Relations logiques et inférences logiques

Relations logiques et inférences logiques

Cours d’introduction à la logique au semestre d’automne 2007

Feuille d’accompagnement pour le cours du 17 octobre 2007

Philipp Keller

Points à retenir du dernier cours

1. Il faut distinguer différents niveaux de langage.“Désignation”,“vérité” et “validité” sont des expressions qui appartiennent au métalangage.

2. Deux propositions sont en relation de conséquence sémantique s’il n’est pas et seulement s’il n’est pas logiquement possible que la première soit vraie et la deuxième fausse ; s’il y a et seule- ment s’il y a une inférence valide de l’une à l’autre.

3. Pour rendre compte de la généralité des lois logiques, il convient d’introduire des noms “ [email protected]

”,“ ” etc. pour des phrases arbitraires.

4. Pour dire qu’une loi logique s’applique à toutes les phrases d’une certaine forme, il faut utiliser les crochets de Quine.“

φ √

pφ∧ ¬√q” est une expression qui est composée de guillemets, de , du signe de conjonction “

φ

”, de “ ”, de

∧ ¬ et encore de guillemets.

5. Une inférence qui a “ ” comme prémisse et “ ” comme conclusion est valide si et seulement si

“

√

p q

p→ ” est une tautologie.

6. Une tautologie peut être inférée de n’importe quelle prémisse ; on peut inférer n’importe quelle conclusion d’une contradiction.

7. Mis à part la conséquence sémantique (ou : subalternation), il y a d’autres relations métalinguis- tiques entre des phrases : l’équivalence sémantique (mêmes tables de vérité), la contradiction (exactement une est vraie), la contrariété (pas les deux vraies), la sub-contrariété (pas les deux fausses).

8. La validité ne concerne pas l’ordre des prémisses ; elle est monotone, transitive et réflexive.

9. Les lois de Morgan : q

p¬(φ∧√)q ⇐⇒ p¬φ∨ ¬√q p¬(φ∨√)q ⇐⇒ p¬φ∧ ¬√ 10. Les lois de distributivité:

q

pφ∨(√∧χ)q ⇐⇒ p(φ∨√)∧(φ∨χ)q pφ∧(√∨χ)q ⇐⇒ p(φ∧√)∨(φ∧χ)

Déductibilité syntaxique vs. validité sémantique

Trois différents niveaux de formalisation :

langage ordinaire “La terre tourne” signification vérité

méthode sémantique “

q

” – vérité

méthode syntaxique “ ” – –

La relation de déductibilité, dénotée par “ p p

”, est purement syntaxique : elle subsiste entre deux pro- positions si et seulement s’il est possible de manipuler les symboles qui représentent la deuxième proposition selon certaines règles purement structurelles, de manière à ce qu’on arrive à des symboles qui représentent la première proposition :

`

peut être déduit de si on peut appliquer des règles d’inférence à des axiomes et à de telle sorte qu’on obtienne .

√ φ

φ √

Le langage de la logique des propositions

Définition 1. L’alphabet du langage de la logique propositionne#e classique se compose des signes suivants :

– des phrases atomiques “

L

p₀”,“p₁”,“p ” …(une infinité dénombrable) – les connecteurs “

2

¬. . .” (“ne-pas”),“. . . ∧ · · ·” (“et”),“. . . ∨ · · ·” (“ou”),“. . . → · · ·” (“si-alors”) et “. . .

” (“ssi”)

– des symboles auxiliaires : parenthèses,virgules

Définition 2. Une formule propositionne#e est définie de manière récursive ainsi : 1. Toute proposition atomique “

· · · ↔

pi” (i∈ ) est une formule propositionne#e.

2. Si

N est une formule propositionne#e, alors

φ p(¬φ) est une formule propositionne#e.

3. Si

q et sont des formules propositionne#es, alors

φ √ p(φ∧√)q p, (φ∨√)q p, (φ→√)qetp(φ ↔√) sont des formules propositionne#es.

Définition 3. Une théorie

q

est un ensemble (fini ou infini) de formules propositionne#es.

La barre de Sheffer

La barre de Sheffer :

Th

φ √ pφ|√q

Tous les connecteurs propositionnels peuvent être définis en termes de “

V V F

V F V

F V V

F F V

”:

| p¬φq :⇐⇒ pφ|φq

pφ∧√q :⇐⇒ p(φ|√)|(φ|√)q pφ∨√q :⇐⇒ p((φ|φ)|(√|√))q pφ→√q :⇐⇒ p(φ|(√|√))q

pφ↔√q :⇐⇒ p((φ|(√|√))|((φ|φ)|√)) | (√|(φ|φ))|((√|√)|φ)

Un peu d’histoire

Gottlob Frege (Idéographie, 1879) a été le premier à axiomatiser la logique propositionnelle et la lo- gique des prédicats. Ses travaux sn’ont pas été remarqués jusqu’à la parution du premier volume de l’étude volumineusePrincipia Mathematica, de Bertrand Russell et Alfred North Whitehead. Russell a découvert en 1902 que le système de Frege (Lois Fondamentales de l’ Arithmétique, 1893 et 1903) était inconsistant (parce qu’il permet la formation de l’ensemble

q

a = {x|x6∈x ).

Cette révolution en logique a rendu possibles des progrès importants en mathématiques (axiomatisa- tion de l’arithmétique et de la géométrie) et leurs a ajouté deux nouvelles branches, les métamathéma- tiques (étude des calculs formels, Hilbert) et la théorie des ensembles (Cantor, Zermelo).

Le plus important résultat en métamathématique a été la découverte de l’incomplétude de l’arithmétique par Gödel en 1931. Le plus important résultat en sémantique a été la formulation d’une définition non- contradictoire de “vérité” par le polonais Alfred Tarski en 1936.

Dans la première moitié du 20ème siècle, les trois grands courants en philosophie des mathématiques étaient le logicisme de Frege (les mathématiques comme partie de la logique), le formalisme de Hilbert (les mathématiques comme manipulations des symboles) et l’intuitionnisme de Brouwer et Heyting (constructivisme, rejet du tiers exclu).

}

Ce qu’est un calcul

Définition 4. Un calcul est un ensemble de formules propositionne#es déterminé par un ensemble de formules propositionne#es qui sont appelées “axiomes” et des règles d’inférence.Un élément de cet ensemble est appelé “théorème”.Ce qu’est un théorème est déterminé par la définition récursive suivante:

1. Tout axiome est un théorème.

2. Une formule propositionne#e obtienue en appliquant une règle d’inférence à des théorèmes est un théorème.

3. Rien d’autre n’est un théorème.

“ ” représente la relation de` déductibilité:“HC` ” veut dire que peut être déduit des axiomes du calcul

φ φ

– autrement dit, qu’il y a une preuve, dans , dont

HC HC est la conclusion.

La notion de preuve

Une preuve est une séquence de formules bien formées qui satisfait quelques critères purement syn- taxiques :

Définition 5. Une preuve, dans un calcul

φ

et à partir d’une théorie , est une séquence finie de propositions

HC Th

hφ₁, . . . φ_nite#e qu’on a, pour touti, 1≤i≤n,HC∪Th∪ {φ₁, . . . , φ_i−1} `φ. Définissons la relation de déductibilité représentée par “

i

”: Définition 6. Si

` est un calcul, une théorie et

HC Th une formule propositionne#e, nous définissons

“

φ

HC∪Th `ⁿ φ” (pour n’importe quel nombre natureln∈ ) par induction mathématique sur les nombres naturels :

1. Si

N est un axiome de

φ HC, alorsHC∪Th`ⁿφpour toutn∈ .

2. Si

N est un membre de

φ Th, alorsHC∪Th`ⁿ φpour toutn∈ .

3. Si nous avons

N

HC∪Th `^mi √i(avecm_i< n) pour toutes les prémisses√id’une règle d’inférence de , alors

HC HC∪Th`ⁿ pour la conclusion de cette règle d’inférence.

Un calcul axiomatique pour la logique propositionnelle

Définition 7. Le calcul

φ φ

a comme axiomes toutes les formules de

HC qui ont la forme d’un des schémas

suivants : H₁

L

pφ→φ réflexivité

H₂

q

p(φ→√)→((√→χ)→(φ→χ)) transitivité

H₃

p((φ∧√)→χ)→(φ→(√→χ)) q conditionaliser l’antécédent

H₄

q

p(φ→(√→χ))→((φ∧√)→χ) augmenter l’antécédent

H₅

pφ→(φ∨√)q q introduire “ ” à droite

H₆

p√→(φ∨√)q introduire “∨” à gauche

H₇

p(φ→χ)→((√→χ)→((φ∨√)→χ))) alternative∨

H₈

p(φ∧√)→φq q éliminer “ ” à droite

H₉

p(φ∧√)→√q éliminer “∧” à gauche

H₁₀

p(φ→√)→((φ→χ)→(φ→(√∧χ))) composition∧

H₁₁

p(φ→√)→(¬√→ ¬φ) q conversion

H₁₂

q

pφ→(¬φ→√) ex falso quodlibet

H₁₃

p(φ→(φ∧ ¬φ))q→ ¬φ reductio ad absurdum

H₁₄

p((φ→√)∧(√→φ))→q (φ↔√)q introduire “ ”

H₁₅

p(φ↔√)→((φ→√)∧(√→φ))q éliminer “ ”↔

H₁₆

pφ∨ ¬φq tautologie↔

La seule règle d’inférences deHCest modus ponensMP:

φ,pφ→√q .

L’axiome de Jean Nicod :

√

p(φ|(√|χ)) | ((ξ|(ξ|ξ))|((ρ|√)|((φ|ρ)|(φ|ρ))))

Des preuves dans le calcul

(1)

q

HC`p→(q∨p H₆

(2)

)

HC`q→(q∨p H₅

(3)

)

HC`(p→(q∨p))→((q→(q∨p))→((p∨q)→(q∨p H₇ (4)

)))

HC`(q→(q∨p))→((p∨q)→(q∨p)) ( ) de (1) et (3)

(5)

MP

HC`(p∨q)→(q∨p) ( ) de (2) et (4)

Nous énumérons les lignes de la preuve dans la colonne de gauche pour une référence future. Dans la colonne de droite, nous indiquons soit le numéro du schéma d’axiomes dont la ligne en est une instance, soit la règle d’inférence utilisée et les lignes auxquelles elle a été appliquée. Dans la troisième ligne, par exemple, nous avons substitué remplacé

MP

dansH₇par “

χ q∨ ”. La difficulté principale avec

les preuves dans les calculs est de savoir quelles sont les formules qu’il faut substituer dans les schémas d’axiomes pour être ensuite capable de déduire la conclusion voulue avec

p .

(1)

MP

HC`p→(¬p→q H₁₂

(2)

)

HC`(p→(¬p→q))→((p∧ ¬p)→q H₄ (3)

)

HC`(p∧ ¬p)→q ( ) de (1) et (2)

(4)

MP

HC`(¬p∧p)→ H₉

(5)

p

HC`(¬p∧p)→ ¬ H₈

(6)

p

HC`((¬p∧p)→p)→(((¬p∧p)→ ¬p)→((¬p∧p)→(p∧ ¬p H₁₀ (7)

)))

HC`((¬p∧p)→ ¬p)→((¬p∧p)→(p∧ ¬p)) ( ) de (4) et (6) (8)

MP

HC`(¬p∧p)→(p∧ ¬p) ( ) de (5) et (7)

(9)

MP HC`((¬p∧p)→(p∧ ¬p))→(((p∧ ¬p)→q)→((¬p∧p)→q H₂ (10)

))

HC`((p∧ ¬p)→q)→((¬p∧p)→q)) ( ) de (8) et (9)

(11)

MP

HC`(¬p∧p)→q) ( ) de (3) et (10)

(12)

MP HC`(¬p∧p)→q)→(¬p→(p→q H₃ (13)

))

HC` ¬p→(p→q) ( ) de (11) et (12)

(14)

MP HC`((q∧p)→q)→(q→(p→q H₃ (15)

))

HC`(q∧p)→ H₈

(16)

q

HC`q→(p→q) ( ) de (14) et (15)

(17)

MP HC`(¬p→(p→q))→((q→(p→q))→((¬p∨q)→(p→q H₇ (18)

)))

HC`(q→(p→q))→((¬p∨q)→(p→q)) ( ) de (13) et (17)

(19)

MP

HC`(¬p∨q)→(p→q) ( ) de (16) et (18)

Des preuves sur le calcul

Théorème 8. Soient

MP

des formules propositionne#es : φ, √, χ

HC`φ→√ & HC`√→χ =⇒ HC`φ→χ¹ (1)

HC`φ & HC`√ =⇒ HC`φ∧√ (2)

PR2uV2

Preuve de(1): L’antécédent de(1)signifie qu’il y a des nombresn1etn2tels que HC`<sup>n1</sup>φ→√ HC`ⁿ²√→

Un des deux nombres

χ

n1etn2est plus petit que l’autre. Supposons quen1< n . Nous devons démontrer qu’il existe un nombre

2

n3tel que HC`ⁿ³φ→

ParH₂, nous savons que χ

HC`⁰(φ→√)→((√→χ)→(φ→χ Avec (

)) ), nous pouvons donc dériver à partir de “

MP HC`ⁿ¹ φ→√”:

HC`ⁿ¹⁺¹(√→χ)→(φ→χ Avec (

)

), nous dérivons à partir de ceci et de “

MP HC `ⁿ² ” ce dont nous avons besoin pour

prouver(1):

√

HC`ⁿ²⁺¹φ→

Preuve de(2): L’antécédent de(2),“ χ

HC `φ&HC`√”, signifie qu’il y a des nombresn1etn tels que

2

HC`<sup>n1</sup>φ HC`ⁿ² Supposons que

√

n₁< n2. Nous devons démontrer qu’il y a un nombren3tel que HC`ⁿ³φ∧

ParH₁, nous savons que

√

HC`⁰(φ∧√)→(φ∧√ ParH₃, nous savons également que

)

HC`⁰((φ∧√)→(φ∧√))→(φ→(√→(φ∧√ En appliquant (

))) ) à ces deux théorèmes, nous obtenons : MP

HC`¹φ→(√→(φ∧√ Nous dérivons à partir de “

))

HC`<sup>n1</sup> φ” et de ceci par (MP): HC`ⁿ¹⁺¹√→(φ∧√

Nous dérivons à partir de “ )

HC`<sup>n2</sup> √” et de ceci par (MP): HC`ⁿ²⁺¹φ∧√

1Notez l’utilisation des signes “&” et “

✷

= ⇒