LFM – Mathématiques – 4ème
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Ch 5 : Nombres relatifs en écriture fractionnaire
I Quotients égaux et produit en croix
1) Quotients égaux
On ne change pas un nombre en écriture fractionnaire en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul
k b
k a b a
×
= × et
k b
k a b a
:
= : avec a,b et k des nombres relatifs et bet ksont différents de zéro.
Exemples :
5 2
5 3 2 3
×
= × et
5 : 10
5 : 15 10 15 =
Signe d’un quotient :
Si aest un nombre relatif et si best un nombre relatif non nul alors :
b a b a =
−
− et
b a b a b
a =−
= −
−
2) Produit en croix
d c b
a, , , désignent des nombres relatifs avec b≠0,d ≠0.
• Si d c b
a = , alors a×d =b×c • Si a×d =b×c, alors d c b a =
Exemples d’utilisation :
→ Vérifier l’égalité de deux écritures fractionnaires
• 14,1
−3 et
15 , 21
5 , 4
− sont-‐elles égales ? 45
, 63 ) 15 , 21 (
3× − =
− et 14,1×4,5=63,45.
Donc 1 , 14
−3=
15 , 21
5 , 4
− .
• 10,5 8
− et 5 , 12
5 , 9
− sont-‐elles égales ? 100
) 5 , 12 (
8× − =− et −10,5×9,5=−99,75. Comme −100≠−99,75, on a
5 , 12
5 , 9 5 , 10
8
≠ −
− .
→ Trouver un nombre inconnu
On cherche le nombre tel que . En utilisant le produit en croix, on obtient :
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II Additions et soustractions de nombres relatifs en écriture fractionnaire
1) Les dénominateurs sont les mêmes
Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le même dénominateur.
c b a c b c
a +
=
+ et
c b a c b c
a −
=
− où a,b,c sont des nombres relatifs, avec 𝑐 ≠ 0
Exemples :
3 2 6 3
1 7 3 1 3
7 − =−
+ =
= −
− + −6 5 −−3
5 =−6−(−3)
5 =−6+3 5 =−3
5 =−3 5
2) Les dénominateurs sont différents
Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on commence par les réduire au même dénominateur.
Ensuite, on applique la règle vue au 1).
Exemple : Calculer sous forme fractionnaire
4 7 8 1 6 5− + A=
La méthode consiste à écrire les multiples du plus grand dénominateur jusqu’à obtenir un multiple de tous les autres dénominateurs.
Multiples de 8 : 8 ← multiple de 4 mais pas de 6 16 ← multiple de 4 mais pas de 6
24 ← multiple de 4 et de 6 et donc de tous les dénominateurs.
On prend donc 24 comme dénominateur commun aux trois termes :
4 7 8 1 6 5− + A=
III Multiplication de nombres en écriture fractionnaire
Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
d b
c a d c b a
×
= ×
× et
d c a d
a c ×
=
× où a,b,c,d sont des nombres relatifs avec cet dnon nuls.
Remarque : Il est conseillé, si cela est possible, de simplifier avant de multiplier.
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Exemple :
5 1 7 2 5 3
7 3 2 14
15 21 2 14
21 15
2 =−
×
×
×
×
− ×
× =
− ×
− =
×
Calculer : 𝐴= 15
28× 7 18×12
6 =
IV Division de nombres relatifs en écriture fractionnaire
1) Inverse d’un nombre relatif en écriture fractionnaire
Définition : Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1
Propriétés : cet ddésignent des nombres relatifs non nuls.
• L’inverse du nombre cest le nombre c 1.
• L’inverse du nombre d
c est le nombre c d .
Exemples :
• L’inverse de -‐3 est
3 1 3 1 =−
− .
• L’inverse de 4
− 3est 3
− 4.
2) Division
Diviser par un nombre relatif en écriture fractionnaire revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.
a,b,c,d désignent des nombres relatifs avec b,c et d différents de zéro.
• a b b
a 1
×
=
• c
d b a d c b
a : = × ou
c d b a d c b a
×
=
Exemple :
9 2 11 3 3 2
2 2 11 33
6 4 11 33
4 6
11 4 33 6 11
−
× =
×
×
×
− ×
× =
− ×
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛−
×
=
−
Calculer 𝐴= !!! ÷!"#!"
