E672– Arithmétique footballistique [***** à la main]
Dans un tournoi de football qui réunit n équipes, chaque équipe rencontre une fois les autres équipes. Le vainqueur d’un match obtient 3 points, le perdant 0 point et en cas de match nul, chaque équipe obtient 1 point. A l’issue du tournoi, les scores forment une suite d’entiers consécutifs.
Quel est le nombre maximal de points obtenus par le dernier du classement ? Application numérique : n = 8. La lanterne rouge a obtenu le score maximal.
Q₁ Est-il possible qu’une même équipe réalise exclusivement des matchs nuls ?
Q₂ Simuler un tableau des résultats de toutes les rencontres dans lequel le leader a perdu ses matchs contre les deux dernières équipes du classement.
Solution proposée par Daniel Collignon
Parmi les n(n-1)/2 matches, notons u le nombre de matches nuls et d le score du dernier.
Lors d'un match nul, 1 + 1 = 2 points sont distribués ; sinon 3 + 0 = 3 points.
D'où la relation 2*u + 3*(n(n-1)/2-u) = d + ... + d+n-1 ou encore après simplification d = n - 1 - u/n.
Nous en déduisons que u = k*n et d = n - 1 - k.
k=0 (aucun match nul) rendrait impossible de générer un score non nul modulo 3.
Montrons par récurrence que d_max = n-2 pour n>=4.
Remarque : le résultat est faux pour n=3 car alors u=3 et il n'y aurait que des 1 dans le tableau, le plus petit score ne pouvant être 1.
Exemple de tableau avec n = 4 x101
1x11 31x0 113x
Le passage de n = 3k+1 à n+1 se fait en ajoutant la ligne 1(033)...k fois...(033) (et la colonne
"symétrique" avec 0<->3).
En opérant un ensemble fini de permutations de blocs (2 lignes et les 2 colonnes de mêmes indices), on peut toujours faire en sorte de réordonner les totaux dans l'ordre croissant.
Le passage de n = 3k+2 à n+1 se fait en ajoutant la ligne (033)...k fois...(033)01 Le passage de n = 3k+3 à n+1 se fait en ajoutant la ligne 1(033)...k fois...(033)03 (note : ne détaillant pas davantage, je laisse au lecteur le soin de faire les vérifications) Q1 : si cela était possible, l'équipe qui réalise 7 matchs nuls a en particulier fait match nul avec la lanterne rouge dont le score est soit 1+1+1+3 ou 1+1+1+1+1+1 ; la lanterne rouge a donc réalisé au moins 3 matchs nuls. Cela fait en tout au moins 3+7-1=9 matches nuls, ce qui est contradictoire d'après le raisonnement qui précède (u=n=8).
Q2 : voici un exemple de tableau de résultat dans l'ordre croissant des scores (les résultats de la lanterne rouge sont en première ligne ; ceux du premier en dernière ligne)
x1110003 1x030003 13x13000 101x3310
3300x130 33301x10 333101x1 0033331x
