A368. Une histoire de facteurs
A tout entier n > 2, on associe la suite Sn strictement décroissante définie par u0 = n, u1 = f(u0), u2 = f(u1),....uk = f(uk-1) = 2 avec f(x) désignant le nombre de diviseurs de l'entier x, 1 et x compris.
Par exemple avec n = 9, on a k = 2 et la suite contient les trois termes : 9,3,2 tels que u0 = 9 = 32, u1 = f(32) = 3, u2 = f(3) = 2
Déterminer le plus petit entier n > 2 tel que la suite Sn contient 8 termes.
Pour atteindre un nombre de diviseurs minimal, plus ce nombre augmente, plus la croissance est importante.
On peut , certes atteindre des nombres plus petits que d'autres ayant plus de diviseurs, mais cela n'influence pas la progression car l'écart au niveau suivant est énorme... Et la différence s'accroît de sorte que, sans preuve à l'appui, je vais considérer qu'une récurrence est applicable.
Pour une chaîne de 2, nous avons 2 qui boucle sur lui-même, ou 3 qui sera le point de départ.
[3,2]
On peut légitimement supposer que le plus petit nombre ayant 3 diviseurs soit le plus petit pour une suite de longueur 3, et cela se vérifie vite...
[4,3,2]
Et cela se vérifie encore assez facilement pour les suivants : [ 6 , 4 , 3 , 2 ]
[ 12 , 6 , 4 , 3 , 2 , ] [ 60 , 12 , 6 , 4 , 3 , 2 ]
[ 5040 , 60 , 12 , 6 , 4 , 3 , 2 ] (un peu moins facilement, merci excell )
...
Le postulat raisonnable est donc que le premier nombre ayant 5040 diviseurs est le bon.
5040 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7 donc (2^6) x (3^4) x 25 x 49 x 11 x 13 x 17 x 19
