Universit´e Paris 7-Denis Diderot MT-282
D.E.U.G.- S.M. Ann´ee 2000-01
EXAMEN du 1er f´evrier 2001 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
Exercice 1
Lors d’une ´election contest´ee d’une ville lointaine, o`u se pr´esentent deux candidats A et B, on recompte des bulletins de vote. Les assesseurs charg´es du recomptage des votes du candidat A sont tr`es superstitieux et ils regroupent les bulletins par paquets de 13. Mais le dernier paquet n’est pas complet : il contient 9 bulletins. Les assesseurs charg´es du candidats B sont informaticiens. Ils regroupent les bulletins par piles de 64, et trouvent que la derni`ere pile contient 2 bulletins. Sachant que 901 ´electeurs ont vot´e au cours de cette ´election, d´eterminer combien de bulletins ont obtenus chacun des candidats. Dans cette ville, personne ne vote blanc ou nul et il n’y a pas de fraude ´electorale.
Exercice 2 D´eterminer le plus petit nombre premier ≥2001. On justifiera.
Exercice 3
NotonsGl’ensemble des classes modulo 100 des entiers congrus `a 1 modulo 5 et qui sont inversibles modulo 100. On notera ¯kla classe d’un entierkmodulo 100. Ainsi on aZ/100Z={¯0,¯1,¯2, ...,99¯}.
1. D´emontrer queGest un sous-groupe de (Z/100Z)∗. 2. Quel est l’ordre de (Z/100Z)∗ ?
3. `A quoi sont congrus les ´el´ements deGmodulo 10 ? En d´eduire la liste des ´el´ements de G.
4. Le groupeGest-il cyclique ? Indiquer un ´el´ement d’ordre 2 et un ´el´ement d’ordre 5 de G.
Probl`eme
Soit (K,+, .) un corps commutatif poss´edant 8 ´el´ements. (On rappelle que cela signifie queKest un anneau, que tout ´el´ement deKnon nul est inversible, et que la multiplication est commutative dansK.) On note 0K
et 1K les ´el´ements neutres deKpour l’addition et la multiplication respectivement. On noteK∗l’ensemble des ´el´ements inversibles de K. On pose, dansK, 2K = 1K + 1K, 3K = 2K + 1K, 4K = 3K+ 1K etc. On appellesous-corpsdeK un sous-anneau deK qui est un corps.
1. En remarquant que (K,+) est un groupe d’ordre 8, d´emontrer qu’on a 8K = 0K dansK.
2. Montrer l’´egalit´e 8K= 23K. En d´eduire qu’on a 2K = 0K, puis qu’on ax+x= 2K.x= 0K (x∈K).
3. D´emontrer que l’applicationφ2: K→K qui `a xassociex2 est un homomorphisme d’anneaux.
4. Soit φ : K → K un homomorphisme d’anneaux. D´emontrer que Kφ = {x ∈ K/φ(x) = x} est un sous-anneau deK. En d´eduire que{x∈K/x2=x} est un sous-anneau deK.
5. Combien le polynˆome X2 −X a-t-il de racines dans K ? Posons K0 = {0K,1K}. En d´eduire que K0={x∈K/x2=x}et queK0 est un sous-corps deK.
6. Combien K∗ poss`ede-t-il d’´el´ements ? En d´eduire que tout ´el´ement x deK∗ v´erifie x7 = 1K, puis que tout ´el´ement ydeK v´erifiey8=y. Le groupeK∗ est-il cyclique ?
7. SoitK1 un sous-corps de K. D´emontrer que K1 poss`ede 2, 4 ou 8 ´el´ements. D´emontrer que l’ordre du groupeK1∗ divise 7. En d´eduire qu’on a K1=K0ouK1=K.
