Universit´e du Littoral-Cˆote d’Opale
Pˆole Lamartine Licence SESA 3 CG
Math´ematiques Appliqu´ees aux Sciences Sociales Novembre 2008 - Semestre 1
Dur´ee de l’´epreuve : 1h30 Documents autoris´es : calculatrice
• Exercice 1
Analysons la fabrication de 3 produits semi-finis S1,S2,S3 au moyen de 4 facteurs primaires de pro- duction F1, F2, F3 et F4 (qui peuvent ˆetre, pour fixer les id´ees, le travail, le capital, l’´energie et des mati`eres premi`eres). La quantit´e du facteur Fj n´ecessaire pour fabriquer une unit´e de produitSi est donn´ee par l’´el´ementaij de la matriceA= (aij) ci-dessous, appel´ee matrice de fabrication.
(Les ´el´ements de A seront suppos´es fixes aussi longtemps que la technique de production reste in- chang´ee.)
A=
100 50 3 6 200 10 4 4 150 20 5 5
Ainsi, par exemple, la production d’une unit´e de S1 n´ecessite 100 unit´es de F1, 50 unit´es de F2, 3 unit´es deF3 et 6 unit´es deF4.
Les 3 produits semi-finis S1, S2 et S3 servent `a leur tour pour fabriquer deux produits finis P1 et P2. Pour obtenir une unit´e du produit Pi, il faut employer les quantit´es bij de Sj pr´ecis´ees `a l’aide d’une nouvelle matrice de fabricationB= (bij) donn´ee ci-dessous
B=
µ 5 8 6
2 4 2
¶
1. Calculer les matrices transpos´ees deAet de B.
2. Pr´eciser si les produitsA.B et B.A sont r´ealisables et le cas ´ech´eant, calculer ces produits et en donner une interpr´etation ´economique.
3. Si les mati`eres premi`eres F1, F2, F3 et F4 coˆutent `a l’unit´e 10, 5, 4 et 2 euros respectivement, pr´eciser le coˆut de fabrication des produits semi-finis ainsi que celui des produits finis.
4. Peut-on r´esoudre le probl`eme inverse `a savoir : pour un coˆut de fabrication donn´e des produits finis, peut-on retrouver les coˆuts `a l’unit´e des mati`eres premi`eresF1,F2,F3 etF4? Pourquoi ?
• Exercice 2
SoitAla matrice d´efinie par
A=
µ 3 4
−1 −2
¶ . 1. Montrer que les valeurs propres deA sont 2 et−1.
2. Donner un vecteur propreU associ´e `a la valeur propre 2 et un vecteur propreV associ´e `a la valeur propre −1.
3. Soit la matrice P consitut´ee des vecteurs colonnesU et V trouv´es dans la question pr´ec´edente.
V´erifier que P est inversible et calculerP−1.
4. On poseD la matrice diagonale constitu´ee des valeurs propres 2 et−1 soit D=
µ 2 0 0 −1
¶ . Montrer enfin queA=P DP−1.
• Exercice 3
Soit la matrice
2 1 −1
1 a 1
3 1 −a
1. D´eterminer les valeurs deapour lesquelles le d´eterminant de la matriceAest nul.
2. Pour quelles valeurs deala matriceAest-elle inversible ?
• Exercice 4
Dans un d´esert, il y a des serpents, des scorpions et des souris ; – chaque matin, chaque serpent mange une souris,
– chaque midi, chaque scorpion pique un serpent et – chaque soir, chaque souris mange un scorpion.
Au bout d’une semaine, il ne reste plus qu’une souris et on se demande quelle ´etait la situation au d´epart. On notexn le nombre de serpents,ynle nombre de scorpions etznle nombre de souris `a l’aube dun-i`eme jour.
1. Montrer que :
1 −1 0
1 1 −1
−1 0 1
x1
y1
z1
=
x2
y2
z2
2. Plus g´en´eralement, montrer que :
1 −1 0
1 1 −1
−1 0 1
xn
yn
zn
=
xn+1
yn+1
zn+1
3. Calculer le d´eterminant de la matriceA=
1 −1 0
1 1 −1
−1 0 1
.
4. D´eterminer l’inverse de la matriceApar la m´ethode de votre choix.
5. Combien y-avait-il de serpents, scorpions et souris en d´ebut de semaine si (x2, y2, z2) = (10,10,10) ?
2
