Décrire le monde quantique
PC Lycée Dupuy de Lôme
1 Dualité onde-corpuscule Pour la lumière Ondes de matière
2 Description de l’état quantique Interprétation de Born Densité de probabilité Normalisation
Inégalité d’Heisenberg Principe de superposition
Dualité onde-corpuscule Pour la lumière
Au XV IIesiècle, deux écoles s’affrontent afin de modéliser la propagation lumineuse
Newton avec une approche corpusculaire de la lumière Fresnel avec un concept ondulatoire par analogie aux ondes mécaniques
Les expériences d’interférence d’Young tranchent en faveur de Fresnel. La modélisation de Maxwell renforce cette approche. Cependant le caractère ondulatoire ne permet pas d’expliquer des phénomènes tels que l’effet photoélectrique.
Dualité onde-corpuscule Pour la lumière
Les expériences d’interférence d’Young tranchent en faveur de Fresnel. La modélisation de Maxwell renforce cette approche. Cependant le caractère ondulatoire ne permet pas d’expliquer des phénomènes tels que l’effet photoélectrique.
Relation de Planck-Einstein
On associe à une onde électromagnétique de pulsation ω et de vecteur d’onde Ð→
k =k.Ð→u des photons d’énergieE et de quantité de mouvementÐ→p tels que
E =h.ν et Ð→p = ̵hÐ→k Constante réduite de Planck :h̵ = h
2.π ≡10−34 J.s
Dualité onde-corpuscule Ondes de matière
Modèle proposé en 1923 par Louis de Broglie Validé par Davisson et Germer en 1927
relation de de Broglie
On associe à un corps matériel d’énergie E et de quantité de mouvement Ð→p une onde de de Broglie (ou onde de matière) de fréquenceνDB et de longueur d’onde λDB tels que
E=h.νDB et λDB= h p
Attention νDB≠ c λDB...
Description de l’état quantique Interprétation de Born
Fonction d’onde
L’état physique d’une particule quantique (quanton) est parfaitement défini par une fonction d’onde complexe Ψqui représente l’amplitude de probabilité de l’état considéré.
La fonction d’onde est caractéristique de l’état en un pointM, à l’instant t:Ψ(M, t)
On se limitera au cas unidimensionnel :Ψ(x, t)
Description de l’état quantique Densité de probabilité
Pour la lumière, une zone d’intensité lumineuse élevée peut être vue comme une zone où la probabilité d’y recevoir un photon est forte. Mais c’est également une zone l’énergie électrique associée à l’onde est élevée, donc où ∣E∣2 est élevé.
Par analogie...
densité de probabilité
∣Ψ∣2 représente la densité de probabilité d’existence de l’état physique du quanton.
ρ(M) = dP
dτ = ∣Ψ(M, t)∣2
Pour le cas particulier unidimensionnel, on parlera plutôt de densité linéïque de probabilité
ρ(x) = dP
dx = ∣Ψ(x, t)∣2
Description de l’état quantique Normalisation
Normalisation de la fonction d’onde
La probabilité de trouver la particule dans tout l’espace doit être égal à 1.
b ∭espace∣Ψ(M, t)∣2.dτ =1 Pour le cas unidimensionnel :
b ∫espace∣Ψ(x, t)∣2.dx=1
Ex : Ψ(x, t) =A.sin(π.x.x
L ).e−i.E.th̵ ∀0<x<Let Ψ(x, t) =0sinon.
Exprimer A
Description de l’état quantique Normalisation
Exemple : Orbitale atomique
Orbitale atomique
L’orbitale atomique correspond à la fonction d’onde associée à un électron d’un atome.
On peut représenter une surface à l’intérieure de laquelle la probabilité de trouver l’électron est de 95% par exemple.
Description de l’état quantique Inégalité d’Heisenberg
Indétermination ∆X
A une variable X est associée une indétermination ∆X pour sa mesure telle que
∆X=√
⟨X2⟩ − ⟨X⟩2
Principe d’indétermination d’Heisenberg
La mesure à un instant donné de la positionx et de l’impulsion px d’un quanton présentent des indéterminations ∆x et∆px vérifiant l’inégalité
∆x.∆px⩾ h 4.π
Description de l’état quantique Principe de superposition
Principe de superposition
Si on peut imaginer plusieurs états associés au quanton, la fonction d’onde correspondra alors à une combinaison linéaire de ces états.
Φ=α1.Φ1+α2.Φ2+...
Φdoit être normalisée.
Description de l’état quantique Principe de superposition
Exemple : Interférences et trous d’Young
On note resp. Φ1=Φ1.ejϕ1 et Φ2=Φ2.ejϕ2 les fonctions d’ondes associées aux quanton lorsque seule la fenteF1 ouF2 est ouverte.
Déterminer la loi de probabilité enM lorsque les deux fentes sont ouvertes.
Par symétrie du système, on peut proposer la fonction d’onde : Φ=α.[Φ1+Φ2]
On a donc :∣Φ∣2=α2.[∣Φ1∣2+∣Φ2∣2+2.∣Φ1∣.∣Φ2∣.cos∆ϕ]
