Correcteur proportionnel intégral : Méthodes de détermination Correction.

Correcteur proportionnel intégral : Méthodes de détermination Correction.

Schéma blocs :

Avec :

𝐺(𝑝) = 4

(1 + 600 ∙ 𝑝) ∙ (1 + 1200 ∙ 𝑝) Diagrammes de Bode de 𝐺(𝑝) :

Q1.𝐶(𝑝) = 1 : FTBO non corrigée.

𝐹𝑇𝐵𝑂(𝑝) = 𝐾_𝑐𝑎𝑝∙ 𝐺(𝑝) = 𝐾_𝑐𝑎𝑝∙ 4

(1 + 600 ∙ 𝑝) ∙ (1 + 1200 ∙ 𝑝)

20 ∙ log(4 ∙ 𝐾_𝑐𝑎𝑝) = −5 𝑑𝐵 ⟺ 𝑲_𝒄𝒂𝒑= 𝟎. 𝟏𝟒

Pour que le système soit bien asservi, il faut que 𝜀(𝑝) = 0 lorsque 𝑌(𝑝) = 𝑌_𝑐(𝑝) donc ici : 𝐾_𝐴= 𝐾_𝑐𝑎𝑝

12 dB

-180°

-5 dB

𝐶(𝑝) 𝐺(𝑝)

𝐾_𝐴

𝐾_𝑐𝑎𝑝 + -

𝑌_𝑐(𝑝) 𝜀(𝑝) 𝑌(𝑝)

-180°

Q2. Paramètres caractéristiques de H(p) : 𝐾 = 0.36 ; 𝜔_𝑛 = 0.00147 𝑟𝑎𝑑. 𝑠⁻¹ ; 𝑎 = 0.85 Q3. Vérification de la conformité : Tracé de la réponse pour un échelon unitaire :

Tableau récapitulatif :

Cahier des charges Système non corrigé

Rapidité 𝑡_5% < 2500𝑠 𝑡_5% = 2520𝑠

Stabilité Marge de phase≥ 45°

Marge de gain ≥ 13𝑑𝐵

Marges non définies : Stable

Précision 𝜀_𝑠 = 0 𝜀_𝑠= 0.64

𝜀_{𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒} = 64%

Performances : 𝜀_𝑠= 0.64 ; 𝑡_5% = 2520 𝑠

FTBO corrigée avec un correcteur PI

𝐶(𝑝) = 𝐾_𝑝∙ (1 + 𝑇_𝑖∙ 𝑝 𝑇_𝑖∙ 𝑝 )

Q4. Il s’agit donc d’un correcteur Proportionnel Intégral, le point fort de ce type de correcteur est l’annulation de l’erreur statique pour un essai échelon.

Q5. 𝑇_𝑖 = 𝑇_𝑚𝑎𝑥 = 1200 𝑠

Q6. Tracés avec 𝐾_𝑝 = 1 ⟹ 𝐶(𝑝) =^{1+1200∙𝑝}

1200∙𝑝

Réponse fréquentielle (FTBO) :

Détermination de Kp afin d’obtenir la marge de phase mini autorisée (45°):

Lecture sur les diagrammes de Bode :

• Estimation de 𝜔_0𝑑𝐵 pour une marge de phase de 45° :

𝜙(𝜔_0𝑑𝐵) = −(180 + 45°) = −135° la lecture graphique nous donne : 𝜔_0𝑑𝐵 ≈ 1,7 ∙ 10⁻³ 𝑟𝑎𝑑. 𝑠⁻¹

• Estimation de la translation de la courbe de gain pour verifier 𝐺(𝜔_0𝑑𝐵) = 0 𝑑𝐵 : Translation vers le haut de la courbe d’environ : 𝑇_𝑑𝐵≈ 14 𝑑𝐵, ce qui correspond à l’introduction dans la FTBO d’un gain 𝐾_𝑝 ≈ 10¹⁴²⁰≈ 5

Calcul de 𝜔_0𝑑𝐵 et 𝐾_𝑝 : on rappelle que la FTBO corrigée est égale à : 𝐹𝑇𝐵𝑂𝑐(𝑝) = 𝐾_𝑝∙ ^4∗0.14

1200∙𝑝∙(1+600∙𝑝)

Pour 𝜔_0𝑑𝐵 :

−135° = − arg(1200 ∙ 𝑗 ∙ 𝜔0𝑑𝐵) − arg(1 + 600 ∙ 𝑗 ∙ 𝜔_0𝑑𝐵)

−135° = −90° − arctan(600 ∙ 𝜔_0𝑑𝐵) 𝜔_0𝑑𝐵 = 1

600≈ 1,67 ∙ 10⁻³ 𝑟𝑎𝑑. 𝑠⁻¹

Marge de phase environ 75° ; marge de gain non définie = stabilité ok

Détermination de la valeur de 𝐾_𝑝 ∶ 𝐺(𝜔_0𝑑𝐵) = 0 𝑑𝐵 Donc :

0 = 20 ∙ log(𝐾𝑝) + 20 ∙ log(4 ∙ 0.14) − 20 ∙ log(1200 ∙ 𝜔_0𝑑𝐵) − 20 ∙ log (√1 + (600 ∙ 𝜔0𝑑𝐵)²) En remplaçant 𝜔_0𝑑𝐵 par la valeur trouvée ci-dessus on trouve 𝐾_𝑝 = 5

Tracé de la réponse fréquentielle :

Tracé de la réponse temporelle à un échelon :

Q7. Tableau récapitulatif :

Cahier des charges Correction PI pôle dominant

Rapidité 𝑡_5% < 2500𝑠 𝑡_5% = 3750𝑠

Stabilité Marge de phase≥ 45°

Marge de gain ≥ 13𝑑𝐵

Marge de phase 45°

Marge de gain non définie : Stable

Précision 𝜀_𝑠 = 0 𝜀_𝑠 = 0

𝜀_{𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒} = 0%

La marge de phase est de 45°, la marge de gain n’est pas définie : Stabilité conforme au cahier des charges.

𝜀_𝑠 = 0 : L’erreur statique est nulle le critère de précision imposé par le cahier des charges est validé.

𝑡_5% = 3750 𝑠 : Le critère de rapidité n’est pas atteint.

Méthode du dixième : Q8. 𝜔_0𝑑𝐵 ≈ 3 ∙ 10⁻³𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠⁻¹ Q9. 𝜔_𝑐𝑖 =^{𝜔0𝑑𝐵}

10 = ¹

𝑇_𝑖= 3 ∙ 10⁻⁴𝑟𝑎𝑑 ∙ 𝑠⁻¹ donc 𝑇_𝑖 ≈ 3333 𝑠 Q10. C(p) =^1+3333∙p

3333∙p

Apport de gain :

𝐺(𝜔_𝑜𝑑𝐵) = 20 log (√1 + (3333 ∙ 𝜔_𝑜𝑑𝐵)²− 20 ∙ log (3333 ∙ 𝜔_𝑜𝑑𝐵) Soit en remplaçant 𝜔_0𝑑𝐵 par 3 ∙ 10⁻³ il vient :

𝐺(𝜔_0𝑑𝐵) = 0,43 𝑑𝐵 On constate que l’apport en gain est négligeable

Déficit de phase :

𝜙(𝜔𝑂𝑑𝐵) = 𝑎𝑟𝑔(1 + 𝑗. 3333 ∙ 𝜔_0𝑑𝐵) − 𝑎𝑟𝑔(𝑗. 3333 ∙ 𝜔_0𝑑𝐵) 𝜙(𝜔_𝑂𝑑𝐵) = arctan(3333. 𝜔_0𝑑𝐵) − 90°

Soit en remplaçant 𝜔_0𝑑𝐵 par 3 ∙ 10⁻³ il vient : 𝜙(𝜔_𝑂𝑑𝐵) = −5,7°

On constate que la marge de phase sera impactée par l’effet non nul de la phase du correcteur. Le cahier des charges ne sera pas respecté.

Q11. Pour 𝐾𝑝 = 1 on mesure 𝐺(𝜔0𝑑𝐵) ≈ −23 𝑑𝐵, il faut donc translater la courbe de gain de +23 dB , 20 log (𝐾𝑝) doit donc apporter 23 dB

Donc 𝐾𝑝 = 10^23/20 = 14 Q12.

Tracé de la réponse fréquentielle :

La marge de phase est de 38.4°, la marge de gain n’est pas définie : Stabilité n’est pas conforme au cahier des charges.

Tracé de la réponse temporelle à un échelon :

Q13. Tableau récapitulatif :

Cahier des charges Système non corrigé Correction PI pôle dominant Correction PI méthode 1/10

Rapidité 𝑡5%< 2500𝑠 𝑡5%= 2520𝑠 𝑡5%= 3750𝑠 𝑡5%= 2430𝑠

Stabilité Marge de phase≥ 45°

Marge de gain ≥ 13𝑑𝐵

Marges non définies : Stable

Marge de phase 45°

Marge de gain non définie : Stable

Marge de phase 39°

Marge de gain non définie : critère non atteint

Précision 𝜀_𝑠= 0 𝜀_𝑠= 0.64

𝜀_{𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒}= 64%

𝜀_𝑠= 0 𝜀_{𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒}= 0%

𝜀_𝑠= 0 𝜀_{𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒}= 0%

𝜀_𝑠= 0 : L’erreur statique est nulle le critère de précision imposé par le cahier des charges est validé.

𝑡5% = 2430 𝑠 : Le critère de rapidité est atteint.