DENOMBREMENT
I LISTES D'ELEMENTS D'UN ENSEMBLE
Dans tout ce paragraphe, E désigne un ensemble non vide qui contient n éléments.
Une liste est une énumération qui suit un ordre : il y a un premier élément, un deuxième, ...
Ainsi a, b, c et b, a, c sont deux listes distinctes.
On note (a , b , c) et (b , c , a) 1° Permutation d'un ensemble
Une permutation de E est une liste des n éléments de E.
Exemple : E = {a, b, c, d} ; (a, b, c, d) et (a, c, d, b) sont deux permutations de E.
Ecrire une permutation de E revient à remplir quatre cases numérotées de façon qu'au final, chaque case contienne une seule lettre et que les lettres figurant dans les cases soient deux à deux distinctes.
case 1 case 2 case 3 case 4 Il y a quatre choix possibles pour la case 1
pour chacun de ces choix il reste trois choix possibles pour la case 2
Donc 4 x× 3 façons de remplir les deux premières cases. 4 choix 3 choix 2 choix 1 choix Pour chacune, il reste deux choix pour la case 3, donc 4 × 3 × 2 façons de remplir les trois premières cases, et pour chacune, 1 seul choix pour la case 4.
Donc au total, 4 × 3 × 2 × 1 permutations.
Cas général.
Il se traite de la même façon : il y a n choix pour la case 1, (n – 1) choix pour la case 2, et ainsi de suite jusqu'à 1 choix pour la case n .
Donc, au total, n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 2 × 1 permutations.
Le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments, n >1, est égal à : n × (n – 1) × (n – 2) × ... ×2 × 1.
On note ce nombre n! et on lit « factorielle n ».
Par convention on note 0 ! = 1
2° Liste sans répétitions de p éléments de E
Une liste sans répétitions de p éléments de E est une liste de p éléments de E deux à deux distincts (1 ≤ p ≤ n).
Exemple :
E = {a, b, c, d, e} . Alors (a, e, d) est une liste sans répétitions de trois éléments de E.
case 1 case 2 case 3 Pour obtenir une telle liste, on peut remplir trois cases numérotées de 1 à 3,
et en raisonnant comme dans le cas précédent. 4 choix 3 choix 2 choix on obtient 5 × 4 × 3 listes possibles.
case 1 case 2 case 3 …. case p
Cas général
Il se traite de la même façon. n choix n – 1 choix n – 2 choix …. n – p + 1 choix Si un ensemble E contient n éléments, n ≥ 1, le nombre de listes sans répétitions de p éléments de E, 1 ≤ p ≤ n, est n × (n – 1) × (n – 2) × ... × (n – (p – 1)) = n !
(n – p) ! 3° Liste avec répétitions de p éléments de E
p étant un entier quelconque, p ≥ 1, le nombre de ces listes est n p . En effet, puisque les répétitions sont possibles on a donc :
case 1 case 2 case 3 …. case p
n choix n choix n choix n choix
II COMBINAISONS
L'ordre dans lequel on écrit les éléments d'un ensemble n'a pas d'importance. Ainsi {a, b} et {b, a} désignent le même ensemble.
1° Définition
E est un ensemble de n éléments et p un entier tel que 0 ≤ p ≤ n.
Une combinaison de p éléments de E est un sous-ensemble (ou partie) de E qui contient p éléments.
Exemple : E = {a, b, c , d} et p = 3.
Les combinaisons de trois éléments de E sont les parties {a, b, c}, {a, c ,d}, {b, c, d}, {a, b , d}.
Le nombre de parties (c'est à dire de combinaisons) de p éléments d'un ensemble de n éléments est noté
n p et se lit « p parmi n ». On le note aussi Cpn.
Exemple : E= {a, b, c, d, e, f}, p = 3.
6
3 est le nombre des sous-ensembles de E qui contiennent chacun trois éléments.
On compare le nombre les listes de trois l'éléments de E avec le nombre de combinaisons de trois élément de E.
A chaque liste de trois élément de E correspond un et un seul sous-ensemble de trois éléments de (pas de répétition dans une liste et dans un sous-ensemble)
Par exemple, la liste (d, b, a) est une permutation du sous-ensemble {a, b, d}.
A chaque sous-ensemble de trois éléments de E correspond 3 ! listes
Par exemple Au sous-ensemble {a, b, c} correspond les listes (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).
Donc, le nombre des listes sans répétitions de trois éléments, est égal à q × (3 !) comme on sait que le nombre de liste de trois élément de E est égal à 6 × 5 × 4 = 6 !
3 ! = 6 ! (6 – 3) ! On a donc q = 6
3 = 6 × 5 × 4
3 ! = 6 ! 3 ! × 2 ! 2° Cas général
La démonstration se généralise facilement.
Le nombre de listes sans répétitions de p éléments est égal à
n
p × p ! = n ! (n – p) ! Pour tout entier n ≥ 1 et tout entier p tel que 0 ≤ p ≤ n
n
p = n !
p ! (n – p) ! = n × (n – 1) × (n – 2) × … (n – p + 1) p ×(p – 1) × (p – 2) × … × 1 p facteurs au numérateur et au dénominateur.
Parmi n personnes, on choisit un comité de p personnes et dans ce comité un responsable.
Pour déterminer de combien de façons, on peut le faire en utilisant on peut
Choisir d’abord le responsable puis les p – 1 personnes du comité non responsables : n ×
n–1 p–1 Choisir les p membres du comité puis le responsable parmi ces p personnes .
n p × p On a donc
n p = n
p×
n–1 p–1 = n
p×n – 1 p – 1×
n–2 p–2 = n
p×n – 1
p – 1×n – 2 p – 2×
n–3 p–3 = n
p×n – 1
p – 1×n – 2
p – 2× … ×n – (p – 1) p – (p – 1)×
n–p
0 = n
p×n – 1
p – 1×n – 2
p – 2× … ×n – p + 1 1
3° propriétés
Relation de pascal
n
0 = 1 =
n
n
n 1 =
n
n – 1 = n
n p =
n
n – p
n p =
n – 1
p +
n – 1 p – 1 Démonstration :
n p =
n n – p
Dans une association de n personnes on veut toujours choisir un conseil d'administration de p personnes On peut choisir les p personnes qui vont assumer les lourdes responsabilités du conseil d'administration :
p n On peut inviter n – p personnes à aller pêcher à la ligne pour laisser les autres faire partie du conseil
d'administration
n – p
n On a donc :
n p =
n n–p
n p =
n – 1
p +
n – 1
p – 1 (Relation de Pascal)
Toujours dans la même association composée de n personnes, on veut proposer aux électeur une conseil d'administration de p personnes. Dans l'association le jeune Jackie, a ses partisans mais aussi ses détracteurs et donc avant d'élire un conseil d'administration on se pose la question " avec ou sans Jackie"
Jackie à tout prix .
Pour les admirateurs de Jackie il faut choisir Jackie en premier puis compléter le conseil d'administration en choisissant p – 1 personnes parmi les n – 1 qui restent.
n–1 p–1 Tout sauf Jackie.
Pour les détracteurs de Jackie il faut choisir p personnes parmi les n – 1 personnes distinctes de Jackie.:
n–1
p Dans les deux cas on a choisit p personnes parmi les n personnes de l'association.
On peut donc dire que : n
p = n – 1
p + n – 1
p – 1 4° Formule du binôme
a) Triangle de Pascal
n \ p 0 1 2 3 4 5 ……. p …………
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
…..
n – 1
p – 1 n
p n
n
p
…
b) formule du binôme
(a + b)n =
n
0 × an +
n
1 × an−1 × b +
n
2 an−2 × b2 + …… +
n
n a0 × bn =
∑
i=0 n
n
i an−i × bi Démonstration par récurrence sur n
si n= 1 : (a + b)1 = a + b et
1
0 × a1 +
1
1 × a0 × b1 = a + b.
si (a + b)n =
n
0 × an +
n
1 × an−1 × b +
n
2 an−2 × b2 + …… + a0 × bn (a + b)n+1 = (a + b) × (
n
0 × an +
n
1 × an−1 × b +
n
2 an−2 × b2 + …… +
n
n a0 × bn)
=
n
0 an+1 +
n
1 an b +
n
2 an−1 b2 + …… +
n
n a1 bn +
n
0 an b1 +
n
1 an−1 b2 + …… +
n
n – 1 a1 bn +
n
n a0 bn+1
= an+1 +
n 1 +
n
0 an b +
n 2 +
n
1 an−1 b2 + ……. +
n n +
n
n – 1 a1 bn−1 + bn+1
= an+1 +
n + 1
1 × an × b +
n + 1
2 an−1 × b2 + …… +
n + 1
n a1 × bn + bn+1
POUR RESUMER
Les éléments peuvent être répétés Les éléments sont distincts On tient compte
de l'ordre
Tirage successifs Avec remise
Utiliser les p-listes np
Tirage successifs Avec remise
Utiliser les arrangements n !
(n – p) ! On ne tient pas
compte de l'ordre
Tirage simultanés Utiliser les combinaisons n !
(n – p) ! p !
