En effet, soitaun diviseur de 3612 (c’est le cas de et 1806, dont je d´esignerai l’ensemble par A)

Enonc´e n^oA518 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Exercice n^o1

1836 : Monarchie de Juillet 1887 : IIIe R´epublique 1954 : IVe R´epublique 2005 : Ve R´epublique

Pour tousa, b, n entiers>0,aⁿ−bⁿest multiple de a−b.

J’observe que 2006 = 2·17·59,

que 17 divise 2005−1954 et 1887−1836, que 2·59 divise 2005−1887 et 1954−1836.

Ainsi, pour toutnentier,

17 divise 2005ⁿ−1954ⁿ et 1887ⁿ−1836ⁿ, 2·59 divise 2005ⁿ−1887ⁿ et 1954ⁿ−1836ⁿ,

et En = 2005ⁿ−1887ⁿ−1954ⁿ+ 1836ⁿ, multiple de 17 et 2·59 qui sont premiers entre eux, est multiple de leur produit 2006.

Exercice n^o2

1806 est l’ann´ee des batailles d’I´ena et Auerstaedt (Napol´eon commandait

`

a I´ena, Davout `a Auerstaedt).

Pour qu’un entierN soit premier avec tous lesu_n, il faut et il suffit qu’il en soit ainsi de tous ses facteurs premiers. Ainsi les entiers cherch´es sont ceux n’ayant comme facteurs premiers que les nombres d’une certaine famille, qu’il s’agit de d´eterminer.

J’observe que 1806 = 2·3·7·43 et que 1

3+1 4 +1

6 +1 7+ 1

12+ 1 43+ 1

1806 −1 = 0, somme que je noterai aussiu−1.

Soitpun nombre premier autre que 2, 3, 7 et 43. Je vais montrer qu’il divise up−2.

En effet, soitaun diviseur de 3612 (c’est le cas de 3, 4, 6, 7, 12, 43 et 1806, dont je d´esignerai l’ensemble par A). Le nombre

3612(a^p−2−1/a)/p= (3612/a)(a^p−1−1)/p

est un entiern(a) (en vertu du petit th´eor`eme de Fermat).

On a, en regroupant les puissances (p−2)-i`emes X

a∈A

n(a) = 3612

p (up−2−u−1).

C’est un entier, et commep est premier avec 3612 et que u−1 = 0, p divise l’entierup−2.

1

Il reste `a examiner les nombres premiers 2, 3, 7 et 43.

Le cas de 2

La somme u_n a, pour n > 0, 4 termes impairs et 4 termes pairs : c’est un entier pair et 2 n’est pas `a retenir.

Le cas de 3

Les puissances de 4, 7 et 43 ont pour reste 1 modulo 3 ; les puissances de 3, 6, 12 et 1806 sont multiples de 3, doncu_n a pour reste 2 modulo 3 et 3 est premier avec tous lesun.

Le cas de 7

Grˆace au petit th´eor`eme de Fermat, il suffit de calculerunmod 7 pourn= 1

`

a 6, la suite des restes se r´ep´etant avec p´eriodicit´e de 6. On trouve les restes 4, 2, 5, 4, 2, 4. Ainsi aucun des u_n n’est multiple de 7.

Le cas de 43

Les restes desu_nmodulo 43 se r´ep`etent avec une p´eriodicit´e de 42. L’examen (facilit´e par un petit programme) des 42 premi`eres valeurs montre queu9 et u₁₉ sont multiples de 43, et 43 n’est pas `a retenir.

En conclusion, la famille des nombres premiers satisfaisant l’´enonc´e se r´eduit

`

a 3 et 7, et les entiers premiers avec tous les u_n sont tous les entiers de la forme 3^a·7^b, aveca, b entiers≥0.

2