TEST MATHEMATIQUES PE1 11/2009 (1h30) Les calculatrices sont autorisées. EXERCICE 1 (7 points) On considère trois cercles (

TEST MATHEMATIQUES PE1 11/2009 (1h30)

Les calculatrices sont autorisées.

EXERCICE 1 (7 points)

On considère trois cercles

(C

₁

)

,

(C

₂

)

et

(C

₃

)

de même rayon, noté

r

, et de centres respectifs

I

,

O

et

J

. Dans tout l'exercice, le rayon r est un nombre entier non nul.

Nous savons que :

 les trois points

I

,

O

et

J

sont alignés et dans cet ordre ;

 le cercle

(C

₁

)

est tangent au cercle

(C

₂

)

;

 le cercle

(C

2

)

est tangent au cercle

(C

3

)

;

 le point

E

est à l'intersection de la droite

(OI)

et du cercle

(C

1

)

, et n'appartient pas au cercle

(C

2

)

;

 la droite

(



)

est tangente au cercle

(C

₃

)

en

T

et passe par

E

;

 la droite

(



)

coupe le cercle

(C

₂

)

en

A

et en

B

;



H

est le point de

(



)

tel que

(OH)

et

(



)

sont perpendiculaires.

1. On pose

OH = a

.

a. En utilisant le théorème de Thales, démontrer que : 3 a5r. b. Démontrer que

H

est le milieu de

[AB]

.

c. Quels sont les nombres

r

pour lesquels

a

est un nombre entier ? d. Pour quelle(s) valeur(s) de

r

le nombre

a

est-il un nombre premier ?

2. Pour cette question, on suppose que

r = 3 cm

.

a. En utilisant uniquement la règle et le compas, reproduire la figure sur la copie à la taille réelle.

On laissera apparents tous les traits de construction ; on ne demande pas de rédaction.

b. Calculer

HB

, puis

AB

(on pourra utiliser la première question). Mesurer

AB

sur la construction de la question a. Que peut-on conclure ?

EXERCICE 2 (7 points)

On joue aux fléchettes sur une cible comportant trois zones : une à

5

points, une à

7

points et une à

11

points.

On s’intéresse aux différents scores possibles, le nombre de fléchettes n’étant pas limité.

Par exemple,

30

est un score possible puisque

30 = 11+7+7+5

ou

30 = 5 +5 +5 +5 +5 +5

. 1. Vérifier que

26

,

43

,

220 012

sont des scores possibles. Le score

13

est-il possible ?

2. On dit que deux jeux sont identiques si, pour chacun d’entre eux, chaque zone de la cible comporte le même nombre de fléchettes. Par exemple les jeux correspondant aux scores :

7 + 5 + 5 + 11

et

5 + 7 + 11 + 5

sont identiques.

a. Démontrer qu’il existe deux jeux différents et deux seulement correspondant au score

34

. b. Trouver quatre jeux différents donnant le score

40

.

3. Trouver tous les scores que l’on peut obtenir avec un lancer de trois fléchettes ayant toutes atteint la cible. Présenter les résultats de manière organisée.

Question complémentaire (6 points)

Le document de l’annexe 1 présente un problème relevé dans la revue Grand N.

1. Répondre aux deux questions posées. Lors d’une première lecture, une donnée peut sembler manquer.

Laquelle ? Pourquoi n’est-ce pas le cas ?

2. L’annexe 2 présente les travaux de cinq groupes d’élèves d’une classe à qui l’on a posé ce problème (les travaux portent uniquement sur la première question de l’annexe 1).

Décrire les procédures utilisées par chacun de ces cinq groupes et analyser les erreurs.

ANNEXE 1

1

2

ANNEXE 2

GROUPE 1

GROUPE 2

GROUPE 3

GROUPE 4

GROUPE 5