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Chapitre 0 : SYSTÈMES
Soit le système de deux équations à deux inconnues suivant : ൜2ݔ − ݕ = 5ݔ + 3ݕ = 6
Comment résoudre un tel système ? 1ère méthode : La substitution
On exprime une inconnue en fonction de l’autre (dans une des deux équations) puis on remplace par l’expression obtenue dans la deuxième : l’objectif est de n’obtenir qu’une
inconnue dans la deuxième équation utilisée. Le reste est un jeu d’enfant (ou plutôt un jeu de collégien).
൜2ݔ − ݕ = 5ݔ + 3ݕ = 6
La deuxième équation donne ݔ = 6 − 3ݕ
On remplace ݔ par cette expression dans la première équation : 2(6 − 3ݕ) − ݕ = 5
Il reste le jeu de collégien : 12 − 6ݕ − ݕ = 5 ⇔ 12 − 7ݕ = 5 ⇔ −7ݕ = −7 ⇔ ݕ = 1 Enfin : ݔ = 6 − 3ݕ = 6 − 3 × 1 = 3
Le couple solution est (3 ; 1)
Et si l’on avait voulu exprimé ݕ en fonction de ݔ dans la première équation ? A vous de jouer :
2ème méthode : Addition ou combinaison
Il faut observer davantage les équations et utiliser certaines propriétés : en multipliant la première équation par 3 de chaque côté, les coefficients de ݕ des deux équations sont opposés.
൜6ݔ − 3ݕ = 15ݔ + 3ݕ = 6
On additionne ensuite les deux équations : 6ݔ − 3ݕ + 3 + 3ݕ = 15 + 6 Ce qui donne après simplification : 6ݔ + 3 = 21
L’inconnue ݕ a disparu ! C’était un peu l’objectif recherché … On termine la résolution : 6ݔ = 18 ⇔ ݔ = 3
La dernière étape reste la même que dans la méthode précédente : la connaissance d’une inconnue donne directement la valeur de l’autre…
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Exemples :
1) Résoudre les systèmes : ൜ݔ − 2ݕ = 43ݔ − ݕ = 7 et ൜3ݔ + 2ݕ = ݔ + 15ݔ − ݕ = ݕ − 2
2) Je suis une fonction affine.
Je transforme 2 en 3 et 4 en 7.
Qui suis-je ?
3) Petit casse-tête : J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.
Quand vous aurez mon âge, la somme de nos âges sera de 98 ans.
Quels âges avons-nous ?
