Sur le <span class="mathjax-formula">$\mathcal {D}$</span>-module associé au complexe des cycles proches et ses variantes <span class="mathjax-formula">$p$</span>-adiques

Sur le D -module associé au complexe des cycles proches et ses variantes p-adiques.

MICHEL GROS(*)

0. Introduction.

SoientKune extension finie deQ_p, d’anneau des entiers O_K, de corps résiduelketXun schéma propre à réduction semi-stable de fibre spécia- leYet de fibre génériqueX_K. Cet article, qui fait suite à [11], est motivé in finepar la recherche d’une théorie de la spécialisation pour les D^-mo- dules arithmétiques (éventuellement munis d’une structure de frobe- nius) et, préalablement, par la question de l’obtention (via le foncteur

«complexe de De Rham») des structures sous-jacentes D_n ((K₀,W,N)- structures [14] et filtration par le poids [19]) aux groupes de cohomologie de De RhamH_DRⁿ (X_K/K) deX_K(nF0) à partir de structures analogues sur certains D-modules arithmétiques.

Le résultat «local», qui admet un décalque p-adique concernant la situation X/O_K ci-dessus, concerne la filtration par le «poids» sur le DZ- moduleM intervenant, via la correspondance de Riemann-Hilbert, dans la description du complexe (pervers) des cycles prochesRc_fC (cf. [11], 2.1) associée à la situation géométrique ci-dessous. Sous une forme gros- sière, il s’énonce:

(*) soient Zune variété algébrique complexe lisse munie de coordon- nées locales x₁,R,x_n, S»4Spec (C[t] ) et f: ZKS défini par f(t)4 (*) Indirizzo dell’A.: IRMAR, UMR CNRS 6625, Université de Rennes I, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France.

E-mail: michel.grosHuniv-rennes1.fr

Membre du programme TMR de la CEE, réseauArithmetic Algebraic Geo- metry (contract HPRN-CT-2000-00120).

4x₁,R,x_d, (dGn). LeDZ-module cohérentMest muni d’un opérateur nilpotent d’ordre d (la monodromie) N et la filtration de M ^associée ([10], prop. 1.6.1) àN a un gradué qui s’exprime canoniquement comme somme directe de groupes de «cohomologie locale» à supports dans la réunion disjointe des composantes irréductibles de Y»4f²¹( 0 ) ou de leurs intersections itérées successives.

Ce type de dévissage n’est conceptuellement pas «nouveau», au sens où, pour ne citer que [22], 3.6, on peut trouver dans la littérature des énoncés de même nature. Notre but, en reconsidérant ceux-ci sous la for- me qui va suivre, était de rendre les choses plus explicites (description des KerNⁱ, utilisation de présentations des D-modules,...), peut-être, que dansloc. cit.et de convaincre le lecteur qu’une partie d’entre eux re- stent valides dans un cadrep-adique, dans l’esprit de [11]. Ces argumen- ts locaux devraient ultérieurement permettre, à l’aide de techniques sim- pliciales, de définir unD-module arithmétique dont les groupes de coho- mologie de De Rham sont isomorphes auxD_net de retrouver très natu- rellement la suite spectrale des «poids» de [19].

Dans le premier chapitre, après avoir fixé les situations géométri- ques, nous décrivons leDZ-module Mainsi que l’opérateur de monodro- mieNnilpotent dont il est muni. Le second chapitre est consacré à la de- scription, évoquée plus haut, du gradué deMpour la filtration associée à N. Les calculs contenus dans ces deux chapitres sont entièrement expli- cites et «élémentaires» et l’on a essayé, dès qu’on le pouvait, de s’affran- chir (cf. par exemple [16]) de la technique du «graphe». Ils reposent, dans leur esprit, sur des techniques de division (également valides, cf.

[20], dans divers contextes p-adiques). Dans le dernier chapitre, que nous développerons dans un travail ultérieur, nous esquissons l’exten- sion des résultats précédents à une situationp-adique comme celleX/O_K du début: leZde (*) devient alors un schéma lisse surW(les vecteurs de Witt sur k) dans lequel, «localement» pour la topologie étale, X/OK se plonge (technique inaugurée dans [13], [14]).

Remerciements. Des parties de ce texte contiennent, avec d’éven- tuelles erreurs dont je suis seul responsable, des éléments d’un projet de travail en collaboration avec Luis Narvaez-Macarro. Ses indications et ses commentaires lors de nos discussions ont été essentiels pour moi:

qu’il en soit très sincèrement remercié. Je tiens également à remercier Delphine Boucher pour ses réponses à mes questions sur les bases de Groebner.

1. Un D-module explicite.

1.1. Les situations géométriques

On s’intéressera aux deux situations suivantes:

(I) la donnée d’un morphisme de schémasZKSpec (O_K[t] ) se factori- sant par un morphisme étale h:ZKAⁿ»4Spec (OK[x1,R,xn] ) avec tKx₁Rx_d (dGn). Pour pune uniformisante choisie de O_K, la fibre au- dessus det4pde cette situation conduit à un schémaXKSpec (O_K) se- mi-stable comme dans l’introduction (mais sans hypothèse de propreté).

(II) la donnée d’un morphisme de schémas ZKS»4Spec (C[t] ) se factorisant par un morphisme étale h: ZKAⁿ»4Spec (C[x₁,R,x_n] ) avec tKx₁Rx_d (dGn).

Ces situations apparaissent respectivement dans [14] et [23]. Les ré- sultats que nous avons en vue se ramènent par des images inverses con- venables aux cas Z4Aⁿ et d4n auxquels nous nous limitons dans la suite.

1.2. Rappels et définitions.

Soient U une variété analytique, U₀%U une hypersurface lisse d’é- quationf40 et8un DU-module holonome. Rappelons que, d’après Ka- shiwara, on sait associer canoniquement à cette situation une filtration de 8 appeléeV-filtration (de 8) relativement àU0. Sa définition utilise de manière essentielle l’existence (¹) pour toute section locale n8d’un polynôme à racines réelles, dit de Bernstein-Sato, (lequel intervient dans les équations fonctionnelles du même nom) den; on a alors simple- ment V_a8»4 ]n8N les racines du polynôme de Bernstein-Sato de n sont F 2a21(. L’un des intérêts de ces considérations vient du fait que le complexe de de Rham de521GaE0gr_a^V8intervient dans la théo- rie des cycles évanescents, ce que nous allons maintenant préciser dans un cas particulier en nous plaçant dans la situation (II) et en passant aux variétés analytiques associées (que nous noterons de la même manière).

Posons f»4x1Rxd et considérons U»4Z3( Spec (C[t] ) )^an, U0»4Z défini par l’équationt40 ,if: GfKUl’immersion fermée du grapheGfde het8»4i_f1O_Gf4H¹_Gf(O_U)4O_U

k

t2¹f

l ^O

^OU(muni de sa structure natu-

(¹) Cette théorie fait pour l’instant défaut dans le cadrep-adique.

relle deDU-module holonome). La classed(t2f) de ¹

t2f dans8engen- dre8et l’on connait (cf. plus bas (37)) son polynôme de Bernstein-Sato.

Dans cette situation très favorable, le fait général que 521GaE0gr_a^V8 soit à support dansU0permet de le considérer comme unDZ-module que nous noteronsMZ(ou M si aucune confusion n’en résulte) dont on peut donner une présentation. Dans [11] (le point clef est le lemme 2.3.3), on a montré en effet que

MZ4 DZ

DZ. (f,d₁,R,d_d21) (1)

avecf»4x₁,Rx_d, di»4x₁¯₁2x_i11¯_i114¯₁x₁2¯_i11x_i11pour 1GiG Gd21 .

Le lien avec la théorie des cycles évanescents est alors le suivant:

soientSA* le revêtement universel deS*»4S^an2 ]0(etZA*»4Z3S*SA* , on a un isomorphisme entre (cf. [17], thm. 3.4) le complexe des cycles prochesRc_f(C)»4i*Rj

*C_Z^A_*(aveci: Y»4f²¹( 0 )^%KZetj:ZA*KZles morphismes canoniques) et DR(MZ[ 1 ] ).

Ce DZ-module (et ses autres incarnations) a été considéré indépen- damment dans [16] pour les mêmes raisons. Il est muni d’un opérateur de «monodromie»Nqui apparait lorsque l’on veut interprèter, au niveau de MZ, le logarithme de l’action induite sur Rc_f(C) par le générateur positif dep1(S* ) (cf. [23]). Si l’on considère la définition qui précède,N se décrit comme la multiplication à droite (rappelons quesest une varia- ble commutant avec tous les éléments de DZ) par s11 .

Ainsi, si Pf^s désigne la classe de Pf^sDZ[s] f^s dans M^{, on a:}

N(Pf^s)4(s11 )Pf^s4P(s11 )f^s (2)

et, si l’on cherche à exprimer (s11 ) f^s en fonction de f^s, on voit immé- diatement que tout opérateur différentiel E laissant f invariant (ie.

E(f)4f) va vérifier (E11 )(f^s)4(s11 ) f^s et donc que l’on aura N(Pf^s)4P(s11 ) f^s4P. (E11 ) f^s.

(3)

Autrement dit, surMréinterprété comme ^DZ

DZ. (f,d₁,R,d_d21) , l’opé- rateurNapparait comme la multiplication à droite parE11 avecE«Eu- ler-homogène» (ie.E(f)4f) quelconque. Il est utile de ne pas fixerE(et de choisir par exempleE4x_i¯_ipour diversi) comme dans la démonstra- tion du

LEMME 1.1.1. On a N^d40 dans M^.

DÉMONSTRATION. En effet, utilisant successivement N4 4.¯₁x₁,R,N4.¯_dx_d, on obtient queN^dest la multiplication à droite par

¯₁x₁R¯_dx_d4¯₁R¯_dx₁Rx_d4¯₁R¯_df, élément qui appartient à DZ. (f,d1,R,dd). D’où le résultat.

1.3. La suite exacte fondamentale.

Cette explicitation de N permet d’obtenir une incarnation, au niveau des DZ-modules et via la correspondance de Riemann-Hilbert (foncteur

«complexe des solutions»), du triangle distingué canonique intervenant dans la théorie des cycles évanescents

Li²¹(C_Y)KRc_f(C)KRf_f(C)K

[11 ]

(4)

(avec Rf_f(C) défini comme cône du morphisme canonique d’adjonction Li²¹(CY)KRcf(C)).

Il suffit, en effet, de considérer la suite exacte évidente construite à partir de N:M_KM

0K M

KerN K^N M_K^CokerN_K⁰ (5)

et la description explicite de N ci-dessus donne immédiatement la PROPOSITION 1.3.1. On a un isomorphisme canonique

Coker (N:M_KM⁾_CDZ/DZ. (f,¯₁x₁,R,¯_dx_d).

(6)

On reconnait, dans le second membre, la présentation standard du premier groupe de cohomologie locale HY1(OZ) de OZ à support dans Y (qui par la correspondance de Riemann-Hilbert «correspond» à Li²¹(C)).

REMARQUE 1.3.2. Mentionnons dès maintenant que la description de KerN donnée ci-dessous nous permettra de voir que l’on a un isomorphisme

M

KerN C DZ

i41 ,

!

R,dDZ. (x₁Rx×

iRx_d,d1,R,dd21) (7)

ce qui finit d’expliciter complètement la suite exacte de DZ-modules dont découle le triangle ci-dessus.

2. Filtration par la monodromie.

2.1. Rappels.

L’opérateur N, étant nilpotent surM, induit canoniquement une fil- tration croissante FiliM (dite filtration par la monodromie ou par le poids) caractérisée ([10], prop. 1.6.1 ) par les deux propriétés suivan- tes:

(i) N( Fil_iM^)%Fili22M

(ii) N^j induit un isomorphisme N^j:GrjMKGr₂jM ^{pour tout} jF0 .

(avec Gr_jM^»₄^FiljM^/Filj21M⁾

La construction de Fil_iM est fonctorielle en un sens évident et on peut la décrire explicitement ([24], (3)) par:

Fil_iM₄

!

lF0 ,2i

N^l( KerN^2l1i11) (8)

ou encore (loc. cit.) comme convolution de la filtration par les noyaux et les images des puissances deN. On définit surM deux filtrations: l’une croissante K_lM₄^{KerNl11 si l}_F0 et 0 sinon et l’autre décroissante I^jM₄^{ImNj si j}_D^{0 et} M sinon. On a alors

Fil_iM₄

!

l2j4i

KlMOI^jM^. (9)

SurGr_l^KM^»₄^KlM^/Kl21M, on dispose aussi d’une filtration par les images deNdéfinie parI^jGr_l^KM^»₄^{Im (Ij}MOK_lM_K^KlM^/Kl21M^{) et} le gradué Gr_iM s’interprète comme suit (cf. (A.1) [25]):

LEMME 2.1.1. Le morphisme canonique5l2j4iK_lMOI^jM_K^FiliM induit un isomorphisme

(10) 5l2j4iGr_I^jGr_l^KM₄

45l2j4i

Im (N^j: Gr_l^K_1jM_K^GrlK

M⁾ Im (N^j11: GrlK1j11

M_KGrlK

M^{) K} Gr_iM^.

2.2. Description du gradué.

Pour jD0 , on notera Y^(j) la réunion disjointe de j intersections des composantes irréductibles de Y (défini dans Z par f40). Ainsi, Y^{( 1 )}4 4

I

₂

I

¹GlGdY_l est la réunion disjointe des composantes irréductibles (Y_l)_1GlGd de Y, Y^{( 2 )}»4

I

₂

I

lEl8Y_lOY_l8,R

Les groupes de cohomologie locale Hⁿ_Y^(j)(O_Z) de O_Z à support dans Y^(j)(qui sont nuls sauf pourn4j, la codimension deY^(j)dansZ) sont de manière naturelle des DZ-modules cohérents.

Considérons maintenant le DZ-moduleH^jY^(j)(OZ) suivant: pour jD0 , on note Y_i1OROY_ij l’intersection de j des composantes lisses de Y et l’on pose

H^jY_i1OROY_ij(O_Z)»4DZ/DZ. (x_i1,R,x_ij,¯₁,R,¯×_i1,R,¯×_ij,R,¯_d) (11)

(la notation ¯×_ij signifie que l’on exclut ¯_ij du d-uplet (¯₁,R,¯_d)), puis

H^jY^(j)(O_Z)»45i₁EREi_jH^jY_i1OROY_ij(O_Z) . (12)

Il est bien connu que l’application H^jYi1OROY_ij(O_Z)KH^j_Yi

1OROY_ij(O_Z) (13)

induite (par passage au quotient) par l’application PDZKP. 1

xi₁Rxi_j

H^j_Yi1OROY_ij(O_Z) (14)

est un isomorphisme (laquelle induit un isomorphisme H^jY^(j)(O_Z)K KH^jY^(j)(OZ)).

Ces distinctions typographiques (entre H^jYi1OROY_ij(O_Z) et H^j_Yi1OROY_ij(O_Z),R) seront pratiques ultérieurement.

Nous allons, une fois décrit explicitement la filtration par les noyaux de N, donner un sens à l’énoncé suivant qui précise (*).

THÉORÈME 2.2.1. Pour tous jF0 ,lF0 , il existe un isomorphisme naturel de DZ-modules

H^l_Y^{1(l1j11 )j11} (O_Z)KGr_I^jGr_l^KM. (15)

REMARQUE 2.2.2. Après sommation sur les indices convenables, ap- plication du foncteur «complexe De Rham» et de l’isomorphisme de

Gysin, on déduit aisément de ce théorème la description dugr_i(AQ

C) de [23], (4.18).

La démonstration du théorème repose de manière essentielle, comme suggéré par le lemme 2.1.1, sur la détermination des noyaux des itérés N^j de N sur M pour laquelle nous aurons besoin de quelques nota- tions.

On considèrera des multi-indicesi»4(i₁,R,i_d) aveci_j]0 , 1(pour toutj. La longueur deiest définie parl(i)»4i11R1id. On posexⁱ»4 4x1i1Rx_d^id. Soient doncI»4(f,d1,R,dd21) etIjest l’idéal deOZengen- dré par tous les xⁱ avec l(i)4d2j.

PROPOSITION 2.2.3. Le morphisme canonique I1DI_j

I KKerN^j (16)

est un isomorphisme pour tout jF0 .

EXEMPLE. Si d44 , on a un isomorphisme

D. (x₁x₂,x₁x₃,x₁x₄,x₂x₃,x₂x₄,x₃x₄,d₁,d₂,d₃)

D. (x1x2x3x4,d1,d2,d3) CKerN². (17)

Le fait que le morphisme canonique aboutisse dans KerN^jest immé- diat (même type de calcul que dans le lemme 1.1.1) et c’est la surjectivité qui est plus délicate. On va se ramener (par passage au gradué pour la filtration par l’ordre des opérateurs différentiels) à un énoncé de nature commutative pour lequel quelques notations supplémentaires sont nécessaires.

Considérons donc gr(D^)»4C[x₁,R,x_n; j₁,R,j_n], notons j_i4 4s(¯_i) le symbole dansgr(D^{) de¯}iet identifions le symbole d’un élément de O_Z avec lui même: s(x_i)4x_i.

PROPOSITION 2.2.4. Les éléments f,s(d₁),R,s(d_n21) forment une suite régulière dans le gradué gr(DZ) de DZ.

DÉMONSTRATION. cf. [7] où ce résultat est prouvé plus généralement pour n’importe quel diviseur libre localement quasi-homogène.

COROLLAIRE 2.2.5. L’idéal gradués(I) deIest l’idéal degr(DZ) en- gendré par f,s(d₁),R,s(d_d21).

DÉMONSTRATION. cf. prop. 4.1.2 de [6].

Posons IA

0»4s(I) et, pour j[ 1 , d21 ], IA

j»4IA

01

!

iNl(i)4d2j

gr(DZ).xⁱ (18)

PROPOSITION 2.2.6. Soit j[ 0 , d21 ]. Les deux propriétés suivan- tes sont équivalentes:

(i) PIA

j

(ii) P. (x₁j1)^jIA

0.

Admettons un instant cette proposition 2.2.6 et voyons comment elle implique la proposition 2.2.3. Soit PDZ dont la classe dans M ^ap- partienne à KerN^j, c’est-à-dire, P(x₁¯₁11 )^jI. En considérant les symboles principaux, on trouve s(P)(x₁j1)^js(I) et par la proposition précédente, s(P)s(I)1gr(DZ)Ij. On peut donc trouver F,G1,R,Gn21,H_agr(DZ) tels que s(P)4Ff1

!

i

Gis(di)1 1

!

_a ^Hax^a (ici on a utilisé ce qu’on sait sur s(I), i.e. s(I)4 4gr(DZ)(s(d₁),R,s(d_d21) )).

De plus, par homogénéité, les degrés de F et desH_acoïncident avec deg (s(P) ) et les degrés desG_jsont tous égaux à deg (s(P) )21 . Nous al- lons remonter l’expression précédente àDZ. Prenons des opérateurs dif- férentielsQ,R_j,S_ade degrés convenables tels que ses symboles sont les F,G_j,H_a respectivement. Alors, la classe dans M de l’opérateur P8 4 4P2(Qf1

!

i

R_idi1

!

_a ^Saxa) est toujours dans KerN^jmais deg (P8)E Edeg (P), et on peut raisonner par récurrence sur deg (P), en commençant par le cas trivial deg (P)4 21 , i.e. P40 .

Pour démontrer la proposition 2.2.6, on va utiliser un procédé de divi- sion et il est donc utile de fixer un «ordre» sur les monômes degr(D_Z) (cf. [9], chap. 2, 2.) : on décide quex₁EREx_nEj1REjn. L’outil es- sentiel est donné par la description suivante de bases de Groebner pour les idéaux IA

j que nous séparerons, pour la commodité d’énonciation en trois lemmes, suivant les valeurs de l(i).

LEMME 2.2.7. (cas l(i)40). La réunion des ensembles:

l ]f,s(d₁),R,s(d_d21)( l ]x₁^dj1d21

(

l ]x₁^d21jd122x_i tels que i]2 ,R,d((

l ]x₁^d22jd123x_i1x_i2 tels que i₂Di₁ et i_j]2 ,R,d((

...

l ]x₁²j1x_i1Rx_id22 tels que i_d22DRDi₁ et i_j]2 ,R,d((

forme un ensembleG_I^A₀qui est une base de Groebner ([9], chap. 2, 5. def.

5) de l’idéal IA

0.

LEMME 2.2.8. (cas l(i)41) L’ensemble (x1,R,xd) est une base de Groebner G_I^A₁ de l’idéal IA

1.

LEMME 2.2.9. (cas l(i)[ 2 ,d21 ]) Soient mF2 et Sm l’ensemble de tous les multi-indicesicomme ci-dessus de longueurl(i)4m. La réu- nion des ensembles:

l ]xⁱ,s(d₁),R,s(d_d21) tels que iS_m( l ]x₁^l(i)jl(i)1 21

(

l ]x1l(i)21j1l(i)22xi tels que i]2 ,R,d((

l ]x1l(i)22j1l(i)23x_i1x_i2 tels que i2Di1 et i_j]2 ,R,d((

....

l ]x₁²j₁x_i1Rx_il(i)

22 tels que i_l(i)22DRDi₁ et i_j]2 ,R,d((

forme un ensembleG_I^A_mqui est une base de Groebner ([9], chap. 2, 5. def.

5) de l’idéal IA

m.

DÉMONSTRATION. Elle est, bien sûr, identique dans son principe pour les trois lemmes. Tout d’abord, il est clair que les éléments cités forment des bases des idéaux concernés. Pour voir qu’il s’agit bien de ba- ses de Groebner, d’après le critère de Buchberger (cf. [9], chap. 2, 6., thm. 6), il suffit de vérifier, pour chacune d’entre elles, que leS-polynô- me de deux éléments différents quelconque de la base choisie est divisi- ble par un élément de cette base, ce qui résulte de vérifications faciles laissées au lecteur.

Venons-en à la démonstration de la proposition 2.2.6. On écrit la divi- sion ([9], chap. 2, 6. prop. 1) de PIA

j dans la base de Groebner G_I^A_j: P4

!

Q_iG_Ij

P_i.Q_i1R (19)

avec aucun des monômes non nuls dont R est somme divisible par les coefficients dominants ([9], chap. 2, 2. def. 7) des éléments de

G_I^A_j. Nous appelerons R la forme normale ([9], chap. 2, 6.) de P relativement à l’idéal IA

j.

Si maintenant on multiplie l’égalité ci-dessus par (x1j1)^j, on constate tout d’abord, vu la forme des bases de Groebner ci-dessus, que la somme (

!

Q_iG_Ij

P_i.Q_i). (x₁j₁)^jse réécrit exactement comme (

!

Qi8G_I0

Pⁱ8.Qⁱ8).

D’autre part, du fait qu’aucun des monômes non nuls dontRest som- me n’est divisible par les coefficients dominants ([9], chap. 2, 2. def. 7) des éléments deGIA

j, on en déduit qu’aucun des monômes non nuls dont R. (x1j1)^jest somme ne peut être divisible par les coefficients dominants ([9], chap. 2, 2. def. 7) des éléments deG_I^A₀, si bien queR. (x₁j₁)^jest le re- ste de la divsion de P. (x₁j1)^j par les éléments de G_I^A₀.

En conclusion, la forme normale de P. (x₁j1)^j relativement à IA

0 est R. (x₁j1)^j. Comme la nullité des formes normales d’un élément relative- ment à un idéal est équivalente ([9], chap. 2, 6. coroll. 2) à l’appartenance à cet idéal, on a bien l’équivalence annoncée dans la proposition.

Mentionnons sur un exemple à quels éléments on aboutit avec toutes ces conditions sur les indices.

EXEMPLE. Soit d44. On a:

l G_I^A₀4

4 ]x₁x₂x₃x₄,s(d₁),s(d₂),s(d₃),x₁⁴j13,x₁³j12x₂,x₁³j21x₃,x₁³j21x₄, x₁²j1x₂x₃,x₁²j1x₂x₄,x₁²j1x₃x₄( l GIA

34 ]x1x2x3,x1x2x4,x1x3x4,x2x3x4,s(d₁),s(d₂),s(d₃),x13

j12, x12j1x2,x12j1x3,x12j1x4(. Nous pouvons enfin décrire comment est construit le morphisme na- turel dont il est question dans le théorème 2.2.1: on prend P dans H^lY¹i1^jO¹R¹OY_il1j11(O_Z)»4

»4DZ/DZ. (x_i1,R,x_il1j11,¯₁,R,¯×_i1,R,¯

×

_il1j11,R,¯

d) que l’on représente par PDZ et on lui associe la classe de

P.x1.R.x×i₁.R.x

×

_il1j11.s^._{.xd. (¯1x1)}^j _{dans GrI}^j_Grl^K_M

(20)

Tout d’abord, on a bien P.x₁.R.x×_i1.R.x

×

_il1j11.xi

l1j12

×

_.R.x_d. (¯₁x₁)^j I^jMOK_lM ^car:

l multiplier à droite par (¯₁x₁)^jfait clairement arriver dans ImN^j4 4I^jM

l d’autre part, quitte à multiplier (on est dans M^{!) par}

(¯_m1x_m1)R(¯_mjx_mj) au lieu de (¯₁x₁)^javec (m₁,R,m_j) choisis parmi (i₁,R,il1j11), on peut faire apparaitre d2(l1j11 )1(j)4d2l21 variables différentes x_m dans le facteur x1.R.x×_i1.R.x

×

_il1j11.R.x_d. . (¯₁x₁)^jdu produit P.x₁.R.x×_i1.R.x_il

1j11

×.R.x_d. (¯₁x₁)^j, on est donc en présence d’un élément du noyau de la puissanced2(d2l21)4l11 de N, ie. dans K_lM^.

Le même type de considération montre également que si l’on part d’un élément dans DZ. (xi₁,R,x_il1j11,¯₁,R,¯×_i1,R,¯

×

_il1j11,R,¯

d), on trouve bien 0 dans Gr_l1jM^.

L’application

H^lY^{1(l1j1j111 )}(O_Z)KGr_I^jGr_l^KM (21)

est donc bien définie.

La démonstration du théorème 2.2.1 ne repose plus maintenant que sur l’examen du nombre de variables x_i et/ou ¯_m dont on a besoin dans certaines écritures. En effet, par définition de GrI^jGrlK

M et grâce aux descriptions explicites ci-dessus, on remarque que tout élément de ce dernier admet un représentant dans DZ ayant les deux propriétés sui- vantes: dans chacun des monomes dont ce représentant est somme, il y a exactement d2l21 variables x_a différentes (vu la description des KerN^j) et aussi un produit dejexpressions du type (¯_bxb) (vu la descrip- tion de N).

La surjectivité de l’application ci-dessus en découle aussitôt.

Pour l’injectivité, on part de

(22) (P_i1,R,il1j11)_{(i1,R,il1j11)}H^l1j11_Y^(l1j11)(OZ)»45i1EREil1j11H^l1j11_Yi

1OROY_il1j11(O_Z) et l’on représente chaqueP_i1,R,i_l1j11par un P_i1,R,i_l1j11dans DZ tel que aucun des monômes non nul dont il est somme n’appartienne à l’idéal

DZ. (x_i1,R,x_il

1j11,¯₁,R,¯×_i1,R,¯_il

1j11

×

_,R,¯

d).

Si l’on traduit que l’image de (P_i1,R,i_l1j11)_(i1,R,i_l1j11) dans Gr_I^jGr_l^KM

est nulle, c’est dire appartient à

Im

g

^{Nj11: Ker}Ker^NN^l1j11l1j K KerN^l KerN^l21

h

au niveau des représentants, on obtient qu’une certaine somme

(23)

!

i1EREil1j11

P_i1,R,il1j11.x₁.R.x×_i1.R.x

×

_il1j11.R.x_d.((¯_m1x_m1)R(¯_mjx_mj)) avec un choix libre des (m₁,R,m_j) devrait, (compte tenu de la descrip- tion de KerN^l), modulo DZ. (f,d1,R,dd21), être somme de monômes non nuls ou apparaitj11 fois des¯bxbetd2lfois desxa, ce qui est con- tradictoire avec la forme des monômes non nuls dont les P_i que nous avons choisis sont sommes.

REMARQUE 2.2.10. Le théorème 2.2.1 fournit un moyen d’obtenir la description attendue (et conforme à celle desRc_fC) de la cohomologie de De Rham deM. La cohomologie du complexe des solutions est décri- te, quand à elle, dans une situation plus générale, dans [16], 5.3.

3. Variantes p-adiques.

3.1. Cohomologie locale p-adique.

On se place dans la situation géométrique (I) et l’on noteraZ×(resp.

Z^†) le schéma formel (resp. faiblement formel) associé par complétion (resp. complétion faible) le long de la fibre spéciale. On dispose, comme déjà utilisée dans [11], 2.2 de l’anneauD^†Z^†Qde [18] et de son sous-anne- au des opérateurs différentiels d’ordre finiDZ^†Q. Les résultats du chapi- tre précédent devraient (en référant aux théorèmes de division de [20], 3 puis en utilisant certaines propriétés de l’extension des scalairesDZ^†QK KD^†Z^†Q) s’étendremutatis mutandislorsque l’on remplaceDZparD^†Z^†Q. Des références accessibles faisant pour l’instant défaut, nous utiliserons l’anneau D^†_Z^×_Q introduit dans [1] (cf. également [5]) et considérerons les

M^†_Z^×_Q^»₄ D^†Z×Q

D^†_Z^×_Q. (f,d₁,R,d_d21) (24)

munis du même opérateur N que ci-dessus.

REMARQUE 3.1.1. Idéalement, pour avoir des références complètes mais rester néanmmoins dans un cadre analogue (grâce à [12], thm.

4.5.2) à [11], 2.2, (ie. avecD^†Z^†Q) il faudrait remplacer leDZdes chapitres précédents parD^†Z

m

Q(^†Z×^Q) ou parD^†_Z^m_Q(avecZ»4Pⁿ_OK,Z^Q»4Z2Z) puis utiliser la flèche d’extension plate ([4], 4.3.11) D^†_Z^m_QKD^†Z

m

Q(^†Z×^Q )) afin d’avoir des dévissages de D^†_Z^m_Q(^†Z×^Q

)-modules ou de D^†Z

m

Q-modules. Ce que l’on fait ci-dessus revient à étudier ce qui se passe surZ (au lieu de Z), ce qui ici suffit pour la compréhension du dévissage.

Avant d’énoncer un résultat général, montrons comment des argu- ments simples de division, comme dans [11], permettent de traiter le cas d42. Comme N²40 , la filtration par le poids se réduit à 0%ImN%

%KerN%M^†_Z^×_Q et l’on a la

PROPOSITION 3.1.2. On a un isomorphisme canonique de suites exactes

0K KerN ImN

I

0KH^†1Y1(O_Z^×_K)5H^†1Y2(O_Z^×_K) K

K

M^†Z×Q

ImN

I

H^†1Y (O_Z^×_K) K

K

M^†_Z^×_Q KerN K0

I

H^†2Y1OY2(O_Z^×_K)K0 (les groupes de cohomologie figurant dans la suite exacte inférieure sont ceux de [1]).

DÉMONSTRATION. La suite exacte du bas est simplement la suite exacte (type Mayer-Vietoris) longue à support associée au recouvrement de Y fourni par ses composantes irréductibles Y₁4V(x₁) et Y₂4V(x₂).

On sait, d’autre part, que l’on a des isomorphismes (cf. [1], 4.2.3, 4.3.3, 4.3.4)

D^†_Z^×_Q/D^†Z×Q. (x₁,¯₂)KH^†1Y₁(O_Z^×_K) ; PKP. 1

x₁( idem pour Y₂) (25)

D^†_Z^×_Q/D^†Z×Q. (x₁,x₂)KH^†2Y₁OY2(O_Z^×_K) ; PKP. 1 x₁x₂ (26)

D^†_Z^×_Q/D^†Z×Q. (f,¯₁x₁,¯₂x₂)KH^†1Y(O_Z^×_K) ; PKP. 1 x₁x₂ (27)

De ce dernier isomorphisme, on déduit immédiatement, vu la description deN, que la flèche verticale du milieu est un isomorphisme (c’est la va- riante p-adique trivialement vraie de la proposition 2.2.1).

On remarque maintenant que l’on a un isomorphisme KerNC D^†_Z^×_Q. (x2,x2)

D^†Z×Q. (f,d1) . (28)

En effet, ^D

†

Z×Q. (x₂,x₂)

D^†Z×Q. (f,d₁) est un sous-module de M^†_Z^×_Q clairement contenu dans KerN. D’autre part, un élément de M^†Z×Q admettant un représen- tant de la formeP4

!

^{ai,j¯1i¯2jc0 avec lesai,jK}ne peut appartenir à KerN, car alors on aurait une relation

P.¯₁x₁4R.x₁x₂1S.d₁, (29)

qui, réduite modulo l’idéal D^†Z×Q.x₁ implique facilement que l’on doit avoir S4S8.x1; d’où par conséquent une relation de la forme P.¯₁4 4R.x21S8. (x1¯₁2¯₂x2), laquelle réduite modulo l’idéalD^†Z×Q.¯₁impli- que que l’on doit avoir une relation de la formeR2S8.¯₂4S" . ¯₁. Une fois reporté dans l’équation précédente, on obtient: P.¯₁4S" . x2¯₁1 1S8.x1¯1; soit finalementPD^†Z×Q. (x₁,x₂), ce que l’on vérifie immédiate- ment être contradictoire avec l’écriture de Pc0.

Par suite, on a des isomorphismes M^†_Z^×_Q

KerN C D^†Z×Q. (f,d1)

D^†_Z^×_Q. (f,d₁,x₁,x₂) C D^†_Z^×_Q D^†_Z^×_Q. (x₁,x₂) (30)

La compatibilité des morphismes intervenant ci-dessus est facile et laissée au lecteur et la proposition en découle immédiatement.

Pour traiter le casdquelconque, rappelons que l’on dispose de divers anneaux d’opérateurs différentiels D^(m)Z_i (avec mF0 et iF1 variables) reliés par certains morphismes de transitions pour la définition desquels on renvoie à [5] et [4]. A partir de ceux-ci, on peut former des variantes évidentes M^(m)Z_i du module M^†_Z^×_Qci-dessus, lesquelles sont toutes munies d’un opérateur nilpotent N comme ci-dessus. On dispose également en remplaçantDZpar D^(m)Z_i et par D^†_Z^×_Qde variantesH^{j, (m)}Y^(j) (O_Zi),H^jY^(j)(O_Z) desH^†jY^(j)(O_Z^×_K). Le corollaire 4.3.4 de [1] implique qu’il n’y a pas de confu- sion possible dans le choix des notations: le dernier D^†_Z^×_Q-module qu’on vient de considérer est un bien un groupe de cohomologie à support au sens de loc. cit..

THÉORÈME 3.1.3. Pour tousjG0 ,lF 21 tels quel2jF0 , il existe un isomorphisme naturel de D^†_Z^×_Q-modules

H^†l2j11Y^{(l2j11 )}(O_Z)KGr_I^jGr_l^KM^†_Z^×_Q. (31)

DÉMONSTRATION (ESQUISSE). On commence comme auparavant par prouver l’analogue de la proposition 2.2.4 sur les KerNⁱet l’on se ramè- ne pour ce faire, en utilisant le fait que l’extension des scalairesD^{( 0 )}_Z^×_QK KD^†_Z^×_Qest plate (cf. corollaire 3.5.4 de [4]), à la proposition analogue avec D^{( 0 )}Z×Qà la place deD^†_Z^×_Qpuis à l’assertion analogue avant de tensoriser par Q, ie. avec les pro-objets correspondant à substituer dans les définitions D^{( 0 )}Z. à la place de D^{( 0 )}_Z^×_Q. Comme ces pro-objets sont sans p-torsion, on se ramène à la situation modulop(ie. avecD^{( 0 )}Z1 dans la définition des objets considérés) pour laquelle les arguments du chapitre précédent s’appli- quent. Une fois obtenue la structure des KerNⁱ, le théorème en découle.

On dispose également, par les mêmes arguments, de l’analogue de la suite exacte (5) et de la description (6). On a donc ici un isomorphisme canonique

Coker (N:M_KM⁾_CD^†_Z^×_Q/D^†Z×Q. (f,¯₁x₁,R,¯_dx_d) . (32)

dans lequel on reconnait (cf. [1], corollaire 4.3.3) au second membre la présentation standard de HY†1(O_Z^×_K). Appliquant alors successivement le foncteur de De RhamDR(2)»4RHom_D^†_Z×Q(O_Z^×_Q,2), et en utilisant l’iso- morphisme de Gysin ([3], 3.8) sur les groupes de cohomologie associés, on voit apparaitre les groupesH_rig*(Y/K), ce qui indique la nature du lien (dualité) entre le point de vue présenté ici et les suites apparaissant dans [8], introd. .

On peut d’ailleurs, plus généralement et par le même type de consi- dérations déduire du théorème des dévissages intimement liés à ceux de [19] ainsi que le calcul de la cohomologie de De Rham de M^†Z×Q. 3.2. Monodromie et frobenius.

Supposons maintenant que OK4W(k) et considéronsZ comme sché- ma au-dessus de Spec (OK[t] ) avectKx1Rxdet soitFle relèvement de frobenius standard ie. (F(x_i)4x_i^p, F(t)4t^p). Le D^†Z×Q-module M^†_Z^×_Q de- vrait être un exemple deF2D^†_Z^×_Q-module holonome au sens de [5] 5.3.5.

C’est, bien sur, clair pour son gradué (pour la filtration associée à N)