,2016,p.133) BarrauandGrain a ( t ).C’estellequiencodetoutel’informationdynamiquequinepeutˆetredirectementextraitedessym´etriessuppos´ees.Pourcefaire,ilfautr´esoudreles´equationsd’Einsteinliantletenseur´energie-impulsionautenseurd’Einstein.( ...pourd´ecri

Cours 10 : L’´ equations de Friedmann-Lemaˆıtre

. . . pour d´ ecrire quantitativement l’´ evolution de l’Univers, il faut connaˆıtre cette fonction a(t). C’est elle qui encode

toute l’information dynamique qui ne peut ˆ etre directement extraite des sym´ etries suppos´ ees. Pour ce faire, il faut

r´ esoudre les ´ equations d’Einstein liant le tenseur

´ energie-impulsion au tenseur d’Einstein. (Barrau and

Grain , 2016, p. 133)

Les ´ equations de Friedmann-Lemaˆıtre :

¨

a(t) = − 4πG _N 3

ρ + 3p c ²

a(t) + 1

3 Λc ² a(t), (1)

˙

a ² (t) = 8πG _N

3 ρa ² (t) + 1

3 Λc ² a(t) ² − c ² k. (2) Avec ces ´ equation fondamentales de la cosmologie on peut :

— Calculer l’´ evolution de la g´ eom´ etrie de l’Univers,

— D´ emontrer l’Univers a subi une singularit´ e (sa courbure s’approche ` a l’infini lorsqu’on remonte dans le pass´ e),

— Trouver le destin de l’Univers (il y a trois possibilit´ es).

R´ esum´ e du cours d’aujourd’hui

— Les ´ equations d’Einstein – les ´ equations du champs gravitationnel.

— Le memebre de droite : Le tenseur d’´ energie-impulsion, (regarder chapitre 4 de Schutz , 2009).

— Le membre de gaughe : La courbure de l’espace-temps et le tenseur d’Einstein.

— Les ´ equations d’Einstein pour l’Univers – L’´ equations de

Friedmann-Lemaˆıtre.

— Les ´ equations du champs d’Einstein : G _µν + Λg _µν = − 8πG _N

c ⁴ T _µν (3)

— Pour le membre de gauche on a besoin du tenseur d’Einstein en fonction de la m´ etrique – on le fait plus tard.

— Pour le membre de droite on mod` ele l’Univers comme un

« fluide parfait »

T _µν = (ρ + p)u _µ u _ν − pg _µν , (4)

o` u ρ est la densit´ e par unit´ e de volume de la masse et p est

la pression du fluide cosmique (elle d´ epend du mouvement

al´ eatoire des galaxies).

Tenseur d’´ energie-impulsion T _αβ

— Les ´ equations d’Einstein d´ ecrivent quantitativement la

relation entre la courbure, G _αβ , et la distribution de mati` ere en tout ´ ev´ enement de l’espace-temps, T _αβ .

— Pour comprendre les ´ equations d’Einstein, il nous faut de comprendre le membre de droite, T.

— On peut dire que les composantes contravariantes T(e ^α , e ^β ) = T ^αβ

sont les flux de la α composante de quadri-impulsion ` a

travers une surface de x ^β constante.

Impulsion approfondie

— Rappelez-vous nous d´ efinissions le quadrivecteur d’impulsion

« quadri-impulsion » comme

p = m ₀ u

o` u m ₀ est la masse au repos (en notation moderne elle est simplement m mais j’aime pr´ eciser au repos avec le 0 en

bas), et u est la quadrivitesse. Il s’agit du vecteur tangent ` a la courbe x ^µ (τ ) :

u ≡ e _µ d

dτ (x ^µ ) (5)

dont les composantes contravariantes, par rapport de la vitesse habituelle sont

u ^µ ≡ e ^µ · u = γ (| ~ v|) (c, ~ v)

= γ (| ~ v|)

c, ∂x ⁱ

∂t

= γ (| ~ v|)

c, ∂x ¹

∂t , ∂x ²

∂t , ∂x ³

∂t

(6)

— TD : Donner une interpr´ etation physique de la premi` ere composante de quadri-impulsion ?

— TD : Donner une interpr´ etation physique des 3 derni` eres

composantes de quadri-impulsion ?

Impulsion approfondie

— TD Solution :

m ₀ γc = m ₀ γc ²

c = E c

ou E est l’´ energie totale relativiste (rappel de cours 1).

— TD Solution :

p ⁱ = m ₀ u ⁱ = (m ₀ γ)~ v = γ~ p

ou ~ p est la quantit´ e de mouvement habituelle, sauf avec le

facteur de γ .

T ^α0

— Qu’est-ce que un flux ` a travers une surface de constante temps ? ?

— Consid´ erons, par exemple, un fluide au repos par rapport de nous avec n ₀ particules par volume unit´ e.

— Nous param´ etrons les coordonn´ ees des particules par temps-propre τ et nous observons que les particules ne changent pas de position,

dx ⁱ

dτ = 0, , le fluide est au repos

mais elles sont en mouvement dans la direction de temps ` a

la vitesse de lumi` ere ! dx ⁰

dτ = d(c t)

dτ , d´ efinition de x ⁰

= d(c t)

dt , le fluide est au repos

= c (7)

— Toutes les particules ont la mˆ eme vitesse c dans la direction de temps, donc n ₀ c particules traversent une surface de

constants temps par volume unit´ e par temps unit´ e.

— Le flux des particules traversant une « surface de temps

constant » est c fois la densit´ e de particules.

Densit´ e approfondie

— Dans un r´ ef´ erentiel en mouvement, le volume avec n ₀

particules dedans subit une contraction de Lorentz γ ⁻¹ le long de la direction du mouvement et donc

n ⁰ = γ n ₀

— TD Pouvez-vous deviner la densit´ e de particules n est quelle

sort de grandeur ? (Scalaire, vecteur, composante de vecteur,

composante de tenseur de rang combien ?)

— TD Solution : La densit´ e de particules n doit ˆ etre la premi` ere composante d’un vecteur proportionnel ` a la quadrivitesse

N ≡ n ₀ u

— Puis, dans un r´ ef´ erentiel S ⁰ en mouvement ` a vitesse | ~ v| = −v le long de l’axe des x, le quadri-vecteur N devient













 N ⁰⁰ N ⁰¹ N ⁰² N ⁰³















=















γ βγ 0 0 βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



























 n ₀ c

0 0 0















=















n ₀ c γ n ₀ γ v

0 0















— Si N ⁰ = n ₀ c puis N ⁰⁰ = γn ₀ c

Le flux de particules

— Puis, dans le r´ ef´ erentiel S ⁰ [celui en mouvement ` a vitesse

| ~ v| = −v le long de l’axe des x], le quadri-vecteur N deviens













 N ⁰⁰ N ⁰¹ N ⁰² N ⁰³















= n ₀















γ βγ 0 0 βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



























 c 0 0 0















= n ₀













 cγ γ v

0 0















— N ⁰¹ = γn ₀ v = n ⁰ v, c’est le flux de particules dans la

direction de mouvement du fluide.

— Supposons chacune des particules ont la mˆ eme masse au repos, m ₀ . Donc, l’´ energie de chacune au repos est m ₀ c ² et la densit´ e d’´ energie par rapport au r´ ef´ erentiel o` u le fluide est stationnaire est

ρ ₀ c ² ≡ n ₀ m ₀ c ²

— TD : Par rapport du r´ ef´ erentiel S ⁰ [en mouvement ` a vitesse

| ~ v| = −v le long de l’axe des x], Qu’est-ce que l’´ energie de chacune ?

— TD : Et encore dans S ⁰ , Qu’est-ce que la densit´ e d’´ energie, ρ ⁰ c ² ?

— TD : Donc, ρ est quelle sort de grandeur ? (Un scalaire, une

composante d’un tenseur de quel rang ?)

Densit´ e d’Energie, ρ c ²

— TD : Solution : Par rapport du r´ ef´ erentiel S ⁰ [en mouvement

`

a vitesse | ~ v| = −v le long de l’axe des x], l’´ energie de chacune est m ₀ γc ² , i.e. γ fois plus grande que au repos.

— TD : Et encore dans S ⁰ , la densit´ e d’´ energie,

ρ ⁰ c ² = n ⁰ m ₀ γc ² = γ ² n ₀ m ₀ c ² = γ ² ρ ₀ c ²

— TD : Donc, ρ est la premi` ere composante d’un tenseur de

rang deux, un tenseur proportionnel du produit tensoriel de

deux quadrivecteurs A ⊗ B.

— Consid´ erons le tenseur de rang 2 T = p ⊗ N,

ou N est le flux de particules identiques et sans interaction et p est le quadri-impulsion de chacune des particules. Donc T a composantes contravariantes donn´ ees par :

T ^αβ = p ^α N ^β = m ₀ u ^α n ₀ u ^β = ρ ₀ u ^α u ^β ou u est le quadri-vitesse du fluide.

— TD : Qu’est-ce que T ⁰⁰ dans le r´ ef´ erentiel S pour lequel le fluide est au repos ?

— TD : Qu’est-ce que T ⁰⁰ dans le r´ ef´ erentiel S ⁰ pour lequel le

fluide est en mouvement | ~ v| = v ?

— TD : Qu’est-ce que T ^0j dans les r´ ef´ erentiels S et S ⁰ ?

— TD : Qu’est-ce que T ⁱ⁰ dans les r´ ef´ erentiels S et S ⁰ ?

— TD : Qu’est-ce que T ^ij dans les r´ ef´ erentiels S et S ⁰ ?

T ^αβ pour poussi` ere

— TD Solution : Dans le r´ ef´ erentiel S pour lequel le fluide est au repos,

T ⁰⁰ = p ⁰ N ⁰ =

E c

(n ₀ c) = (m ₀ c) (n ₀ c) = ρ ₀ c ²

— TD Solution : Dans le r´ ef´ erentiel S ⁰ [pour lequel le fluide est en mouvement |~ v| = v],

T ⁰⁰⁰ = p ⁰ N ⁰ =

E c

(n c) = (m ₀ γc) (γn ₀ c) = γ ² ρ ₀ c ²

— TD : Solution : Dans les r´ ef´ erentiels S et S ⁰ T ^0j = p ⁰ N ^j

=

E c

(nv ^j )

= c ⁻¹ fois le flux d’´ energie dans la direction x ^j (8)

— TD : Solution : Dans les r´ ef´ erentiels S et S ⁰ T ⁱ⁰ = p ⁱ N ⁰

= m ₀ γv ⁱ

(n c)

= c fois la densit´ e de i-composante d’impulsion (9)

— TD : Solution : Dans les r´ ef´ erentiels S et S ⁰ T ^ij = p ⁱ N ^j

= p ⁱ

(nv ^j )

= le flux i−composante impulsion dans la direction x ^j

(10)

— Pour les fluides plus compliquer que la poussi` ere, nous aurions un tenseur d’´ energie-impulsion plus compliquer. Il faut prendre en compte toutes les formes d’´ energie, les contraintes visqueuses, etc.

— Pour un fluide parfait, il n’y a ni transport de chaleur, ni viscosit´ e. Mais les particules ont les mouvements

d´ esordonn´ es qui donner lieu ` a la pression. Donc, nous ne devons que ajouter les effets de la pression p.

T =

ρ + p c ²

u ⊗ u − p g (Hobson et al., 2010, (8.5)) (ne confondez pas pression, p, avec p, la quadri-impulsion).

— TD : Ecrire les composantes T ^α β dans le r´ ef´ erentiel o` u le

fluide est au repos instantan´ e en coordonn´ ees

pseudo-cartesien ?

T ^αβ pour un fluide parfait

— TD : Solution : Les composantes T ^αβ dans le r´ ef´ erentiel o` u le fluide est au repos instantan´ e en coordonn´ ees

pseudo-cartesien, T ^αβ =

ρ + p c ²

u ^α u ^β − p g ^αβ

=

ρ + p c ²

u ^α u ^β − p η ^αβ coordonn´ es cartesians locale

(11)

(12) T ⁰ⁱ =

ρ ₀ + p c ²

u ⁰ u ⁱ − p η ⁰ⁱ = 0 (13)

T ⁱ⁰ = T ⁰ⁱ = 0 (14)

T ⁱⁱ =

ρ ₀ + p c ²

u ⁱ u ⁱ − p η ⁱⁱ = +p(+1) = p (15)

— En forme matricielle :

(T ^αβ ) =















ρ ₀ c ² 0 0 0

0 p 0 0

0 0 p 0

0 0 0 p















Les ´ equations d’Einstein

— On revient aux ´ equations du champs d’Einstein : G _µν + Λg _µν = − 8πG _N

c ⁴ T _µν (16)

— Le membre de gauche on a besoin du tenseur d’Einstein en fonction de la m´ etrique :

G _µν = R _µν − 1

2 Rg _µν , (17)

o` u R _µν est le tenseur de Ricci et R est le scalaire de Ricci la contraction du tenseur de Ricci

R = R ^σ _σ = g ^ασ R _σα . (18)

— Le tenseur de Ricci est une contraction du tenseur de

R _µν = R ^σ _µνσ , (Hobson et al., 2010, §7.11) (19) o` u

R ^σ _µνρ = ∂

∂x ^ν Γ ^σ _µρ − ∂

∂x ^ρ Γ ^σ _µν + Γ ^λ _µρ Γ ^σ _λν − Γ ^λ _µν Γ ^σ _λρ (Hobson et al., 2010, (7.13)) (20)

— Maintenant nous sommes prˆ ets ` a exprimer le membre de gauge d’´ eq(16) en fonction de la m´ etrique de FRW. ¸ Ca va nous donner des ´ equations diff´ erentielles en a(t) avec

param` etre k. (Mais les calculs sont trop longs ` a faire ici.)

— Le tenseur de courbure a 256 composantes, mais a cause des

R _αβµν = −R _βαµν R _αβµν = −R _αβνµ

R _αβµν = R _µναβ (21)

et l’identit´ e cyclique,

R _αβµν + R _ανβµ + R _αµνβ = 0

il admet seulement 20 composantes ind´ ependantes (pour un espace-temps de dimension 4).

— Dans une r´ egion plate d’espace-temps,

R ^α _βµν = 0

a c (1 − kr )

R ₂₂ = −(a¨ a + 2 ˙ a ² + 2c ² k)r ² , R ₃₃ = R ₂₂ sin ² θ. (22)

— En combinant ces expression pour les membres de droite et de gauche des ´ equations du champ d’Einstein ´ eq(16) on trouve les deux ´ equations ind´ ependantes

3¨ a

a = − 4πG _N

c ⁴ (ρc ² + 3p)c ² + Λc ² , a¨ a + 2 ˙ a ² + 2k =

4πG _N

c ⁴ (ρc ² + 3p)c ² + Λ

c ² R ² . (23) Pourquoi seulement deux ? Comme l’espace est suppos´ e

d’ˆ etre isotrope, les 3 ´ equations spatiaux

G _ii + Λg _ii = ^8πG _c

T _ii , ne donnent qu’une seule ´ equation

ind´ ependante.

— En ´ eliminant ¨ a de la second ´ equation on aboutit finalement ` a

¨

a(t) = − 4πG _N 3

ρ + 3p c ²

a(t) + 1

3 Λc ² a(t), (24)

˙

a ² (t) = 8πG _N

3 ρa ² (t) + 1

3 Λc ² a(t) ² − c ² k. (25)

— Remarques :

1. Les deux ´ equations diff´ erentielles d´ eterminent l’´ evolution temporelle du facteur d’´ echelle a(t),

2. Elles sont connues sous le nom d’´ equations de

Friedmann-Lamaˆıtre. Dans le cas Λ = 0, on les appelle

souvent simplement ´ equations de Friedmann.

R´ ef´ erences R´ ef´ erences

Barrau, A., and J. Grain (2016), Relativit´ e g´ en´ erale : Cours et exercices corrig´ es, 2 ^e ´ edition, Dunod, Paris.

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativit´ e G´ en´ erale, de boeck, Bruxelles.

Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge

University Press, Cambridge UK.