Solutions aux exercices 3
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (4 points) (d’après Cartwright)Si possible, mettez les guillemets ou demi-crochets nécessaires pour que les phrases suivantes deviennent vraies (vous pouvez ignorer l’accord des pronoms).
Solution: Mettre des demi-crochets au lieu des guillemets est toujours possible :⌜Socrate⌝ est la même chose que « Socrate ». Lorsque nous avons des variables méta-linguistiques («ϕ»,
«ψ »), cependant, il est nécessaire de mettre les demi-crochets.
(a) Il y a différentes solutions :
(i) Marseille est au sud de Paris, mais « Paris » n’est pas au nord de « Marseille ».
(ii) Marseille est au sud de Paris, mais « Paris » n’est pas au nord de Marseille.
(iii) Marseille est au sud de Paris, mais Paris n’est pas au nord de « Marseille ».
(b) En fonction de (1a), il y a aussi différentes solutions :
(i) Le dernier mot de la solution optimale à la question (a) est «« Marseille »».
(ii) Le dernier mot de la solution optimale à la question (a) est « Marseille ».
(c) De même, il y a différentes solutions (une paire de guillemets plus qu’en (b) :
(i) Le nom du dernier mot de la solution optimale à la question (a) est ««« Mar- seille »»».
(ii) Le nom du dernier mot de la solution optimale à la question (a) est «« Marseille »».
(d) Il y a différentes solutions :
(i) Pour toute phrase ϕ, le dernier mot de « le dernier mot de ϕcontient plus d’une syllabe » contient plus d’une syllabe.
(ii) « Pour toute phraseϕ, le dernier mot de « le dernier mot deϕcontient plus d’une syllabe »» contient plus d’une syllabe.
(e) Voici deux solutions :
(i) La femme de Trump appelle Trump « Trump ».
(ii) La femme de Trump appelle « Trump » «« Trump »».
(f) Le nombre de solutions est également illimité :
(i) Il n’est pas le cas que la femme de Trump appelle Trump par le nom de « Trump ».
(ii) Il n’est pas le cas que la femme de Trump appelle Trump par le nom de «« Trump »».
(iii) Il n’est pas le cas que la femme de Trump appelle « Trump » par le nom de Trump (bien, espérons).
(g) Cette phrase est incorrigible,voir ci-dessous: il n’est pas possible de rajouter des guille- mets ou des crochet de sorte que le résultat devienne ni faux ni dénoué de sens.
(h) Le dernier mot de (1g) est « vulgaire ». [cette phrase n’est donc pas incorrigible]
(i) Pour satisfaire la prédicat en question (= être la première lettre de l’alphabet grec), une chose doit être unelettre, à savoir la lettre « α» :
(i) « La première lettre de l’alphabet grec estα» est satisfaite par un objetβseulement siβ est identique à «α».
(j) La tautologie en question est :⌜(ϕ→ ¬ϕ)→(ϕ→(ϕ∧ ¬ϕ))⌝. On a donc (i) Pour toute phraseϕ,⌜ϕimplique¬ϕ⌝implique⌜ϕimpliqueϕet ¬ϕ⌝
En général, l’itération des demi-crochets de Quine n’a aucun effet : «⌜ϕ→⌜(ϕ∧ψ)⌝⌝» est un nom de la même formule que «⌜ϕ→(ϕ∧ψ)⌝» : si la première expression désigne
«p→(p∧q)», la deuxième le fait également.
2. (1 point) Mettez les guillemets nécessaires dans le limerick que George Boolos suivant de- vienne vrai :
According to W. Quine
Whose views on quotation are fine, Boston names Boston,
And Boston names Boston, But 9 doesn’t designate 9.
Solution:
Voici une solution :
According to W. Quine
Whose views on quotation are fine,
“Boston” names Boston,
And “ “Boston” ” names “Boston”
But 9 doesn’t designate 9.
En voici une autre :
According to W. Quine
Whose views on quotation are fine,
“Boston” names Boston, And “Boston” names Boston, But “9” doesn’t designate “9”.
J’ai aussi compté comme correctes les solutions qui avaient But “9” doesn’t designate 9.
Ceci n’est pas dû à l’usage des guillemets, mais aux opinions que Quine a défendues en philosophie des mathématiques : d’après le jeune Quine, les noms de nombres ne désignent pas, parce qu’il n’a pas de nombres (plus tard, il a changé d’avis).
3. (4 points) Appelons une ligne du problème 1 « incorrigible » s’il n’y a aucune manière de mettre des guillemets et des demi-crochets sans que le résultat devienne faux ou du non-sens.
Il semble que non seulement (i) et (ii) sont vraies, mais aussi (iii) : (i) : (1g) est incorrigible.
(ii) : (1h) n’est pas incorrigible.
(iii) : (1g) est identique à (1h).
Mais au moins un de (i), (ii) et (iii) doit être faux. Autrement nous aurions une violation du principe que sixest identique ày, alors tout ce qui est vrai de xdoit aussi être vrai dey.
Lequel est faux ? Et pourquoi ?
Solution: Il est clair que les assertions (i) et (ii) sont vraies. (1-g) est incorrigible. Toutes les phrases suivantes ne sont pas vraies :
(1g′) Le dernier mot de (1g′) est « vulgaire ».
(1g′′) « Le dernier mot de (1g′′)» est vulgaire.
(1g′′′) « Le dernier mot de (1g′′′)» est « vulgaire ».
La première n’est pas vraie parce que si elle était vraie, le dernier mot de (1g′) serait celui dénoté par « vulgaire » et alors un mot sans guillemets. Ce qu’elle dit est vrai de (1g), mais elle ne parle pas de cette autre phrase, mais d’elle-même. La deuxième est fausse parce que l’expression en question n’est pas vulgaire. La troisième est fausse, parce que le dernier mot de « Le dernier mot de (1g′′′)» est «(1g′′′)» et n’est pas « vulgaire ». En bref, même s’il y a des expressions, dans les langues naturelles qui sont « sémantiquement fermées » comme
« ajouté à sa propre citation », « vulgaire »n’est pas un tel mot.
Le principe en question est indiscutable : il s’agit de l’indiscernabilité des choses identiques, la direction moins controversée de la fameuse « loi de Leibniz » qui dit que deux choses sont identiques si et seulement si elles partagent toutes leurs propriétés.1
La question difficile est de comment justifier le rejet de (iii). Voici quelques options (toutes controversées) :
1. L’incorrigibilité est une propriété de phrases-token et non pas de phrases-type.2 Même si les types (les structures grammaticales, séquences de lettres) de (1g) et (1h) sont identiques, leurs token (les instanciations concrètes imprimées sur une page) ne le sont pas.
2. Deux phrases ne peuvent pas être identiques si elles appartiennent à différents niveaux de langage : (1g) appartient au langage objet, (1h) au métalangage ; donc les deux phrases ne sont pas identiques.
3. Les propriétés sémantiques des deux phrases sont différentes, parce que l’auto-référentialité est une propriété sémantique. Les phrases « Socrate aime Socrate » et « Socrate aime lui-même » diffèrent sémantiquement.
4. « …est vulgaire » crée un contexte intensionnel, comme le fait « …est ainsi appelé à cause de sa taille ».
4. (5 points) Vérifiez la validité des schémas d’inférence suivantes, en montrant que les impli- cations matérielles correspondantes sont des tautologies :
Solution:
(a) Transitivité : les inférences du type p→q q→r
p→rsont valides si et seulement si
|=((p→q)∧(q→r))→(p→r) Nous démontrons ceci ainsi :
1. Cette affirmation peut paraître paradoxale (commentdeuxchoses peuvent être identiques ?), mais en fait elle ne l’est pas : l’usage de variables permet de la clarifier. Dire que deux choses sont identiques si et seulement si elles sont indiscernable revient à dire que, pour toutxet touty,x=y si et seulement sixety ont les mêmes propriétés :
∀x, y∀F(x=y↔(F x↔F y))
La direction de gauche à droite est appelée « indiscernabilité des identiques », celle de droite à gauche « identité des indiscernables ».
2. Il s’agit d’une ambiguïté dans le mot « mot » dont nous reparlerons dans leçon 9.
p q r p→q q→r (p→q)∧ p→r ((p→q)∧(q→r))
(q→r) →(p→r)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V F V V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
(b) • Augmentation1 : les inférences du type
p→r q→r
(p∨q)→r sont valides si et seulement si
|=((p→r)∧(q→r))→((p∨q)→r) Nous démontrons ceci ainsi :
p q r p→r q→r (p→r)∧ p∨q (p∨q) ((p→r)∧(q→r))
(q→r) →r →((p∨q)→r)
V V V V V V V V V
V V F F F F V F V
V F V V V V V V V
V F F F V F V F V
F V V V V V V V V
F V F V F F V F V
F F V V V V F V V
F F F V V V F V V
• Augmentation2: les inférences du type
p→r
(p∧q)→r sont valides si et seulement si
|=(p→r)→((p∧q)→r) Nous démontrons ceci ainsi :
p q r p→r p∧q (p∧q)→r (p→r)→((p∧q)→r)
V V V V V V V
V V F F V F V
V F V V F V V
V F F F F V V
F V V V F V V
F V F V F V V
F F V V F V V
F F F V F V V
(c) • Reductio1 : les inférences du type
p→ ¬p
¬p sont valides si et seulement si
|=(p→ ¬p)→ ¬p
Nous démontrons ceci ainsi :
p ¬p p→ ¬p (p→ ¬p)→ ¬p
V F F V
F V V V
• Reductio2 : les inférences du type
p→q p→ ¬q
¬p sont valides si et seulement si
|=((p→q)∧(p→ ¬q))→ ¬p Nous démontrons ceci ainsi :
p q ¬q p→q p→ ¬q (p→q)∧ ¬p ((p→q)∧(p→ ¬q))
(p→ ¬q) → ¬p
V V F V F F F V
V F V F V F F V
F V F V V V V V
F F V V V V V V
(d) Simplification : les inférences du type p∧q
p sont valides si et seulement si
|=(p∧q)→p
Nous démontrons ceci ainsi :
p q p∧q (p∧q)→p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
(e) Ex Falso Quodlibet : les inférences du type ¬p
p→q sont valides si et seulement si
|=¬p→(p→q) Nous démontrons ceci ainsi :
p q ¬p p→q ¬p→(p→q)
V V F V V
V F F F V
F V V V V
F F V V V
(f) Verum Sequitur ad Quodlibet : les inférences du type q
p→q sont valides si et seulement si
|=q→(p→q)
Nous démontrons ceci ainsi :
p q p→q q→(p→q)
V V V V
V F F V
F V V V
F F V V
(g) Modus ponendo ponens : les inférences du type p→q
p
q sont valides si et seulement si
|=((p→q)∧p)→q Nous démontrons ceci ainsi :
p q p→q (p→q)∧p ((p→q)∧p)→q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
(h) Modus tollendo tollens : les inférences du type p→q
¬q
¬p sont valides si et seulement si
|=((p→q)∧ ¬q)→ ¬p Nous démontrons ceci ainsi :
p q p→q ¬q (p→q)∧ ¬q ¬p ((p→q)∧ ¬q)→ ¬p
V V V F F F V
V F F V F F V
F V V F F V V
F F V V V V V
(i) Modus tollendo ponens (= syllogisme disjonctif) : les inférences du type p∨q
¬q p sont valides si et seulement si
|=((p∨q)∧ ¬q)→p Nous démontrons ceci ainsi :
p q p∨q ¬q (p∨q)∧ ¬q ((p∨q)∧ ¬q)→p
V V V F F V
V F V V V V
F V V F F V
F F F V F V
(j) Modus ponendo tollens : les inférences du type p|q
¬pq sont valides si et seulement si
|=((p|q)∧p)→ ¬q
Nous démontrons ceci ainsi :
p q p|q (p|q)∧p ¬q ((p|q)∧p)→ ¬q
V V F F F V
V F V V V V
F V V F F V
F F V F V V
5. (3 points) Qu’est-ce qu’une tautologie ? Une contradiction ? Indiquez quels rapports simples il y a entre tautologies, contradictions et la négation.
Solution:
• Une tautologie est une proposition qui est logiquement vraie, c’est-à-dire qui est vraie peu importent les valeurs de vérité attribuées à ses constituantes propositionnelles.
Alternativement : Une tautologie est une proposition qui est une conséquence logique de n’importe quelle proposition.
• Une contradiction est une proposition qui est logiquement fausse, c’est-à-dire qui est fausse peu importent les valeurs de vérité attribuées à ses constituantes proposition- nelles.
Alternativement : Une contradiction est une proposition qui a n’importe quelle propo- sition comme conséquence logique.
• La négation d’une tautologie est une contradiction. La négation d’une contradiction est une tautologie.
6. (2 points) Formulez les lois de De Morgan et utilisez des tables de vérités pour montrer qu’elles sont correctes.
Solution: 1 point pour les deux lois de De Morgan, 1 point pour la preuve qu’il s’agit de tautologies.
Les lois de De Morgan disent que :
• toute formule qui a la même forme que “¬(p∧q)” est équivalente sémantiquement à une formule de la forme¬p∨ ¬q
• toute formule qui a la même forme que “¬(p∨q)” est équivalente sémantiquement à une formule de la forme “¬p∧ ¬q”
On peut aussi dire que les lois de De Morgan disent que :
⌜¬(ϕ∧ψ)⌝ ⇔ ⌜¬ϕ∨ ¬ψ⌝
⌜¬(ϕ∨ψ)⌝ ⇔ ⌜¬ϕ∧ ¬ψ⌝
La table de vérité pour la première loi est la suivante :
p q p∧q ¬(p∧q) ¬p ¬q ¬p∨ ¬q
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
“¬(p∧q)” et “¬p∨ ¬q” ont la même table de vérité, donc elles sont sémantiquement équiva- lentes ; la première loi de Morgan est donc correcte.
La table de vérité pour la deuxième loi est la suivante :
p q p∨q ¬(p∨q) ¬p ¬q ¬p∧ ¬q
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
“¬(p∨q)” et “¬p∧ ¬q” ont la même table de vérité, donc elles sont sémantiquement équiva- lentes ; la deuxième loi de Morgan est donc également correcte.
7. (1 point) Utilisez une table de vérité et trouvez une équivalence à « ¬p→q» en utilisant uniquement la barre de Sheffer.
Sachant que (¬p → q) ⇐⇒ (p∨q), il suffit de chercher une équivalence à « (p∨q) » n’utilisant que la barre Sheffer. De plus, la table de vérité de «(p∨q)» (V,V,V,F) se trouve être l’opposé de «(p|q)» (F,F,F,V).
C’est donc avec l’opposé de «(p|q) » que l’on obtient « (p∨q) », ce que l’on obtient en inversant les valeurs de vérité de «p» et de «q» avec «((p|p)|(q|q))».
p q p|p q|q (p|p)|(q|q) ¬p→q
V V F F V V
V F F V V V
F V V F V V
F F V V F F
