Analogie électromécanique

(1)

Analogie électromécanique

méca x, y, z v = dv/dt

= x’

a = dv/dt = d²q/dt²

= v’ = x’’

m k

ressort h

frott. F E_c =

½ mv²

E_p=

½ kx²

- hv²

pertes frott.

élec q i =

dq/dt

= q’

di/dt = d²q/dt²

= q’’

L

induct. 1/C

conden. R

résist. u E_magnet =

½ Li²

E_élec = ½ q²/C

- Ri²

effet Joule

(2)

Additivité des tensions (Loi des mailles)

m a = m g – k (x+Dl

₀

) – h v

Sur l’axe Ox :

m x’’ + h x’ + k x = 0

E – r i =

R i + L di/dt + r’ i + q/C

L q’’ + R

totale

q’ + q/C = E

À l’équilibre : k Dl₀= mg

(3)

x = X_m sin(w₀ t + f) x’ = X_m w₀cos(w₀ t + f) x’’= - X_m w₀²sin(w₀ t + f)

Oscillateurs non amortis

m x’’ + k x = 0 L q’’ + q/C = E

-

^{m w}₀²^{+ k = 0}

w₀ = ^{= 2p / T}₀

q = Q_m sin(w₀ t + f) x’ = X_m w₀cos(w₀ t + f) x’’= - X_m w₀²sin(w₀ t + f)

Solution de l’équation sans second membre :

-

^{mL w}₀²^{+ 1/C = 0}

w₀ = ^{= 2p / T}₀

T

₀

= 2p T

₀

= 2p

(4)

Oscillateurs amortis

Exemple du traitement de l’oscillateur électrique

Analyse dimensionnelle de t ^{= 2L/R}

_totale

[

t

] = [L] / [R]

u = L di/dt donc [L] = [u] [t] / [i]

u = R i donc [R] = [u] / [i]

Alors : [

t

] = ([u] [t] / [i]) / ([u] / [i]) = [t]

L’expression de

t

est bien homogène à un temps.

(5)

Traitement de la solution de l’équation différentielle (sans second membre, E = 0)

L q’’ + R

totale

q’ + q/C = 0

Solution :

q = Q

_m

e

^-t/t

sin(w t + f)

avec

ω² = ω

₀

² - 1/t²

q’ = - (1/t) Q_m

e

^-t/t sin(w t + f) + w Q_m e^-t/t cos(w t + f) = Q_m

e

^-t/t [- (1/t) sin(w t + f) + w cos(w t + f)]

q’’ = Q_m

e

^-t/t^[(1/t²^{– w}²) (sin(w t + f) + (- 2w/t ) cos(w t + f)]

Alors :

Terme cos : - L 2w/t + R^total w = 0 donc 2L/

t

= R^total alors t = 2L/R^total Terme sin : L^(1/t²^{– w}²) - R^total /t + 1/C) = 0

donc LC w² + R^total C/t = 1 + LC/t² alors LCw₀² – LC/t² + R^total C/t = 1 + LC/t² or LCw₀² = 1 donc finalement : R^total = 2L/t et donc on retrouve t = 2L/R^total

Analogie électromécanique