Cours de mathématiques
Thomas Rey
Classe de Terminale ES spé
18 mai 2011
Table des matières
1 Graphes. Épisode 1 5
1.1 Graphes non orientés . . . 5
1.1.1 Un exemple . . . 5
1.1.2 Quelques définitions . . . 6
1.1.3 Premières propriétés . . . 7
1.1.4 Sous-graphe . . . 7
1.1.5 Matrice d’un graphe non orienté . . . 8
1.2 Circuits dans un graphe . . . 8
1.2.1 Chaînes et cycles . . . 8
1.2.2 Trajets eulériens . . . 10
1.2.3 Algorithme d’Euler . . . 10
1.3 Coloration d’un graphe. . . 12
1.3.1 Encadrement du nombre chromatique . . . 12
1.3.2 Algorithme de Welch-Powell . . . 12
1.4 Graphes orientés . . . 14
1.5 Graphes étiquetés. Graphes pondérés . . . 15
1.5.1 Graphe étiqueté . . . 15
1.5.2 Graphe pondéré . . . 16
1.5.3 Algorithme de Moore-Dijkstra . . . 16
2 Suites 19 2.1 Suites numériques. . . 19
2.1.1 Mode de génération . . . 19
2.1.2 Suites arithmétiques . . . 20
2.1.3 Suites géométriques . . . 21
2.2 Vocabulaire usuel des suites . . . 22
2.2.1 Variations d’une suite . . . 22
2.2.2 Suites majorées, minorées, bornées . . . 22
2.3 Axiome de récurrence . . . 22
2.4 Suite convergente. Suite divergente . . . 24
2.4.1 Trois exemples . . . 24
2.4.2 Suite convergente . . . 24
2.4.3 Suite divergente. . . 24
2.5 Propriétés de convergence . . . 24
2.5.1 Règles opératoires . . . 24
2.5.2 Suites arithmétiques . . . 25
2.5.3 Suites géométriques . . . 25
3 Géométrie spatiale 27
3.1 Plans de l’espace . . . 27
3.1.1 Axes de coordonnées et plans de base . . . 27
3.1.2 Plan parallèle à un plan de coordonnées. . . 27
3.1.3 plan parallèle à un axe de coordonnées . . . 28
3.1.4 Plan quelconque . . . 28
3.1.5 Quelques figures . . . 29
3.2 Vecteur orthogonal à un plan . . . 30
3.3 Plans parallèles . . . 30
3.4 Système d’équations cartésiennes d’une droite . . . 30
3.5 Fonctions de deux variables . . . 31
3.5.1 Introduction . . . 31
3.5.2 Surface d’équationz= f(x;y) . . . 32
3.5.3 Courbes de niveau . . . 32
3.5.4 Optimisation sous contrainte linéaire . . . 33
4 Graphes probabilistes 35 4.1 Un exemple . . . 35
4.2 Graphe probabiliste . . . 36
4.2.1 Cas général . . . 36
4.2.2 Un cas particulier : graphe probabiliste à deux états . . . 38
4.3 Un exercice du bac . . . 39
Chapitre 1
Graphes. Épisode 1
La théorie des graphes a été initiée par le mathématicien suisse Euler1 puis prolongée par de nombreux mathématiciens dans les années qui suivent. Le problème qui a permis à Euler de s’intéresser à cette question est le fameux problème des sept ponts de Königsberg2 : les habitants de cette charmante3 ville souhaitaient trouver un trajet passant une fois et une seule par chaque pont. Eulera réussi à prouver que c’était impossible.
Dans ce chapitre et dans l’épisode 2 qui suivra (chapitre4), nous nous intéresserons à ce genre de problèmes mais aussi à calculer des longueurs d’itinéraires, à organiser des tournois, à colorier des cartes, à organiser des tâches sur un chantier, . . .
1.1 Graphes non orientés
1.1.1 Un exemple
Revenons sur les fameux ponts de Königsberg :
Le plan de la ville Schématisé Sous forme de graphe
Source des illustrations :Wikipédia.
Sur le graphe, chaque point correspond à un quartier de la ville non traversé par la rivière4 et chaque trait correspond à un pont. Le problème revient donc à chercher un trajet continu (sans « saut ») passant une fois et une seule par chaque trait.
1. Leonhard Euler(1707-1783) : mathématicien suisse. Un des mathématiciens les plus productifs de tous les temps. Il a travaillé dans beaucoup de domaines (notre trigonométrie moderne provient essentiellement de sonIntroductiode 1748). Il est aussi l’inventeur de beaucoup de notations que nous utilisons encore aujourd’hui (π,Σpour les sommes,rpour les rayons,A,B, . . . pour les sommets d’un polygone, cos et sin, . . .)
2. Königsberg : actuellement Kaliningrad, région de la Russie frontalière de la Pologne et de la Lituanie.
3. En fait je n’y suis jamais allé, c’est peut-être pas terrible comme ville. . . 4. Pour les curieux, la rivière traversant Königsberg s’appelle Pregel.
1.1.2 Quelques définitions
Définition 1.1
Quelques points de vocabulaire :
– un graphe est un ensemble de points appelés sommets dont certains sont reliés par des lignes appeléesarêtesou par des flèches appeléesarcs;
– on appelleordred’un graphe son nombre de sommets ;
– on appelledegréd’un sommet le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extremité (une arête reliant un sommet à lui-même compte pour deux).
Exemple 1.1
Le graphe ci-dessous est constitué de cinq sommets notés A, B, C, D et E : on dit que l’ordre de ce graphe est 5. Le sommet A est à l’extrémité de trois arêtes donc son degré est 3. Le degré du sommet D est 2.
A
B
C
D E
Définition 1.2
Toujours du vocabulaire :
– on dit que deux sommets sontadjacentss’ils sont reliés par une arête ; – on dit qu’un sommet estisolés’il n’est adjacent à aucun autre ;
– un graphe est ditcompletsi tous les sommets sont adjacents les uns aux autres ; – on appelleboucleune arête joignant un sommet à lui-même.
Exemple 1.2
Sur le graphe de l’exemple1.1on peut dire que les sommets A et B sont adjacents ; par contre les sommets B et D ne le sont pas. Le sommet A admet une boucle.
Exemple 1.3
Sur le premier des deux graphes ci-dessous on peut dire que le sommet A est isolé. Le deuxième graphe est complet.
A
B
C
D E
A B
C D
1.1 Graphes non orientés 7
1.1.3 Premières propriétés
Théorème 1.1
Dans un graphe, la somme des degrés de tous les sommets est égal au double du nombre total d’arêtes.
Démonstration :
Chaque arête a deux extrémités elle est donc comptée deux fois quand on additionne les degrés de tous les sommets.
Conséquences :
– la somme des degrés des sommets d’un graphe est un nombre pair ; – le nombre de sommets de degré impair est un nombre pair.
Démonstration :
– la somme des degrés étant égale au double du nombre d’arêtes, c’est un nombre pair ; – si le nombre de sommets de degré impair était impair, lorsqu’on additionne ceux-ci on
obtient un nombre impair ; si on y ajoute la somme des degrés pairs (qui est un nombre pair) on obtient au total un nombre impair, ce qui est en contradiction avec le point précédent.
Exemple 1.4
Lors d’une compétition de badminton treize joueurs sont inscrits. Est-il possible que chaque joueur dispute exactement trois matches ?
On peut modéliser ce problème par un graphe : chaque joueur est un sommet et on représente par une arête un match entre deux joueurs. Si un tel graphe existait on aurait la somme des degrés qui vaudrait 13× 3 = 39 ce qui est impossible car 39 n’est pas un nombre pair.
L’organisation d’un tel tournoi est donc impossible : il faut forcément avoir un nombre pair de joueurs ou un nombre pair de matches pour chaque joueur (ou les deux).
1.1.4 Sous-graphe
Définition 1.3
Et encore un peu de vocabulaire :
– un sous-graphe d’un graphe G est un graphe G’ composé de certains des sommets de G ainsi que de toutes les arêtes qui les joignent ;
– unsous-graphe stabled’un graphe G est un sous graphe sans arête.
Exemple 1.5
On donne ci-dessous un graphe G, un sous-graphe G’ de G et un sous-graphe stable G”
de G :
Graphe G
A
B C
D E F
G’ sous-graphe de G
A
B
D F
G” sous-graphe stable de G
A
B C
1.1.5 Matrice d’un graphe non orienté
Définition 1.4
La matrice associée à un graphenon orientéd’ordren(c’est-à-dire ayantnsommets numérotés de 1 àn) est la matrice carrée n×n dont chaque coefficient ai j est égal au nombre d’arêtes reliant les sommetsiet j. (Rappel : le coefficientai jest le coefficient situé au croisement de la ieligne et de la jecolonne).
Remarque 1.1
Le graphe étant non orienté, il y a évidemment autant d’arêtes reliant le sommetiau sommetj que d’arêtes reliant le sommet jau sommet i. La matrice d’un graphe non orienté est donc une matricesymétrique.
Exemple 1.6
On donne ci-dessous deux graphes et leurs matrices associées :
A
B C
D E F
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0
A
B
C D
0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 0
1.2 Circuits dans un graphe
1.2.1 Chaînes et cycles
Définition 1.5
Unechaîne est une liste ordonnée de sommets reliés par des arêtes. On appellelongueurde la chaîne le nombre d’arêtes qui la composent.
Exemple 1.7
Dans le premier graphe de l’exemple 1.6, CEAFB est une chaîne de longueur 4. Dans le deuxième graphe,DCCest une chaîne de longueur 2.
Théorème 1.2(admis)
Dans un graphe de matrice associée M, le nombre de chaînes de longueur n reliant les sommetsiet jest égal au coefficientai jde la matriceMn.
Remarque 1.2
Rappel : pour calculerMnon utilise bien sûr la calculatrice !
1.2 Circuits dans un graphe 9
Exemple 1.8
On s’intéresse au graphe représenté ci-après. Pour connaître le nombre de chaînes de lon- gueur 3 reliant les sommetsAàC, on commence par écrire la matriceMassociée à ce graphe puis on calculeM3. Le nombre de chaînes de longueur 3 reliant le sommetAau sommet C est alors le coefficienta13.
A B
C D
M=
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
M3 =
6 7 7 7 7 6 7 7 7 7 6 7 7 7 7 6
On a donc sept chaînes de longueur 3 reliant les sommetsAetC; il reste à les écrire : ABDC;ADBC;ACAC;ACBC;ACDC;ADAC;ABAC.
Définition 1.6
Encore et toujours du vocabulaire :
– un graphe est ditconnexes’il existe toujours (au moins) une chaîne qui relie deux sommets quelconques ;
– une chaîne est diteferméesi elle relie un sommet à lui-même (l’origine et l’extrémité de la chaîne sont confondues) ;
– on appellecycleune chaîne fermée dont toutes les arêtes sont distinctes ;
– ladistanceentre deux sommets est la plus courte longueur des chaînes qui relient ces deux sommets ;
– lediamètred’un graphe connexe est la plus grande distance entre deux sommets du graphe.
Exemple 1.9
On donne ci-dessous trois graphes.
A
B C
D E F
A B
C D
A
B C
D E F
On peut dire que :
– le premier graphe n’est pas connexe : il n’existe pas de chaîne reliant les sommetsAetB; par contre, les deuxième et troisième graphes sont connexes ;
– dans le deuxième graphe, la chaîne ADBCDAest fermée mais elle n’est pas un cycle car l’arêteADest parcourue deux fois ;
– dans le troisième graphe, la chaîne ferméeADBFAest un cycle ;
– dans le troisième graphe, la distance entre les sommetsBet Eest égale à 2 car il n’existe pas d’arête entre B et E (donc pas de chaîne de longueur 1) et il existe une chaîne de longueur 2 :BCE;
– le diamètre du deuxième graphe est 1 car il est complet ; le diamètre du troisième graphe est 2 car la plus longue distance entre deux sommets vaut 2 (par exemple entre les sommets DetE).
1.2.2 Trajets eulériens
Définition 1.7
On appelle chaîne eulérienne toute chaîne qui contient chaque arête du graphe une et une seule fois. Si en plus la chaîne est un cycle (origine et extrémité confondues) on dit qu’il s’agit d’uncycle eulérien.
Exemple 1.10
Le graphe ci-contre admet une chaîne eulé- rienne :BDAFBCEA
A
B C
D E F
Exemple 1.11
Le graphe ci-contre admet un cycle eulérien : CEADBFABC
A
B C
D E F
Théorème 1.3(d’Euler - admis)
Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair vaut 0 ou 2.
Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair.
Exemple 1.12
Le graphe de l’exemple1.8 n’admet pas de chaîne eulérienne car il admet quatre sommets de degré impair.
Exemple 1.13
En reprenant le problème des ponts de Königsberg (voir son graphe ci-dessous), on remarque que le graphe comporte quatre sommets de degrés impairs, il n’existe donc ni chaîne, ni cycle eulérien dans ce graphe : il est impossible de parcourir tous les ponts de la ville une et une seule fois.
1.2.3 Algorithme d’E uler
Nous avons vu avec le théorème1.3qu’il est facile de déterminer s’il existe une chaîne ou un cycle eulérien ; nous allons voir maintenant comment il est possible de trouver une de ces
1.2 Circuits dans un graphe 11
chaînes ou un de ces cycles s’ils existent grâce àl’algorithmed’Euler. Entrées: Un graphe ayant 0 ou 2 sommets de degrés impairs
1
début
2
siil y a deux sommets de degré impairalors
3
on construit une chaîne reliant ces deux sommets;
4
sinon
5
on construit un cycle quelconque à partir d’un sommet;
6
tant queil reste des arêtes non parcouruesfaire
7
on choisit un sommet de la chaîne précédente et on construit un cycle fermé à partir
8
de ce sommet, cycle n’empruntant que des arêtes non parcourues.;
fin
9
Algorithme 1: Algorithme d’Euler
Exemple 1.14
On donne le graphe ci-dessous. On remarque que tous les sommets sont de degrés pairs ; il existe donc un cycle eulérien. Nous allons appliquer l’algorithme d’Eulerpour en déterminer un.
A
B C
D E F G
H I
On commence par tracer un cycle à partir du sommet A : ABCDEFHA. On obtient alors le graphe ci-dessous :
A
B C
D E F G
H I
Puis, à partir du sommet E puis du sommet A on ajoute les cycles EHCE et AIHGA pour obtenir successivement :
A
B C
D E F G
H
I
A
B C
D E F G
H
I
Finalement le cycle eulérien est ABCDEHCEFHAIHGA.
1.3 Coloration d’un graphe
L’objectif de cette partie est de réussir à déterminer le nombre minimal de couleurs à utiliser pour colorier les sommets d’un graphe de sorte que deux sommets adjacents (c’est-à-dire ayant une arête les joignant) ne soient pas de la même couleur. Ce problème est notamment important en Géographie lorsqu’il s’agit de colorier des pays sur une carte5 mais aussi en télécommunication pour attribuer des fréquences à des appareils communiquants. Ce problème est appelé « coloriage d’un graphe ».
1.3.1 Encadrement du nombre chromatique
Définition 1.8
Le nombre chromatique d’un graphe G (que nous noterons γ(G)) est le nombre minimal de couleurs nécessaires à son coloriage (en respectant la consigne suivante : deux sommets adjacents ne peuvent être de la même couleur).
Propriété 1.1
Deux résultats permettent d’encadrer le nombre chromatique d’un grapheG:
– si∆ est le plus grand degré des sommets du graphe G alors le nombre chromatique est inférieur ou égal à∆ +1 ;
– si m est l’ordre du plus grand des sous-graphes complets du graphe G alors le nombre chromatique est supérieur ou égal àm.
Ainsi on a :m≤γ(G)≤∆ +1.
Exemple 1.15
On donne le graphe ci-contre :
Les sommets A et B sont les deux sommets ayant le plus grand degré : 4. Par ailleurs, il existe un sous-graphe complet d’ordre 3 (ABF par exemple) et il n’en existe pas plus grand que 3 (car alors il faudrait au moins trois som- mets de degré supérieur ou égal à 3). On peut donc affirmer que le nombre chromatique γ de ce graphe est compris entre 3 et 5.
On cherche donc à colorier ce graphe avec trois couleurs et on obtient le résultat ci- contre ; donc le nombre chromatique de ce graphe est 3.
A
B C
D E F
A
C B
D E F
1.3.2 Algorithme de W elch -P owell
Il n’existe pas d’algorithme donnant la coloration d’un graphe avec le nombre chromatique de couleurs ; nous allons pourtant donner un algorithme permettant de colorier un graphe
5. Historiquement, c’est d’ailleurs pour colorier une carte que ce problème est apparu : c’est Francis Guthrie, mathématicien Sud-Africain du XIXe siècle qui fut le premier à énoncer le théorème des quatre couleurs affirmant que toute carte peut être coloriée avec quatre couleurs uniquement sans que deux pays ayant une frontière commune soient de la même couleur. Il découvrit ce théorème (qui fut démontré bien plus tard) en tentant de colorier une carte des comtés d’Angleterre.
1.3 Coloration d’un graphe 13
de façon méthodique. Cet algorithme est aussi appelé algorithme « glouton » car il est parfois loin de donner un résultat optimal.
Pour commencer, il faut ranger les sommets par ordre décroissant de leurs degrés (il peut y avoir plusieurs possibilités. . .) et ensuite suivre les étapes ci-dessous.
Entrées: Un grapheG
1
début
2
Ranger les sommets par ordre décroissant de leurs degrés;
3
tant queil reste des sommets non coloriésfaire
4
on choisit une couleur non encore utilisée;
5
suivre la liste en attribuant la même couleur au premier sommet non adjacent au
6
précédent;
poursuivre en attribuant la même couleur aux sommets non adjacents aux
7
précédents;
Sorties: Le graphe est colorié !
8
fin
9
Algorithme 2: Algorithme de Welch-Powell
Exemple 1.16
Appliquer l’algorithme glouton au graphe ci-dessous :
A
B C
D E F G
H
I
On regroupe dans le tableau ci-dessous les degrés des différents sommets :
Sommet A B C D E F G H I
Degré 4 2 3 1 3 2 2 5 2
Appliquons l’algorithme2:
1) on range les sommets par ordre décroissant de leurs degrés et on obtient par exemple : H,A,C,E,B,F,G,I,D;
2) on colorieHen bleu ;
3) on ne peut pas colorierAetCen bleu (adjacents àH), par contre on peut mettreEen bleu ; 4) on mettreBen bleu ;
5) on ne peut pas mettreF, G etI en bleu (adjacents àH), niD (car il est adjacent àE). On obtient donc :
A
C F G
I D
H E
B
6) il nous resteA,C,F,G,I,D; on choisit une nouvelle couleur : le rouge ;
7) on colorieAen rouge de même queC,FetD(carGetIsont adjacents àA) et on obtient :
G
I
H E
B A
C F
D
8) finalement il resteGetIqu’on peut mettre en vert pour obtenir :
H E
B A
C F
D G
I
On a donc colorié le graphe à l’aide de trois couleurs. On peut remarquer que pour ce graphe on avait∆ = 5 etm=3 et donc 3≤γ≤6 : on a trouvé une coloration optimale.
Exemple 1.17
On a vu sur les deux exemples précédents qu’il existe des graphes dont le nombre chroma- tique est égal àm. Proposer un graphe dont le nombre chromatique est égal à∆ +1.
1.4 Graphes orientés
Parfois, on peut rencontrer des situations où le lien entre deux sommets n’est pas symétrique par exemple on s’intéresse à un groupe de personnes (les sommets du graphes) et une arête symbolise un lien affectif (déclaré ou non. . .). On s’aperçoit que A peut aimer B sans que la réciproque soit vraie. Dans ce cas on va faire appel à un nouveau type de graphes : les graphesorientés.
Définition 1.9
Ungraphe orientéest un graphe dont les arêtes ont un sens : elles ne peuvent être parcourues que d’un sommet vers l’autre ; dans ce cas, on les appelle aussiarcs.
Exemple 1.18
Au cours d’une rencontre sportive, six équipes ont joué chacune trois matches. On donne le tableau des résultats ci-dessous. Représenter cette situation par un graphe où chaque équipe est représentée par un sommet et une arête orientée deAversBsignifie « l’équipeAa battu l’équipeB».
match score match score match score A−B 3-1 A−D 1-3 A−F 3-0 C−D 3-0 C−F 0-3 C−B 3-2 E−F 2-3 E−B 3-2 E−D 3-2 On obtient donc le graphe ci-après :
1.5 Graphes étiquetés. Graphes pondérés 15
A
B C
D E F
Définition 1.10
La matrice d’un graphe orienté d’ordrenest la matricen×ndans laquelle le coefficient de la ieligne et de la jecolonne est égal au nombre d’arêtes allant du sommetivers le sommet j.
Remarque 1.3
Attention, la matrice d’un graphe orienté n’est pas toujours symétrique (et le plus souvent elle ne l’est pas).
Exemple 1.19
La matrice du graphe orienté de l’exemple1.18est :
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
1.5 Graphes étiquetés. Graphes pondérés
1.5.1 Graphe étiqueté
Définition 1.11
Un graphe orienté est ditétiquetési chaque arête est affectée d’uneétiquettepar exemple une lettre, un mot, un symbole, une instruction à suivre, un nombre, . . ..
Si toutes les étiquettes sont des nombres positifs, on parle alors de graphepondéré.
Définition 1.12
On s’intéresse à un graphe étiqueté par des lettres et dans lequel un sommet est noté « début » et un autre « fin ».
On dit qu’un mot estreconnus’il existe une chaîne d’origine le sommet « début » et d’extrémité le sommet « fin » pour laquelle les étiquettes écrites dans l’ordre forment le mot considéré.
Exemple 1.20
On donne le graphe étiqueté ci-après :
t
b
e
i
p
o m
u
A
B
C
D
Début Fin
Les motstempu,bbbiou,emmpsont des mots reconnus.
Les motstemeio,bem,upetne le sont pas.
Ce type de graphes sert par exemple à créer des identifiants pour plusieurs utilisateurs utilisant un même système.
Remarque 1.4
La matrice du sous-grapheABCDdu graphe de l’exemple précédent est :
M=
2 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
etM6 =
64 63 32 88
0 1 0 6
0 0 0 1
0 0 0 1
Il existe donc 88 chemins de longueur 6 pour aller de A à D donc ce système permet la création de 88 identifiants de six caractères.
1.5.2 Graphe pondéré
Définition 1.13
On a vu qu’un graphepondéréest un graphe étiqueté dont toutes les arêtes sont des nombres positifs. Ces nombres positifs sont appelés les poids des arêtes. Le poids d’une chaîne est la somme des poids des arêtes qui composent cette chaîne. Enfin, laplus courte chaîne entre deux sommets est la chaîne de poids minimal qui joint ces deux sommets.
Exemple 1.21
On donne le graphe pondéré ci-contre.
La plus courte chaîne deAversDest la chaîne A−B−C−Dde poids 10+8+6=24.
60
10
8
6
30 40
A
B C
D E
1.5.3 Algorithme de M oore -D ijkstra
Il n’est pas toujours aussi facile de trouver la plus courte chaîne que dans l’exemple 1.21.
Pour trouver cette plus courte chaîne nous allons utiliser un algorithme appelé algorithme de Moore-Dijkstra.
L’objectif est de compléter un tableau où chaque colonne correspond à un sommet du graphe et où sur chaque ligne on indiquera dans certaines colonnes (nous verrons lesquelles après) le couple composé du sommet précédent de la chaîne ainsi que la distance (provisoire ou définitive du sommet de départ au sommet de la colonne) appeléecoefficient
1.5 Graphes étiquetés. Graphes pondérés 17
Entrées: Un grapheG;
1
Un sommet de départD;
2
Un sommet d’arrivéeA;
3
début
4
On écrit sur la première ligne d’un tableau les sommets (un par colonne);
5
On attribue au sommetDle couple (D; 0);
6
On attribue à tous les sommets adjacents àDle couple (D;poids de l’arc le reliant àD);
7
On attribue à tous les autres sommets le couple (?;∞);
8
On barre le reste de la colonneD;
9
tant queil reste des coefficients inférieurs à celui de Afaire
10
choisir parmi les colonnes non barrées un sommet dont le coefficient est minimal, on
11
l’appelleS;
pourchaque sommet Xi adjacent à Sfaire
12
calculers=coefficient deS+poids de l’arcS−Xi;
13
sis<coefficient provisoire de Xi alors
14
attribuer àXi le couple (S;s)
15
sinon
16
Recopier la case du dessus;
17
barrer le reste de la colonne deS;
18
Sorties: La longueur de la plus courte chaîne est alors le coefficient deA;
19
La plus courte chaîne se lit « à l’envers » en partant deAet en remontant à chaque étape
20
au sommet précédent;
fin
21
Algorithme 3: Algorithme de Moore-Dijkstra Exemple 1.22
Appliquons cet algorithme au graphe ci-dessous :
3
3
3
1
1 3
5
1
1 A
B
C
D
E S
Nous cherchons la plus courte chaîne entre les sommetsEetS:
E A B C D S
(E; 0) (?;∞) (?;∞) (?;∞) (?;∞) (?;∞)
XXX (E; 3) (E; 1) (?;∞) (?;∞) (?;∞)
XXX (B; 2) XXX (B; 4) (B; 6) (?;∞)
XXX XXX XXX (B; 4) (B; 6) (?;∞)
XXX XXX XXX (B; 4) (B; 6) (?;∞)
XXX XXX XXX XXX (C; 5) (C; 7)
XXX XXX XXX XXX XXX (D; 6)
Finalement la plus courte chaîne a un poids total de 6 et il s’agit deEBCDS.
Remarque 1.5
Dans le tableau obtenu, à chaque ligne, le coefficient correspond au poids de la plus courte chaîne entre le sommet d’entrée et le sommet de la colonne (parmi les chemins ne passant que par des sommets « barrés ») ; la lettre correspond au sommet précédent de cette plus courte chaîne. Ainsi à chaque étape, on est sûr de lire dans chaque colonne, le poids de la plus courte chaîne pour y parvenir.
Chapitre 2 Suites
2.1 Suites numériques
Définition 2.1
On appelle suite de terme généralunet on note (un)n≥0ou plus simplementula listeordonnée des nombresu0,u1,u2,u3, . . .. Chaque nombreui est appeléterme de rang ide la suiteu.
Une suite (un) permet donc d’associer à chaque entiernun réel qu’on noteun.
2.1.1 Mode de génération
Une suite (un) est entièrement définie si on est capable de calculerunpour n’importe quelle valeur den. Il existe deux façons usuelles pour définir une suite.
Suite définie explicitement Exemple 2.1
On considère la fonction f définie surRpar f(x)= xx+32+1.
Six∈N, f(x) est toujours défini. On peut donc considérer la suiteude terme général : un = f(n)= n+3
n2+1 On a alors :
u0 = 0+3
02+1 =3, u1= 1+3
12+1 =2, . . .
Dans cette situation, on est bien en mesure de calculerunpour toutn∈N.
Suite définie par récurrence Définition 2.2
Soit f une fonction numérique définie sur R, et a un réel quelconque. On dit que la suite (un)n≥0vérifiant
( u0 =a
un+1 = f(un), pour toutn∈N est définie parrécurrenceet on note : u:
( u0 =a
pourn∈N,un+1 = f(un)
Remarque 2.1
Quelque soit l’entiern, le calcul de unest donc possible. Il est toutefois à noter que ça peut être long car pour calculerunil faut connaîtreun−1, pour connaîtreun−1il faut avoirun−2, . . . Représentation graphique d’une suite définie par récurrence
Soitula suite définie par :
( u0 ∈R
un+1= f(un) pour toutn≥0
On trace dans un repère la droite d d’équation y = x et la courbe représentative Cf de la fonction f. On place ensuite sur l’axe des abscissesu0. On a u1 = f(u0) ; on peut donc lireu1
sur l’axe des ordonnées comme l’image deu0par f. On reporte alorsu1sur l’axe des abscisses grâce àd.
Exemple 2.2
Le graphique ci-dessous est obtenu avec f : x7→2
√
x+2 etu0 =1. On a doncudéfinie par : ( u0 =1
un+1 =2√
un+2 pour toutn≥0
~i
~j
Cf
d
u0 u1
u1
u2
u2
u3
u3
u4
u4
u5
u5
2.1.2 Suites arithmétiques
Définition 2.3
Une suite est ditearithmétiques’il existe un entierrtel que pour toutn∈Non aun+1 =un+r.
Le réelrest appeléraisonde la suiteu.
Propriété 2.1
On a alors pour toutn∈Net toutp∈ N: un=up+(n−p)×r;
Xn
i=p
ui = up+un
2 ×(n−p+1) oùp<n
2.1 Suites numériques 21
Exemple 2.3
Siuest la suite arithmétique de premier termeu0 =5 et de raison 3, on a : u0 =5
u1 =u0+3=5+3=8 u2 =u1+3=8+3=11 On a alors : pour toutn∈N,un =5+n×3=5+3n Exemple 2.4
Un salarié est embauché le 1erjanvier 2010 pour un salaire net mensuel de 1 000epar mois et avec une augmentation de 5enets par mois dès le deuxième mois.
On noteunle salaire perçu à l’issue dunemois. Ainsiuest une suite arithmétique de premier termeu1 = 1 000 et de raisonr =5. En effet, la différence entre deux salaires consécutifs est égale à 5e.
Le salaire perçu en décembre 2010 est doncu12 =1 000+11×5=1 055e.
Le total des salaires perçus au cours de la première année est donc : S= 12×(u1+u12)
2 = 12×2 055
2 =12 330
2.1.3 Suites géométriques
Définition 2.4
Une suite est ditegéométriques’il existe un réelqtel que pour toutn∈ Non aun+1 =un×q.
Le réelqest appeléraisonde la suiteu.
Propriété 2.2
On a alors pour toutn∈Net toutp∈ N: un=up×qn−p;
Xn
i=p
ui = up−q×un
1−q =up×1−qn−p
1−q oùp<n, q,1 et siq,0 Exemple 2.5
Siuest la suite géométrique de premier termeu0 =5, et de raisonq=2, on a :
u0 =5, u1 =q×u0 =2×5=10, u2 =q×u1=2×10=20, u3=q×u2 =2×20=40, . . . On a alors : pour toutn∈N,un =u0×qn=5×2n
Exemple 2.6
Un salarié est embauché le 1erjanvier 2010 pour un salaire net mensuel de 1 000epar mois et avec une augmentation de 0,4% nets par mois dès le deuxième mois.
On note un le salaire perçu à l’issue du ne mois. Ainsi u est une suite géométrique de premier terme u1 = 1 000 et de raison q = 1 + 1000,4 = 1,004. En effet, chaque salaire est obtenu en multipliant le précédent par le coefficient multiplicateur de l’augmentation soit 1+ 1000,4 =1,004.
Le salaire perçu en décembre 2010 est doncu12 =1 000×1,00411 ≈1 044,89e.
Le total des salaires perçus au cours de la première année est donc : S= 1erterme -qfois dernier terme
1−q = 1 000−1,004×1 044,89
1−1,004 =12 267,39
2.2 Vocabulaire usuel des suites
2.2.1 Variations d’une suite
Définition 2.5
On définit les sens de variation « au sens large » d’une suite ainsi : – une suite est ditecroissantesi pour tout entier naturelnon aun+1 ≥un; – une suite est ditedécroissantesi pour tout entier naturelnon aun+1 ≤un; – une suite est ditestationnairesi pour tout entier naturelnon aun+1=un.
On pourrait de même définir la stricte croissance et la stricte décroissance en utilisant des inégalités strictes.
Lorsqu’une suite est croissante ou décroissante, on dit quelle estmonotone Exemple 2.7
Étudier les variations de la suiteudéfinie surNparun =2n2+3n−4.
2.2.2 Suites majorées, minorées, bornées
Définition 2.6
Soituune suite numérique définie surN. Alors :
– la suiteuest ditemajorées’il existe un réelMtel que pour toutn∈ Non aun ≤ M;Mest alors appelé unmajorantdeu;
– la suite uest diteminorées’il existe un réelmtel que pour toutn ∈ Non a m ≤ un; mest alors appelé unminorantdeu;
– la suiteuest ditebornéesi elle est majoréeetminorée.
Remarque 2.2
Si une suite est majorée par un réelMalors tout réelM0 >Mest aussi un majorant deu. De même siuest minorée parmalors tout réelm0 <mest aussi un minorant deu.
Exemple 2.8
La suiteudéfinie surNparun =−n2+10n−20 est majorée par 5.
La suitevdéfinie surN∗parvn= 2n est bornée par 0 et 2.
2.3 Axiome de récurrence
En mathématiques, on est parfois amené à démontrer une propriété dans laquelle le résultat dépend d’un entiern.
Exemple 2.9
Prenons la propriété suivante : « quelque soit l’entiern, la somme des cubes desnpremiers entiers naturels est égale au carré de leur somme ».
On peut facilement vérifier que c’est vrai sin= 1,n= 2,n= 3, . . . voire avec un ordinateur sin=500 ; mais toutes cesvérificationsneprouventpas le résultat pour toutn.
Axiome
Si une propriété est vraie pour un entiern0 fixé et qu’il est prouvé que lorsqu’elle est vraie
2.3 Axiome de récurrence 23
pour l’entierp≥n0 elle est vraie aussi au rangp+1, alors elle est vraie pour tous les entiers supérieurs ou égaux àn0.
Ce sont Peano (1858-1932) et Poincare´ (1854-1912) mathématiciens italiens et français qui ont posé cet axiome de récurrence.
Remarque 2.3
La démonstration d’une propriétéPpar cet axiome comporte donc trois étapes : L’initialisation : montrer que la propriété est vraie au rangn0 : on écritPn0 est vraie ;
L’hérédité : prendre pour hypothèse qu’elle est vraie à un rang n ≥ n0 quelconque (on suppose que Pn est vraie) et montrer qu’elle est alors vraie au rang p+1 (on montre quePn+1 est vraie) ;
La conclusion : conclure à l’aide de l’axiome de récurrence.
Exemple 2.10
Essayons de comparer pourn∈ Nles réels an =
5 4
n
etbn =1+ n4. On peut commencer par calculer les valeurs de ces deux nombres pour les prmeirs entiers :
n 0 1 2 3 4
an 1 54 =1,25 2516 ≈1,56 12564 ≈1,95 625256 ≈2,44 bn 1 54 =1,25 32 =1,5 74 =1,75 2
Il semblerait que pour toutn ∈ Non aitan ≥ bn. Nous pouvons le constater pour quelques valeurs denmais pas pourtoutescelles-ci. Pour démontrer ce résultat nous allons utiliser un raisonnement par récurrence.
Appelons pour n ∈ N la proposition «an ≥ bn. Nous allons passer par les trois étapes du raisonnement par récurrence :
L’initialisation : on aP0vraie cara0 =b0 =1 donca0 ≥b0.
L’hérédité : on fait l’hypothèse que pour unnfixé la propositionPnest vraie c’est-à-dire que pourcenon aan ≥bn. Montrons qu’alors pourcenla propositionPn+1 est vraie aussi c’est-à-dire quean+1 ≥bn+1 =1+n+14 .
On sait quean≥bndonc
5 4
n
≥ 1+n4. Multiplions les deux membres de cette inégalité par 54 >0 on obtient :
5 4
n
×5 4 ≥
1+ n
4
× 5 4 Et donc :
5 4
n+1
≥
1+1 4
+ n 4 ×
1+1
4
=1+ n+1 4 + n
16 Or 1+n+14 +16n =bn+1+ 16n doncan+1 ≥bn+1.
La conclusion : donc, d’après l’axiome de récurrence, on peut affirmer que pour toutn∈N la propositionPnest vraie.
Remarque 2.4
Le raisonnement par récurrence nous permettra souvent de démontrer qu’une suite est majorée ou minorée. Il permet aussi parfois d’étudier les variations d’une suite.
2.4 Suite convergente. Suite divergente
2.4.1 Trois exemples
Exemple 2.11
Soitula suite définie parun=5−0,8unetu0 =5.
Calculer les premiers termes de la suiteuà l’aide de la calculatrice. Que peut-on conjecturer à propos des termes de cette suite lorsquenprend des valeurs de plus en plus grandes ? Exemple 2.12
Soitvla suite définie parvn= f(n) où f(x)= xx2+2+1.
Calculer les premiers termes de la suitevà l’aide de la calculatrice. Que peut-on conjecturer à propos des termes de cette suite lorsquenprend des valeurs de plus en plus grandes ? Exemple 2.13
Soitwla suite définie parwn=(−2)n.
Calculer les premiers termes de la suitewà l’aide de la calculatrice. Que peut-on conjecturer à propos des termes de cette suite lorsquenprend des valeurs de plus en plus grandes ?
2.4.2 Suite convergente
Définition 2.7
On dit qu’une suiteuest convergente vers un réel`si tous les termes de la suite à partir d’un certain rang peuvent être aussi proches que voulu de`. On écrit :
nlim→+∞un=`
2.4.3 Suite divergente
Définition 2.8
On dit qu’une suite est divergente si elle n’est pas convergente.
Remarque 2.5
Si une suite est divergente, elle peut soit avoir une limite infinie (si tous les termes de la suite peuvent dépasser n’importe quel nombre à partir d’un certain rang), soit ne pas en avoir du tout. Dans le premier cas, on écrit :
nlim→+∞un= +∞ou lim
n→+∞un =−∞
2.5 Propriétés de convergence
2.5.1 Règles opératoires
Propriété 2.3
Les propriétés sur les limites de sommes, produits, quotients, . . . de suites sont les mêmes que pour les fonctions (voir le cours d’enseignement général).
Exemple 2.14
Soitula suite définie pourn∈ Nparun = 2n2n+3n2+4−5.
2.5 Propriétés de convergence 25
La suiteuest un quotient de deux expressions polynomiales. La limite de la suiteulorsque ntend vers+∞est donc la limite du quotient simplifié des termes de plus haut degré :
nlim→+∞un= lim
n→+∞
2n2 n2 =2
2.5.2 Suites arithmétiques
Propriété 2.4
Soituune suite arithmétique de raisonr. Alors : – sir>0 alorsudiverge vers+∞;
– sir<0 alorsudiverge vers−∞.
2.5.3 Suites géométriques
Propriété 2.5
Soituune suite géométrique de raisonqet de premier terme non nul. Alors : – si−1<q<1 alorsuconverge vers 0 ;
– siq=1 alorsuest constante donc convergente versu0; – siq≤ −1 alorsuest divergente sans limite ;
– siq>1 alorsuest divergente vers sgn(u0)∞.
Chapitre 3
Géométrie spatiale
(O;~i, ~j,~k) est un repère de l’espace.
3.1 Plans de l’espace
3.1.1 Axes de coordonnées et plans de base
Propriété 3.1
Un pointM(x;y;z) appartient à (xOy) si et seulement siz=0.
Un pointM(x;y;z) appartient à (xOz) si et seulement siy=0.
Un pointM(x;y;z) appartient à (yOz) si et seulement six=0.
Conséquence :
En remarquant que (Ox)=(xOy)∩(xOz) on aM(x;y;z)∈(Ox)⇐⇒
( y=0 z=0 De même,M(x;y;z)∈(Oy)⇐⇒
( x=0
z=0 etM(x;y;z)∈(Oz)⇐⇒
( x=0 y=0
3.1.2 Plan parallèle à un plan de coordonnées
Propriété 3.2
SoitA(λ;µ;ν) un point de l’espace oùλ,µetνsont trois réels. Le planP parallèle à (O;~i, ~j) passant parAa pour équationz=ν.
On note :P :z=ν.
Cela signifie que :
– siM(x;y;z)∈P, alorsz=ν(xet ysont quelconques), – siMest un point tel quezM =ν, alorsM∈P.
Remarque 3.1
De même, avec les mêmes notations, les plansQetRpassant parAet parallèles respective- ment à (xOz) et (yOz) ont pour équation :
Q: y=µ et R : x=λ
3.1.3 plan parallèle à un axe de coordonnées
Propriété 3.3
Un plan parallèle à (O;~k) a une équation du typeax+by=d.
Un plan parallèle à (O;~j) a une équation du typeax+cz=d.
Un plan parallèle à (O;~i) a une équation du typeby+cz=d.
Exemple 3.1(démonstration d’un cas particulier)
SoitA(3; 0; 0) etB(0; 2; 0) deux points de l’espace.P est le plan parallèle à (O;~k) passant par AetB.
Soit M(x;y;z) un point de P, et H son projeté sur (O;~i, ~j) parallélement à (O;~k). On a
xH =x yH = y zH =0
. Donc le couple (xH;yH) vérifie l’équation de la droite (AB) dans (O;~i, ~j). Or (AB) : 2x+3y=6
zest quelconque car pour toutz, le projeté deMsur (O;~i, ~j) parallélement à (O;~k) ne change pas. On dit que l’équation du planP est 2x+3y=6.
3.1.4 Plan quelconque
Théorème 3.1(admis)
Sia,betcsont trois réels non tous nuls etdun réel quelconque, l’ensemble des pointsM(x;y;z) tels queax+by+cz+d=0 est un plan. On dit queax+by+cz+d=0 est une équation de ce plan.
Remarque 3.2
– un plan admet une infinité d’équations (on peut multiplier l’une d’elle par n’importe quel réel non nul) ;
– sid , 0, l’équation du plan peut s’écrire sous la formeax+by+cz+1=0 (on multiplie l’équation initiale par 1/d). Dans ce cas, l’origine du repère n’appartient pas au plan.
3.1 Plans de l’espace 29
3.1.5 Quelques figures
plan parallèle à (xOy) :z=ν plan parallèle à (xOz) : y=µ
plan parallèle à (yOz) :x=λ plan parallèle à (Oz) :ax+by=d
plan parallèle à (Oy) :ax+cz=d plan parallèle à (Ox) :by+cz=d
3.2 Vecteur orthogonal à un plan
Définition 3.1
On dit qu’un vecteur non nul~nest orthogonal(ounormal) à un plan si sa direction est une droite orthogonale au plan.
Remarque 3.3
Un vecteur non nul~nest donc un vecteur orthogonal à un planP s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires deP.
Théorème 3.2
Si (O;~i, ~j,~k) est un repère orthonormal, alors le planP d’équationax+by+cz+d=0 admet le vecteur~n(a;b;c) comme vecteur normal.
Exemple 3.2
Dans un repère orthonormal :
– le planP d’équation 2x−3y+z+3=0 admet pour vecteur normal~n(2;−3; 1) ; – le planQd’équationx+3z−1=0 a pour vecteur normaln~0(1; 0; 3).
3.3 Plans parallèles
Théorème 3.3
SoitP etQdeux plans d’équations respectivesax+by+cz+d=0 eta0x+b0y+c0z+d0 =0.
P etQsont parallèles si et seulement si il existe un réel non nulktel que :
a0 =ka b0 =kb c0 =kc Preuve :(dans le cas où (O;~i, ~j,~k) est orthonormé)
On utilise les vecteurs normaux aux deux plans : les plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; d’où le résultat.
Remarque 3.4
Dans ce cas,a0,b0,c0eta,b,csont deux suites proportionnelles.
3.4 Système d’équations cartésiennes d’une droite
Propriété 3.4
SoitM(x;y;z) un point de l’espace.Mappartient à une droitedde l’espace si et seulement si ses coordonnées vérifient un système d’équations cartésiennes de la forme :
( ax+by+cz+d=0 a0x+b0y+c0z+d0 =0
oùa,b,csont non tous nuls ; de même quea0,b0etc0. Ces deux suites n’étant pas proportion- nelles.
Preuve :
3.5 Fonctions de deux variables 31
– sidest une droite de l’espace, elle est l’intersection de deux plansP etQ. Donc siM∈d, alors les coordonnées deMvérifient les équations des deux plans ;
– réciproquement, si les coordonnées deMvérifient un tel système, alors il appartient aux deux plans ayant pour équations les équations du système. D’après les hypothèses, ces deux plans ne sont pas parallèles donc ils se coupent suivant une droited.
3.5 Fonctions de deux variables
3.5.1 Introduction
Rappel : une fonction f d’une variable x permet d’associer à chaque nombre x un autre nombre noté f(x). On peut envisager d’associer àdeuxvariablesxety, un seul autre nombre qu’on peut noter f(x;y). On dit alors que f est unefonction de deux variables.
Exemple 3.3
On considère un rectangle de largeurxet de longueury. À ces deux nombres on peut associer l’aireA du rectangle. Ce nombreA dépend à la fois dexet de y. On écrit donc :
A(x;y)=x×y
On pourrait aussi définir la fonction pqui à x et yassocie le périmètre du rectangle. On a alors :
p(x;y)=2(x+y) Exemple 3.4
Dans un magasin, on vend des crayons à 1eet des cahiers à 2e. Le prix à payer pour l’achat dexcrayons etycahiers est une fonction des deux variablesxet yet on a pourxet ypositifs ou nuls f(x;y)=x+2y.
Exemple 3.5
À chaque couple de réels (x;y), on associe le réel f(x;y)= p
x2+y2. 1. Calculer f(x;y) six=−3 et si y=1.
2. Calculer f(2; 3).
3. Trouver les valeurs dexpour lesquelles f(x; 3) =5.
Réponses :
1. Six=−3 ety=1 alors f(x;y)= f(−3; 1)= p
(−3)2+12 = √ 10.
2. f(2; 3)= √
22+32 = √ 13.
3. On a :
f(x; 3)=5 ⇐⇒
√
x2+32 =5
⇐⇒ x2+9=25 car ces nombres sont positifs
⇐⇒ x2 =16
⇐⇒ x=−4 oux=4
3.5.2 Surface d’équation z = f (x; y)
À chaque couple (x;y), une fonction de deux variables f associe un nombre noté f(x;y). En notant z ce nombre f(x;y), on obtient un triplet (x;y;z) auquel on peut associer un point M de l’espace. L’ensemble des points Mde coordonnées (x;y; f(x;y)) est appelée la surface d’équation z = f(x;y).
Exemple 3.6
En reprenant la fonction de deux variables de l’exemple3.5, on obtient la surface suivante :
Exemple 3.7
On considère la fonctionf de deux variables définie parf(x;y)=x2+y2. La surface d’équation z= f(x;y) est appeléeparaboloïde. Elle est tracée ci-dessous :
3.5.3 Courbes de niveau
Définition 3.2
L’intersection entre une surface d’équationz= f(x;y) et le plan d’équationz=λest appelée courbe de niveauλde la fonction f.
3.5 Fonctions de deux variables 33
Exemple 3.8
En reprenant l’exemple 3.7 on trace le plan d’équation z = 5, on obtient la courbe C de niveau 5 dont deux vues sont représentées ci-dessous :
Remarque 3.5
Sur une carte de géographie, les courbes de niveau sont les lignes reliant les points ayant la même altitude.
3.5.4 Optimisation sous contrainte linéaire
On considère une fonction de deux variables représentée par la surface S d’équationz = f(x;y) dans un repère de l’espace. Il arrive que des contraintes sur les variables x et y apparaissent. Lorsque la contrainte est de la formeax+by=delle se représente par un plan parallèle à l’axe (Oz). On peut alors écrire une variable en fonction de l’autre par exemple sous la formey =mx+p. L’expression de f(x;y) peut alors se faire uniquement en fonction dex(en remplaçantyparmx+p) : on obtient f(x;y)= g(x).
Rechercher l’optimisation de f sous cette contrainte c’est alors rechercher les extrema de g en fonction dex.
Exemple 3.9
Pourx∈ [0; 8] et y∈[0; 10] on donne la fonction « coût marginal » d’une production dépen- dant de deux paramètresxet y:
f(x;y)=2x2−12x+y2−8y+40
Une contrainte de production impose 2x+y =12. Déterminer le couple (x0;y0) pour lequel le coût marginal sous la contrainte imposée est minimal.
Réponse :
En prenanty=−2x+12 on obtient f(x;−2x+12)=6x2−44x+88= g(x).
g est dérivable sur [0; 8] (fonction polynôme) et pour x ∈ [0; 8] on a g0(x) = 12x−44. Le minimum (gétant une fonction polynôme de degré 2 de coefficienta=6> 0, elle admet un minimum) de gest donc atteint pourx0 = 4412 = 113 et on a alorsy0= 143.
Le coût marginal minimum est alors f(113;143)= g(113)= 223. Interprétation graphique :
Sur la figure ci-après la surfaceS est représentée en bleu et le planP est le plan d’équation 2x+y=12.
Le coût marginal sous la contrainte est minimal pour le point de l’intersection deS etPde côte la plus petite possible.
Chapitre 4
Graphes probabilistes
4.1 Un exemple
L’exemple suivant est inspiré du sujet du bac ES de novembre 2006 en Nouvelle-Calédonie.
Exemple 4.1
Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique un et un seul de ces deux sports.
Chaque année, les adhérents renouvellent tous leur adhésion et l’association n’accueille pas de nouveaux adhérents. Elle compte 800 adhérents.
Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d’en- visager le modèle suivant :
– 70% des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté ; – 20% des adhérents qui étaient inscrits au judo s’inscrivent au karaté.
En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 en judo.
On note an le nombre d’adhérents pratiquant le judo au cours de l’année 2003+n et bn le nombre d’adhérents pratiquant le karaté cette même année.
Le but du problème est d’étudier l’évolution de ces deux populations au cours du temps.
On peut traduire cette situation à l’aide de suites ; pour toutn∈Non a : ( an+1 = 0,8an+0,3bn
bn+1 = 0,2an+0,7bn
De proche en proche, on peut calculer « à la main » les termes des suitesaetb.
On peut aussi représenter cette situation par un graphe pondéré avec pour sommets les deux activités judo (sommetA) et karaté (sommetB) et pour arêtes les « flux d’adhérents » en pourcentage d’une année sur l’autre :
20%
30%
80% A B 70%
La matrice de ce graphe est alorsM= 0,8 0,2 0,3 0,7
! .
On peut aussi définir l’état initial de la répartition en posantE0 =(a0 b0)=(600 200).
On a alorsE1=E0×Men effet cela signifie (a1 b1)=(0,8a0+0,3b0 0,2a0+0,7b0).
On peut même écrire que pour tout n ∈ Non aEn+1 = en×M. Ainsi, en « généralisant » le résultat connu1sur les suites (numériques) géométriques aux suites de matrices on obtient :
Pour toutn∈ N, En+1=E0×Mn
Ainsi, après 5 ans la répartition des membres de l’association entre judo et karaté sera :
E5 =E0×M5=(600 200)× 0,612 5 0,387 5 0,581 25 0,418 75
!
≈(484 316)
De même après 10 ans, la répartition seraE10 ≈(480 320) qui sera d’ailleurs la « répartition d’équilibre ».
4.2 Graphe probabiliste
4.2.1 Cas général
Définition 4.1
On appelle graphe probabiliste un graphe pondéré (voir la définition 1.11) qui vérifie les propriétés suivantes :
– il existe au plus une arête reliant chaque sommet à un autre ; – le poids de chaque arête est un réel de l’intervalle [0; 1] ;
– la somme des poids des arêtes issues d’un même sommet est toujours égal à 1.
Définition 4.2
La matrice d’un graphe probabiliste est appeléematrice de transition Remarque 4.1
Un tel graphe est qualifié deprobabilistecar il permet modéliser l’évolution d’une situation prenant plusieurs états et au cours de laquelle la probabilité de passer d’un état à un autre est constante. Ainsi une arête liant deux sommets (deux états) est affectée de la probabilité, pour un individu, de passer du premier au deuxième état (sommet).
Exemple 4.2
Au cours d’une épidémie, on constate que pour un individu, il y a trois états possibles : étatI : l’individu est immunisé (car vacciné ou ayant déjà eu la maladie) ;
étatM : l’individu est malade ;
étatP : l’individu n’est pas immunisé mais pas (encore) malade.
On étudie l’évolution des états des individus d’une population d’une semaine à la suivante et on traduit les observations par un graphe à trois sommets comme ci-dessous :
1. Résultat qu’on écrira pour ce type de problèmes dans la propriété4.2.
4.2 Graphe probabiliste 37
1%
30%
5%
35%
4%
7%
92% 65%
61%
I M
P
Ce graphe signifie par exemple que :
– 1% des « immunisés » deviennent malades la semaine suivante ;
– 35% des « non immunisés et non malades » deviennent malades la semaine suivante ; – 65% des malades le restent la semaine suivante ;
– . . .
La matrice de ce graphe estM=
0,92 0,01 0,07 0,30 0,65 0,05 0,04 0,35 0,61
Remarque 4.2
Au cours d’une expérience aléatoire, la somme des probabilités élémentaires étant toujours égale à 1, on remarque sans difficulté que le somme des coefficients de chaque ligne d’une telle matrice est égale à 1.
Définition 4.3
L’état probabilistede l’individu est une loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles : cette loi est représentée par un vecteur ligne.
Dans la suite on notera Xn le vecteur ligne représentant l’état probabiliste à l’étape n de l’étude du phénomène (n∈N).
Exemple 4.3
En reprenant les données de l’exemple4.2, si on suppose qu’au début de l’étude on a dans la population 1 000 individus immunisés, 100 malades et 23 900 individus non immunisés ni malades, on a :
X0=(0,04 0,004 0,956)
Dans un problème décrit par un graphe probabiliste de matrice M, et dont les effectifs des différents états à l’étapensont les coefficients du vecteur ligneXn, on admettra la propriété suivante :
Propriété 4.1
Sous ces hypothèses et avec ces notations, pour tout entiern, on a Xn+1 =Xn×M
Propriété 4.2
Toujours avec les mêmes hypothèses et notations, pour tout entiernon a : Xn =X0×Mn
Démonstration :par récurrence (laissée en exercice).
Exemple 4.4
En reprenant les données des exemples4.2et4.3, l’état probabiliste de cette population après 6 semaines est :
X6=X0×M6 ≈(0,573 0,269 0,158) Le pourcentage de malades est désormais égal à 26,9 %.
Définition 4.4
On dit que le vecteur ligneXest un état stable siX=X×Mavec la somme des composantes deXqui vaut 1.
Exemple 4.5
En reprenant les données de l’exemple 4.2, X = (x y z) est un état stable si X = X×M c’est-à-dire si :
x = 0,92x+0,3y+0,04z y = 0,01x+0,65y+0,35z z = 0,07x+0,05y+0,61z
On pourrait montrer que ce problème admet un unique état stable qui estX≈(0,69 0,165 0,145)
4.2.2 Un cas particulier : graphe probabiliste à deux états
Un graphe probabiliste à deux états se modélise ainsi :
a
b
1−a A B 1−b
Oùaetbsont deux réels de [0; 1].
La matrice de transition de ce graphe est doncM= 1−a a b 1−b
! . Étudions quelques cas particuliers de valeurs deaetb:
– si a = b = 0 alors tout état probabiliste de départ est stable : il n’y a pas « transfert de population » deAversBni deBversA;
– par ailleurs, si seula vaut 0 (resp. seul b = 0), l’état A« conserve » toute sa population à chaque étape, le seul état stable est donc (1 0) (resp. (0 1)) ;
– ensuite, sia=b =1 toute la population change d’état à chaque étape, le seul état stable est (0,5 0,5) ;
– enfin, si seula = 1 (resp. seul b = 1) l’étatA(resp B) « expulse » à chaque étape toute sa population donc le seul état stable est (0 1) (resp. (1 0)).
Étudions maintenant le cas général où a et b sont des réels de ]0; 1[. Un état probabiliste X=(u v) est stable si et seulement siX×M=Xsoit :
( u×(1−a)+b×v=u u×a+v×(1−b)=v
Les deux équations de ce systèmes sont équivalentes àbv =au. De plus, on doit avoiru+v=1 ainsi on obtient pour état stable
b a+b
a a+b
.
