Calcul intégral Exercices

Terminale S

Calcul intégral Exercices

1. 1. Questions de cours : équations différentielles 1

1. 2. Calcul de primitives 1 1

1. 3. Calcul de primitives 2 3

1. 4. Calcul d’intégrales 3

1. 5. Encadrement-1 4

1. 6. Encadrement-2 4

1. 7. Vrai-Faux justifié, Asie 2007 4 1. 8. Vrai-Faux justifié, Polynésie 2008 4

1. 9. ROC+aire, Antilles 2007 5

1. 10. ROC+Intégrales, France 2007 6 1. 11. ROC+aire, Antilles remplt 2007 6 1. 12. Fonction intégrale, Polynésie sept 2007 7

1. 13. Volume de révolution-1 9

1. 14. Volume de révolution-2 9

1. 15. argch x 9

1. 16. fonction trigo 9

1. 17. Intégrale et suite 1 9

1. 18. Intégrale et suite 2 10

1. 19. Intégrale et suite 3 10

1. 20. Intégrale et suite 4 : constante d’Euler 11

1. 21. Intégrale et suite 6 12

1. 22. Intégrale+suite 7, France et La Réunion 2008 12 1. 23. Suite d’intégrales, Pondichéry 2007 12

1. 24. Intégrale 1 13

1. 25. Intégrale 2 13

1. 26. Intégrale 3 13

1. 27. Intégrale 4 13

1. 28. Intégrale 5 14

1. 29. Intégrale 6 14

1. 30. Intégrale 7, La Réunion 2005 15

1. 31. Intégrale + ROC 16

1. 32. ROC+intégrale, Polynésie 06/2008 16 1. 33. Autour de arctangente – ESME-SUDRIA 2001 18 1. 34. Equa diff 2^nd membre, Bac C, Pondicherry 1988 18 1. 35. Equa diff 2^nd membre, Antilles 1988 19 1. 36. Equa diff 2^nd membre, Antilles 2000 19 1. 37. Equa diff+suites, France 2003 19

1. 38. Equa diff : apprentissage 20

1. 39. Equa diff : pendule 20

1. 40. Equa diff : lancer de balle 21

1. 41. Equa diff : quotient 21

1. 42. Equa diff : équation de Bernoulli 22

1. 43. Equa diff : populations 22

1. 44. Equa diff : second ordre 23

1. 45. Equa diff : équation de la chaleur 24 1. 46. Equa diff+ROC, La Réunion 2005 24 1. 47. Equa diff + aire, Asie 2006 25 1. 48. Equa diff+ROC, France sept 2006 26 1. 49. Equa diff trigo, France remplt 2007 26 1. 50. Méthode de Newton, C. étrangers 2007 27 1. 51. La bonne vitesse du volant 27

1. 52. STL, France, juin 2004 30

1. 53. Equa diff 2^nd ordre, STL, France, juin 2005 30 1. 54. Équa diff+courbe, France 2010, 6 points 30 1. 55. Équa diff+intégrale, La Réunion 2010, 5 points 31 1. 56. Equa diff, 2^nd membre, Am. du Sud 11/2008 32

1. 1. Questions de cours : équations différentielles Valider ou infirmer les propositions suivantes :

1. Les solutions de l’équation différentielle : y’ + 4y = 0 sont les fonctions définies sur ℝ _par ( ) 4^x

f x =e⁻ +C où C est une constante réelle.

2. La fonction définie pour tout x réel par f x( )=e^−7x+5 est l’unique solution de l’équation différentielle : y’ = −7 y + 35 et y(0) = 5.

1. 2. Calcul de primitives 1

Déterminez une primitive de f sur I dans chacun des cas suivants : (pensez à vérifier vos réponses) 1. f x( ) 12= x⁵−4x³+1 ; I=ℝ 16. f x( )= −sinx+2cosx ; I=ℝ

2. 4₂

( ) 3 ; ]0 ; [

f x I

= −x = +∞ 17. 0,5

( ) ;

² 1

f x x I

x x

= + =

+ + ℝ

3. 3 ₃

( ) ;

( ² 1)

f x x I

= x =

+ ℝ 18. 3₂

( ) 1 ; ]0 ; [

f x I

= − +x = +∞

Terminale S 2 F. Laroche

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4. 2

( ) ; ]1 ; [

² 1

f x x I

= x = +∞

− ^19.

3 2

( ) 7 2 3 ;

f x = x − x + I=ℝ

5. 6 3

( ) ;

² 1

f x x I

x x

= + =

+ + ℝ _{20. ( )} ² _{sin ; ;}

cos ² 2 2

f x x I

x

π π

 

= + = − +  6. f x( )= −cosx+2sinx ; I=ℝ 21. f(x) = 3 + cos x, I=ℝ

7. f x( ) cos sin= x ³x ; I=ℝ 22. f(x) = sin 3x, I=ℝ

8. 1

( ) cos ; ;

cos ² 2 2

f x x I

x

π π

 

= + = − +  23. sin

( ) cos ² f x x

= x, ;

2 2

I_{= −} π ₊π _

 

 

9. f x( ) (2= x+1)² ; I=ℝ 24. ( )

² 3 f x x

= x

− , I=

]

3 ;+ ∞

[

10.

4 4 ² 2

( ) ; ]0 ; [

²

x x

f x I

x

− −

= = + ∞ 25. f x( )=x x²( ³+2)³, I=ℝ

11. f x( ) (3= x−1)² ; I=ℝ 26. 5 2

( ) 2 cos 3 4sin cos

6 3 3 3

f x =  x−π −  x+π + π

12.

2 4 3 ² 1

( ) ; ]0 ; [

²

x x

f x I

x

− +

= = +∞ 27. 5

( ) 4

7 3 1

f x = x −

− , I= 1 3;

 + ∞

 

 

13. 3

( ) 3 ² ; ]1 ; [ 1

f x x I

x

= = +∞

− ^{28. 3 7}

3 1

( ) (2 4) 4(5 )

f x = x + x

− − , I=] 2 ; 5[

14. 5 ₃

( ) ;

( ² 1)

f x x I

x

= − =

+ ℝ 29.

2

3 2 4

( ) (2 3 ) x x

f x x x

= +

+ ^{, I=]0 ; +∞[} 15. f x( ) cos sin= x ⁴x ; I=ℝ 30.

4 3

3

5 2 4 1

( ) x x x

f x x

+ − +

= , I=]0 ; +∞[

Quelques réponses

1. Solution : F x

( )

=2x⁶ −x⁴+ +x K. 2. F x

( )

3x ⁴ K

= + +x .

3.

( ) ( ) ^{( )} ( )

( )

3 3 1

2 2

2 2

3 3 1 3

2 1 1

2 2 3 1 4 1

f x x x F x x K K

x

− − +

 

=  + ⇒ = − + + + = − + + ^.

4.

( )

²

(

^{2 1}

)

^{1/ 2}

^{( )}

₁¹

(

^{2 1}

)

^{12 1 2 2 1}

2 1

f x = x x − ⁻ ⇒F x = − + x − ^{− +} +K= x − +K .

5.

( )

³

(

^{2 1}

) (

^{2 1}

)

^{1/ 2}

^{( )}

₁³

(

^{2 1}

)

^{12 1 6 2 1}

2 1

f x =  x+ x + +x ⁻ ⇒F x =− + x + +x ^{− +} +K= x + + +x K .

6. F x

( )

= −sinx−2 cosx+K. 7.

( )

¹sin⁴

F x = 4 x+K. 8. F x

( )

=tanx+sinx+K.

9.

( )

¹ 2 2

(

1

)

²

( )

^{1 1}

(

2 1

)

^{2 1 1}

(

2 1

)

³

2 2 2 1 6

f x =  x+ ⇒F x = + x+ ⁺ +K= x+ +K^.

10.

( )

² 4 ²₂

( )

^{1 3} 4 ²

f x x F x 3x x K

x x

= − − ⇒ = − + + .

21. F(x) = 3x + sin x.

22. 1

( ) cos 3 F x = −3 x.

23. sin sin '( )

( ) cos ² cos ² ²( )

x x u x

f x x x u x

= = −− = − avec u(x) = cos x 1 1

( ) ( ) cos F x =u x = x.

24.

1 1

2 2

1 2

1 2 1 1

( ) 2 ( ² 3) '( ) ( )

2 2 2

² 3 ( ² 3)

x x

f x x x u x u x

x x

− −

= = = × × − =

− −

, u(x) = x² – 3, n – 1 = −1/2, n = ½,

1

2 1

( ) ( ) ( ² 3) ² 3

F x =u x = x − 2= x − .

25. u(x) = x³ + 2, u’(x) = 3x², n – 1 = 3, n = 4, G(x) = (x³ + 2)⁴, g’(x) = 4×3x²×( x³ + 2)³, F(x) = ¹₄^{G x( )=1}₄

(

^x3+2

)

^4.

1. 3. Calcul de primitives 2

1. Montrer grâce à la formule de duplication que pour tout réel x, ² 1 cos(2 )

cos 2

x= + x . En déduire une primitive sur ℝ de la fonction f : x→cos²x.

2. En utilisant la question 1. montrer que pour tout x, ⁴ cos(4 ) 4cos(2 ) 3

cos 8

x x

x + +

= . En déduire une

primitive sur ℝ de la fonction f ².

3. Montrer que pour tout x, cos³x=cosx−cos sinx ²x. En déduire une primitive sur ℝ de la fonction g : cos3

x→ x.

4. A l’aide d’une intégration par parties, donner une primitive sur ℝ de la fonction h définie par ( ) 2 sin(3 )

h x = x x .

5. Dans quel album d’Asterix voit-on pour la première fois Idefix ? 1. 4. Calcul d’intégrales

Calculez les intégrales suivantes (la rédaction doit être détaillée ; vous pouvez cependant vérifier vos réponses à l’aide de la calculatrice) :

a)

0 3 3

(x 2 ² 1)x dx

−

+ −

∫

^{; b) 2}

1

1

² 2 2

x dx

x x

−

− +

∫

^{; c)}

1 eln

tdt

∫

t ^{; d) 2 3}

1

2e dx^x

∫

^{; e) 3}

0

5 2 3dx

x+

∫

^{; f) 2}

1

(x+1)lnx dx

∫

^;

g)

1

ln

²

e x

x dx

∫

^{; h) 2}

0

sin cos cos ² 1

x x

x dx

π

∫

+ ^{; i)0 3}

2

(2x x 1)dx

−

∫

− + ^{; j) 2}

1

2 (3 1)²du

u−

∫

^{; k)}

1 eln

e

x dx

∫

x ^{; l) 2 2}

0

3e dx^x

∫

^;

m)

4

0

1 2 1dx

x+

∫

^{; n) 2}

1

² ln x x dx

∫

^{; o)}

1

ln 2

²

e t

t dt

∫

^{; p) 4 sin}

6

cosx e ^xdx

π

−π

∫

^;

q)

1 2

1

1 t t dt

− −

∫

^{; r)} 1^{2 2}

_{( )}

²

1 1

1 2

x x dx

+ +

∫

^{; s) 2 2}

2

1 tan 2 u du

π

−π

 

+  

 

∫

^.

Terminale S 4 F. Laroche

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t)

1 2 0

xe dxx

∫

^u) 0^{3 3}

sin cosx xdx

∫

π ^{, v)} 1²

e x

x dx

∫

^.

1. 5. Encadrement-1

Pour tout réel positif a, on définit ₂

1

( ) ^alnx

I a dx

=

∫

x ^.

1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ln( ) 1₂

( ) a 1

I a a

= − + . 2. En déduire la limite de I(a) quand a tend vers +∞.

3. On définit maintenant ₂

1

ln( )

( ) 1

a x

J a dx

= x

∫

+ . En utilisant (avec justification) que pour tout x supérieur à 1, x²≤x²+ ≤1 2x², montrer que 1

( ) ( ) ( ) 2I a ≤ J a ≤I a . 1. 6. Encadrement-2

Soit f la fonction définie sur [1 ; +∞[ par : ( )f x = x e^−x. Pour tout α>1, on considère l’intégrale :

2

( ) ( )

I f x dx

α

α =

∫

α ^.

1. Interpréter géométriquement le nombre ^I

( )

^{α .}

2. Démontrer que, pour tout ^x∈

[

^{1 ;+ ∞}

[

^{, on a : e−x ≤f x}

( )

^≤xe−x.

3. En déduire pour tout α >1 un encadrement de ^I

( )

^{α .}

4. Quelle est la limite de ^I

( )

^{α lorsque α} tend vers +∞ ?

5. Déterminer la dérivée par rapport à α de I. Quel est son signe ? Dresser le tableau de variation de I.

1. 7. Vrai-Faux justifié, Asie 2007 4 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fause et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si f est la fonction définie pour tout nombre réel x par : f x

( )

=sin²x, alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel x, f'

( )

x =sin 2x.

2. Soit f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 1], dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si f

(

−1

)

= −f

( )

1 , alors : ¹

( )

¹

( )

1 1

tf t dt f t dt

− = − −

∫ ∫

^.

3. Soit f une fonction définie et continue sur l’intervalle [0 ; 3]. Si ³

( )

³

( )

0 0

f t dt≤ g t dt

∫ ∫

, alors pour tout

nombre réel x appartenant à [0 ; 3] : f x

( )

≤ g x

( )

.

4. Si f est solution de l’équation différentielle y'= −2y+2 et si f n’est pas une fonction constante, alors la représentation de f dans un repère du plan, n’admet aucune tangente parallèle à l’axe des abscisses.

1. 8. Vrai-Faux justifié, Polynésie 2008 5 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si. elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète. ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. Soit f la fonction solution sur R de l'équation différentielle y'= − +y 2 telle que ^f

(

^{ln 2}

)

^=1.

Proposition 1 : « La courbe représentative de f admet au point d'abscisse 0, une tangente d'équation 2

y= x ».

2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle

[

^{A;+ ∞}

[

où A est un réel strictement positif.

Proposition 2 : « Si lim

( )

0

x f x

→+∞ = alors lim

( ) ( )

0

x f x g x

→+∞ = ».

3. On admet qu'un bloc de glace fond en perdant 10 % de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10 kg.

Proposition 3 : « À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ».

4. Soient A et B deux événements d'un même univers Ω muni d'une probabilité p.

Proposition 4 : « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(A∪B) = 0,8 ».

5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2 % de la production est défectueuse.

Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99 % des pièces défectueuses et accepte 97 % des pièces non défectueuses.

On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.

Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 », 1. 9. ROC+aire, Antilles 2007

6 points

Question de cours

Prérequis : positivité et linéarité de l’intégrale.

Soient a et b deux réels d’un intervalle I de ℝ _{tels que a≤b}. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l’intervalle I, f (x) > g (x), alors ^b

( )

^b

( )

a a

f x dt≥ g x dt

∫ ∫

^.

Partie A

1. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l’intégrale

( )

1

2

x

−t dt

∫

^.

2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l’intervalle

[

^{1 ;+ ∞}

[

^{, on a : 2 t 1}

− ≤ t. 3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a : 1 ² 3

2 ln

2x x 2 x

− + − ≤ .

Partie B

Soit h la fonction définie sur ℝ _par

( )

^{1 2} 2 ³

2 2

h x = − x + x− .

Sur le graphique joint, le plan est muni d’un repère orthogonal ( ; , )O i j dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien (ln) sur l’intervalle [1 ; 4]. On a a tracé également la droite (d) d’équation x = 4.

1. a. Démontrer que ⁴

( )

1 h x dx=0

∫

^.

b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente.

2. On note D le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4].

En utilisant une intégration par parties, calculer l’aire de D en unités d’aire.

Terminale S 6 F. Laroche

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1. 10. ROC+Intégrales, France 2007 3 points

1. Restitution organisée de connaissances

Démontrer la formule d’intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b].

2. Soient les deux intégrales définies par

0 xsin

I=

∫

^πe xdx ^et 0 xcos

J e xdx

=

∫

π ^.

a. Démontrer que I= −J et que I= +J e^π +1. b. En déduire les valeurs exactes de I et de J.

1. 11. ROC+aire, Antilles remplt 2007 5 points

Question de cours : soit I un intervalle de ℝ. Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées u’ et v’ soient continues sur I.

Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I.

Partie A

Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle

[

^{0 ; 1}

]

. On note f' la fonction dérivée de f. On suppose que f' est continue sur l’intervalle

[

^{0 ; 1 .}

]

1. Utiliser la question de cours pour montrer que ¹

( ) ( )

¹

( )

0f x dx=f 1 − 0xf′ x dx

∫ ∫

^.

2. En déduire que ¹

( ) ( )

¹

( )

0f x −f 1 dx= − 0xf′ x dx

∫ ∫

^.

Partie B

On désigne par ln la fonction logarithme néperien.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle

]

^{−2 ; 2}

[

^par

( )

ln ² 2 f x x

x

 + 

=  −  et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j d’unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

2. a. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle

]

^{−2 ; 2}

[

^{, on a '}

( )

⁴ ₂

f x 4

= x

− ^. b. En déduire les variations de f sur l’intervalle

]

^{−2 ; 2}

[

^.

Partie C

Le courbe C est tracée ci-dessous. Hachurer la partie P du plan constituée des points M(x ; y) tels que : 0≤ ≤x 1 et ^{f x}

( )

^{≤ ≤y ln 3.}

En utilisant la partie A, calculer en cm² l’aire de P.

1. 12. Fonction intégrale, Polynésie sept 2007 7 points

On désigne par (E) l’ensemble des fonctions f continues sur l’intervalle

[

0 ; 1 et vérifiant les conditions P

]

1, P₂ et P₃ suivantes :

P₁ : f est strictement croissante sur l’intervalle

[

^{0 ; 1 .}

]

P₂ : ^f

( )

^{0 =0 et f}

( )

^{1 =1.}

P3 : Pour tout réel x de l’intervalle

[

^{0 ; 1 ,}

]

^{f x}

( )

^≤x.

Terminale S 8 F. Laroche

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Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j du plan, on note (C) la courbe représentative d’une fonction f de l’ensemble (E) et (D) la droite d’équation y=x.

A toute fonction f de (E) on associe le nombre réel ¹

( )

f 0

I =

∫

x f x− dx^.

1. a. Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l’élimination des deux autres.

Courbe n°1 Courbe n°2 Courbe n°3

b. Montrer que, pour toute fonction f de (E), I_f ≥0.

2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle

[

0 ; 1 par

]

^{h x}

( )

^{=2x −1} (on rappelle que pour tout réel x, 2^x =e^xln 2).

a. Montrer que la fonction h vérifie les conditions P1 et P2.

b. Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle

[

0 ; 1 par

]

ϕ

( )

x =2^x− −x 1.

Montrer que, pour tout x de

[

^{0 ; 1 ,}

]

ϕ

( )

x ≤⁰ (on pourra étudier les variations de ϕ sur

[

0 ; 1 ). En

]

déduire que la fonction h appartient à l’ensemble (E).

c. Montrer que le réel I_h associé à la fonction h est égal à 3 1 2−ln 2.

3. Soit P une fonction définie sur l’intervalle

[

0 ; 1 par

]

P x

( )

=ax² +bx c+ où a, b et c sont trois nombres réels avec 0< <a 1. On se propose de déterminer les valeurs des réels a, b et c pour que la fonction P appartienne à l’ensemble (E) et que I_P = I_h.

a. Montrer que la fonction P vérifie la propriété P2 si et seulement si, pour tout réel de l’intervalle

[

^{0 ; 1 ,}

]

( )

²

(

¹

)

P x =ax + −a x.

Montrer que toute fonction P définie sur

[

0 ; 1 par

]

P x

( )

=ax² +

(

1−a x

)

avec 0< <a 1 appartient à (E).

b. Exprimer en fonction de a le réel I_P associé à la fonction P.

c. Montrer qu’il existe une valeur du réel a pour laquelle I_P =I_h. Quelle est cette valeur ?

1. 13. Volume de révolution-1

La fonction ( )f x = xe^x engendre en tournant autour de l’axe (Ox) un volume de révolution. Calculer à l’aide d’une intégration par parties le volume engendré par la portion de courbe délimitée par x = 0 et x = 1. En donner une valeur approchée à 10⁻² près.

1. 14. Volume de révolution-2

1. Calculer ^{4 2}

0

tan

I x x dx

π

=

∫

à l’aide d’une intégration par parties.

2. Soit la fonction définie sur 0 ; 2

 π 

 

  par : f x

( )

= xtanx dont la courbe (Cf) est représentée ci-contre dans le plan P muni du repère orthonormal ( ; , )O i j .

On considère le solide engendré par la rotation autour de l’axe ( ; )O i de la surface délimitée dans le plan P par l’axe ( ; )O i , la droite d’équation

x₌π4

et la courbe (C_f).

Sachant que l’unité graphique est de 2 cm, calculer le volume V du solide en cm³. 1. 15. argch x

Soit la fonction ^{f x( ) ln=}

(

^{x+ x2−1}

)

^.

1. Montrer que f existe sur [1,+ ∞[ ; calculer sa dérivée f’(x).

2. Déduisez en la valeur de ²

2 2 1

K dx

x

=

∫

− ^.

3. Pensez-vous pouvoir utiliser une méthode semblable pour calculer l’intégrale

1 2

1 2

2

'

1 K dx

− x

=

∫

− ^?

1. 16. fonction trigo

1. On pose F(x) = ax²cosx + bxsinx + c cosx (a, b, et c sont trois constantes réelles). Calculer F’(x).

2. Déterminer a, b et c pour que F soit une primitive de x²sinx.

3. En déduire le calcul de ^{2 2}

3

sin

x xdx

π

∫

π ^.

1. 17. Intégrale et suite 1

On considère la fonction numérique f définie par 1 ( ) 1 f x = x

+ ^.

1. Déterminer une fonction polynôme P, de degré inférieur ou égal à 3 qui a même valeur et même nombre dérivé que f en 0 et 1.

2. Soit k la fonction définie par 1 1 ³ 3 ²

( ) 1

1 4 4

k x x x x

= x+ − + −

+ . Factoriser k et en déduire la position relative de C_f et C_P, les courbes représentatives de f et P.

(Cf)

i j

Terminale S 10 F. Laroche

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3. A l’aide d’un encadrement de 1+x pour x dans [0 ; 1] montrer que

1 0

1 1

240<

∫

k x dx( ) <120^. 4. Calculer

1 0

( ) f x dx

∫

^et 0¹

( ) P x dx

∫

^.

5. Déduire des résultats précédents la valeur de l’entier n tel que 1 240 ln 2 240

n n+

< < . 6. On considère la suite géométrique u_n de premier terme 1 et de raison −x.

a. Calculer la somme des n premiers termes : s x_n( ) 1= − +x x²− + −... ( x)ⁿ ; en déduire

( ) 1

( ) ( ) 1

n n

f x s x x

x

− +

= +

+ ^. b. Montrer que

2 3 1 1

0 0

1 1 1 ( )

( ) ... ( )

2 3 1 1

a a n

n x

f x dx a a a x dx

n x

+ − +

= − + + + − +

+ +

∫ ∫

^.

c. Montrer que sur [0 ; a] on a

1 ( ) 1 1

1 1 1

n n n

a x a

a x a

+ − + +

− ≤ ≤

+ + + puis que

2 1 2

0

( )

1 1 1

n a n n

a x a

a x dx a

+ − + +

− ≤ ≤

+

∫

+ + . Préciser la

limite de

1 0

( ) 1

a xn

x dx

− +

∫

+ lorsque n tend vers +∞.

d. On admet que ce résultat reste valable lorsque a vaut 1. En déduire un algorithme de calcul de ln2.

Rappel : somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u0, de raison q :

1 0

1 1

qn

u q

− +

− . 1. 18. Intégrale et suite 2

Pour tout k entier on note f_k l’application de [0 ; 1] dans ℝ définie par ( )f x_k =x^k 1−x. On appelle C_k sa courbe représentative.

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f_k.

2. Donner, en distinguant suivant la valeur de k, le tableau de variations de f_k. 3. Etudier les positions respectives de C_k et C_k+1. Tracer les courbes C C C₀, ₁, ₂. 4. On pose ¹

0 k k( )

I =

∫

f x dx. Calculer ¹ ₀

0

( ) f x dx

∫

^.

a. Quel est le sens de variation de I_k ? Montrer que I_k converge vers une limite l que l’on ne cherchera pas.

b. Montrer, en intégrant par parties que pour tout entier k > 0, on a 2 ₁

2 3

k k

I k I

k ⁻

= + . En déduire une expression de I_k.

c. Montrer que pour tout k entier, on a

1 0

( ) 1

k

f x dx a

≤ k

∫

+ où a est une constante que l’on déterminera. En déduire la limite de I_k.

1. 19. Intégrale et suite 3

On considère la fonction f définie sur ℝ−{1} par ( ) 1

e x

f x x

−

= − . On rappelle que e≈2,7183.

La courbe C représentative de f dans un repère orthonormé est donnée sur la feuille jointe (les unités n’ont aucune importance) ; le tableau de variation de f est fourni ci-contre.

On considère l’intégrale

0 1 ( ) J f t dt

=

∫

− ; l’objet de l’exercice est de trouver un encadrement permettant un calcul approché de J et non d’en donner un calcul exact.

x

f

−∞

0

1 +∞

f’ + +

1 −∞

0

−

+∞ +∞ 0

1. Interpréter géométriquement J : on fera un petit croquis explicatif sur la feuille jointe que l’on rendra avec la copie. Donner une estimation à la louche de J.

2. Utiliser le tableau de variation de f pour justifier que 1 2 J e

≤ ≤ .

3. Rappeler la démonstration de la formule de la somme des termes d’une suite géométrique de 1^er terme 1 et de raison x. Justifier alors l’égalité :

2 1 1

1 ...

1 1

n xn

x x x

x x

+

+ + + + + =

− − ^. 4. En déduire que J=u₀+u₁+u₂+ +... u_n+R_n où

0 1

k t

uk t e dt⁻

=

∫

− ^{et 0}1 ¹ n ( ) Rn t⁺ f t dt

=

∫

− ^.

5. Justifier l’encadrement ^{0 1 0 1}

1 2 1

n n

n

t⁺ dt R e t⁺ dt

− ≤ ≤ −

∫ ∫

; en déduire que 1

1 ⁿ 2( 1)

R e

n ≤ ≤ n

+ + . Quelle est la limite de R_n quand n tend vers l’infini ?

On pose dorénavant S_n =u₀+u₁+ +... u_n ; on voit donc que la suite J S− _n tend vers 0, soit que les valeurs successives de S_n constituent une « bonne » approximation de J.

6. Jusqu’à quel terme n0 doit-on calculer S_n pour être sûr que

n0

S est une valeur approchée de J à 10⁻² près ? 7. On s’intéresse de plus près à u_k.

a. Calculer u₀.

b. En utilisant une intégration par parties montrer que ( 1)^k 1

k k

u = − e ku+ ₋ .

c. A l’aide de cette relation donner sous la forme a e b_k + _k, où ak et b_k sont deux entiers relatifs, la valeur de u u u u₁, ₂, ₃, ₄ et u₅. En déduire les valeurs de S₄ et S₅. Donner une estimation de la précision obtenue ainsi sur J.

1. 20. Intégrale et suite 4 : constante d’Euler

Soit les fonctions f et g définies sur ℝ _{par ( )f x = −x e}^x et ( ) (1g x = −x e) ^x. 1. a. Démonstration de cours : en utilisant seulement ln

lim 0

x

x x

→+∞ = , déterminer les limites de f et g en +∞ et −∞.

b. Montrer que la droite D(y = x) est asymptote de Cf. c. Dresser le tableau de variation de f et g.

2. a. Pour tout réel x, on pose h x( )=f x( )−g x( ). Déterminer le sens de variation de h.

b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point d’intersection d’abscisse α et que α∈

[

1 ; 2

]

. c. Etudier suivant les valeurs de x la position relative de Cf et Cg. Tracer D, Cf et Cg.

3. a. En utilisant les variations de f, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1+ ≤x e^x. b. En utilisant les variations de g, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1

1 ex

≤ x

− ^. c. On pose 1

x=k, k entier naturel. Déduire des questions précédentes que 1 1

ln ln

1

k k

k k k

 + ≤ ≤  

   − 

   .

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4. On s’intéresse à la suite 1 1 1

1 ... ln

2 3

Sn n

= + + + + −n .

a. A l’aide de votre calculatrice donner des valeurs approchées à 10^–4 près de S₁₀,S₂₀,S₃₀. Quelles conjectures pouvez vous faire sur le comportement de S_n ?

b. En utilisant les inégalités du 3. c. Montrer que (Sn) est décroissante et que 0≤S_n ≤1. Qu’en concluez- vous ?

1. 21. Intégrale et suite 6 On définit la suite d’intégrales :

1 0

01 ^x

I dx

= e

∫

+ ^{, 1 1}

01

x x

I e dx

= e

∫

+ ^{,…, 1}

01

nx

n x

I e dx

= e

∫

+ (n désigne un entier naturel).

1. Calculer I1 et I0 + I1. En déduire I0. Pour tout entier n, calculer I_n+I_n+1. 2. Montrer sans calcul que la suite (I_n) est croissante.

3. Prouver que pour tout x de [0 ; 1]

1 1 2

nx nx nx

x

e e e

e ≤ e ≤

+ + . En déduire un encadrement de I_n. 4. A partir de cet encadrement, déterminer la limite de I_n et celle de Iⁿ_n

e . 1. 22. Intégrale+suite 7, France et La Réunion 2008

4 points

On considère la suite numérique

( )

^J_n définie, pour tout entier naturel n non nul, par

1

1

n t

Jn=

∫

e⁻ t+ dt^. 1. Démontrer que la suite

( )

Jn est croissante.

2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutît pas.

On définit la suite

( )

^I_n , pour tout entier naturel n non nul, par

( )

1

1

n t

In =

∫

t+ e dt^{− .} a. Justifier que, pour tout t≥1, on a t+ ≤ +1 t 1.

b. En déduire que J_n≤I_n.

c. Calculer In en fonction de n. En déduire que la suite

( )

Jn est majorée par un nombre réel (indépendant de n).

d. Que peut-on en conclure pour la suite

( )

^J_n ^?

1. 23. Suite d’intégrales, Pondichéry 2007 5 points

On considère la fonction f définie sur

[

0 ;+ ∞

[

par

( )

ln

(

3

)

3 f x x

x

= +

+ ^.

1. Montrer que f est dérivable sur

[

^{0 ;+ ∞}

[

. Etudier le signe de sa fonction dérivée f ’, sa limite éventuelle en +∞ et dresser le tableau de ses variations.

2. On définit la suite

( )

u_{n n≥0} par son terme général _n ^{n 1}

( )

n

u f x dx

=

∫

+ ^.

a. Justifier que, si n≤ ≤ +x n 1, alors f n

(

+1

)

≤f x

( )

≤f n

( )

.

b. Montrer, sans chercher à calculer u_n, que pour tout entier naturel n, f n

(

+1

)

≤u_n ≤f n

( )

.

c. En déduire que la suite

( )

u_n est convergente et déterminer sa limite.

3. Soit F la fonction définie sur

[

^{0 ;+ ∞}

[

^par F x

( )

=ln

(

x+3

)

^2.

a. Justifier la dérivabilité de F sur

[

^{0 ;+ ∞}

[

et déterminer pour tout réel positif x le nombre F'

( )

x . b. On pose, pour tout entier naturel n,

( )

0 n

In =

∫

f x dx. Calculer I_n. 4. On pose, pour tout entier naturel n, S_n =u₀+u₁+ +... u_n−1. Calculer S_n. La suite

( )

S_n est-elle convergente ?

1. 24. Intégrale 1

L'objectif est de calculer les intégrales suivantes :

1 1 2 1

2

2 2

0 0 0

I ; J ; K 2 .

2 2

x dx x dx

x x

= = = +

+ +

∫

^dx

∫ ∫

1. Calcul de I

Soit la fonction f définie sur [0; 1] par f x( ) ln(= x+ x²+2).

a. Calculer la dérivée de la fonction x֏ x²+2.

b. En déduire la dérivée f ´ de f.

c. Calculer la valeur de I.

2. Calcul de J et de K

a. Sans calculer explicitement J et K, vérifier que : J + 2I = K.

b. À l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K, montrer que : K= 3 J.−

c. En déduire les valeurs de J et de K.

1. 25. Intégrale 2

Soit la fonction f définie par : f(x) = sin⁴ x ; x ∈ ℝ_.

1. Exprimer sin² x en fonction de cos 2x, puis sin⁴ x en fonction de cos 2x et de cos 4x.

2. Quelle est la forme générale des primitives de f sur ℝ _? 3. Calculer ⁸

0 f x dx( )

π

∫

^.

1. 26. Intégrale 3

On désigne par n un nombre entier relatif différent de −1 et par x un nombre réel supérieur ou égal à 1.

1. Calculer l’intégrale

1

( ) ln

x n

I xn =

∫

t tdt (on pourra effectuer une intégration par parties).

2. En déduire le calcul de ²

1

( ) ^{x n}(ln ) J xn =

∫

t t dt^. 3. Calculer I_n

( )

e − J_n

( )

e .

4. déterminer la limite de

( ) ( )

1

n n

n

I e J e

e⁺

− quand n tend vers +∞.

1. 27. Intégrale 4 On pose ₀

1 e

I =

∫

xdx ^et

1

(ln )

e n

In =

∫

x x dx pour tout n entier non nul.

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1. Calculer I0 et I1 (on pourra utiliser une intégration par parties).

2. Montrer que pour tout n entier 2I_n+1+ +(n 1)I_n=e². Calculer I₂ .

3. Montrer que pour tout n entier, I_n+1≤I_n. En déduire en utilisant la relation du 2° l’encadrement suivant :

2 2

3 ⁿ 2

e e

n ≤I ≤ n

+ + .

4. Calculer lim _n

n I

→+∞ et lim _n

n nI

→+∞

1. 28. Intégrale 5

Soit p et n des entiers naturels. On pose

1 ,

0

(1 )

p n

Ip n=

∫

x −x dx^. 1. Calculer I_{n, 0} et I_{n, 1}.

2. Calculer I_0,n et en déduire I_1,n.

3. Etablir une relation de récurrence entre I_{p n,} et I_p+1,n+1. En déduire la valeur de I_{p n,} en fonction de p et n.

1. 29. Intégrale 6

Le plan est muni d’un repère orthonormal.

(

^{O i j; ,}

)

d’unité 1 cm.

Soit f la fonction définie par ( ) ². cos

x

f x =e⁻ x représentée ci-dessous. Soit C cette courbe représentative.

x y

-4 -2 0 2 4 6 8

-4 -2 0

1. Montrer que pour tout réel x, on a ² 1

( ) .( cos sin )

2

x

f x′ = −e⁻ x+ x . 2. a. Résoudre dans ℝ l’équation f(x)=0.

b. Montrer que sur , 2 2

−π π 

 

 , on a f x( ) 0≥ .

c. Montrer que pour tout réel x, 4 ( ) 4 ( )f x′′ + f x′ = −5 ( )f x . 3. Soit l’intégrale

/2

/2

( )

I f x dx

π

π

−

=

∫

^.

On considère la fonction F telle que, pour tout réel x, ^{( ) 1}

[

4 ( ) 4 ( )

]

F x = −5 f x′ + f x . a. Sachant que f vérifie (1), montrer que F est une primitive de f.

b. Etablir que 4 4

5 2 2 5 2 2

I= − fπ −f−π − f′π −f′−π  ^{puis que}

4 4

4

I 5 e e

π ₋π

 

 

= +

 

 

c. Interpréter graphiquement ce résultat.

1. 30. Intégrale 7, La Réunion 2005 3 points

On considère les fonctions f et g définies, sur l’intervalle [0 ; +∞[, par f(x) = ln(x +1) et ( )g x =e^x−1 . On désigne par C_fet C_g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal ( ; , )O i j . Ces courbes sont tracées ci-dessous.

1. Vérifier que les courbes C_fet C_gont une tangente commune au point O(0 ; 0). Préciser la position de la courbe Cfpar rapport à cette tangente.

2. Démontrer que les courbes Cfet Cgsont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

3. Soit a un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre

0

( ) ^aln( 1) I a =

∫

x+ dx^.

a. En utilisant des considérations d’aires, démontrer que ^{ln( 1)}

0

( ) ln( 1) ^a ( ^x 1)

I a a a e dx

= + −

∫

+ − ^.

b. En déduire la valeur de I (a).

c. Retrouver la valeur de I (a) en effectuant une intégration par parties.

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1. 31. Intégrale + ROC

Le but de l’exercice est d’établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On rappelle que :

H est une primitive de h sur [a ; b] si et seulement si H est dérivable sur [a ; b] et pour tout x de [a ; b] on a H’(x) = h(x).

Soit f la fonction définie sur ℝ _{par f t( ) ln(1= +t}²_). 1. Expliquer pourquoi f est continue sur ℝ_. 2. Montrer que f est croissante sur [0 ;+ ∞[. La fonction f est représentée ci-dessous.

Pour α≥0, on note A( )α l’aire de la portion de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et la droite d’équation x=α.

3. a. Soit x₀ et h deux réels strictement positifs. En utilisant un rectangle convenable, établir l’encadrement

2 0 0 2

0 0

( ) ( )

ln(1 ) A x h A x ln(1 ( ) )

x x h

h

+ ≤ + − ≤ + + .

b. En utilisant une propriété géométrique de la courbe de f donner un encadrement similaire lorsque

0 0 0

x + <h x < .

c. Démontrer que A est dérivable en x0. Quel est le nombre dérivé de A en x0 ? 4. Expliquer pourquoi 0≤A(1) ln 2≤ et ln 2≤A(2) ln 2 ln 5≤ + .

1. 32. ROC+intégrale, Polynésie 06/2008 7 points

Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : 0

0,5 1 1,5 2 2,5 3

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

x y

x0+h x0

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.

* Si u≥0 sur [a ; b] alors ^b

( )

⁰

a

u x dx≥

∫

^.

* Pour tous réels α et β ^b

( ) ( )

^b

( )

^b

( )

a a a

u x v x dx u x dx v x dx

α β α β

 +  = +

 

∫ ∫ ∫

^.

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], ^{f x}

( )

^{≤g x}

( )

^{, alors b}

( )

^b

( )

a a

f x dx≤ g x dx

∫ ∫

^.

Partie B

On considère la fonction f définie sur

[

^{0 ;+ ∞}

[

^{par : f x}

( )

^{= +x ln 1}

(

^+e−x

)

^.

Sa courbe représentative (C) ainsi que la droite (D) d'équation y = x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

1. Montrer que f est croissante et positive sur

[

^{0 ;+ ∞}

[

^.

2. a. Montrer que la courbe (C) admet pour asymptote la droite (D).

b. Étudier la position de (C) par rapport à (D).

3. Soit I l'intégrale définie par : ¹

( )

¹

^{( )}

0 0

ln 1 ^x

I=

∫

+e⁻ dx=

∫

f x −x dx . On ne cherchera pas à calculer I.

a. Donner une interprétation géométrique de I.

b. Montrer que pour tout réel t≥0, on a ^{ln 1}

(

^+t

)

^≤t. (On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur

[

^{0 ;+ ∞}

[

^{par g t}

( )

^{=ln 1}

(

^+t

)

^−t)

Terminale S 18 F. Laroche

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On admettra que pour tout réel t≥0, on a ^{ln 1}

( )

1

t t

t ≤ +

+ .

c. En déduire que pour tout x de

[

^{0 ;+ ∞}

[

^{, on a : ln 1}

( )

1

x x x

x

e e e

e

− − −

− ≤ + ≤

+ ^.

d. Montrer que 2 ₁ ¹

ln 1

1 I e

e

−

−

 ≤ ≤ −

 + 

  .

e. En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respectivement à (C) et (D).

On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque ia distance MN est inférieure à 0,5 mm.

Déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables.

1. 33. Autour de arctangente – ESME-SUDRIA 2001

Soit F une fonction définie et dérivable sur ℝ telle que F(0) = 0 et dont la dérivée est donnée par

2

'( ) 1 F x 1

=x

+ , pour tout x de ℝ. On suppose que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une expression de F(x). (C) est la courbe représentative de F dans un repère orthonormal

(

^{O i j; ,}

)

^.

1. Soit G, définie sur ℝ, par G(x) = F(x) + F(– x).

a. Montrer que G est dérivable sur ℝ et calculer G '(x).

b. Calculer G(0) et en déduire que F est une fonction impaire.

2. Soit H définie sur ]0 ; +∞ [ par H(x) = F(x) + F (1 x).

a. Montrer que H est dérivable sur ]0 ; +∞ [ et calculer H '(x).

b. Montrer que, pour tout x élément de] 0 ; +∞ [, H(x) = 2F(1).

c. En déduire que lim ( ) 2 (1)

x_→+∞F x = F . d. Qu'en déduit-on pour la courbe (C) ?

3. a. Démontrer que, pour tout x élément de [0 ; 1], 1

'( ) 1

2≤F x ≤ . En déduire que 1

(1) (0) 1 2≤F −F ≤ puis une valeur approchée de F(1). Quelle est la précision de cette approximation ?

b. Soit T la fonction définie sur ; 2 2

−π π 

 

  par T(x) = F(tan x) – x. Démontrer que T est une fonction constante sur ;

2 2

−π π 

 

 . En déduire la valeur exacte de F(1).

4. Dresser le tableau de variation de F sur ℝ. Tracer la courbe (C), ses asymptotes et ses tangentes aux points d'abscisses –1, 0 et 1. Unités graphiques : 2 cm sur (Ox) et 4 cm sur (Oy). On prendra F(1) = 0,78.

1. 34. Equa diff 2^nd membre, Bac C, Pondicherry 1988

1. On se propose de résoudre l’équation différentielle (E) : y'+ = +y x 1, y étant une fonction réelle de la variable réelle et y’ sa dérivée.

a. On pose z = y – x. Ecrire l’équation différentielle (F) vérifiée par z.

b. Résoudre (F), puis (E)

2. On appelle y_α la solution de (E) telle que y_α(0)=α et C_α la courbe représentative de y_α, où α est un paramètre donné.

a. Etudier les variations de y_α et donner l’allure de C_α dans les trois cas α < 0, α = 0, α > 0.