Se Tester n°1 - C11.1 (/22) Objectifs :

(1)

Se Tester n°1 - C11.1 (/22) Objectifs :

Niveau a eca n

C11.a ¹ Savoir déterminer une primitive par lecture inverse du tableau des dérivées et de conditions initiales.

C11.b ¹ R.O.C : démonstration de l'existence de primitives C11.c ¹ Connaître et utiliser le tableau des primitives

des fonctions usuelles.

Exercice n°1 [15 pts]

Définition

^{[1 pt]}

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I .

Une primitive de f sur I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que

…... = …...

Propriété n°3 (existence de primitives)

^{[1 pt]}

Toute fonction continue sur un intervalle I admet …... primitive... sur I .

Démonstration [R.O.C]

^{[5 pts]}

Soit f une fonction continue sur [a;b] et m son minimum (la propriété n°1 prouve son

existence).

/.

(2)

/.

Propriété (liste des primitives usuelles)

^{[8 pts]}

Pour chaque fonction, donner les primitives correspondantes ainsi que leurs domaines de validité ( k est un nombre réel quelconque) :

/mn{ $f(x) = k$; $f(x) = k x^n$; $f(x) = ^k

x

ⁿ

$; $f(x)= ^k

x $; $f(x)= k e^x$ ; $f(x) = ^k

√ x

$; $f(x) = k cos (x)$; $f(x) = k sin (x)$}

...

Exercice n°2

^{[7 pts]}

1. Soit f : x → ¤x

²

. Déterminer une primitive de f.

(3)

...

2. Soient $ f(x) = (¤x^2 – ¤x + ¤)e^x$ et $ g(x)=(#2x²+/calc{-#3-2*#2}x

+/calc{#4+#3+2*#2})e^x $

Démontrer qu'une des fonctions est une primitive de l'autre.

...

3. Calculer des primitives des fonctions suivantes :

f(x) = ¤x

²

+ ¤x

³

– µ ; g(x)= ^µ

x + µ ; h(x) = ^µ x

²

+ ^µ

√ x ; j(x) = ¤e

^x

– ¤cos(x) + ¤sin(x)

...

4. Calculer la primitive F de f(x) = ¤x

²

+ ¤x

³

– ¤ telle que F(/t{-2;-1;1;2})=/t{0;1;2}.

...

(4)

...

...…

(5)

Indices et résultats Ex.1 : voir cours.

Ex.2 : 1. $/fs{#1;3}x^3+k, k  /R $ 2. Réponse donnée 3.

$/fs{#5;3} x^3+/fs{#6;4}x^4-#7x+k, k  /R$ ; $#8 ln(x) + #9x + k, k  /R$ ; $-/f{#10;x}

+/calc{2#11} /rc{x}+ k, k  /R$ ; $#12 e^x -#13sin(x)-#14cos(x)+ k, k  /R$* 4.

$/fs{#15;3}x^3+/fs{#16;4}x^4-#17x+/fs{#19*12-

#154#18#18#18+#163#18#18#18#18-#17#18;12}$

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