274 L A H O U I L L E BLANCH-E N° 3 - M A I - J U I N 1961
Bed load transport in alluvial channels
B Y
E a m J . G A E D E a n d M. L .
ALBEBTSON
L E C T U R E R I N C I V I L E N G I N E E R T X G P R G F E S S O R O F C I V I L E N G I N E E R I N G ( F L U I D M E C H A N I C S ) , A N D D I R E C T O R O F R E S E A R C H F O U N D A T I O N » U N I V E R S I T Y O F R O O R K E E , R O O R K E E ( I N D I A ) C O L O R A D O S T A T E U N I V E R S I T Y , F O R T C O L L I N S ( U . S . A . )
Texte frangais p, 282
The auailable bed-load data reanalysed and it is shown that the laws of bed-load transport are much dependent on the bed condition.
Sepárate functional relationships are giuen for
the plane-bed condition and the dune-bed con- dition. The relationships proposed are quite simple to use.
1NTRODUCTION
For scveral reasons, it is of interest to the hydraulic and irrigation engineers, to know the total a m o u n t of sediment t h a t is transported by an alluvial channel, for the given hydraulic characteristics. According to t h e xnethod of t r a n s p o r t a r o n , the total load can be sub-divided hito suspended load, saltación load, a n d contact load. Contact load is the material rolled or slid aiong the bed in substantially continuous contact with the bed. Saltation load is the material bouncing along the bed, or moved, directly or indirectly by the impact of bouncing particles.
Suspended load is the material moving in sus- pensión in the fluid. In most of the cases, sal- tation ioad is very small and furthermore it is difñcult to draw a line of distinction between saltation load and contact load. For these rea- sons, (saltation load -f- contact load) \vill be taken as bed load.
Various attempts have been made since 1879 to establish methods for evalúating the bed load transport. Bed load equations of Du Boys, Shields, Chang, McDougall and O'Brien, Meyer- Peter, Kalinske, Einstein, and the others are the result of such attempts. These equations can be divided into two broad categories :
a) Empirical equations of Chang, McDougall and O'Brien, Meyer-Peter, and such o t h e r s ; />) Semi-theoretical equations of Du Boys, Shields,
Kalinske, Einstein and such others.
Comparison of Meyer-Peter, Kalinske, and Einstein equations.
In spite of the fact that all these equations take different forms, it is quite interesting to note t h a t most of these equations can be expressed in a general form :
9B = F
(ys — y/) d
( i )
or substituting
T — _ _ . a n u q B —. — r
(y* • Y/) d y*y8d
in which
one gets
(1)
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961037
MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 — C A R D E AND A L B E R T S O N — — — ~ 2 7 5
T0 is t h e average shear stress on the bed, qB is t h e rate of bed load transport in weight
per u n i t width of t h e channel p e r unit time, d is t h e m e a n size of the bed material, V* is t h e shear velocity [ — V ( ?0/ p / ) l>
of is t h e mass density of t h e fluid, a n d
"s. Y/a r e t h e specific weights of sediment a n d water resp.
Thus, for example, eonsider Meyer-Peter's equation [1] :
in which
Jí_ _ 0,188
Ps " 9F 9 /
8/2 (2)
RS
R being t h e hydraulic r a d i u s , S t h e slope of energy line a n d gs t h e mass density of sediment, a n d :
9B 9f 1/2 gd*J
4 , =
and
9$
—
9fOne c a n express <j/ a n d 9 i n t h e following w a y :
— ^ — 9T d _ g (pa — gf) d
RS
J 2 ü
Y*
Henee
9s — 9F
99F RS
T0 T *
1/2 / i y / 2
g&)
13)
V*V*d • (9s — 9f)1/2 * \gd*J
9 = q*B T* I / 2 (4) Substituting these valúes of <]/ a n d 9 in equation (2) one gets t h e Meyer-Peter equation i n t h e form :
(4- 0,188)3/2. ( 5 )
Einstein's bed-load equation, for t h e case of uniform b e d material, c a n be written in t h e fol- lowing form :
o = f m, m in which 9 a n d ty, a r e as defined previously.
But, since 9 a n d can be expressed i n terms of
<7*B a n d <r*, Einstein's equation of bed-load can be written in t h e form :
9*B f (<**). (1)
Finally, Kalinske's bed load equation [8] can be written as,
V*y8d
( 7 )
in which ic — J2 d. Therefore, equation (7) can also be p u t in t h e form :
9*B = /•(**). (í) Instead of studying separateiy t h e behaviour
of all these three equations with respect to cer- t a i n data, t h e wTiters plotted these equations with
q% a n d as t h e two axes. Such a plot is also given b y Iwagaki [6] a n d by Rouse ( 9 ] , even though t h e latter h a s presented it in a slightly different way.
Furthet* comments on Einstein's equation.
Einstein [2, 3] divided t h e average shear on the bed, T0, into two p a r t s :
*0 = T '0 + T "0 (8) in which :
(> is the shear stress which would result from the grain resistance alone, on t h e plañe b e d ; a n d
T "0 is t h e additional shear stress due to irregular- ities on t h e bed—such as dunes a n d sand- bai's.
1 0 *
1 0 •A
Notarion
Dunes- Dunes Laursen
Laursen Barron - L!n U.S.G.S.
0 , 0 4 mm • OJO mm + 0,18 mm <>
0,45 mm Transición or piane Transito/re ou plan Laursen 0,10 mm • Barlon-Lin 0,18 mm ^
U.S.G.S 0,45mm + U.S.6.S. (Antidunes)0t45mm -fA
PF
Fm. 1
V a r í a t i o n of V / V * w i t h í 5 * — o / ) / Qf. (d»/R'&S).
Variation de V / V " „ avec (qs — Qf)/qí.(dzrJKbS),
276 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - M A I - J U I N 1 9 6 1
Einstein claims t h a t it is only T '0 t h a t is res- ponsible for the bed load transport, and therefore T '0 and the eorresponding V* and R' should be used in computing 9 and •]/ in Einstein's equation.
However, in the use of ?'0, the question arises about the method of separating T '0 from T0.
Einstein and Barbarossa [3] have proposed a method for flnding V"* which corresponds to T "0. Using n a t u r a l river data, they have prepared a curve showing the relationship hetween V/V"*
and (gs — of/gf) (d^n/WhS) in which V is the mean velocity of ílow, R'7; is the hydraulic radius with respect to grain size, and í/n 5 is the size of ma- terial such t h a t 35 % of the material is íiner Iban r/3 n. The subscript b indícales t h a t the hydraulic radius of the bed is used in the com- putations. This curve is shown in fig. 1. By using this graph, Einstein proposed the following procedure for computing R7?, :
Step :
L Find the hydraulic radius of the bed R?, (other- vise use R ) ;
2. Assume R'& — R7 j;
3. Calcúlate 4" = l(9¡f—?f)/9f] M,r )/R'7 iS);
4. Use curve in the fig. 1 1o find V/V"*;
5. Calcúlate V = 5.75 V'* logK > (12.27 R'7 lr/tff l 5)
in which x == f (rf,.r iV'+/v) and x — 1 (9) for (rf6 5/8) > 5;
6. Knowing V and V/V"*, V"* and R "B are com- puted;
7. Compute new valué of Wb = R7, — R",;
8. Use this new valué of R',, and compute again 9. T r y the next approximation.
A valué of V*, B'f i and t '0 obtained in this fashion should be used in Einstein's equation for flnding the bed load transport. The following objections are raised against the use of V * in the bed load t r a n s p o r t problems ;
a) In developing the relationship between V/V"*
and ty", eq. (9) is used in order to find the shear resulting from grain roughness. This equation is t r u e only for the non-movable bed.
Its application to a movable bed in ques- tionable. For example, eq (9) assumes t h a t the K a r m a n constan! h a s a valué 0.40, while in actual case it is found to be a function of the flow conditions [ 4 ] .
b) Einstein's and Barbarossa's plot of V/V"*
against ty" is not exact. Iwagaki [6], and recently Vanoni and Brooks [11] have shown t h a t if the flume data are used to verify the foregoing relationship, a considerable scatter results. T h e authors have plotted d a t a from various sources 0 1 1 fig. 1. This figure also shows m u c h scatter. This discrepeney may be due, at least in part, to the following two reasons :
1, T h e scale of irregularities on the bed of the flume m a y be different from the scale of irregularities in n a t u r a l channels;
2, An i m p o r t a n t third variable such as Fronde number, which might be significant, is omitted. In fact, the steepness of the dunes (height/length ratio) depends on and Froude number.
c) Since the computations of V% are hased on the steps a and b7 valúes of V * are question- able. Also the successive approximation p r o - cedure used in flnding valúes of V * is time consumí ng.
For these reasons, the writers believe t h a t the problem of bed load t r a n s p o r t should be handled in a fashion diíTerent from t h a t proposed by Einstein.
Variation of q?* with T * .
Most of the data used for this analysis are listed in reference [7], T h e size range of the material used is from 0.486 mm to 15.49 m m . The sediment t r a n s p o r t as listed in the reference eontains a small quantity of suspended load; huí since the size of the materials of the data used are relatively coarse, it is assumed t h a t the ra te of sediment t r a n s p o r t as listed in the reference is the rate of bed load transport. This was con- firmed by sample computations in the case of 0,786 mm diameter sediment. Shear and shear velocity with respect to the bed were used to compute the parameters T * and q%.
Fig. 2 shows the variation of g*B with ?* for a 11 these data. Observe t h a t there is a great scatter for small valúes of T * and therefore for small valúes of q%. As the p a r a m e t e r T * in- creases the scatter becomes smaller and smaller.
Tn order to find the cause of this scatter, each point was labelled for the type of the bed r e - gime—dune regime or plañe bed regime.
A cióse study of fig. 2 reveáis t h a t the p l a ñ e bed data have a tendeney to fall on a single curve. Tt is logieal t h a t the dune bed data
MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 G A R D E AND A L R E R T S O N 277
B
Fio. 2
Varialion of </»* with x* í'or plane-bed and dune-bed d a l a . Variaf'ion de g n * a ver. x* pour foiul pian ei fond dvnairc.
would not lie on the saine curve as the plañe bed data, since in the case of dune bed data, p a r t of the total shear is used l o overeóme the resistance due to the bed irregularities. There- fore, less shear is available for the bed load transport. Henee the d a t a are separated into plañe bed data and dune bed data and are ana- lysed separately.
Variation of w i t h T * in the p l a ñ e bed regime.
Fig. 3 shows the variation of q% with T* in the plañe bed regime. On the same figure are d r a w n the curves representing Einstein's equa- tion and Kalinske's equation.
It can be seen that, even though the data do not follow either of the two equations, all the data for T* > 0.06 fall on a single curve. The data scatter to a large extent for the valúes of
<c* < 0.06.
T h e scatter of the data in fig. 3 for small valúes of T* seems to have a definite cause. A review of the bed load equations by investigators such
as Du Boys, United States W a t e r w a y s Experi- ment Station, and others reveáis t h a t their bed load equations can be p u l in the form :
q \ <¡(?* — (10) in which T *C = tc/(*{* — Y/) <l *c ís the critical
shear for a given sizc of bed material a n d m is a constant. Shields work and Iwagaki's work
[6] show t h a t for the coarser material attains an almost constant valué of 0.05. Therefore, i n the case of coarser material, equation 10 reduces to the form :
? * B = / ( * * ) • (1)
For íiner material however, depends on V^cf/v in which v is the kinematic viscosity of the fluid, and therefore it is not constant. F o r this reason, the transformation of equation 10 into equation 1 is an approximation, This m a y explain the scatter near the lower end of the plot of q*n vs T* in the case of finer material.
F u r t h e r m o r e , al largor valúes of T*, T*R will be relatively small for finer material and therefore ( T * — T*C) & T*. So, transforming equation 10 into equation 1 would introduce small error
278 LA H O U T L L E B LAN CHE N° 3 - MAT-JUIN 1961
for larger valué of T* even if the material is fine.
A p a r t of this scatter at smaller valúes of T * can be also atribuíed to the inability to make accurate measurements of bed load un- der low shear stress.
Since neither Einstein's equation ñor Kalins- ke's equation expresses the variation of q% with T * over a wider range of C * , the solid line d r a w n through the data is proposed as a new means for evaíuating the bed load transport in the plañe bed regime. Thus knowing T * , the bed load can be evaluated by use of the newly-proposed curve on fig. 3.
Variation of qn* with T * in the dune bed regime.
Fig. 4 shows the variation of q*B with T * in the case when the bed is rough due to the for- m a r o n of ripples and dunes. A glance at this figure reveáis t h a t there is no tendency for the
data to fall on a single curve. The large variation indicates the possibility that in addition to q%
and ?*, there must be a t h i r d dimensionless p a r a - ineter which m a y govern the phenomenon of bed load transport.
Tsubaki and others [10] 1953. have shown that for equal valúes of ?*, the ra te of bed load transport expressed as q*B is smaller in the dune regime t h a n in the plañe bed regime. In other words, formation of ripples and dunes on the bed reduces the rate of bed load transport. Therefore,
[he third parameter to be used on the plot of q*B vs T* should be sucli t h a t it expresses the variation in the bed roughness.
After some preliminary studies it was found that the use of V/V* as the third p a r a m e t e r gives the best correlation. Therefore V/V* is plotled as the third variable on q*B vs T * plot on fig. 4, for which it is possible to draw line of constant valúes of V/V*.
In the case of a straight alluvial channel, the total shear T0 can be divided into two portions, as suggested by Einstein. These are the shear stress T '0 resulting from grain roughness and the
1 XLO
FIG. 8
V a r i a t i o n of í/ n * A V I T H i* for p l a n e - b e d d a t a . Variation de qu* avec -¡r poitr un fond plan
MAT-JUIN 1961 «N° 3 GARDE AND ALRERTSON 2 7 9
„ * 0 , 1 0 F i e . 4
V a r i a t i o n of qi* A V I T H t * for dune-bed d a t a . Vaviation de qn* aucc x* p o n r ZÍ/I / O / U Í dunairc.
additional shear stress T "0 resulting from the bed irregularities. The t e r m T "0 eorresponds to the form drag on the dimes developed on the bed. T h e índex of these bed irregularities, and also the index of the valué T "0 can he the dimen»
sionless Chezy coefficient, or in other words V / W
As the valué of V/V* decreases, or in other words as the bed becomes rougher, there will be smaller shear available for the bed load t r a n s - port. Therefore the r a t e of bed load t r a n s p o r t will decrease.
Fig. 4 is t h u s capable of representing the varia
tion in qm in the dune bed regime, as the shear and the resistance to flow change. Also, it helps to give a physical feeling to the problem of bed load transport. F u r t h e r m o r e , the development of fig, 4 h a s greatly facilitated the evaluation of the r a t e of bed load transport, since it is no longer necessary to go t h r o u g h a tedious process of suc-
cessive approximations in fincling Einstein's V*.
Use of figures 3 and 4 can now be made to compute the rate of bed load t r a n s p o r t when V, D, S, d and the regime of flow are known.
Determination of the regime of flow.
The writers have recently [ 4 , 5 ] proposed a criterion for determining the regimes of flow.
In addition to the flume data, this criterion also holds good for the field data. It is proposed that this criterion be used to determine the re- gime of flow. Fig. 5 gives this criterion.
A c k n o w l e d g m e n t s
T h e study reported in this paper is part of the Doctoral Dissertation submitted by the first w r i -
280 LA HOUILLE BLANCHE N° 3 - M A I - J U I N 1961
ler under the general supervisión of tlie second writer, to Colorado State University, F o r t Collins (U.S.A.). Suggestions and the advice given hy
Dr. Iwagaki, Assistant Professor of Civil E n - gineering at Kyoto University, J a p a n , are greatly appreciated.
o . t o
0 , 0 1
Gritería for regimos of ílow in a l l u v i a l c h a n n e l s . Cr i teres des régimcs d'éconlemenf en chenaux alhwiaux.
MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 GARDE AND ALBERTSON 281
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282 LA H O Ü I L L E BLANCHE N ° 3-MAI-JUIN 1961
Le charriage d e f o n d
dans les c h e n a u x a l l u v i a u x
P A R
K A M J . G A E D B ET M . L . A L B E R T S O N
M A I T R K D E C O N F É R E N C E S D E GÉNIE C I V I L ( M É C A N I Q U E D E S FLUIDES)
A I / U M V E R S I T É D E R O O R K E E , ROORKEE ( i N I ) E )
Les auteurs sonmetteni les données exis le charriage de fond des matériaux á u velle analgse, et monírent que les lois r le iransport des matériaux par charriagt
dent heaucoup de la. nature dn fond. }
La possihilité de déterminer le débit solide glo- bal dans u n chenal alluvial, pour des caractéris- tiques hydrauliques données, est, pour diverses raisons, d ' u n h a u t intérét pour les ingénieurs hydrauliciens et d'irrigation. Suivant le mode de transport des matériaux, le transport solide glo- bal peut étre consideré córame comprenant trois phénoménes separes : le transport en suspensión, le transport en saltation, et le transport p a r char- riage de fond proprement dit. Le charriage de fond proprement dit comprend les matériaux rou-
lant ou glissant le long du fond, avec lequel ils restent en contact quasi-permanent. L a saltaiion comprend les grains « sautillant » le long d u fond, ou bien ceux m i s en mouvement directe- meñt ou indirectement p a r d'autres grains r e - bondissants. Le transport en suspensión con- cerne les m a t é r i a u x se déplacant en suspensión dans le fluide. Cependant, la fraction des maté- riaux transportée en saltation est généralement tres faible; de plus, il est généralement tres dif- ficile de definir nettement la limite séparant les
(*) Se r e ü o r t e r n u t e x t e a n g l a i s p o u r les figures et l a
b i h l i o g r a p h i e .
P R O F E S S E Ü R D E G É M E C I V I L
E T D I R E C T E U R D E L A F O N D A T I O N D E R E C H K R C H E S A I / U N I V E R S I T É D E L ' É T A T D U C O L O R A D O , F O R T C O L L I N S ( u . S . A . )
quent des relations fonctionnelles pour, res- pectivement) un fond plan et un fond dunaire.
Vapplication des relations proposées est rela- tiuement aisée.
phénoménes de saltation et de charriage en con- tact avec le fond. Le charriage de fond propre- ment dit, et le t r a n s p o r t p a r saltation, seront, pour ees raisons, consideres comme constituant ensemble le charriage de fond.
Des essais ont été effectués á plusieurs repri- ses depuis 1879, pour établir des méthodes p e r - m e t t a n t d'évaluer le t r a n s p o r t p a r charriage de fond. Les équations de charriage de fond de du Boys, Shields, Chang, McDougall et O'Brien, Meyer-Peter, Kalinske, Einstein, et d'autres a u - teurs, o n t resulté de ees essais. Ces équations se renferment dans deux catégories genérales : a) Équations empiriques (Chang, McDougall,
Meyer-Peter, et d ' a u t r e s ) ;
b) Équations semi-théoriques (Du Boys, Shields, Kalinske, Einstein, et d'autres).
COMPARAISON ENTRE LES ÉQUATIONS D E M E Y E R - PETER, D E KALINSKE ET D'EINSTEIN.
Bien q u e toutes ces équations se p r e s e n t e n ! sous des formes différentes, il est intéressant de
English text p . 274 (*)
tant sur ne non- égissant 2 dépen-
rls indi-
I N T R O D U C T I O N
MAI-JUIX 1 9 6 1 - N ° 3 G A R D E ET A L B E R T S O N 283 noter qu'elles peuvent cependant, pour la plupart,
étre exprimées sous la forme genérale : f ( Y * — Y / ) DJ '
(1) ou, en substituant
T* = T° . et 7*B — — ^ - r - on obtient :
(Y, — Y / ) RF V*Y*d
dans laquelle :
T0 = Contrainte moyenne de cisaillement sur le fond;
qB — Débit p a r charriage de fond en poids, p a r unité de largeur du canal, p a r unité de t e m p s ;
d — Granulométrie moyenne du matériau de fond;
V ^ ^ V i t e s s e de cisaillement ( = V ?c/ p / ) ; o/ = Densité du fluide;
YS, y/ —Poids spécifiques, respectivement, des m a - tériaux, et du fluide.
Ainsi, en considérant Féquation de Meyer- Peter [1] :
9 =
(4
0,188 X'V 2 (2)dans laquelle :
96- — 9f d
9f RS '
R étant le rayón hydraulique, S la pente de la ligne de charge et o# la densité des matériaux solides, et :
, _ 9 B f 9f y
/ 2/JLY
/ 2-
On peut exprimer et 9 de la maniere sui- vante :
A. = P* — P/ = gCpa— P/)
* P/ #P / RS
= «* = - ! • , (3)
et :
d'oú :
<p = g*B T* i / 2 . (4)
En i n t r o d u i s a n t ees valeurs de et de 9 dans Féquation 2, on obtient Féquation de Meyer- Peter sous la forme :
q% T* 72 = (4 T*— 0 , 1 8 8 )3/ 2T (5) L'équation d'Einstein pour le charriage de fond, s'appliquant au cas d ' u n matériau de fond uniforme, peut s'écrire sous la forme :
( 6 )
dans laquelle 9 et ^ sont définis comme précé- demment. Mais, puisque 9 et ^ peuvent étre ex
primes en fonction de 7*B et de T * , Féquation d'Einstein pour le charriage de fond peut égale- ment s'écrire sous la forme :
(1) Enfin, Féquation de Kalinske pour le char
riage de fond [8] peut étre écrite sous la forme :
V *Y. D (7)
dans laquelle TC = 12 d. On peut done également écrire cette équation (7) sous la forme :
tf*B (i)
Au lieu d'étudier séparément le comportement de ees trois équations p a r r a p p o r t á certaines données, les a u t e u r s en ont tracé les courbes correspondantes en fonction des axes q*B et T * . Des graphiques analogues sont également don- nés p a r Iwagaki [6] et Rouse [ 9 ] , bien que celui de Rouse ait été presenté d'une maniere légére- menl difTérente.
Observations complémentaires sur Péquation d'Einstein.
Einstein [ 2 , 8 ] a distingué entre deux partios du cisaillement moyen s u r le fond ?0 :
*(i — *
0 + * 0 RA)avec :
T '0 = la contrainte de cisaillement qui résulterait de la résistance seule du grain s u r le fond plan, et
T"0 = la contrainte de cisaillement complémen- taire, d u e aux irrégularités du fond, telles que dunes 011 barres sableuses,
D'aprés Einstein, le t r a n s p o r t p a r charriage de fond serait u n i q u e m e n t provoqué p a r *'0; T '0 et les V * et R' correspondants devraient done étre utilisés pour calculer les valeurs 9 et <|/
dans son équation. Pour Futilisation de T '0, ce-
284 LA HOUILLE BLANCHE N ° 3 - M A I . J U I N . 1 9 6 1
pendant, il se pose le probléme de séparer T '0 de T0.
Einstein et Barbarossa [3] ont proposé une méthode pour la détermination de V"* corres- p o n d a n ! á T "0. Sur la base de données relatives á une riviére naturelle, ils ont établi une courbe mettant en évidence la relation entre V/V"* et ( ps— ?/)/?/ í^o/R'&S) dans laquelle V est la vi- tesse moyenne d'écoulement, R'& est le rayón hydraulique par rapport á la granulométrie, et rf35 est la granulométrie du matériau, telle que 35 % de ce matériau soient plus fins que d3 5. L'indice b signiñe que le rayón hydraulique du fond est utilisé dans les calculs. Sur la base de cette courbe (présentée dans la figure 1), Einstein a proposé la méthode suivante pour calculer R'6 : Etapes :
1 : O'n determine le rayón hydraulique du fond R6 (sinon, on utilise R ) ;
2 : On suppose que R^ = Rh;
3 : On calcule <}," = [(?, — ?/)/?,] (:d^/R\S);
4 : Sur la base de la courbe de la figure 1, on
determine V/V"*; (9) 5 : On calcule V == 5,75 V log1 0 (12,27 R\x/dsr))
oü x=f (df l 5 V ' * ) / v , et . r = l pour (d6 5/8) > 5;
6 : Connaissant V et V/V"*, on calcule V"* et 7 : On calcule une nouvelle valeur pour :
R'i> = R?; — R"&;
8 : En utilisant cetic nouvelle valeur de R'7„ on recalcule R'V
9 : On essaye l'approximation suivante.
Pour déterminer le t r a n s p o r t par charriage de fond. on fera intervenir une valeur de V*, R\
et T0 ainsi obtenue, dans l'équation d'Einstein.
Les objections suivantes s'élévent contre l'uli- lisation de V* pour la résolution des problémes de t r a n s p o r t p a r charriage de fond :
a) En développant la relation entre V / V * et
<!/", on utilise l'équation (9) afín de détermi- ner le cisaillement dü á la rugosité des grains.
Mais cette équation n'est valable que pour u n fond non aíTouillable, et F extensión de cette vaiidité á u n fond affouillable est douteuse.
P a r exemple, l'équation (9) admet une valeur de 0,40 pour la constante de Karman. alors que cette valeur se revele, dans u n cas réel, comme étant fonction du régime d'écoule- ment [ 4 ] .
b) La courbe d'Einstein et de Barbarossa expri- m a n t V/V"* en fonction de n'est pas exacte. Iwagaki [ 6 ] , et depuis, Vanoni et Brooks [11], ont demontre que la confron-
t a r o n de résultats d'essais en canal avec des valeurs calculées d'aprés cette relation met en évidence u n e dispersión considerable. Les auteurs du présent rapport ont tracé les courbes des données provenant de diverses sources sur la figure 1, qui présente égale- ment une forte dispersión. Cet écart peuf étre imputé, du moins en partie, aux deux raisons suivantes :
1. L'échelle des irrégularités sur le fond du canal peut étre différente de celle des ca- naux n a t u r e l s ;
2, II n'a pas été tenu compte d'une troisiéme variable importante, celle que le nombre de Froude, bien que cette variable puisse étre significative. Or, la raideur et la pente des dunes (rapport l o n g u e u r / h a u t e u r ) dé-
pend, en fait, á la fois de T* et du nombre de Froude.
c) E t a n t donnc que les calculs de V * sont bases sur les étapes a et bf les valeurs de V * sont peu sures. De plus, le procede de détermination des valeurs de Y \ p a r approximations suc- cessives nécessite u n temps appréciable.
Les auteurs pensent, pour ees diverses rai- sons, qu'il serait préférable d'aborder le p r o - bléme du t r a n s p o r t p a r charriage de fond p a r une méthode autre que celle d'Einstein.
V a r í a t i o n d e <yB* e n fonction d e T * .
La p l u p a r t des données utilisées pour la pré- sente analyse sont indiquées dans la référence
[7]. La granulométrie du matériau utilisé varié entre 0,486 m m et 15,49 m m . Le débit solide, tel qu'indiqué dans la référence, contient une faible fraction de particules en suspensión, mais puis- que les m a t é r i a u x faisant l'objet des données uti- lisées sont relativement gros, le débit solide m e n - tionné dans la référence est consideré comme r e p r e s e n t a n ! le débit de charriage. Cette hypo- thése s'est vérifiée p a r des calculs p o u r des maté- riaux de 0,786 mm. Le taux et la vitesse de ci- saillement relatifs au fond ont servi au calcul des p a r a m é t r e s T* et q%.
La figure 2 montre la variation de q% en fonc- tion de ?*, pour toutes ees données. On constate une forte dispersión aux faibles valeurs de T*, done également aux faibles valeurs de q%. Cette dispersión diminue progressivement, á mesure que le p a r a m é t r e T * croit.
Afm de déterminer la cause de cette dis- persión, on a indiqué pour chaqué point le type de régime de fond correspondant (régime á fond dunaire ou plan).
L'examen approfondi de la figure 2 m o n t r e que les données pour un fond plan tendent á s'ali-
MAI-JUIN 1961 - N ° 3 G A R D E ET A L B E R T S O N 285 gner sur une seule courbe. II est tout á fait logi-
que de s'attendre á ce que les données p o u r un fond d u n a i r e n e se trouvent p a s sur la ménie courbe que celles du fond plan, car, dans le cas du fond dunaire, u n e partie du cisaillement total sert á vaincre la résistance due aux irrégularités du fond, et ii s'ensuit qu'une partie moins im- portante du cisaillement reste disponible pour le charriage. G'est pour cette raison que Ton a dis- tingué entre, d'une part, les données relatives á u n fond plan, et, d'autre part, celles p o u r u n fond dunaire, et qu'elles ont été anaiysées sepa- rément.
Variation de qB* en fonction d e T * , pour un r é g i m e d e fond plan.
La figure 3 m o n t r e la variation de q*B en fonc- tion de T * p o u r u n régime de fond plan, ainsi que les courbes e x p r i m a n t les équations d'Ein- stein et de Kalinske.
Bien que les données ne soient conformes, soit á Tune, soit á Fautre de ees équations, on cons- tate cependant que toutes les valeurs pour T* > 0,06 s'alignent sur u n e courbe unique. Une assez forte dispersión apparait pour les valeurs correspondant á T* < 0,06.
La dispersión des données de la figure 3 aux faibles valeurs de T* parait étre imputable á une cause bien déterminée. L'examen des équations de t r a n s p o r t p a r charriage proposées par des au- teurs tels que Du Boys, FUnited States W a t e r - ways Experiment Station, et d'autres, montre qu'elles peuvent étre éerites sous la forme ;
q% = f (10) dans laquelle T *0 = T6/ ( ts — y¡) d, et tü étant le
cisaillement critique, pour une granulométrie donnée du matériau de fond, et m étant une constante. Dans leurs recherches, Shields et Iwa- gaki [6] m o n t r e n t que T *c atteint une valeur quasi-constante de 0,05, pour les matériaux re- íativement gros. On peut done, pour ees gros matériaux, réduire Féquation 10 á la forme :
9 * B = / ( * * ) . ( 1 )
P a r contre, p o u r les matériaux plus fins, <r*6. n'est pas une constante, étant fonction de V*c?/v ( v = la viscosité cinématique du fluide); il en resulte que la t r a n s f o r m a r o n de Féquation (10) en Féquation (1) ne p e u t étre q u ' u n e approxima- tion. Ceci pourrait expliquer la dispersión consta-
tée á Fextrémité inférieure de la courbe q*ü en fonction de T*, pour les faibles granulométries.
E n outre, T *c sera relativement petit pour les m a t é r i a u x fins aux grandes valeurs de T*, de
sorte que (T* — T*C) ^ T*. La transformation dans ees conditions, de Féquation (10) en Féqua- tion (1), donnerait done lieu á u n faible écart aux valeurs relativement élevées de T*, méme pour un matériau fin.
On peut également attribuer une partie de cette dispersión constatée aux faibles valeurs de r \ a Fimpossibilité de mesurer, avec u n e preci- sión suffisante, le débit de charriage correspon- dant aux contraintes de cisaillement peu élevées.
Puisque ni Féquation d'Einstein, ni celle de Kalinske, n'expriinent la variation de q% en fonction de T* pour une gamme de valeurs de T*
plus étendue, les auteurs proposent la courbe en trait plein de la figure 3 comme pouvant ser- vir de nouvelle base d'évaluation du transport p a r charriage, en régime de fond plan. Con- naissant alors T*, on peut évaluer le débit de charriage en employant la courbe nouvellement proposée de la figure 3.
Variation d e qB* en fonction de T * , en régime d e fond dunaire.
La figure 4 montre la variation de q*Yt en fonction de T*, pour le cas d'un fond rendu ru- gueux par la formation de rides et de dunes, On voit immédiatement que les points ne ten- den t guere a s'aligner sur une courbe unique.
La grande dispersión des points laisse entrevoir la possibilité, qu'en plus de 7*3. et de T*, un troi- siénie p a r a m é l r e sans dimensions doive vraisem- blabícment iníluer sur le phénoméne du transport
par charriage de fond.
Tsubaki et d'autres auteurs [10] ont montre en 1953 que, pour des valeurs égales de T*, le débil de charriage de fond exprimé p a r q*n est plus faible en régime dunaire qu'en régime de fond plan. Autrement dit, la formation des rides et des dunes diminue le débit de charriage. 11 s'ensuit que le troisiéme parámetro á introduire dans la courbe de 7*,. en fonction de T*, doit étre tel qu'il puisse exprimer la variation de la rugosité du fond.
II s'est revelé, á la suite de quelques études pré- liminaires, que I'adoption de V/V*, comme troi- siéme paramétre, permettait d'obtenir la meil- leure corrélation. On a, p a r conséquení, introduit V/V* comme troisiéme variable de la relation de
<7*B en fonction de T* de la figure 4, variable pour laquelle il est possible de tracer des courbes de valeurs égales de V/Y*.
Dans le cas d'un chenal alluvionnaire rectili- gne, on peut dislinguer entre deux parties du cisaillement total T, ainsi que Fa proposé Ein- stein. Ges deux parties sont : la contrainle de cisaillement T',) ( due á la rugosité des grains, et la contrainle de cisaillement complémentaire T, / 0,
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due aux irrégularités de fond. Le terme T "0 cor- respond á la trainée due á la forme des dunes sur le fond. Le coefficient sans dimensión de Chézy, c'est-á-dire V/V*, peut étre adopté comme Índice á la fois de ees irrégularités du fond, et de la valeur c"0.
A mesure que la valeur de V/V* diminue, c'est- á-dire lorsque le fond devient plus rugueux, le cisaillement disponible pour le t r a n s p o r t par char- riage de fond diminue également, ct, p a r eonsé- quent, le débit de charriage.
La figure 4 peut ainsi représenle!* les varia- üons de 7*B en régime de fond dunaire, en fonc- lion des variations du cisaillement et de la résis- tance á FécoulemenL Elle permet également de donner un sens physique au probléme du t r a n s port p a r charriage de fond. Enfin, elle rend beaiu coup plus aisée Févaluation du débit de char
riage, puisqu'elle elimine toute nécessité de dé- terminer le V * d'Einstein par un procede labo- rieux d'approximations successives.
Les figures 3 et 4 permettent de calculer le dé
bit solide, pour des valeurs connues de V, D, S, d, et pour un régime d'écoulement donné.
Détermination des régimes d'écoulement.
Les auteurs du présent rapport ont derniére- ment [ 4 , 5 ] proposé u n critére pour la détermi
nation des régimes d'écoulement. Ce critére est non seulement valable pour les données prove- n a n t d'essais dans des canaux expérimentaux, mais il s'applique tout aussi bien aux données relatives aux cours d'eau naturels. Les auteurs proposent Futilisation de ce critére (indiqué sur la figure 5 ) pour déterminer le régime d'écou- lement.
^emerciements
L'étude faisant Fobjet du présent rapport re
présente une partie de la thése de doctoral pré- sentée, sous la supervisión de M. A. Albertson, par Rain J. Garde á FUniversité de FEtat du Colo
rado, á F o r t Collins (U.S.A.). Les auteurs ont été tres sensibles aux suggestions et conseils si aima- blement apportés p a r M. le Dr Iwagaki, Profes- seur adjoint de Génie civil á FUniversité de Kyoto (Japón).
