Dpvorn »B CoNTRoLE

Dpvorn »B CoNTRoLE

Date : 11tza13.

Matière

:

Mathématiques

Documents autorisés

:

âucun

Classe

:

TE§

Durée

: ...3 heures...

Calculatrice

: autorisée

EXERCICE

1(Comnrun)

3 Points Cet exercice est un QCM.

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.

Aucune justification n'est demandée.

Recopier sur ^la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

tJne réponse exocte ropporte

L

^{point, une réponse} fousse enlève 0,5 point, l'obsence de réponse ne ropporte oucun ^point et n'en enlève oucun. ^Si te total des points est négatif, la note globole attribuée ^ù cet exercice est 0.

1"

Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir ^le côté face est égate à

|

^.

3 On lance 4 fois de suite cette ^pièce.

Quelle est ^la probabilité d'obtenir ^{au moins une} fois le cÔté face ?

A:-

18

8t

B'-

72

B1

e:-

65 81

2.

Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50% des cahiers

ont

une reliure spirale et que ^{75% des cahiers} sont à grands carreaux. Parmi ^les cahiers à grands carreaux, 40% ont une reliure spirale.

Adèle choisit au hasard un cahier ^à reliure spirale. La probabilité qu'il soit à grands carreaux est ^:

A:0,3

^{B :0,5 C :0,6 D :0,75}

3"

On considère l'arbre pondéré ci-dessous. Quelle est ^la probabitite

p, (f )f

A:

^pu

(r)=

^O,Z

B: pru(f)=O,Se

Cz pn

(f)

= 0,875

0,2-,"-

-\---\

Page L/6

EXERCICE 2 (Commun) 7 points

Dans le plan muni

d'un

repère orthogonal, on ^a tracé la courbe

C/

représentative de ^la fonction

f

définie et dérivable sur l'ensemble des réels, ainsi que les tangentes à la courbe

C/

aux points A (3,5

;

^{LO4,75l et B (6}

;126l'.

La tangente en B à la courbe

C/

passe par I'origine du repère.

On

note/'lafonction

dérivée de

lafonction I'eT f ^"

^la

dérivéesecondede lafonction f

^.

Partie A

À partir du graphique et ^deS renseignements fournis.:

1.

Déterminer

f

^{'16l et}

/

"(3,5).

2.

^{Sur quel} intervalle la

fonction/semble-t-elle

convexe ^? concavê ^?

Page216

Partie B

La fonction

/

^{est définie pour}

^tout

réel x par ^:

f ^(xl

^{= x3}

* _{Lo,Sx'+ 39x +}

_54.

L,

Calculer

f ^{'(xl et} f ^"(x).

2.

^{Étudier les} variations de la fonction

/.

3.

Étudier la convexité de la

fonction ,f'

^Que représente le point A pour _{la courbe}

Cf

? Partie C

Une entreprise

produit

et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d'articles.

La fonction

/

modélise sur

l'intervallel

0 ;

8l

le coût

total

de production exprimé en milliers d'euros, où

x

désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

On note Cnr(x) le

coût

moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué' ^Crvr est la

fonction définie sur

l'intervalle

_I

0; 8l

^par CH^(x) = x2

-

^l-0,5x

⁺

³⁹

⁺ I

)c

On admet que !a

fonction

C1n est dérivable sur

l'intervalle

_{] 0} ; 8].

1"CalculerCu,(x),etvérifierqueCy1,(x)=rypourtoutxdel.intervalle]0;8].

2"

Étudier ]es variations de la fonction Cy sur I 0 ^{; 81.}

3. euel

^{doit être le prix de} vente minimal d'un article pour ^que I'entreprise puisse réaliser un bénéfice ^?

EXERCICES(eomntun)

⁵ PoËnts

La bibliothèque municipale étant ^devenue

trop

^petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 1"00 000 ouvrages au

total.

pour I'ouverture prévue le l-er

janvier

2AL3,la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de !'ancienne bibliothèque augmenté de 7000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

Partie A

Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprim er 5 ^% des ouvrages,

trop

vieux ou abîmés, et d'acheter 6000 ouvrages neufs'

On appelle ^un le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles Ie Ler janvier de l'année 2013 + n' On donne uo= 42.

Page 3/6

L.

Justifierque,

pourtout

entier naturel n, on a un+1= unx 0,95 + ^6.

Z,

On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.

VARIABLES:

U,N

INITIALISATION:

Mettre

42 dans U

Mettre

0 dans N

TRAITEMENT:

TantqueUsl00

U prend la valeur U x 0,95 + ⁶ N prend la valeur N + 1 Fin de Tant que

SORTIE:

Afficher N

À I'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce-à-cet algorithme.

Donner une

interprétation

concrète de ce résultat.

Pantie ts

La commune doit

finalement

revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer ^{que 4000} nouveaux ouvrages par an au lieu des 6000 prévus.

On appelle ^vn le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le Ler janvier de I'année ^201-3 + n.

l. ldentifier

et écrire !a ligne qu'il

faut

modifier dans I'algorithme pour prendre ^en compte ^ce changement.

Z.

^On admet QUê ^V611 = ^Vn x 0,95 + 4 avec ^vs

=

^42. On considère la suite (w") définie, ^pour

tout

entier n, par wn = ^vn - 80.

Montrer

que (wn) est une suite géométrique de raison Q = 0,95 et préciser son premier terme ^w6'

3"

On admet que, pour

tout

entier naturel n : wn =

-38

^{x 0,95n'}

a)

Déterminer la limite de (w").

b)

^{En déduire la limite de (vn).}

c) lnterpréter

ce résultat.

?age ⁴¹⁶

EXERCICE4{Spécialité}

Spoints

La trajectoire de saut

d'un

BMX est modélisée par la parabole

d'équation ÿ =

^a)cz

* ^bx * ^c,

^oit

^x

^et

^y

sont exprimés ^en mètres et où a, b et c désignent des nombres réels.

o

Au point S, la tangente à la trajectoire

était

parallèle au sol.

o

Lorsque le photographe l'a pris en photo, le pilote

se

^\r

trouvait

^à 4,2O m du sol.

o

^Le

tremplin

de saut mesure 3,20 m de haut.

1. Recherche de la

trajectoire

On appelle

/

^la

^fonction

^{définie sur}

^[0,1-[

^par

^{f (x)} : _{oxz +} bx *

^c

( 6a*b=0

a. Expliquer pourquoi les phrases de l'énoncé ^se traduisent par le système ^{(S) :}

la

- Ur:1,;n,,

b.

Montrer

que le système ^(S) est équivalent à A x X = ^B avec des matrices A, ^B et X à préciser.

Résoüdre ^{(S). En} déduire l'équation de la parabole.

2.

lnformations

sur la

traiectoire

a. Quelle ^a été la hauteur du saut du pilote par rapport au sol ?

b. Quelle ^a été la longueur du saut ?