S20 - Étude/fonc 6 Point d’inflexion TaleES
1 Reconnaissance graphique
Soitf une fonction dérivable sur un intervalle I. Unpoint d’inflexion est un point où la représentation graphique de f traverse sa tangente.
Définition 1.
Exemple 2
La fonctionx7→x3admet 0 comme point d’inflexion
O
La fonctionx7→x2n’admet pas de point d’inflexion
O
2 Lien avec la convexité
f(x) =x3=⇒f′′(x) = 6x
x −∞ 0 +∞
f′′ − 0 +
f′
concave convexe
.
• Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la convexité de f change en tout point d’inflexion.
• Si de plusf est deux fois dérivable surI, alors le pointM d’abscisse x0 est un point d’inflexion si, et seulement si,f′′ s’annule et change de signe en x0.
Proriété 3.
3 Positions relatives des fonctions usuelles
O x
y
x7→ex
x7→x
x7→lnx
La courbe représentative de la fonctionx7→lnx est toujours située en dessous de la courbe re- présentative de la fonction x 7→ x, elle-même toujours située en dessous courbe représentative de la fonction x7→ex.
Sur ] 0 ; +∞[, on peut écrire : lnx < x <ex.
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