Contrôle : fonctions, équations de droites, vecteurs

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Contrôle : fonctions, équations de droites, vecteurs

E 1

x−1−2.

1. Déterminer l'ensemble de définition de Df de f. 2. Déterminer le tableau de variation de f.

3. (a) Résoudre l'inéquation f(x)⩾^0.

(b) En déduire l'ensemble de définition de la fonction g définie par g(x)=√ f(x).

(c) À partir de tableau de variation de la fonction f dresser celui de la fonctiong.

4. Soit h la fonction définie par h(x)=x. Déterminer la position relative de, Ch, la représenta- tion graphique de h,par rapport à Cf, la représentation graphique de f.

5. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule f(i) oùi est un entier tel que 2⩽ⁱ⩽^{15 :}

VARIABLES : Type nombre :i, y DEBUT

pouri de0à13faire y ← . . . . afficher(y) finpour FIN

E 2

Le plan est muni d'un repère. Dans chacun des cas suivants déterminer une équation de la droite d.

1. d passe par A (2 ; 3)et B (5 ; 1) .

2. d passe par A (−1 ;−2) et ^−→u (−5 ;−3) est un vecteur directeur.

3. d passe par A (1 ; 1)et est parallèle à la droite d'équation ₋2x+5y+3=0.

4. d est parallèle à (AB)où A (0 ; 1) etB (3 ; 2) et passe par C (−2 ; 2) .

E 3

Soit m un réel et (dm) la droite d'équation(m+3)x+(2m−1)y+m=0.

1. Déterminer un vecteur directeur de (dm)en fonction de m.

2. Déterminer l'ensemble des valeurs dem telles que(dm) est parallèle à la droite (D_m)d'équa- tion4x−9m y+2=0.

3. Est-il possible de trouver des valeurs de m telles que (dm) passe par le point de coordonnées A (1 ; 1) ?

E 4

Soit ABC un triangle. On définit les points M, N et P par : ^−−→AM =2 5

−−→AB , −−→

NA−2−−→

CN =→− 0 et

−−→PC= −1 2

−−→BC .

1. Démontrer que ^−−→AN =2 3

−−→AC .

2. Décomposer ^−−→MN sur les vecteurs ^−−→AB et ^−−→AC . 3. Décomposer ^−−→MP sur les vecteurs ^−−→AB et ^−−→AC . 4. En déduire que les points M, N etP sont alignés.

E 5

AB , −−→

AC

)et on considère les points R (−1 ; 0) etQ (0 ;a)où a est un nombre réel différent de −1.

1. (a) Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites (BC) et(RQ) et prouver que ces droites sont sécantes.

(b) Déterminer dans le repère ⁽A ;−−→

AB , −−→

AC

) une équation cartésienne de chacune des droites

(BC) et(RQ).

(c) Démontrer que les coordonnées de leur points d'intersection P sont (1−a

1+a; 2a 1+a

) . 2. M et N sont les points tels que QCBM et ACPN soient des parallélogrammes.

(a) Calculer les coordonnées des points M et N. (b) Démontrer que les points R, M etN sont alignés.

.

Correction

E 1

1. Df =R^{\ {}−1} .

2. f(x) est obtenu en effectuant l'enchaînement suivant : x7→x−17→ 1

x−17→ 4

x−17→ 4 x−1−2.

On a successivement, en utilisant les propriétés du cours :

x x7→x−1

x7→ 1 x−1 x7→ 4

x−1 x7→ 4

x−1−2

−∞ 1 +∞

0

3. (a)

f(x)⩾⁰ ⇐⇒ 4

x−1−2⩾⁰

⇐⇒ 4−2x+2 x−1 ⩾⁰

⇐⇒ 6−2x x−1 ⩾⁰

⇐⇒ x∈]1 ; 3]

Remarque. ^6−2x

x−1 est du même signe que(6−2x) (x−1) qui est un trinôme du second degré dont les racines sont 1 et 3 et dont le coefficient du terme en x² est négatif. On en déduit que ^6−2x

x−1 est positif lorsquex est compris entre 1 et 3.

(b) Dg=]1 ; 3] .

(c) f est strictement décroissante sur ]1 ; 3] donc g =√

f est strictement décroissante sur ]1 ; 3] .

x

x7→f(x)

x7→g(x)

1 3

0

0

4. Soit x∈Df.

h(x)−f(x)=x− ( 4

x−1−2 )

=x(x−1)−4+2 (x−1) x

=x²+x−6 x−1

∆=25, x1=2 et x2= −3.

On obtient le tableau de signes suivants :

x x²+x−6

x−1 h(x)−f(x)

Ch/Cf

−∞ −3 0

0

1

0

2 0

0

+∞

+ − − +

− − + +

− + − +

au-dessous au-dessus au-dessous au-dessus

5. y← 4 i+1−2.

E 2

1. ^−−→AB (3

−2 )

, d a une équation de la forme ₋2x−3y+c=0. A (2 ; 3) est un point de d donc

−2×2−3×3+c=0. On obtientc=13. Une équation ded est donc :

−2x−3y+13=0.

2. d a une équation de la forme₋3x+5y+c=0. A (−1 ;−2) appartient à d donc ₋3×(−1)+ 5×(−2)+c=0. On obtientc=7. Une équation de d est donc :

−3x+5y+7=0.

3. d a une équation de la forme ₋2x+5y+c=0. A (1 ; 1) appartient à d donc ₋2+5+c=0.

On obtientc= −3. Une équation de d est donc :

−2x+5y−3=0.

4. ^−−→AB (3

1 )

. d a une équation de la forme x−3y+c =0. C (−2 ; 2) appartient à d donc

−2−3×2+c=0. On obtient c=8. Une équation ded est donc : x−3y+8=0.

E 3

1. ^−→um

(1−2m m+3

) .

2. Un vecteur directeur de (D_m)est ^−→vm

(9m 4

) .

¯¯¯¯

¯

1−2m 9m m+3 4

¯¯¯¯

¯=0 ⇐⇒ 4−8m−9m²−27m=0

⇐⇒ −9m²−35m+4=0

∆=35²−4×(−9)×4=1 369, m1=1

9 et m2= −4.

L'ensemble des valeurs de m telles que (dm) est parallèle à (Dm) est : {

−4 ;1 9 }

.

3.

(m+3)×1+(2m−1)×1+m=0 ⇐⇒ 4m+2=0

⇐⇒ m= −1 2 Pourm= −1

2, (dm) passe par A (1 ; 1) .

E 4

1. −−→

NA−2−−→

CN =−→

0 ⇐⇒ −−→

NA−2(−−→

CA+−−→

AN)

=−→ 0

⇐⇒ −−→NA−2−−→CA−2−−→AN =−→0

⇐⇒ −3−−→

AN =2−−→

CA

⇐⇒ −−→AN =2 3

−−→AC

2. −−→

MN=−−→

MA+−−→

AN

= −2 5

−−→AN+2 3

−−→AC

3. −−→MP =−−→MA+−−→AC+−−→CP

= −2 5

−−→AB+−−→

AC+1 2

−−→BC

= −2 5

−−→AB+−−→

AC+1 2

−−→BA+1 2

−−→AC

= − 9 10

−−→AB+3 2

−−→AC

4. ⁴ 9

−−→MP = −2 5

−−→AB+2 3

−−→AC . On en déduit que les vecteurs ^−−→MP et ^−−→MN sont colinéaires, et par conséquent, les pointsM, N et P sont alignés.

E 5

1. (a) ^−−→BC (−1 ; 1) et^−−→RQ (1 ;a).

¯¯¯¯

¯ 1 −1 a 1

¯¯¯¯

¯=1+a̸=0 car a̸= −1.

Les droites(BC) et (RQ) sont donc sécantes.

(b) On obtient :

□□□ (BC) : x+y−1=0;

□□□ (RQ) : ax−y+a=0. (c) □□□ 1−a

1+a+ 2a

1+a−1=1−a+2a−1−a

1+a =0 donc P∈(BC);

□□□ a×1−a 1+a− 2a

1+a+a=a−a²−2a+a+a²

1+a =0 donc P∈(RQ). P est donc le point d'intersection des droites (BC) et (RQ).

2. (a) □□□ QCBM est un parallélogramme si et seulement si ^−−→CQ =−−→

BM .

−−→CQ (0 ;a−1) . Si M( xM;yM

) alors ^−−→BM(

xM−1 ;yM

) et

−−→CQ=−−→

BM ⇐⇒

{xM=1

yM=a−1 donc M (1 ;a−1).

□□□ ACMN est un parallélogramme si et seulement si ^−−→AN =−−→CP .

−−→CP (1−a

1+a;a−1 1+a )

. Si N( xN;yN

) alors ^−−→AN( xN;yN

) et

−−→AN =−−→CP ⇐⇒







xN=1−a 1+a yN=a−1 1+a

donc N (1−a

1+a;a−1 1+a )

.

(b) ^−−→RN ( 2

1+a;a−1 1+a )

et^−−→RM (2 ;a−1).

¯¯¯¯

¯

2 1+a 2

a−1 1+a a−1

¯¯¯¯

¯=2×a−1

1+a−2×a−1

1+a=0 donc les points R, Met N sont alignés.