Modélisation dynamique des structures de conversion DC/DC

la régulation

Julien Flamant–julien.flamant@ens-cachan.fr

Motivation : Jusqu’à présent, nous avons analysé les structures de conversion DC/DC dans un cadre purement statique. En pratique, une étude dynamique de ces structures s’impose en vue de prédéterminer les asservissements et les correcteurs dont ils sont couramment munis. La difficulté principale de cette étude réside dans le principe même de ces convertisseurs : le phénomène de découpage impose des topologies de circuit différentes au cours d’une même période de découpage. Cette non-linéarité induite peut néanmoins être contournée en transformant le système en un système moyen invariant, puis en linéarisant autour d’une position d’équilibre. Cette approche est d’autant plus valide que la période de découpage est très souvent inférieure aux constantes de temps des différentes grandeurs filtrées.

Pour l’étude des convertisseurs DC/DC, nous supposerons que l’on se trouve dans le cas d’uneconduction continue.

Table des matières

1 Valeur moyenne d’une variable d’état et période de découpage 1

1.1 Variables d’état . . . 1

1.2 Exemple introductif . . . 1

1.3 Propriétés . . . 3

1.4 Conservation du système différentiel par passage à la valeur moyenne. . . 3

2 Modélisation par la méthode des générateurs moyens 4 3 Modélisation par modèle d’état moyen 6 3.1 Exemple . . . 6

3.2 Démarche générique . . . 8

1 Valeur moyenne d’une variable d’état et période de découpage

Dans toute la suite, on noteT la valeur de la période de découpage du convertisseur considéré. Celle-ci sera supposée constante au cours de l’étude. Les interrupteurs sont supposés idéaux, ainsi que les composants passifs.

1.1 Variables d’état

Le choix des variables d’état d’un système se porte principalement vers les deux grandeurs physiques toujours continues : le flux dans les circuits magnétiquesϕet la charge dans les composants diélectriquesQ. On rappelle les relations fondamentales :

ϕ=Lil

Q=Cvc

Si le système peut être supposé invariant (pas de vieillissement des composants par exemple), alors les variables d’état deviennent le courant dans une inductanceil et la tension aux bornes d’un condensateurvc.

1.2 Exemple introductif

Considérons le montage suivant :

E(t)

L il

R vs

Figure1 – Exemple introductif : un circuit L-R alimenté par une source de tension découpée.

La tensionE(t)est telle que :

∀k∈Z E(t) =

(1V sit∈[kT,(k+α)T[ 0V sit∈[(k+α)T,(k+ 1)T]

Par exemple choisissons le rapport cyclique α= 0.8. On simule ce circuit électrique des plus simple à l’aide deSimulink. On s’intéresse particulièrement à l’évolution du courant il(t)au cours du temps, en imposant il(0) = 0. Cette évolution est représentée sur la figure 2.

0 5·10⁻³ 1·10⁻² 1.5·10⁻² 2·10⁻² 0

2·10⁻² 4·10⁻² 6·10⁻² 8·10⁻²

Temps (s) il(t)

Figure2 – Simulation du circuit présenté. Les valeurs des composants sontL = 10mH etR = 10 Ω pour une fréquence de découpageF = 1kHz. La courbe en vert correspond à la réponse du système à un échelon d’amplitudeαE= 0.8V

On constate que la réponse du système à une excitation découpée de rapport cycliqueαcorrespond à la somme de deux signaux, la réponse à un échelon de tension d’amplitudeαE et un réponse haute fréquence due au découpage. Cela nous mène à écrire l’égalité suivante, qui décompose le courant il(t) en deux composantes, basse fréquence d’une part et haute fréquence d’autre part.

il(t) =hiliT(t) +il_HF(t)

L’intérêt de cette décomposition est quelle sépare les effets du découpage de la dynamique basse fréquence sous- jacente. C’est pour cela que l’on note la composante basse fréquence sous la forme d’une moyenne temporelle glissante sur une période de découpage. En effet, on peut écrire :

hiliT(t) = 1 T

Z t+T t

il(τ)dτ

Cette approximation est bien entendue valide dans le cas où la période de découpage est très faible vis à vis des constantes caractéristiques du système, comme c’est le cas ici.

1.3 Propriétés

Dans ce qui suit, nous allons établir plusieurs propriétés utiles lors de la modélisation des convertisseurs DC-DC.

Evolution de la composante basse fréquence. Précédemment, nous avons introduit la notationhxiT(t) qui dénote la composante basse fréquence de la grandeur x. Cette composante basse fréquence évolue bien entendu dans le temps, et l’on notera à présent :

hxiT(t) =Xe+ ˜x(t)

oùX_edésigne la valeur à l’équilibre de la grandeurx, etx˜ désigne une variation basse fréquence (par rapport à la fréquence de découpage) de cette grandeur. On verra dans les parties suivantes toute l’importance de cette grandeurx, puisque c’est elle qui interviendra lorsque l’on cherchera à exprimer des fonctions de transfert.˜

Lien entre dérivée et valeur moyenne sur une période de découpage. On s’intéresse maintenant à la quantitéh^dx_dtiT. Soitx(t)une grandeur d’état. On a :

hdx dti_T = 1

T Z t+T

t

dx=x(t+T)−x(t) T

Or on se rappelle que l’on peut décomposer x(t) sous la forme x(t) = hxiT +xHF(t). Il convient alors de remarquer que la composantexHF(t)est périodique de périodeT (voir exemple introductif). Il vient alors :

hdx

dti_T =hxiT(t+T)− hxiT(t) T

Cette grandeur peut alors être approximée en général par la dérivée de hxi_T(t), la période de découpage T étant très faible :

hdx

dtiT ' dhxiT

dt

Valeur moyenne sur une période de découpage d’un produit de deux grandeurs. Considérons deux grandeurs, x(t) une grandeur d’état etu(t) la commande. On cherche à exprimer la moyenne sur une période de découpage du produitx(t)u(t):

hxuiT =h(hxiT +x_HF)(huiT +u_HF)iT

=hxiThuiT +hxiThuHFiT +huiThxHFiT +hxHFuHFiT

' hxi_Thui_T

Ce résultat fondamental est obtenu ici en se rappelant quehxHFiT =huHFiT = 0et en considérant que le terme hxHFuHFiT est négligeable, étant donné que le terme xHF est d’amplitude très faible car xest une grandeur filtrée (par les éléments passifsL,Ret C) : on peut alors considérer quehxHFuHFiT '0.

1.4 Conservation du système différentiel par passage à la valeur moyenne.

Revenons à présent sur l’exemple introductif. La variable d’état est ici le couranti_ldans l’inductance. On peut écrire le système différentiel suivant, en fonction de la valeur de la tensionE(t). On noteE= 1V.

(E(t) = 1 E=L^di_dt^l +Ril(t) E(t) = 0 0 =L^di_dt^l+Ri_l(t) Ce système peut se mettre sous la forme condensée suivante :

Ldil

+Ri(t) =E(t)

Passons à présent à la valeur moyenne sur une période de découpage. A l’aide des résultats précédents, on obtient donc :

LdhiliT

dt +Rhi_li_T(t) =hEi_T(t)

On vient donc de montrer que l’évolution basse fréquence deil(autrement dit la moyenne sur une période de découpage) et deE(t) obéit à la même équation différentielle que le système découpé. Ceci justifie donc l’utilisation de hili(t) pour étudier la dynamique du système : on s’affranchit donc du phénomène de découpage.

Remarque Bien qu’ici on se soit placé dans le cas d’un circuitL−R, on aurait exactement le même résultat dans le cas d’un circuitR−C, à savoir qu’il y aurait conservation de l’équation d’Ohm ic =^dv_dt^c par passage à la valeur moyenne.

2 Modélisation par la méthode des générateurs moyens

Dans toute la suite, on supposera que l’on est en conduction continue. Nous illustrerons cette méthode au travers d’un exemple, le hacheur "buck".

E

u(t) L

il

C R vs

Figure 3 –Schéma du hacheur série, dit "buck"

La méthode des générateurs moyens, aussi appelée modèle de Vorperian, consiste à remplacer les interrupteurs de puissance par des générateurs de tension (resp. courant) de valeur égale à la valeur moyenne de la tension (resp. courant) sur une période de découpage. Les valeurs de ces tensions et courants moyens seront exprimées préférentiellement en fonction des grandeurs d’étati_l(t)etv_s(t).

Dans le cas présent du hacheur série, nous allons chercher le générateur de courant moyen correspondant à l’interrupteur, et le générateur de tension moyen correspondant à la diode.

Etude en fonction de u(t) Pour u(t) = 1, l’interrupteur est fermé et donc le courant dans l’interrupteur est égal àiK=il. De même, la tension aux bornes de la diode estvd=E. Pouru(t) = 0, on a immédiatement iK = 0etvd = 0. On peut alors écrire l’expression deik etvd à tout instantt :

ik(t) =u(t)il(t) et vd(t) =u(t)E

Passage à la moyenne sur un période de découpage En utilisant la propriété sur le produit à la section 1.3, on obtient :

hikiT(t) =huiThiliT et hvdiT(t) =huiTE Cela donne le schéma équivalent suivant :

E

hui_Thi_li_T

hui_TE

L hiliT

C R hv_si_T

Figure4 – Schéma équivalent moyen du hacheur série.

On constate tout d’abord quetoutes les grandeurs électriques instantanées sont transformées en leur valeurs moyenne sur une période de découpage. De plus, on peut tout de suite simplifier ce schéma en

"oubliant" la partie la plus à gauche, celle-ci étant court-circuitée par une source de tension. Ce schéma va à présent nous permettre d’obtenir à la fois les valeurs d’équilibre et la dynamique des grandeurs d’étati_letv_s. Dans toute la suite, on pose :

huiT =αe+ ˜α hiliT =Il_e+ ˜il

hvsiT =Vs_e+ ˜vs

Etude en régime statique. L’étude en régime statique se fait en remplaçant les grandeurs moyennées par leur valeurs d’équilibre. On trouve immédiatement :

I_le =α_eE R V_se =α_eE

Etude en régime dynamique On s’intéresse maintenant aux fonctions de transfert ^v_α^˜_˜^s et ⁱ_α^˜_˜^l. Pour cela, on cherche le schéma petits signaux du dispositif : une manière simple de l’obtenir est d’éteindre les sources continues, à l’instar de l’étude du régime dynamique des montage amplificateurs à transistors.

˜ αE

L i˜l

C R v˜_s

Figure5 – Schéma équivalent petits signaux du hacheur série.

A partir de ce schéma, on peut obtenir facilement les fonctions de transfert recherchées. On a les relations :

˜ vs=

1

1 R+Cp

Lp+ 1 ¹ R+Cp

˜ αE

i˜_l= αE˜ Lp+ ₁ ¹

R+Cp

On obtient alors les fonctions de transfert recherchées :

˜ vs

˜

α = E

1 + ^Lp+LCp² i˜l

˜ α =E

R

1 +RCp 1 + ^Lp+LCp²

Remarque. Cette méthode, bien que très simple à mettre en oeuvre, comporte un inconvénient majeur. En effet, l’étude de structures plus complexes se transforme vite en "bouillabaisse équationnelle" de par la multi- plication des générateurs moyens associés aux interrupteurs. Dans la suite, on présentera une autre méthode basée sur l’étude d’un système d’état, et qui à l’avantage de résoudre en partie ce problème d’accumulation des équations.

3 Modélisation par modèle d’état moyen

3.1 Exemple

Le principe de la modélisation par modèle d’état, oustate-space averaging repose sur l’expression du modèle d’état pour chaque état de la commande u(t). Voyons comment cette méthode s’articule au travers d’un exemple, le hacheur "boost".

E

L il

u(t) C R v_s

Figure6 – Schéma du hacheur parallèle, dit "boost"

Les grandeurs d’état sont ici le courant dans l’inductanceil et la tension aux bornes du condensateurvs. On pose le vecteur d’étatx= i_l v_sT

.

Etat 1 : u(t) = 1 L’interrupteur est fermé, on obtient alors les relations suivantes faisant intervenir les différentes grandeurs d’état :

E=Ldil

dt Cdv_s

dt +v_s R = 0

On peut réécrire ce système d’équations sous la forme d’une équation d’état :

˙ x=

0 0 0 −_RC¹

| {z }

A1

x+ E

L

0

| {z }

B₁

=A1x+B1 (1)

Etat 2 :u(t) = 0 L’interrupteur est ouvert, on a alors les relations suivantes : E=Ldi_l

dt +v_s i_l=Cdvs

dt +vs

R On obtient l’équation d’état suivante :

˙ x=

0 −_L¹

1 C −_RC¹

| {z }

A₂

x+ _E

L

0

| {z }

B₂

=A₂x+B₂ (2)

Obtention du modèle d’état instantané Pour obtenir le modèle d’état instantané, il suffit de combiner les équations (1) et (2).

(1)×u(t) + (2)×(1−u(t)) =⇒x˙ = (A₁u(t) +A₂(1−u(t)))x+B₁ (3) où l’on a remarqué queB₁=B₂. Ce système d’état est donc valable à tout instantt, et quelque soitu(t).

Passage au modèle moyen Pour passer au modèle moyen – c’est à dire s’affranchir du découpage – nous allons utiliser un certain nombre de propriétés démontrées au 1.3. Tout d’abord, on pose les grandeurs moyennes :

huiT(t) =αe+ ˜α hxiT(t) =Xe+ ˜x

On applique l’opération de moyennage au système d’état instantané (3). On obtient alors : dhxiT

dt = (A₁hui_T +A₂(1− hui_T))hxi_T +B₁ (4) où l’on a utilisé les propriétéshxi˙ T = ^dhxi_dt^T ethxuiT =hxiThuiT.

Etude de l’état d’équilibre On va tout d’abord étudier l’état d’équilibre du système. On a donc : huiT(t) =αe

hxiT(t) =Xe

En remplaçant dans l’équation du modèle moyen, on obtient :

X_e=−[A₁α_e+A₂(1−α_e)]⁻¹B₁

Ce qui donne le résultat suivant, bien connu puisque correspondant à l’approche statique des convertisseurs : Il_e

Vs_e

=

E R(1−αe)²

E 1−α_e

!

(5)

Linéarisation autour de l’état d’équilibre (Xe, αe) Pour obtenir le modèle d’état petit signaux du hacheur, nous allons linéariser le modèle d’état moyen autour de l’état d’équilibre(Xe, αe). Remarquons tout d’abord que le modèle d’état moyen peut s’écrire sous la forme :

˙

x=f(hxiT,huiT) On utilise alors un développement limité de Taylor à l’ordre 1 :

˙˜

x= ∂f

∂hxiT

|(X_e,α_e)x˜+ ∂f

∂huiT

|(X_e,α_e)α˜ (6)

Après un calcul immédiat, le système d’état linéarisé s’écrit :

˙˜

x= (A₁α_e+A₂(1−α_e))˜x+ (A₁−A₂)X_eα˜ (7)

Obtention des fonctions de transfert Pour obtenir les fonctions de transfert ^v˜_α˜^s et ⁱ_α^˜_˜^l, il faut à présent définir une équation d’observation du typey =Cx, où˜ C= 0 1

pour obteniry = ˜v_s et C= 1 0 pour obteniry= ˜i_l. On a alors le modèle d’état suivant :

(x˙˜ = (A1αe+A2(1−αe))˜x+ (A1−A2)Xeα˜ y =C˜x

Un calcul classique donne la fonction de transfert ^y_α˜ : y

˜

α = [pI−(A1αe+A2(1−αe))]⁻¹(A1−A2)Xe (8) soit :

˜ vs

˜

α = E

(1−αe)²

1−_R(1−α^L

e)²p 1 + _R(1−α^L

e)²p+_(1−α^LC

e)²p² et i˜l

˜

α = 2E R(1−αe)³

1 +^RC₂ p 1 + _R(1−α^L

e)²p+_(1−α^LC

e)²p² (9) Remarque. Dans le cas du hacheur boost en conduction continue, on remarque que les différentes fonctions de transfert dépendent de l’état d’équilibreαe. Ceci sera bien entendu à prendre en compte dans le calcul d’un correcteur pour la régulation (compensation de pôle non possible par exemple).

0 5·10⁻⁴ 1·10⁻³ 1.5·10⁻³

0 10 20 30

Temps (s) vs(t)

Figure7 – Simulation du démarrage du hacheur boost pourα= 0.5etE = 10V. En bleu la tension vs(t)et en vert la tensionvs(t)obtenue par la méthode du modèle d’état moyen. Les valeurs des composants utilisés sontL= 100µH,C= 10µF,R= 10 Ω. La fréquence de découpage utilisée estF = 100kHz.

3.2 Démarche générique

Ce que nous venons de voir au travers de cet exemple illustre la démarche générale pour l’étude dynamique de structures de conversion DC/DC en conduction continue. En résumé, voici la démarche à suivre :

(a) Etablir le modèle d’état pour chacun des états des de la commande.

(b) En déduire le modèle d’état instantané.

(c) A partir du modèle d’état instantané, en déduire le modèle d’état moyen.

(d) Déterminer l’état d’équilibre du système.

(e) Linéariser le modèle d’état du système.

(f) Finalement, en déduire les différentes fonctions de transfert associées.

Références

[1] Ferrieux, J.-P., and Forest, F. Alimentations à decoupage et Convertisseurs à résonance. Dunod, 1999.

[2] Van Dijk, E., Spruijt, J., O’Sullivan, D. M., and Klaassens, J. B. Pwm-switch modeling of dc-dc converters. Power Electronics, IEEE Transactions on 10, 6 (1995), 659–665.

[3] Vorpérian, V. Simplified analysis of pwm converters using model of pwm switch. ii. discontinuous conduction mode. Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions on 26, 3 (1990), 497–505.