Concepts de base de la s ´emantique formelle

(1)

V éri-conditionnalit é Th éorie des mod èles et logique des pr édicats du premier ordre S émantique “th éorie des mod èles” pour les phrases d’une langue naturelle

Compositionnalit ´e λ-calcul

Concepts de base de la s ´emantique formelle

Alain Lecomte Universit ´e Paris 8

Alain Lecomte Universit ´e Paris 8 Concepts de base de la s ´emantique formelle

(2)

Outline

1 V ´eri-conditionnalit ´e

Qu’est-ce que la signification?

2 Th éorie des mod èles et logique des pr édicats du premier ordre

3 S émantique “th éorie des mod èles” pour les phrases d’une langue naturelle

4 Compositionnalit ´e

D ´enotations comme ensembles Ensembles et fonctions indicatrices Mod `eles de phrases

5 λ-calcul

(3)

Qu’est-ce que la signification?

Conditions de v ´erit ´e

Connaˆıtre la signification d’une phrase = savoir sous quelles conditions elle est vraie

On oppose (cf. Recanati, 2008):

s émantique r éf érentielle s émantique cognitive

(4)

Conception tarskienne de la v ´erit ´e

”les JSM sont organis ´ees en 2010 en Lorraine” est vrai ssi

les JSM sont organis ´ees en 2010 en Lorraine Conception ”d ´ecitationnelle”

sch ´ema T

D éfinir la v érit é dans le cas de langages formalis és, cf. Tarski,

1972

(5)

Qu’est-ce que la signification?

Contradiction due à l’auto-r éf érence

A = “A n’est pas une proposition vraie”

alors :

“A n’est pas une proposition vraie” est vraie si et seulement si

A n’est pas une proposition vraie autrement dit, par remplacement:

A est vraie si et seulement si

A n’est pas vraie

(6)

Langage objet et m ´etalangage

Example

Langage objet :

N (n ´egation), A (disjonction), Π (quantification universelle), I (inclusion)

variables: x

_|

, x

_||

, x

_|||

, ...., x

_||||...|

etc.

expressions bien form ´ees : Ix

_|

, x

_||

; NIx

_|

, x

_||

; Πx

_|

Ix

_|

, x

_|

etc.

M ´etalangage : classes

Πx _| Ix _| , x _| si et seulement si ∀X ₁ X ₁ ⊂ X ₁

(7)

Rappels Logique des Pr ´edicats du premier ordre

des variables dites individuelles : x ₁ , x ₂ , ..., y ₁ , y ₂ , ...; etc.

des constantes individuelles (mais ce n’est pas indispensable)

des lettres de pr édicats, dot ées chacune d’une arit é les constantes logiques classiques:

connecteurs: ∧, ∨, ⇒, ¬ quantificateurs : ∀, ∃

et bien s ˆur les signes de ponctuation ordinaires (parenth `eses)

Example

∀x(∃yA _\2 (x , y ) ⇒ B _\1 (x))

(8)

L-structure

< D, I >

pour toute constante individuelle c, I(c)∈ D

pour toute lettre de pr ´edicat n-aire A _\n , I(A _\n ) ⊂ D ⁿ

Fonctions d’assignation g : Var −→ D

(9)

V érit é d’une formule par rapport à une structure

Termes:

si ξ est une variable indiviuelle, [[ξ]]

^M,g

= g(ξ) si c est une constante individuelle, [[c]]

^M,g

= I(c) Formules atomiques:

si A _\n est une lettre de pr ´edicat d’arit ´e n et si t 1 , ..., t n sont des termes, alors

[[A

_\n

(t

₁

, ..., t

_n

)]]

^M,g

= 1 ssi ([[t

₁

]], ..., [[t

_n

]]) ∈ I(A

_\n

) [[A ∧ B]] ^M,g = 1 ssi [[A]] ^M,g = 1 et [[B]] ^M,g = 1 [[A ∨ B]] ^M,g = 1 ssi [[A]] ^M,g = 1 ou [[B]] ^M,g = 1 [[A ⇒ B]] ^M,g = 0 ssi [[A]] ^M,g = 1 et [[B]] ^M,g = 0 [[¬A]] ^M,g = 1 ssi [[A]] ^M,g = 0

[[(∀x )A]] ^M,g ]] = 1 ssi pour toute assignation g ⁰ égale à g sauf éventuellement en x, [[A]] ^M,g = 1

[[(∃x )A]] ^M,g ]] = 1 ssi il existe au moins une assignation g ⁰

égale à g sauf éventuellement en x telle que [[A]] ^M,g = 1

(10)

Probl èmes de la th éorie des mod èles

∧ −→ et

∨ −→ ou

∀ −→ pour tout

∃ −→ il existe

Si un tel m étalangage permet de d éfinir la v érit é dans L, qu’en est-il de la v érit é dans ce m étalangage?

langage → m étalangage → m éta-m étalangage → ....

grosse faiblesse de la logique classique...

(11)

La langue comme un langage formel?

ou bien traduire d’abord les phrases d’une langue naturelle dans un langage pr ´edicatif (ou bien dans un langage logique beaucoup plus riche, un langage intensionnel LI, comme dans l’approche de Richard

Montague qui sera pr ésent ée par Laurent Roussarie) pour ensuite appliquer les r ègles r écursives ci-dessus,

ou bien consid érer directement une langue naturelle comme un langage formel et donner une d éfinition r écursive de la v érit é de ses phrases à partir de leurs r ègles de formation syntaxique.

cf. Heim & Kratzer, 1998

(12)

Retour sur la d ´enotation

Frege : Uber Sinn und Bedeutung, signification = sens

d énotation (ou r éf érence)

quelle est la d ´enotation d’une proposition?

c’est la valeur de v ´erit ´e de la proposition

NB: il existe des cas particuliers (phrases ench âss ées) o ù la d énotation est le sens (la valeur de v érit é n’est alors que la d énotation indirecte)

cf. Paul croit que la Terre est plate

(13)

D ´enotations comme ensembles Ensembles et fonctions indicatrices Mod `eles de phrases

Le principe de compositionnalit ´e

la signification d’une expression est fonction des significations de ses composantes et de la mani `ere dont celles-ci sont combin ´ees

(14)

La d ´enotation des parties du discours

termes singuliers (noms propres) −→ él éments de l’univers termes g én éraux (noms communs, adjectifs, verbes

intransitifs) −→ ensembles inclus dans l’univers

propositions −→ valeurs de v ´erit ´e

(15)

Fonction indicatrice d’un ensemble

1 _E (x ) = 1 si et seulement si x ∈ E

Ensembles inclus dans D = Fonctions de D dans {0, 1}

(16)

Types

noms propres e entit ´es individuelles

propositions t valeurs de v ´erit ´e

termes g ´en ´eraux e → t fonctions

verbes transitifs e → (e → t) fonctions ”curryfi ´ees”

syntagmes nominaux (e → t) → t fonctions ”du second ordre”

(17)

Cadres

Example D = {a, b, c, d}

E 1 = {a, b}, E 2 = {a, c, d }, E 3 = {a, b, c}, E 4 = {c}, E 5 = {b, d}

R ₁ = {(a, b), (a, c ), (b, b), (b, d), (c, c), (d, d), (d , a), (d , b)}

R ₂ = {(a, a), (b, b), (c, c), (d , d )}

R ₃ = {(a, b), (b, a), (a, c ), (c, a), (b, d), (d , b)}

T ₁ = {(a, a, a), (a, b, a), (a, b, c), (b, c, a), (b, d , d ), (b, d, a)}

etc.

(18)

Fonctions d’interpr ´etation et mod `eles

Example Lexique :

Pierre, est mari ´e

p = “Pierre est mari ´e”, avec l’analyse syntaxique suivante (fig.

4)

S

H H H SN Pierre

SV

est mari ´e

(19)

Fonction I

Example I(Pierre) = b I(est mari ´e) = E ₅ .

identique `a : I(est mari ´e) = la fonction φ de D dans {0, 1}

d ´efinie par :

a → 0

b → 1

c → 0

d → 1

(20)

D éfinition de la v érit é dans un fragment de langue naturelle

Example

Syntaxe : S → SN SV; SN → Pierre; SV → est mari é V érit é par rapport à M :

Si τ a une racine étiquet ée par S, et deux branches α, dont la racine est étiquet ée NP et β, dont la racine est étiquet ée VP, alors I(τ ) = I(β)(I(α))

Si τ a une racine ´etiquet ´ee par N, et une branche α,

simplement ´etiquet ´ee par Pierre, alors I(τ ) = I(Pierre)

Si τ a une racine ´etiquet ´ee par SV, et une branche α,

simplement étiquet ée par est mari é, alors I(τ ) = I(est

(21)

Exemple

Example

S φ(b)

= 1

H H H SN

b Pierre

b

SV φ est mari ´e

φ

(22)

Plus difficile

Example

S

H H H NP

N Ann

VP

H H H VT kisses

NP

N

Paul

(23)

Verbes transitifs

I(kisses) = la fonction f : D −→ {0, 1} ^D telle que

• f (Ann) = la fonction f _Ann : D −→ {0, 1} telle que

f _Ann (Ann) = 0, f _Ann (Mary) = 0, f _Ann (Paul) = 1, f _Ann (Ibrahim) = 0

• f (Mary) = la fonction f _Mary : D −→ {0, 1} telle que

f _Mary (Ann) = 0, f _Mary (Mary) = 0, f _Mary (Paul) = 0, f _Mary (Ibrahim) = 1

• f (Paul) = la fonction f _Paul : D −→ {0, 1} telle que

f _Paul (Ann) = 1, f _Paul (Mary) = 0, f _Paul (Paul) = 0, f _Paul (Ibrahim) = 0

• f (Ibrahim) = la fonction f _Ibrahim : D −→ {0, 1} telle que f _Ibrahim (Ann) = 0, f _Ibrahim (Mary) = 1, f _Ibrahim (Paul) = 0, f _Ibrahim (Ibrahim) = 0

(24)

Calcul

Example

S f(Paul)(Ann)

= 1

H H H NP Ann

N Ann

Ann Ann

VP f(Paul)

H H H VT

f

kisses f

NP Paul

N

Paul

(25)

Abstraction de pr ´edicat et fonctions d’assignation

Ordre d’instanciation des variables

y −→ {x −→ aimer (x , y )}??

On ´ecrit : λy .λx .aimer (x, y)

λy .λx.aimer (x , y )(p) −→ λx .aimer (x,p) λx .aimer (x ,p)(m) −→ aimer(m, p)

(26)

λ-termes

toute variable est un λ-terme

si M et N sont des λ- termes, alors (M N) est aussi un λ-terme,

si M est un λ-terme et x une variable, alors λx.M est un λ-terme

il n’y a pas d’autre mani `ere de construire un λ-terme que par les trois clauses ci-dessus

β-conversion :

(λx .M N) → M[x := N]

M[x := N] : substitution de x par N dans M partout o `u il apparaˆıt.

η-conversion :

(27)

Types

Soit A un ensemble de types primitifs (atomiques)

1

∀t ∈ A, t est un type (t ∈ Typ)

2

∀α, β ∈ Typ, (α → β) ∈ Typ

(28)

λ-termes typ ´es

toute variable de type α est un λ-terme de type α si M et N sont des λ termes respectivement de types α → β et α, alors (M N ) est un λ-terme de type β

si M est un λ-terme de type β et x une variable de type α,

alors λx .M est un λ-terme de type α → β

(29)

Abstraction de pr ´edicat

The man whom Mary met

Example

CP

H H H H COMP whom ₁

S

H H H DP Mary

VP H H VT met

DP t ₁

(30)

Fonctions d’assignation

[[t _i ]] ^M,g = g(i) Example

Interpr ´etation par rapport `a M, g :

S f

meet

(g(1))(mary )

H H H DP mary

Mary mary

VP f

meet

(g(1))

H H VT f

meet

DP

g (1)

(31)

Concepts de base de la s ´emantique formelle