Q₁ Sait-on construire une suite de 2016 entiers distincts compris entre 1 et 100 000 tels que trois quelconques d’entre eux ne forment jamais une progression arithmétique?
Q₂ Même question que Q₁ avec 2050 entiers naturels distincts.
Lemme : soit An={a(1), a(2), ..., a(n)}un ensemble ordonné de n nombres possédant la propriété P, à savoir que trois quelconques d’entre eux ne forment jamais une
progression arithmétique : l’ensemble A2n formé par les éléments de An complétés par les a(n+i)=2a(n)+a(i)-1 (pour 1≤i≤n) possède également la propriété P : en effet, le troisième terme complétant une progression arithmétique formée de deux termes de An se situe soit dans les «trous» de An soit dans l’intervalle entre a(n) et a(n+1); A2n-An
se déduit de An par translation, donc possède la même propriété que An ; enfin le troisième terme d’une progression dont un des termes appartient à An et l’autre à A2n- An se situe soit dans l’intervalle entre a(n) et a(n+1) soit au delà de a(2n).
On en déduit une construction par récurrence d’ensembles minimaux possédant la propriété P : a(1)=1, a(2)=2 (2 termes ≤ 2) puis a(3)=4, a(4)=5 (4 termes ≤5),
a(5)=10, a(6)=11, a(7)=13, a(8)=14, (soit 8 termes ≤14) ...
a(2k+1)=2a(2k),..., a(2k+1)=3a(2k)-1 ( soit 2k+1 termes inférieurs ou égaux à uk+1 avec la relation de récurrence uk+1=3uk-1, et u1=2, soit la suite : 2, 5, 14, 41, 122, 365, 1094, 3281, 9842, 29525, 88574, 265721,...
On voit donc, en particulier que l’on peut construire un ensemble de 211=2048 nombres inférieurs ou égaux à 88574 (donc 2016 inférieurs à 100000) ayant la propriété P.
Tout élément supplémentaire ajouté à cet ensemble minimal, devra être supérieur ou égal à 2uk, donc le 2049ème terme sera supérieur à 2*88574>100000.
