Random Walk)ّ يئاوشعلا يفوكراملا

نامنياف ماق1940ماع يفو .صئاقنو تاضقانت ىلع تلمتشإ نيتلواحملا الك نكـل اهيلع تاليدعت كاريد فاضأ مث نمو حاتفملا ةقيرطلا هذه تحبصأف .دمتعملا يئاهنلا هلكشب هتغايصو راسملا ىلع لماكتلا ةقيرط ريوطتب (Feynman) صئاصخ وأ روطلا تالاقتنإ ىلإ يئايزيفلا مسجلا نم تدتمإ يتلا اهتاقيبطت و يمومكلا لقحلا ةيرظنل قمعألا مهفلل نيب ةلسارملا دكؤي وهف ,ةيمكلا ةساردلا لجأ نم ةيوق ةيضاير ةادأ يلادلا لماكتلا ربتعي ثيح .ةيمكلا تازاغلا ةيئايزيفلا تايمكلل ةطيسب تاباسح و يسدح مهف ىلإ كلذب دوقت ثيح حضاو لكشب يمكلاو يكيسالكلا كيناكيملا نم قوفتب نكمتت اهنأ الإ ,ةيئزجلا ةيلضافتلا تالداعملا نم رثكأ ادقعم ايضاير ادب نإو ىتح .ةيكيسالكلا ةياهنلا يف كيناكيملا نم لاقتنإلاب حمست كلذب .ةدافإ لقأ نوكت رغنيدورش ةغايص نيأ ةديدع ةيرح تاجردب ةمظنألا ةسارد .[4] ةيئاصحإلا ءايزيفلا وأ يمومكلا لقحلا ةيرظن ىلإ ماسجألا نم ليلق ددعب يمكلا هدامتعإ مت ,اهنم ةيئاصحإلا ةصاخ ةيمكلا ةمظنألا ةجلاعم يف راسملا ىلع لماكتلا بولسأ ةيلاعف و حاجنل ارظن دماختلاو ةضفخنملا ةرارحلا تاجرد لجأ نم (Vernon) نونرفو نامنياف ةطساوب ةدّدبملا ةيمكلا ةمظنألا فصول نم راسملا ىلع لماكتلا فصو ةوق تبثأ امم .[5] اريبك امامتهإو احاجن ارخؤم لمعلا اذه ىقالو ,ايئاوشع يوقلا

بولسألا اذه لكش ثيح ,ةفلتخملا تاقيبطتلا نم اهريغ و ةبلصلا ةلاحلا ةمظنألا لثم يوقلا لصولا تالاح لجأ ماظن ابيرقت دجوي ال هنأل اريبك ارود دّدبتلا ةرهاظ اهيف بعلت يتلا ,ةيئايميكـلا ءايزيفلاو ةفثكملا ةداملا يف قبطملا ةادأ ىلع فرعتلا حبصأ كلذل .[3-1] نييضاملا نيدقعلا وأ دقعلا يف ةريبك ةعانص ,هب طيحي ام نع ايلك لوزعم فدهلا وه اذهو ايرورض ارمأ ةدّدبملا ةيمكلا ةمظنألا ةجلاعم يف اهقيبطت ةيفيكو ايلمع اهتازيممو راسملا ىلع لماكتلا .لمعلا اذه نم يف اهمادختسا ةيفيكو راسملا ىلع لماكتلا بولسأل يئايزيفلا و يضايرلا راطإلا ميدقت متيس لمعلا اذه لالخ ميعدتلا عم ناكمإلا ردق لماكتم لكشب هبناوج لك نم عوضوملاب ةطاحإلا ةلواحم عم ةدّدبملا ةيمكلا ةمظنألا فصو :لوصف سمخ قفو هتلكيه تمت لمعلا .ناهربلاب تاقالعلا بلغأ قافرإو ةلثمألاب .عوضوملل ةماع ةمدقم يف لثمتي لوألا لصفلا هل ةلماكتملا ةساردلا لالخ نم ,بولسألا اذه لامجو ةوق راهظإو راسملا ىلع لماكتلاب فيرعتلا يناثلا لصفلا عم هئفاكت ديكأت ,ةيكيسالكلا ةياهنلا يف هفرصت ةسارد ,مكـلا كيناكيمل هليثمت, هتغيص صالختسا ةيفيك ةيحان نم رحلا مسجلا ةلأسم يف لثمتت يتلاو ةقدب لحلل ةلباقلا ةيساسألا لئاسملا ضعب يف هتاقيبطت ىلإ ةفاضإلاب رغنيدورش روصت .(driven harmonic oscillator) عوفدملا يقفاوتلا زازهلا ةلأسمو

راتخملا جذومنلا ديدحتب ةيادب اهل هتسارد ةيفيكو مكـلا كيناكيم ةطساوب ةدّدبملا ةمظنألا فصوب متهي ثلاثلا لصفلا نم دّدبملا ماظنلا لاعف فصو ىلع لوصحلل ريخألا اذه ءاصقإ مث نمو ,يرارح نازخب لثمملا هطيحمب لوصوملا ماظنلل طيحملا تازازهل ةيفيطلا ةفاثكلا ةلالدب ةرهاظلا يف ةمهملا ريداقملا فصو ةياغ ىلإ ماظنلل ةلاعفلا ةكرحلا ةلداعم لالخ .تالاحلا فلتخم يف اه ولس ةشقانم نم نكمتلل كلذو اقالطنإ ةدّدبملا ةيمكلا ةمظنألا ةسارد يف راسملا ىلع لماكتلا ةغيص قيبطت ةيفيك حيضوتب ىنعُي عبارلا لصفلا ةلاد عم انكرتي امم هدحول دّدبملا ماظنلل لزتـخم فصو ىلع لوصحلل ىصقُي يذلا هطيحمب لوصوملا ماظنلا جذومن نم ةجلاعملا هذه جئاتن حيضوتو ديكأت ىلإ ةفاضإلاب دّدبتلل راسملا ىلع لماكتلا فصو ساسأ لكشي يذلا ةلاعفلا لعفلا .ةفلتخملا اهتاقيبطتو .عوضوملل ةماع ةصالخ يف لثمتيف ريخألا لصفلا امأ

يناثلا لصفلا

:

راسملا ىلع لماكتلا

Path Integral)

)

2 لصفلا

:

(Path Integral)

راسملا ىلع لماكتلا

:ديهمت 2.1

ةغايصب ةيوق ةلص كلمت يتلا رغنيدورش ةلداعم ىلع دمتعت يعقاولا ريغ مكـلا كيناكيمل اسيردت و الامعتسا بيلاسألا رثكأ يكيسالكلا كيناكيملا يف ةكرحلا ةيمك و عضوملا نيب ةمودعملا ريغ نوساوب تاضراع .يكيسالكلا كيناكيملل نوتليماهلا يساسألا رصنعلا وهو نوتلماهلا رثؤم ىلا لوحتت نوتليماهلا ةلادف .مكـلا كيناكيم يف ةلدابتملا ريغ تارثؤملا ىلا دوقت ليلحتف .ةقفارملا ةيتاذلا ميقلاو نوتليماهلا رثؤمل ةيتاذلا لاودلا داجيإ وه ةيمهأ ماهملا رثكأ نم .رغنيدورش ةلداعم يف .[3] ينمزلا اهروطت ديدحتب حمسي ةيتاذلا لاودلا ىلإ ةلاح ,يساسأ روصتك لعفلا عم يكيسالكلا كيناكيملل جنارغال ةغيص ىلع دمتعت مكـلا كيناكيمل ةغايص دجوت ليدبك ,تارثؤملا لامعتسا بنجتي ,[6,7](1940 )ماع لالخ(Feynman)نامنياف لبق نم هريوطت مت يذلا بولسألا اذه نوتليماهلل ةيتاذلا لاودلا داجيإ نم الدب .اطسبأ حبصي مكـلا كيناكيم لكاشم لح نأ ةرورضلاب ينعي ال اذه نأ عم امب .يمك ماظن كيمانيد ديدحتل بولطملا (propagator)ب ىعدُي ام ةرشابم حنمي يذلا يلاد لماكت مييقت بجي ريفوتل ةيمهأ كلمت ابلاغ راسملا ىلع لماكتلا ةغيص نإف ,ادج ةبيرق يكيسالكلا كيناكيملاو نامنياف ةغايص نيب ةقالعلا نأ .[3] ةيلاتلا رصانعلا يف هتابثإ لواحنس ام اذهو ,ةيسدح رثكأ بولسأ

:راسملا ىلع لماكتلا ةادأك (Propagator) رشتنملاب فيرعتلا 2.2

:نمزلاب ةقلعتملا رغنيدورش ةلداعمل |ψ(t)⟩نييعتل ابلاغ جاتحن مكـلا كيناكيم يف iℏ∂|ψ(t)⟩ ∂t = H|ψ(t)⟩ (2.1) .ماظنلا فصي يذلا نوتليماهلا وهHثيح : لكشلا نم بتكي (2.1) ةلداعملا لح |ψ(t)⟩ = τ exp ( −i ℏ ∫ _∞ 0 H(t′)dt′ ) |ψ(0)⟩ (2.2) .امومع لدابتٺ ال ةفلتخم ةنمزأ يف نوتليماهلا تارثؤم نأل نمزلل بترملا رثؤملا وهτ ثيح : ىلإ طسبي (2.2) لحلا ثيح نمزلاب قلعتملا ريغ نوتليماهلا لحب مزتلن فوس يتأي اميف |ψ(t)⟩ = exp ( −i ℏ Ht ) |ψ(0)⟩ (2.3)

:نيأزج ىلع يوتحي نمزلاب ةقلعتملا رغنيدورش ةلداعم لح ,(2.3)و (2.2) نيتقالعلا ةنياعم نم حضوتي امك لك يوحي رثؤم نع ةرابع وه يذلا رشتنملاب ىعدُي امو ,يئادتبإ طرش نع ةرابع يه يتلا|ψ(0)⟩ ةيئادتبإلا ةلاحلا .ينمزلا روطتلا ديدحتل ةبولطملا تامولعملا :دجن عضوملا ساسأ يف (2.3)ةقالعلا ةباتكب ψ(x, t) = ∫ dx′ < x| exp ( −i ℏ Ht ) |x′ >< x′|ψ(0) > (2.4) ψ(x, t) = ∫ dx′k(x, t, x′, 0)ψ(x′, 0) (2.5) :يلاتلاك بتكي رشتنملا ثيح k(x, t, x′, 0) =< x|exp(−i ℏ Ht)|x ′ > (2.6) k(x, t, x′, 0) =< x|U(t, 0)|x′ > (2.7) .نامزلا يف ماظنلا ةلاح روطتلا رثؤم وه U (t, 0) ثيح رشتنملل راسملا ىلع لماكتلا ليثمت ةشقانم لبق .مكـلا كيناكيمل نامنياف ةغايصل ةيساسألا ةادألا وه رشتنملا راصتخاب :هصئاصخ ىلع عالطإلا ديفملا نم(propagator) |ψ(t)⟩ = U(t, 0) |ψ(0)⟩ |ψ(t)⟩ = U(t, t1)|ψ(t1)⟩ |ψ(t)⟩ = U(t, t1)U (t1, 0)|ψ(0)⟩ (2.8) :يلاتلاك عضوملا ساسأ يف ةلاحلا ةلاد بتكت كلذبو ψ(x, t) =⟨x|ψ(t)⟩ = ∫ dx′ < x|U(t, t1)U (t1, 0)|x ′ >< x′|ψ(0) > ψ(x, t) = ∫ dx′ ∫ dx′′k(x, t, x′′, t1)k(x ′′ , t1, x ′ , 0)ψ(x′, 0) (2.9) :رشتنملل (semigroup) ةيصاخ ظحالن (2.8)و (2.5) ةنراقمبو k(x, t, x′, 0) = ∫ dx′k(x, t, x′′, t1)k(x ′′ , t1, x ′ , 0) (2.10) t1 نيعم نمز نم ةمداق تارشتنم ىلإ ككفتي نأ نكمي k(x, t, x ′ , 0) رشتنملل(semigroup) ةيصاخ لالخ نمف .x ةيئاهنلا ةطقنلا ةياغ ىلإ رمتست يتلاو ،x′′ ةيطيسو ةطقنو ءاضف يف (semigroup) ةيصاخ ةجيتن K(x, t, x′, 0)رشتنملا كيكفت نع ةجتانلا تارشتنملا ليثمت :2.1 لكش .[3] ناكملاو نامزلا

ءاضفلا يف طاقنلا طبرت ةميقتسم طوطخب لكشلا يف تروص تارشتنملا (2.1) لكشلا يف ظحالم وه امك لماكت ةغايص يف ةديفم ةظحالملا هذه ،x′′ عضاوملا لك ىلع ةلماكملا بجي يطيسولا نمزلا يف .(ناكملاو نامزلا) .اقحال راسملا .ةقفاوملا ةزيمملا تالاحلاو ةزيمملا تاقاطلا صوصخب ةلماكلا تامولعملا لك كلمي رشتنملا اذه :دجن (2.6) نم k(x, t, x′, 0) =< x| exp ( −i ℏ Ht ) |x′ > k(x, t, x′, 0) =∑ n exp ( −i ℏ Ent ) < x|n >< n|x′ > k(x, t, x′, 0) =∑ n exp ( −i ℏ Ent ) ψn(x)ψ∗n(x ′ ) (2.11) .يمك ماظنل ةيكيمانيدلا تامولعملا لك لمحت ةديج ةمزح وه رشتنملا نأ ىلع ديكأتلا متي اذهبو

:( The Retarded Green Function) ةرخأتملا نيرغ ةلاد فرعن فوس ةلحرملا هذه يف

Gr(x, t, x ′ , 0) = K(x, t, x′, 0)θ(t) (2.12) كلذ فالخو بجوم ينمزلا ريغتملا نوكي امل دحاولا ىلإ يواست (heaviside function)ةيجرد ةلادθ(t)ثيح :يفيطلا ليثمتلا ىلع لصحتن يروف ليوحتب مايقلاب ,رفصلا ىلإ يواست Gr(x, x ′ , E) = −i ℏ ∫ +∞ 0 dt exp ( −i ℏ Et ) Gr(t) (2.13) Gr(x, x ′ , E) =∑ n ψn(x)ψn∗(x ′ ) E− En+ iϵ (2.14) . رغصلا يف يهانتمال بجوم ددع ϵثيح قفاوملا يقابلا امنيب ةصاخلا تاقاطلا ددحت ةقاطلاب ةقلعتملا ةرخأتملا نيرغ ةلد باطقأ :(2.13) ىلع دامتعإلاب .[3] x′ وx عضاوملا يف ةصاخلا لاودلا داجيإ هلالخ نم نكمي

:مكـلا كيناكيمل راسملا ىلع لماكتلا ليثمت 2.3

يه ةيساسألا ةركفلا .رشتنملل راسملا ىلع لماكتلا ليثمت جارختسا ديرن .ةيضايرلا ليصافتلا يف اقمعم ضوخلا نود .(N −→ ∞)ةياهنلا ذخأنس نيأ(∆t = tf−ti = t/N )ةريغصلا تالاجملا نم ءزج N ىلإ t مدقتلا نمز كيكفت :دجنف ,بيترتلا ىلع Vو T ب ةنماكلاو ةيكرحلا ةقاطلل زمرن exp ( −i ℏ Ht ) = exp ( −i ℏ (T + V )∆t )N (2.15) اهميمعت نكمي راسملا لماكت ةغايصل ةيلاتلا تاوطخلا نأ مغر نمزلاب قلعتم ريغ نوتليماهلا نأ ضارتفإ مت طيسبتلل رخى ءزج و ةيكرحلا ةقاطلا يوحي ءزج ىلإ U (∆t) ريصقلا ينمزلا روطتلا رثؤم ليلحت بجي .نمزلاب ةقلعتملا ةلاحلل رشن ىلع دامتعإلاب يلاتلا لكشلا ىلع ليلحتلا متي هنإف نالدابتي ال نيقباسلا نيرثؤملا نأ امب .ةنماكلا ةقاطلا يوحي :(Baker Hausdorff)فرودساه ركياب ةغايص exp ( −i ℏ (T + V )∆t ) = exp ( −i ℏ T ∆t ) exp ( −i ℏ V ∆t ) + 1 ℏ2[T, V ]∆t 2 (2.16)

تالدبملا عيزوت لامهإ نكمي (∆t −→ 0) رابتعإب كلذو (∆t2₎ نم ربكألا ةبترلا نم رصانعلا ةيقب لامهإب : (Trotter Formula)رابتعإب exp ( −i ℏ (T + V )t ) = lim N−→+∞(U (∆t)) N (2.17) :ثيح U (∆t)≃ exp ( −i ℏ T ∆t ) exp ( −i ℏ V ∆t ) (2.18) :يلاتلاك رشتنملا بتكي نذإ K(xf, t, xi, 0) = lim N−→∞ ∫ +∞ −∞ ( N∏−1 j=1 dxj)⟨xf| U(∆t) |xN−1⟩ .... ⟨x1| U(∆t) |xi⟩ (2.19) :نكيلو تارشتنملا دحأ باسحب موقن ⟨xj+1| U(∆t) |xj⟩ = ∫ +∞ 0 dp⟨xj+1|p⟩ ⟨p| exp ( −_ℏiH∆t ) |xj⟩ (2.20) :ثيح ⟨p| exp ( −i ℏH∆t ) |xj⟩ = ⟨p| (1 − i ℏH∆t + 0(∆t2))|xj⟩ :ذخأب H = p² 2m + V :هنمو ⟨p| exp ( −i ℏH∆t ) |xj⟩ = (1 − i ℏ p² 2m∆t− i ℏV (xj)∆t + 0(∆t2))⟨p|xj⟩ ⟨p| exp ( −i ℏH∆t ) |xj⟩ = 1 √ 2πℏexp ( −i ℏ (pxj + p² 2m∆t + V (xj)∆t) ) (2.21) :دجن (2.20) يف (2.21) ضيوعتب ⟨xj+1| U(∆t) |xj⟩ = ∫ +∞ 0 dp 2πℏexp ( i ℏpxj+1 ) exp ( −_ℏi(pxj + p² 2m∆t + V (xj)∆t) ) :يلاتلاك هلح متي يذلا(Fresnal)لنسيرف لماكت الإ وه ام ةكرحلا ةيمك ىلع لماكتلا اذه ∫ +∞ −∞ dx exp(−iax2) = √ π ia (2.22) .بجوم تباث a ثيح :نذإ ⟨xj+1| U(∆t) |xj⟩ = √ m 2πiℏ∆texp ( i ℏ( m 2∆t(xj+1− xj) 2_{− V (x} j)∆t) ) (2.23)

:رشتنملل يلاتلا لكشلل لصوتن اذهبو K(xf, t, xi, 0) = lim N−→∞( √ m 2πiℏ∆t) N ∫ +∞ −∞ N∏−1 j=1 dxj × exp (_N−1 ∑ j=0 i ℏ∆t( m 2 (xj+1− xj)2 ∆t2 − V (xj)) ) (2.24) :عضوب ˙x² = (xj+1− xj)2/∆t2 نكمي xfوxi نيب ةيطيسولا طاقنلا عضاوم يأ ينمز لاجم لكل عضاوملا لك ىلع لماكتلا(N −→ +∞) ةياهنلا يف يأ نمزلل ةبسنلاب جنارغال ةلاد لماكت حبصي ةيسألا ةلادلا سأو ,ةنكمملا تاراسملا لك ىلع لماكت هنأب لوقلا :بتكن هنمو ,راسم لكل لعفلا K(xf, t, xi, 0) = ∫ Dx exp ( i ℏ ∫ tf ti ds(m 2 ˙x²− V (x)) ) (2.25) :يلاتلاك ىطعي جنارغال عبات نأ ثيح ملعلا عم L = m 2 ˙x²− V (x) (2.26) :نذإ K(xf, t, xi, 0) = ∫ Dx exp ( i ℏS[x] ) (2.27) .مكـلا كيناكيم يف لاقتنإلا ةعسل نامنيافل راسملا لماكتل يئاهنلا لكشلا وه اذهو :لكشلاب ةفرعم لعفلا ةلاد S[x] ثيح S[x] = ∫ tf ti ds(m 2 ˙x²− V (x)) (2.28)

. (Path integral measure)راسملا ىلع لماكتلا سايق وه _Dx و

x(t) = xf وx(0) = xi ةيدودحلا طورشلل ةققحملا تاراسملا ةيئاهنال حضوت (2.2) لكشلا يف ةثالثلا طوطخلا نيـجتان نيرخآلا نيراسملا امأ ةيكيسالكلا ةكرحلا ةلداعم لح نع جتانلا يكيسالكلا راسملا ضيرعلا طخلا لثمي ثيح, .يكيسالكلا راسملا لوح ةيمك تاحجرأت نع تاراسملا لك ىلع عمجلا يه ةياهنلاو ةيادبلا ةلاح نيب لاقتنإلا ةعس نأ لوقي ةطاسبب نامنيافل راسملا لماكت نذإ . exp(i ℏS[x] ) نزولا لماعمل نيتطقنلا نيب ةطبارلا ىقبت مومعلا ىلع ةرابعلا نأ الإ, تانوتليماهلا نم ةنيعم ةئفل لاقتنإلا ةعسل راسملا لماكت ليثمت انققتشإ اننأ مغر لماكتلا سايق فيرعت نم ةطاسبب رذحلا بجي ةكرحلا ةيمكل ةبسنلاب ةيعيبرت تسيل يتلا تانوتليماهلل ةبسنلابف ,اهسفن .[9,8,3]Dx

:ةيكيسالكلا ةياهنلا 2.4

هنأ نيح يف ,ةكرحلل ةيكيسالكلا ةلداعملل لح هنأل يكيسالكلا كيمانيدلا ددحي يكيسالكلا لعفلا نأ ملعن ايكيسالك .لاقتنإلا ةعس يف كراشت تاراسملا لك مكـلا كيناكيملا يف يكيسالكلا راسملا طقف ,لاقتنإلا ةعس يف ةمهاسملا تاراسملا لك نيب نم هنأ فيك وه همهف ديرن يذلا لاؤسلا روط وه ,(exp(_ℏiS[x])) :يأ راسملا ىلع لماكتلا يف نزولا لماعمف.(ℏ −→ 0)امل يأ ةيكيسالكلا ةياهنلا يف درفتي راسملا ىلع لماكتلا يف ةنميهملا ةمهاسملا نأ نذإ حضتي ايضاير هنمو ةيكيسالكلا ةياهنلا يف ةريبك ةميقب فعاضم يأ ,ىندألا هدح روطلا لماعم هدنع غلبي يذلا راسملا نم ةبيرقلا تاراسملا نم أشنت فوس لاقتنإلا ةعس يف يأ .يكيسالكلا راسملا نم ةبيرقلا تاراسملا رخآ ىنعمب ,δS[x]_δx(t) = 0: ققحت يتلا كلت نم ةبيرقلا تاراسملا راسملا اذه ربع روطلا نإف ,ريغص ℏ نأ امبف ,يكيسالكلا راسملا نع ديعب نوكي ثيحب ام راسم ربتعن حيضوتلل فعاضم هنأ امب نكـل ,اليلق فلتخيس لعفلا ,يئاهن ال لكشب راسملا اذه نم ةبيرقلا تاراسملا لجأ نم ريبك نوكيس .مودعم طسوتملا يف نوكيس اهضعب عم اهعمج جتان تاراسملا هذه لثم لك .ريبك روط جتنيس ادج ريبك تباثب يديلقتلا راسملا نم يئاهن ال لكشب ةيبرقلا تاراسملا نذإ .رقتسم نوكي لعفلا ةيكيسالكلا تاراسملا نم برقلاب اذهب (ℏ −→ 0)امل ةنميهملا ةمهاسملا يطعتل كسامتم لكشب اهضعب ىلإ تاراسملا هذه عمجتسو ريغتي نل اهيف لعفلا تاراسملا نأل لب لاقتنإلا ةعس يف ةمهاسم ربكأب مهاسي هنأل ال ةيكيسالكلا ةياهنلا يف يكيسالكلا راسملا درفتي ,مودعم اهتمهاسم طسوتم نوكيل اهضعب تامهاسم يغلت تاراسملا ةيقب امنيب طبارتم لكشب اهضعب عم عمجت هنم ةبيرقلا .[9] ةربتعم هتمهاسم حبصتل يكيسالكلا راسملا نم راسملا برق ىدم ليصافت يف ضوخلا نود

:رغنيدورش ةلداعم عم راسملا ىلع لماكتلا ؤفاكت 2.5

جارختسا اننكمي فيك حضاولا نم سيل ينعي ,راسملا ىلع لماكتلا يف رغنيدورش ةلداعم نع لءاستن ةلحرملا هذه يف ةيلضافت ةلداعم يه رغنيدورش ةلداعم نأ ركذنل ,لاقتنإلا ةعسل راسملا ىلع لماكتلا نم نمزلاب ةقلعتملا رغنيدورش ةلداعم صحفن وأ ربتخن نأ بجي رغنيدورش ةلداعم جارختسال هنمو ,ةجوملا ةلاد يف رغصلا ةيئاهنال تاريغت ددحت نذإو رادقملا ىلع لصحتن لاقتنإلا ةعسل حيرصلا لكشلا نم .راسملا ىلع لماكت وأ لاقتنإلا ةعسل رغصلا يئاهنال لكشلا : ϵ رغصلا يئاهنال U (tf = ϵ, xf, ti = 0, xi) = √ m 2πiℏϵexp ( iϵ ℏ( m 2( xf − xi ϵ ) 2 _{− V (}xf + xi 2 )) ) (2.29)

:ةيجوملا ةلادلا راشتنإ يطعي يذلا رشتنملا يه لاقتنإلا ةعس نأ كلذك ملعن نحن ψ(x, t + ϵ) = ∫ +∞ −∞ dx′U (t + ϵ, x, t, x′)ψ(x′, t) (2.30) :نيتقباسلا نيتلداعملا لالخ نم ψ(x, t + ϵ) = √ m 2πiℏϵ ∫ +∞ −∞ dx′exp ( im 2ℏϵ(x− x ′ )2− iϵ ℏV ( x + x′ 2 ) ) ψ(x′, t) (2.31) : ريغتملا رييغتب η = x′ − x :دجن ψ(x, t + ϵ) = √ m 2πiℏϵ ∫ +∞ −∞ dη exp ( im 2ℏϵη 2₋ iϵ ℏV (η + x 2) ) ψ(η + x, t) (2.32) ىلإ ةيسألا ةلادلا سأ يف لوألا ءزجلا دوقيس ريبك η ناك اذإ ,ϵ رغصلا ةيهانتمال ةيمكلا ببسب ايهيدب حضاولا نم نم نذإ نوكت فوس ةنميهملا ةمهاسملا ,ةمودعم طسوتملا يف نوكت فوس تامهاسملا هذه لك و ةعيرس تازازتهإ :يأ رقتسم نوكي روطلا نيأ لماكتلا لاجم im 2ℏϵη 2 _{⩽ π} (2.33) :يأ 0⩽ |η| ⩽√2πℏϵ/m (2.34) : ηل ةيناثلا ةبترلا هنمو ϵ ىلوألا ةبترلا رابتعاب روليات رشنب موقن اذل ψ(x + η, t) = ψ(x, t) + η∂ψ ∂x + η2 2 ∂2_ψ ∂x2 + .... (2.35) exp [ −i ℏ ϵV (x + η/2) ] = 1−iϵ ℏV (x + η/2) + .... ≃ 1 − iϵ ℏV (x) (2.36) : حبصت (2.31) ةلداعملاف ةلمهم (ηϵ) نأ امب ψ(x, t + ϵ) = √ m 2πiℏϵ ∫ +∞ −∞ dη exp ( im 2ℏϵη 2 ) ×[ψ(x, t) − iϵ_ℏV (x)ψ(x, t) + η∂ψ(x, t) ∂x + η 2∂2ψ(x, t) ∂x2 ] (2.37) :يلاتلاك ةيدرفلا تالماكتلا باسح نكمي ∫ +∞ −∞ dη exp ( im 2ℏϵη 2 ) =√2πiℏϵ/m (2.38) ∫ +∞ −∞ dη η exp ( im 2ℏϵη 2 ) = 0 (2.39) ∫ +∞ −∞ dη η2exp ( im 2ℏϵη 2 ) = iℏϵ m √ 2πiℏϵ/m (2.40)

:الثم ,ميظنتلا لالخ نم يه اهمييقتل ةقيرط لهسأو ةيزازتهإ تالماكت ىلع لمتشت تالماكتلا هذه نأ ظحال ∫ +∞ −∞ dη exp ( im 2ℏϵη 2 ) = lim δ−→0+ ∫ +∞ −∞ dη exp ( −(δ − im 2ℏϵ)η 2 ) (2.41) = lim δ−→0+ √ _π δ− _2ℏϵim = √ 2πiℏϵ/m (2.42) :(2.37) ةلداعملا جبصتف ψ(x, t + ϵ) = √ m 2πiℏϵ[ √ 2πiℏϵ/m(ψ(x, t) −iϵ ℏV (x)ψ(x, t)) + iℏϵ 2m (2.43) ×√2πiℏϵ/m∂ 2_ψ ∂x2] = ψ(x, t) + iℏϵ 2m ∂2ψ ∂x2 − iϵ ℏV (x)ψ(x, t) (2.44) :دجن ةلداعملا لكش ميظنتب ψ(x, t + ϵ)− ψ(x, t) = −iϵ ℏ ( −ℏ2 2m ∂2 ∂x2 + V (x))ψ(x, t) (2.45) :نمزلاب ةقلعتملا رغنيدورش ةلداعم ىلع لصحتن نذإ (ϵ−→ 0) ةياهنلا يف iℏ∂ψ(x, t) ∂x = (− ℏ2 2m ∂2 ∂x2 + V (x))ψ(x, t) (2.46) .[10,9] اهؤفاكيو رغنيدورش ةلداعم يوحي راسملا ىلع لماكتلا ليثمت نذإ

ةطساوب مكـلا كيناكيم يف ةيجذومنلاو ةيساسألا لئاسملا ضعب ةجلاعم 2.6

:راسملا ىلع لماكتلا

ىلع لماكتلا ليثمت ىلع دامتعإلاب ةقيقد لولح ىلع لوصحلل ةيافك نيتطيسب نيتلأسم ةجلاعم متيس رصنعلا اذه يف .مكـلا كيناكمل نامنياف ليثمتو رغنيدورش فرط نم نيمدقملا نيجهنملا نيب قيرفتلا نم نّكمُي امم راسملا

:رحلا مسجلا ةلأسم ةجلاعم 2.6.1

m, ةلتكلا وذ رحلا مسجلل رشتنملا رابتعإ لالخ نم ىرجُت مكـلا كيناكيمل راسملا ىلع لماكتلا ةغايصل ةمهملا تاوطخلا :رحلا مسجلا نوتليماهل ةصاخلا تالاحلاف H = p 2 2m (2.47) :ةكرحلا ةيمكل ةصاخلا تالاحلا يه ψ(x) = √1 2πℏexp ( i ℏpx ) (2.48)

حضوملا رشتنملا ليثمت يف ةصاخلا تالاحلا هذه لاخدإب ,ةكرحلا ةيمكل رمتسملا فيطلا نم ةصاخلا ةميقلا يه p ثيح :داجيإ نكمي (2.6) ةلداعملا يف K(xf, t, xi, 0) = 1 2πℏ ∫ dp exp ( −i ℏ p2 2mt ) exp ( i ℏp(xf − xi) ) (2.49) = √ m 2iπℏtexp ( i ℏ m(xf − xi)2 2t ) (2.50) :امل يأ كاريد ةلاد كولس سفن كلمت يهف ةحارصب اهمييقت نكمي لاقتنإلا ةعس ,ةرحلا ماسجألل ةبسنلاب tf −→ ti ⇒ K(xf, t, xi, 0)−→ δ(xf − xi) (2.51) لح لالخ نم هيلع لوصحلا نكمي ام طبضلاب اذه .غرېبنزياه روصتب تالاحلل ميظنتلاو دماعتلا ةقالع الإ وه امو رشتنت فوس اديج ةيجوملا ةمزحلا عقوم ديدحت مغر نأ يف ةلثمتملا ةريهشلا ةقيقحلا نع ربعت امك ,رغنيدورش ةلداعم .ةقرفتم وأ ةددبتم لولح طقف كلمت تالداعملا طسبأ ىتحو نمزلا عم نيقلعتمو نېبيرق :رح مسجل ةيكيسالكلا صئاصخلاو مكـلا كيناكيم يف رشتنملا نأ كاريد فرط نم حيضوت مت :يليام يف هحيضوتب موقنس ام اذهو ,امهضعبب :دحاو دعب يف رحلا مسجلل يكيسالكلا لعفلا هنمو جنارغال عبات ىطعي L = 1 2m ˙x ² (2.52) S[x] = ∫ tf ti dt1 2m ˙x ² (2.53) :ققحي يكيسالكلا لعفلا δS[x] δx(t) = m¨x = 0 (2.54) :ثيح xcl(t) = v = costant = xf − xi tf − ti (2.55) :يكيسالكلا لعفلا ىطعي نذإ S[x] = ∫ tf ti dt1 2m ˙xcl ² = 1 2mv 2 (tf − ti) = 1 2m (xf − xi)2 (tf − ti) (2.56) :هنمو K(xf, t, xi, 0) = √ m 2iπℏtexp ( i ℏS[xcl] ) (2.57) .[9,3] يكيسالكلا راسملا وأ لعفلا ةلالدب رحلا مسجلل لاقتنإلا ةعس يه هذهو

:

(Driven Harmonic Oscillator)

عوفدم يقفاوت زازه ةلأسم ةجلاعم 2.6.2

:يقفاوتلا زازهلا جنارغال ةلاد عم نوكتس ةيادبلا L = m 2 ˙x 2 ₋m 2w 2_x2_{+ xf (t)} (2.58) باطقأ يئانث لعافت نع جتان يئابره لقح لصو لثم يجراخ لقح نع جتنت نأ نكمي ةوق يه f (t) ثيح ةيادب ةنكمملا تاراسملا لك لجأ نم لعفلا باسح بجي K(xf, t, xi, 0) رشتنملا باسحل .نوحشم ميسج عم .xf دنعt ةياغ ىلإ xi دنع0 ةظحللاب :تاراسملا ميسقت مئالملا نم x(s) = xcl + ξ(s) (2.59) دنع مدعني حجرأتم ءزجو (xcl(0) = xi, xcl(t) = xf) ةيدودحلا طورشلل ققحملا xcl يكيسالكلا راسملا ىلإ .ξ(0) = ξ(t) = 0 يأ ةيدودحلا طورشلا :ةكرحلا ةلداعم ققحي نأ بجي يكيسالكلا راسملا m ¨xcl+ mw2xcl = f (s) (2.60) ىلع لوصحلاب حمسي ةيدودحلا طورشلا ىلع راسملا دامتعإ .(2.58) جنارغال ةلاد ىلع دامتعإلاب اهيلع لصحتملا يف ةنميهم ةمهاسم ىلإ يدؤي راسملا هنمو سألا يف يويند لعفلا لعجل يرورض وهو يكيسالكلا راسملا لوح رشن .ةيكيسالكلا ةياهنلا يف راسملا ىلع لماكتلا :لعفلا دجن (2.59) لالخ نم S = ∫ t 0 ds(m 2 ˙x 2₋m 2w 2_x2_{+ xf (s))} (2.61) = ∫ t 0 ds(m 2x˙cl 2₋ m 2w 2_x2 cl+ xclf (s)) + ∫ t 0 ds(m ˙xclξ˙− mw2xclξ + ξf (s)) + ∫ t 0 ds(m 2 ˙ ξ2− m 2w 2 ξ2) (2.62) ءزجلا امأ ,يجراخلا قاقتشإلا كلذك xi, xf ةيدودحلا ميقلا نع لقتسم ثلاثلا فرطلا ,يقفاوتلا نومكلا ةلاح يف نأ ةقيقح ىلع دامتعإلاب ةئزجتلاب ةلماكملاب اذه ةظحالم نكمي ,يكيسالكلا راسملا لوح رشنلا ةجيتن مدعنيف يناثلا :ةيكيسالكلا ةكرحلا ةلداعم لح وهxcl ∫ t 0 ds(m ˙xclξ˙− mw2xclξ + ξf (s)) = m( ˙xclξ)  t o − ∫ t 0 ds(m ¨xcl+ mw2xcl− f(s))ξ = 0 (2.63) .تاحجرأتلا ةمهاسم ديدحت اهدعبو يكيسالكلا لعفلا ةمهاسم ديدحتب موقنس ةلحرملا هذه يف :عضاوملل ةيدودحلا طورشل ققحملا ةيكيسالكلا ةكرحلا ةلداعم لح xcl(s) = xf sin(ws) sin(wt)+ xi sin(w(t− s)) sin(wt) + 1 mw (2.64) ×[ ∫ s

du sin(w(s− u))f(u) −sin(ws)

sin(wt) ∫ t

هذه ققحت يتلا ةغايصلاو عضاوملل ةيدودحلا طورشلا رابتعإب نكـل (1.ا)قحلملا يف ةدمتعملا لحلا ةقيرط سفنب نكمي يكيسالكلا راسملل لعفلا مييقت ةمهم .هيف اهيلع دامتعإلا مت يتلا x(0), p(0)ةيدودحلا ميقلا نم الدب طورشلا :ةئزجتلاب ةلماكملا ةطساوب اهطيسبت Scl = ∫ t 0 ds(m 2x˙cl 2₋ m 2w 2_x2 cl+ xclf (s)) = m 2xclx˙cl  t 0 − ∫ t 0 ds(m 2xclx¨cl+ m 2w 2 x2_cl− xclf (s)) = m 2xclx˙cl  t 0 − 1 2 ∫ t 0 ds(m ¨xcl + mw2f (s))xcl+ 1 2 ∫ t 0 xcl(s)f (s) = m 2(xfx˙cl(t)− xix˙cl(0)) + 1 2 ∫ t o dsxcl(s)f (s) (2.65) :(2.65) ةيكيسالكلا ةلداعملا لح لالخ نم ˙ xcl(0) = w xf − xicos(wt) sin(wt) − 1 m sin(wt) ∫ t o ds sin(w(t− s))f(s) (2.66) ˙ xcl(t) = w xfcos(wt)− xi sin(wt) + 1 m sin(wt) ∫ t 0 ds sin(ws)f (s) (2.67) :(2.65) دجن يكيسالكلا لعفلا يف ةيئاهنلاو ةيئادتبإلا ةعرسلا ضيوعتب Scl = mw 2 sin(wt)[(xi+ xf) 2_{cos(wt)− 2x} ixf] (2.68) + xf sin(wt) ∫ t 0 ds sin(ws)f (s) + xi sin(wt) ∫ t 0 ds sin(w(t− s))f(s) − 1 mw sin(wt) ∫ t 0 ds ∫ s 0

du sin(wu) sin(w(t− s))f(s)f(u)

اذهل ةئزجتلاب ةلماكملاب موقن (2.62) ةلداعملا نم ثلاثلا فرطلا يف ةددحملا تاحجرأتلا ةمهاسم مييقت لجأ نم :فرطلا S(2) = ∫ t 0 (m 2 ˙ ξ2− m 2w 2_ξ2_{) =} m 2 ˙ ξξ t 0 − m 2 ∫ t 0 dsξ( ¨ξ + w2ξ) = − ∫ t 0 dsm 2ξ( d2 ds2 + w 2_)ξ (2.69) .ξ ل ةيناثلا ةبترلا نم ةمهاسملا لثمي دحلا اذه نأ ىلع'(2)' يولعلا ليلدلا ريشي ثيح :تاحجرأتلا رشن قئاللا نم (2.69) ةظحالمب ξ(s) = ∞ ∑ n=1 anξn(s) (2.70) :ل ةيتاذ لاود ىلإ ( d 2 ds2 + w 2_)ξ n= λnξn (2.71)

قالغنإلا ةقالع ققحت يأ ةمات اهنإف هتاذل نيرق رثؤمل ةيتاذ لاود اهنأ امب ξn نأ ثيح .ξn(t) = ξn(0) = 0 :عم .ةسناجتمو ةدماعتم اهرايتخإ نكميو :ةصاخلا لاودلا دجن (2.71) لحب ξn(s) = √ 2 t sin (_πns t ) (2.72) :ةقفاوملا ةصاخلا ميقلاو λn =−( πn t ) 2 + w2 (2.73) ىلع هتباتك نكمي اذه لثم رشن ,t هلوط لاجم يف ةيدايتعإلا يروف لسالس تسيل (2.70) نأ ىلع ديكأتلا عم :لكشلا ξ(s) = √ 2 t +∞ ∑ n=0 [an(cos ( 2πns t ) − 1) + bnsin ( 2πns t ) ] (2.74) ضوع (2.74) رشنلا رابتعإب ةيلاوملا تاباسحلا ءارجإ نكمي .دودحلا دنع يفتخت تاحجرأتلا نأ ىلع دكؤي يذلاو .(2.71) ققحت يتلا ةيتاذلا لاودلا ةلالدب رشنلا ىلع دامتعإلا لضفي نكـل رشتنملا سفن ىلع لوصحلل (2.70) :دجن لعفلا يف (2.70) رشنلا لاخدإب ,an رشنلا تالماعم ىلع لماكت نآلا حبصي تاحجرأتلا ىلع لماكتلا S(2) =−m 2 ∞ ∑ n=1 λna2n = m 2 ∞ ∑ n=1 ((πn t ) 2_{− w}2_)a2 n (2.75) ةيويند ةميق نوكي نأ ةرورضلاب سيل نكـلو لعفلل ةيدح ةميق طقف وه يكيسالكلا لعفلا ,ةجيتنلا هذه هرهظت امك Tn = nπ_w ةنمزألا دنع ةقفارم طاقن دوجو .(t < _wπ) ةينمزلا تالاجملا لجأ نم ةلاحلا يه هذه نأ مغرلا ىلع لاجملا لجأ نم هنأ حضوي امم an نع لقتسم لعفلا نوكي اهدنع ,λn ةيتاذلا ةميقلا ءافتخإ دكؤت هالعأ ةروكذملا .ةيكيسالكلا ةكرحلا ةلداعمل لولح يه an ةيئاوشعلا تالماعملا عم xcl = anξn تاراسملا لك Tn ينمزلا :لكشلا ذخأي رشتنملا ,(2.72) ةيتاذلا لاودلا ةلالدب تاحجرأتلا رشن دعب K(xf, t, xi, 0)∼ exp ( i ℏScl ) ∫ ( ∞ ∏ n=1 dan) exp ( −i ℏ m 2 ∞ ∑ n=1 λna2n ) (2.76) لقتسم يبوكاجلا ددحملا نأ امب .يروف تالماعم ىلإ راسملا ىلع لماكتلا نم ليوحتلل يبوكاجلا ددحملا ةفرعم بجي يلماعم نيب ةبسنلا دجن ,ةيسوغلا حجرأتلا تالماكت مييقتب .رحلا مسجلا عم ةنراقملا نذإ نكمي ,w زازهلا ددرت نع :بيترتلا ىلع رحلا مسجلاو يقفاوتلا زازهلل K0و Kw نيرشتنملا Kwexp (_−i ℏ Scl,w ) K0exp (_−i ℏ Scl,0 ) = √ D0 D (2.77) :يقفاوتلا زازهلا لجأ نم حجرأتلا تاددحم ثيح D = det( d 2 ds2 + w 2_{) =} ∞ ∏ λn (2.78)

:رحلا مسجلا لجأ نمو D0 = det( d2 ds2) = ∞ ∏ n=1 λ0_n (2.79) :رحلا مسجلا لجأ نم ةصاخلا ميقلا λ0_n =−(πn t ) 2 (2.80) رشتنملا لماعم عم .w = 0 ددرتلا عضوب ةطاسبب يقفاوتلا زازهلل (2.73)ةصاخلا ميقلا لالخ نم اهيلع لصحتلا متي :رحلا مسجلل K0exp ( −i ℏ Scl,0 ) = √ m 2πiℏt (2.81) :حبصي يقفاوتلا زازهلا رشتنم ,(2.77) عم K(xf, t, xi, 0) = √ m 2πiℏt √ D0 D exp ( i ℏScl ) (2.82) ساسأ ىلع طاقسإلا ةطساوب رثؤمل ةفوفصم رصانع ديدحت نكمي هنأ ىلإ ريشن ةيلضافتلا تارثؤملا تاددحم حيضوتل ىلعةيتاذلا ميقلا عم ةيرطق ةفوفصم لثمي يتاذلا هساسأ يف لثمملا رثؤملا .يسايقلا مكـلا كيناكيم نم فورعم وه امك دحب نيددحملا نم لك .ةيتاذلا ميقلا هذه ءادج وه ددحملا ,داعبألا ةيهتنم تافوفصملا لجأ نم وه امك ,نذإ .هرطق :ةقدب ةددحملا امهنيب ةبسنلاب متهن ,لاح ةيأ ىلع .دعابتي هتاذ D D0 = ∞ ∏ n=1 (1− (wt πn) 2_{) =} sin(wt) wt (2.83) :يئاهنلا هلكشب عوفدملا يقفاوتلا زازهلا رشتنم ىلع لصحتن (2.82) يف ةجيتنلا هذه لاخدإب K(xf, t, xi, 0) = √ mw

2πiℏ sin(wt)exp (

i

ℏScl

)

لا لصفلا

ثلاث

:

دبملا ةمظنلأا فصو

ةد

مكلا كيناكيم ةطساوب

3 لصفلا

:مكـلا كيناكيم ةطساوب ةدّدبملا ةمظنألا فصو

:ديهمت 3.1

موهفملا اذه .ةكرحلا ةلداعم يف ةعرسلاب قلعتملا دماختملا ءزجلا لاخدإب ةداع فصوي دّدبتلا يكيسالكلا كيناكيملا يف ةقلعتملا ريغ تانوتليماهلا ةقاط ظفح نوتليماهلا ةغايص وأ ليثمت بلطتي نيأ مكـلا كيناكيم يف حلصيال فصولا وأ .بسانم يئايزيف جذومن ىلإ لوصولل نسحأ ةقيرطب ةلاحلا مهف بلطتي نذإ .نمزلاب اهنأل ةدماختم ةكرحل عضخت ساونلا لوط ,ةيرحلا ةجرد .دّدبتلا ةيلآ مهفل دعاسي نأ نكمي دماختملا ساونلا و ساونلا رابتعإ نكمي .ساونلا ةلتكب ةطيحملا ءاوهلا تائيزج يف لثمتت يتلا ىرخألا ةيرحلا تاجرد عم لعافتٺ ةقاط .ىرخألا ةيرحلا تاجرد نع لوزعم هانربتعإ اذإ ةظوفحم هتقاط نوكت ,دحاو ريبك ماظنك ءاوهلا تائيزج تاجردب لصولا ةجيتن لصاحلا دّدبتلل ةعضاخ ةيرحلا نم ةجردلا هذه نذإ .اهدحول ةظوفحم ريغ مومعلا ىلع ساونلا .ىرخألا ةيرحلا ,صوصخلا هجو ىلع .ةحارص هددبت ةعيبط حيضوتو طيحملاب لوصوم ماظن جذومنب لصفلا اذه يف فيرعتلا متيس .[3] ماظنلا ةيرح ةجرد ىلع زكري يذلا فصولل اهجاتحن يتلا ريداقملاو تايمكلاب كلذك فيرعتلا متيس

:هب لوصوملا طيحملا عم ماظنلا ةلمج نوتليماه 3.2

لصولل ةيليلحتلا ةجلاعملا لبقيو طيحملاو ماظنلا نيب لصولا ةركف جردي نأ بجي ةدّدبملا ةمظنألل بسانملا جذومنلا (Laggett and Caldeira) جذومنب بلغألا ىلع ايلاح ىعدي جذومن دنع عمتجت تابلطتملا هذه .يطيحملا

ةيقفاوتلا ريغو ةيقفاوتلا ةينوتليماهلا ةمظنألا لجأ نم [16-13] ةفلتخم ءامسأب اقباس ىعدُي ناك هنأ مغر[12,11] T ةرارح ةجردب زيمم ريبك يرارح يزازتهإ نازخك ةدّدبملا ةمظنألا هذه يف طيحملا فرصتيو فصوي ثيح ,[17] :(3.1)لكشلا يف حضوم وه امك

.[18] هطيحمب لوصوم ماظنل يطيطخت مسر :3.1 لكش : يلاتلاك تاماهسإ ثالث ىلع يوحي نوتليماهلا نذإ H = HS+ HB+ HSB (3.1) :V نومك يف كرحتي m هتلتك مسج جذمني ماظنلا ةيرح ةجرد نوتليماهHS ثيح HS = p2 2m+ V (q) (3.2) كلمت ال ماظنلا ةيرح ةجرد ,يتأي اميف اهفيرعت متيس يتلا xn طيحملا تايثادحإ نع اهزييمتل q ةيثادحإلل زمُر ثيح شقانيُس يذلا تاباسحلل يساسألا ءزجلا ,ةيقيقحلا يف .اقلطم درجم نوكي نكمي نكـل يقيقح ماظنب قلعت عبطلاب .ماظنلا نوتليماهلل لصفملا لكشلا ىلع دمتعي ال يلي اميف : لكشلا نم ىطعيف طيحملا نوتليماه عبات امأ HB = N ∑ n=1 ( p 2 n 2mn + mn 2 w 2 nx 2 n) (3.3) ,يرهجم جذومن ساسأ ىلع ةراتخم نوكت نأ نكمي طيحملا صئاصخ امنيب ,ةيقفاوت تازازه ةعومجم عباتلا اذه فصي مواقم ركذنس لاثمك .يتأي ام يف ىرنس امك يفاك نوكي يرهاوظلا بولسألا ابلاغ ,ةلكشم نوكي نأ ضرتفي ال اذه ةيحانلا نم .(HB) لكشلا نم نوتليماهب اديج هفصو بجي يطخ يئابره رصنع نع ةرابع وه يذلا يموأ ةعومجم جذومن يف ةنمضتملا كلت نم اديقعت رثكأ نوكت نأ نكمي الثم مواقملا يف دّدبتلل ةحيرصلا ريغ ةيلآلا ىرخألا .ةيقفاوتلا تازازهلا :لكشلا نم فرعي يذلا لصولا نوتليماه عبات نأ نيح يف HSB =−q N ∑ n=1 cnxn+ q2 N ∑ n=1 c2 n 2mnw2n (3.4) يعقاو ةيطخلا يئانث لصولا نوكي نيأ تالاحلا ضعب دجوت ,طيحملاو ماظنلل عضوملا تارثؤم يف ةيطخلا يئانث وه لقحلا طامنأل بطقلا يئانث لصو لجأ نم وأ يموألا مواقملا لثم ةيطخ ةيئابره ةراد نمضتي طيحم الثم .يمكلا تايرصبوره لا ملع يف اهفداصن يتلا يسيطانغموره لا ةفيعض ةياهن يف يطخ لصو لكش ىلإ يطخ ريغ لصول ليوحت لكش ىلع ىرُي نأ نكمي نوتليماهلا اذه امومع تاجرد نم يئاهنال ددع (Laggett and Caldeira) ةطساوب هيلإ ةراشإلا مت امك .طيحملا ةيرح تاجرد لصول

:(يرارحلا يزازتهإلا نازخلا)طيحملا ءاصقإ 3.3

[13] (Magalinski˘ı) ةطساوب راهظإ مت .هدحول ماظنلل لاعف فصو قاقتشإ نآلا ديرن ,جذومنلا صيصخت دعب روصت نمض ءاصقإلاب موقنس .ماظنلا يثادحإل ةدماختم ةكرح ىلإ لعفلاب دوقي طيحملا ةيرح تاجرد ءاصقإ نأ : يلاتلاك ددحي A رثؤم روطت نيأ (Heisenberg) غريبنيزياه dA dt = i h[H, A] (3.5) : طيحملا ةيرح تاجرد لجأ نم ةكرحلا تالداعم ىلع لصحتن H يلكلا نوتليماهلا لالخ نم ˙ pn=−mnw2nxn+ cnq (3.6) ˙ xn= pn mn (3.7) : ماظنلا ةيرح ةجرد لجأ نمو ˙ p =−∂V ∂q + N ∑ n=1 cnxn− q N ∑ n=1 c2 n mnwn2 (3.8) ˙x = p m (3.9) ,(1.ا) قحلملا يف ةحضوم لحلا تاوطخ لك ,نمزلل ةلادك ماظنلا يثادحإ q(t) ربتعن طيحملل ةكرحلل ةلداعملا لحل :لكشلا نم اهلح دجن ثيح xn(t) = xn(o) cos(wnt) + pn(0) mnwn sin(wnt) + cn mn ∫ t 0 sin(wn(t− s))q(s)ds (3.10) :ماظنلا ةكرح ةلداعم يف دجن xn(t)ةرابع لاخدإب ¨ q− ∫ t 0 ds N ∑ n=1 c2 n mnwn sin(wn(t− s))q(s) + ∂V ∂q + q N ∑ n=1 c2 n mnw2n = N ∑ n=1 cn[xn(0) cos(wnt) + pn(0) mnwn sin(wnt)] (3.11) :ةممعملا (Langevin) ةلداعمل يجذومنلا لكشلا دجن ةئزجتلا ةقيرطب ةكرحلا ةلداعم يف دوجوملا لماكتلا ةلماكم دنع m¨q− m ∫ t 0 dsγ(t− s) ˙q(s) + ∂V ∂q = ξ(t) (3.12) :(damping kernal) دماختلا ةاون عم γ(t) = 1 m N ∑ n=1 c2 n mnwn2 cos(wnt) (3.13) :حجرأتلا ةوق رثؤمو ξ(t) = N ∑ n=1 cn[(xn(0)− cn mnw2n q(0)) cos(wnt) + pn(0) mnwn sin(wnt)] (3.14)

:[3] ماظنلا عم لصولا رابتعإب طيحملل ةيرارحلا ةفاثكلا ةفوفصم لالخ نم اهل ةطسوتملا ةميقلا مدعنت حجأتلا ةوق ⟨ξ⟩B+SB = trB[ξ(t) exp(−β(HB+ HSB))] trB[exp(−β(HB+ HSB))] = 0 (3.15) .(2.ا)قحلملا يف حضوم (3.15)ةقالعلا هذه ىلع ناهربلا ةوق ةباتك نكميو لصولا يف ةيناثلا ةبترلا نم وه يذلا يظحللا فرطلا لصف نكمي ,فيعض لصو لجأ نم :[19] ىلع دامتعإلاب يتآلاك حجرأتلا ξ(t) = ζ(t)− mγ(t)q(0) (3.16) ناهربلا)هدحول طيحملل ةيرارحلا ةفاثكلا ةفوفصم لالخ نم ةاطعملا ةطسوتملا اهتميق مدعنت ζ(t)ةفرعملا ةوقلا ثيح :((3.ا)قحلملا يف حضوم ⟨ζ(t)⟩B = trB[ζ(t) exp(−βHB)] trB[exp(−βHB)] = 0 (3.17) لجأ نم اهمييقت اددجم نكمي يتلا (correlation function ) طبرلا ةلاد وه حجرأتلا ةوق صيصختل مهم رادقم .هدحول HB رابتعإب ζ(t)لجأ نم وأ (HB+ HSB) رابتعإبξ(t) :طبرلا ةلاد ىلع لصحتن (3.16) و (3.14) نيتلداعملا لجأ نم ⟨ζ(t)ζ(0)⟩B = ∑ n,l cncl⟨(xn(0) cos(wnt) + pn(0) mnwn sin(wnt))xl(0)⟩B (3.18) :ىطعت يرارحلا نازتإلا دنع ⟨xn(0)xl(0)⟩B = δnl ℏ 2mnwn coth ( ℏβwn 2 ) (3.19) ⟨pn(0)xl(0)⟩B =− iℏ 2δnl (3.20) :يئاهن لكشب نذإ حبصت طبرلا ةلاد نذإ ⟨ζ(t)ζ(0)⟩B = N ∑ n=1 ℏc2 n 2mnwn [coth ( ℏβwn 2 ) cos(wnt)− i sin(wnt)] (3.21) .(4.ا)قحلملا يف ةحضوم طبرلا ةلاد لكش داجيإل باسحلا اذه ليصافت نأ ثيح لكش يف رهظت هالعأ طبرلا ةلاد .امومع نالدابتي ال ζ(t)و ζ(0) تارثؤملا نأ ةجيتن انه رهاظلا يليختلا ءزجلا .اقحال رهظيس امك ةلاعفلا لعفلا ةلاد يف كلذكو ةيساسألا تالداعملا يف (the kernal) لماكتلا ةاون

:طيحملا تازازهل ةيفيطلا ةفاثكلا جاردإ 3.4

يزازتهإلا نازخلل ةيفيطلا ةفاثكلل تارابعب اهنع ريبعتلا نكمي طيحملا فصت يتلا تايمكلا لك نأ هابتنإلل تفاللا نم :[3] هدحول ماظنلاب صاخلا فصولا ىلع دامتعإلاب J (w) = π N ∑ _c2 n 2mnwn δ(w− wn) (3.22)

:ةماعلا ةقالعلا لامعتساب N ∑ n=1 c2 n 2mnwn f (wn) = ∫ dw π J (w)f (w) (3.23) نكمي ةدماختملا ةاونلا لاثمك .[5] ةفاثكلا لماكت ةلالدب لكشلا سفن نم عيماجملا تاذ ريداقملا نع ريبعتلا نكمي :يلاتلاك اهنع ريبعتلا γ(t) = 1 m N ∑ n=1 c2 n mnw2n cos(wnt) = 2 mn ∫ _∞ 0 dw π J (w) dw cos(wt) (3.24) ةفاثكلا ديدحت يفكي لبcnوmn, wnتباوثلا لك صيصخت يرورضلا نم سيل نذإ هنإ ,ةيلمعلا تاباسحلا لجأ نم .J (w)ةيفيطلا :يه الامعتسا رثكألا ةيفيطلا ةفاثكلا J (w) = mγw (3.25) تاددرت دنع ددرتلل بسانت ديدحتل انايحأ لمعتسي حلطصملا اذه ."يموألا دماختلا" ب ىمسي امب قلعتٺ يتلاو وه املثم ديازتت نل ةيقيطلا ةفاثكلا ,ةيعقاو ةلاح يأ يف ,ةقيقحلا يف .ددرتلا لاجم لك نم الدب بسحف ةضفخنم تدمص اذإ ىتح يموأ دماخت حلطصم لامعتسا رربملا نم هنإ .ةيطابتعإلا ةيلاعلا تاددرتلا لجأ نم (3.25)يف .ماظنلا كيمانيد يف رهظت يتلا ةيجذومنلا تاددرتلا نم ريثكب ىلعأ وه ددرتلا اذه ,ددحم ددرت تحت طقف (3.25) :ةركاذلا ةميدع (3.12) لعجت يتلاو يموأ دماخت لجأ نم دماختلا ةاون دجن (3.23)لالخ نم γ(t) = 2γδ(t) (3.26) لماعملا نأ حيضوت ضورفملا نم .ةيكيسالكلا ةدماختملا ةمظنألل ةهباشملا ةيبسانتلا دماختلا ةعرس فرط درتسن نذإ .0 لوح ةرظانتم اتلد ةلاد نأ ىلع لدت (3.24) نأ امب (3.12) يف لماكتلا دنع يفتخي (3.26) يف 2 لكشلا يف رهظت يتلا ةيئابره ةراد ربتعنل ."يموأ دماخت" حلطصم حيضوت راصتخإب ديرن ,ةلحرملا هذه يف ةكرح ةلداعم ىلع لصحتن ,ةورعلا لوح تارتوتلا عمجب .L ةعيشوو ,C ةفثكم ,R ةمواقم يوتحت ,هاندأ(3.2) :ةفثكملا يف Q ةنحشلل L ¨Q + R ˙Q +Q C = 0 (3.27) .[3] R ةمواقم ةجيتن يموأ دماختل عضاخLC زازه :3.2 لكش