MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 5 (pour le 22/11) 29 juin 2019
Problème 1. Astroide
Étude de l'astroïde1
Soit a un réel strictement positif xé. Pour t ∈ [−π, π], on appelle M(t) le point de coordonnées
(8acos3t,8asin3t) dans un repère orthonormé xé(O,−→
i ,−→ j). Soit(C)le support de la courbe paramétréeM.
1. a. Déterminer les axes de symétries de(C).
b. Étudier et construire(C). Préciser les points stationnaires.
c. Calculer la longueur totale de(C). On admet que cette longueurlest donnée par
l= Z π
−π
k−→
M0(t)kdt
2. a. Écrire une équation de la tangenteD(t)enM(t).
b. LorsqueM(t)n'est pas stationnaire, on noteA(t)etB(t)les points d'intersection deD(t)avec les axes. Calculer la longueurA(t)B(t). Interpréter.
3. Soitt0∈[−π, π]etP0le point du cercle de centre O et de rayon 4atel que (−→
i ,−−→
OP0) =t0
(il s'agit d'un angle orienté)
a. Montrer que parP0 passent en général quatre tangentes à(C).
Montrer que trois de ces tangentes font deux à deux des angles égaux. Que peut-on dire de la quatrième ?
b. Indiquer une construction géométrique de la droiteD(t0)à partir du pointP0. c. SoitH(t0)la projection orthogonale deO surD(t0).
Calculer
−−−−−→
OH(t0) +−−−−−→
OM(t0) En déduire une construction géométrique deM(t0).
1d'après ESM Saint Cyr Math 2 Option M 1993
Problème 2. Ellipse tangente aux milieu des côtés d'un triangle
On se place dans un planP rapporté à un repère orthonormé d'origineO. Dans tout le problème,α∈]0, π[−{π2}.
On dénit des applications a, h, f de C dans C par les formules suivantes valables pour toutz∈C:
a(z) = zcos2α
2 +zsin2α 2 h(z) = 2
sinαz f(z) = h◦a(z)
On note A,H,F les transformations du plan qui à un point d'axe z associent respecti- vement les points d'axesa(z),h(z),f(z).
On note I, J, K les points respectivement d'axes 1, j, j2 et U, V, W les points respectivement d'axesu=f(1), v=f(j),w=f(j2).
On note ennC le cercle de centreO et de rayon 12 Partie I
1. Soit M un point du plan de coordonnées (x, y), calculer les coordonnées des points A(M),H(M),F(M). Préciser la nature des transformationsAet H.
2. Montrer que l'image de C par F est une conique (notée E). Préciser le genre et les foyers deE.
Partie II
1. Former les équations des droites(IJ), (IK), (J K). Exprimer la distance d'un point M de coordonnées(x, y)à ces droites.
2. Montrer queC est le cercle inscrit dans le triangle(IJ K).
3. Montrer que chacun des segments [U V], [U W], [V W] est tangent en son milieu à la coniqueE.
Partie III
1. Montrer que pour toutz complexe : f(z) = z
tanα2 +ztanα 2
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1205E
MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 5 (pour le 22/11) 29 juin 2019
2. Calculeru+v+wetuv+uw+vw.
3. En déduire les racines deP0(x)(dérivée formelle) du polynôme P(x) = (x−u)(x−v)(x−w)
Ceci démontre dans un cas particulier le théorème de van der Berg2:
Lorsque les sommets d'un triangle forment les trois racines d'un polynôme, l'ellipse tangente au milieu de chaque côté admet pour foyers les racines du polynôme dérivé.
Partie IV
1. Soit(z0, z1, z2)trois nombres complexes. On dit que(z0, z1, z2)vérie(∗)lorsque : z0+z1+z2 = 0
z0z1+z0z2+z1z2 = −3
Montrer que (z0, z1, z2) vérie (∗) si et seulement si z1 et z2 sont les racines d'une certaine équation du second degré à préciser.
2. Former un triplet(z0, z1, z2)vériant(∗)avecz0= 4. Trouver unαtel que z0=f(1) z1=f(j) z2=f(j2)
2d'après Polynomials, Prasolov, Springer
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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2 Rémy Nicolai M1205E
