Régulation électromécanique

par

Ahmed RACHID

Professeur des Universités, Laboratoire des Systèmes Automatiques, Université de Picardie

1. Éléments moteurs... R 7 540 - 2

1.1 Moteurs à courant continu... — 2

1.1.1 Moteur à commande d’induit ... — 2

1.1.2 Moteurs à commande d’inducteur ... — 3

1.2 Moteurs à courant alternatif ... — 3

1.3 Embrayages ... — 3

1.3.1 Embrayage à particules magnétiques ... — 4

1.3.2 Embrayage à hystérésis ... — 4

1.3.3 Embrayage à frottement ... — 4

1.3.4 Embrayage à courants de Foucault... — 4

1.4 Amortisseurs... — 4

1.4.1 Amortisseur visqueux ... — 4

1.4.2 Amortisseur à inertie... — 5

1.5 Ressorts ... — 5

1.6 Choix d’un moteur... — 5

2. Système asservi en position... — 6

2.1 Calcul de la puissance requise ... — 6

2.2 Choix du moteur ... — 6

2.3 Répartition des divers étages d’engrenages ... — 7

2.4 Réduction du jeu des engrenages... — 7

2.5 Retour tachymétrique... — 7

2.6 Influence du couple perturbateur... — 7

3. Machine asynchrone... — 8

3.1 Modélisation ... — 8

3.1.1 Équations électriques ... — 8

3.1.2 Équations mécaniques ... — 12

3.2 Commande... — 12

3.2.1 Commande en flux orienté ... — 13

3.2.2 Linéarisation entrée-sortie ... — 14

3.2.3 Modèle discret du moteur asynchrone ... — 15

3.3 Variateurs industriels... — 16

4. Moteur pas à pas... — 16

4.1 Modélisation ... — 17

4.1.1 Modèle physique complet ... — 17

4.1.2 Transformation DQ ... — 17

4.1.3 Modèle simplifié ... — 18

4.2 Commande... — 18

4.2.1 Régulateur PD ... — 18

4.2.2 Linéarisation et commande par retour d’état... — 19

4.2.3 Approche par les fonctions de Lyapunov ... — 19

5. Perspectives... — 22 Pour en savoir plus... Doc. R 7 540

a régulation électromécanique est le plus souvent associée aux systèmes impliquant un travail mécanique, par exemple pointer de façon continue une antenne de radar vers un satellite, diriger un canon vers une cible, actionner les diverses parties d’un robot mobile ou d’un bras manipulateur. Dans tous ces sys- tèmes, l’ingénieur doit d’abord évaluer, à partir des contraintes ou spécifications imposées et des charges ou masses à déplacer, la puissance requise, pour choisir un organe moteur et une transmission adaptés à la charge.

Cet article traite des méthodes modernes de l’automatique qui ont été spéci- fiquement développées pour la régulation des moteurs électriques les plus répandus : moteur à courant continu, moteur asynchrone, moteur pas à pas.

Ces techniques se basent sur les modèles, souvent non linéaires, de ces moteurs. Par conséquent, les outils qui seront utilisés sont ceux de l’auto-

sortie, synthèse par les fonctions de Lyapunov... Les résultats seront exposés avec le minimum de prérequis mathématiques.

Avec les progrès réalisés en électronique de puissance et dans les systèmes à microprocesseurs, les méthodes avancées de l’automatique ont élargi les champs d’application des différents moteurs et, de façon générale, ont permis d’améliorer les performances, le rendement et la fiabilité des systèmes électro- mécaniques.

Les méthodes générales de synthèse des correcteurs sont étudiées dans le présent volume Automatique, dans les articles Principes généraux de correction [R 7 405], Correction fréquen- tielle analogique [R 7 410], Méthodes de synthèse de correcteurs numériques [R 7 420].

L

1. Éléments moteurs

Tout système de régulation nécessite un organe moteur capable de transformer le signal de commande en une force ou en un couple mécanique d’amplitude suffisante pour exécuter le travail requis. Ce travail consiste généralement dans le déplacement (plus ou moins rapide), avec une précision spécifiée, d’une charge imposée ; celle-ci peut être un canon, une antenne de radar, un téléscope, un rouleau d’imprimante, etc.

Le choix de l’organe moteur et de son mode d’accouplement incombent à l’ingénieur de projet qui doit d’abord calculer la puis- sance requise à partir des spécifications du cahier des charges. Les organes moteurs comprennent les moteurs électriques à courant continu, à courant alternatif, ainsi que les embrayages.

En ce qui concerne les moteurs, le lecteur se reportera utilement à l’article [8] dans les Techniques de l’Ingénieur.

1.1 Moteurs à courant continu

1.1.1 Moteur à commande d’induit

Dans les applications où la puissance en jeu est inférieure à quelques kilowatts, le moteur à courant continu à aimants per- manents est très utilisé. C’est un moteur à excitation constante, où la variable de commande est la tension appliquée à l’induit. Sa fonc- tion de transfert est obtenue à partir des équations suivantes :

V (s ) = (R_a + L_aS ) Ia + K Φsθ (1)

et C_M = K ΦIa (2)

avec V (V) tension appliquée au moteur, R_a(Ω) résistance de l’enroulement d’induit, L_a(H) inductance de l’enroulement d’induit,

s variable de Laplace,

I_a(A) courant circulant dans l’induit,

K constante du moteur, et Φ étant le flux dans l’entrefer :

— pour l’équation (1), K Φ(V · rad^–1 · s) tension induite ;

— pour l’équation (2), K Φ (N · m · A^–1) couple développé par unité de courant, θ(rad) position angulaire de l’arbre,

C_M(N · m) couple électromagnétique développé.

Dans le système international (SI), le terme K Φ est numérique- ment le même dans les deux équations (1) et (2).

La relation entre V et θ fait intervenir l’inertie, le frottement et le couple de charge. Le moteur doit développer un couple suffisant pour vaincre le couple total de la charge :

C_M = Jθs² + C_f + C_c

avec J (kg · m²) inertie totale ramenée à l’arbre moteur, C_f (N · m) couple de frottement,

C_c(N · m) couple de charge.

Si l’on ne prend pas en compte le couple de charge, ce qui est souvent le cas dans un asservissement de position, nous avons :

C_M = KΦIa = (Js² + fs ) θ (3) avec f (N · m · rad^–1 · s) coefficient de frottement visqueux.

La substitution de l’expression (3) dans les équations (1) et (2) permet d’obtenir la fonction de transfert entre θ et V :

θ

V---( )s KΦ

(KΦ)²+fR_a

[ ]

--- 1

1 JR_a+fL_a KΦ ( )²+fR_a

---s JL_a fR_a+(KΦ)² ---s²

+ +

 

 s

---

⋅

=

Le dénominateur contient, entre parenthèses, une quantité qui est sensiblement égale au produit des constantes de temps du moteur :

constante de temps mécanique (en secondes) et constante de temps électrique (en secondes)

Ces moteurs sont disponibles sur le marché et couvrent une gamme de puissance qui s’étend de quelques watts jusqu’à quelques kilowatts. Le tableau 1 indique les principales caractéristiques de certains types. On notera que le courant pulsé (et le couple pulsé qui lui est proportionnel) peut atteindre jusqu’à huit fois le courant nominal. C’est ce qui rend ce moteur si intéressant dans les appli- cations où une accélération très grande est requise.

1.1.2 Moteurs à commande d’inducteur

Dans le moteur à commande d’inducteur, la variable de commande est la tension aux bornes de l’inducteur, alors que l’induit est par- couru par un courant sensiblement constant. Ici, la force contre- électromotrice n’a aucun effet sur la fonction de transfert, puisque le courant dans l’induit est maintenu sensiblement constant par une source de courant.

Les équations sont les suivantes : V_f(s ) = (R_f + L_f s ) If

Φ = kIf

C_M = kΦIa[cf. relation (2)]

avec V_f(V) tension appliquée à l’inducteur, R_f(Ω) résistance de l’enroulement inducteur, L_f(H) inductance de l’enroulement inducteur, If(A) courant inducteur,

Φ(Wb) flux dans l’entrefer,

k (Wb/A) constante entre le flux magnétique et le courant.

La réduction des équations conduit à la fonction de transfert suivante :

J et f ayant été définis au paragraphe 1.1.1.

Il faut noter que la fréquence de coupure f /J est très faible, de sorte que la fonction de transfert se rapproche de l’expression :

d’où la nécessité de compensation, même aux basses fréquences, par suite de la présence d’un terme de double intégration.

1.2 Moteurs à courant alternatif

Les moteurs à courant alternatif, utilisés dans les applications où la puissance ne dépasse pas quelques centaines de watts, ont aussi tendance à être remplacés par les moteurs à aimants permanents, excepté pour les applications à faible puissance dans des conditions spéciales où la commutation pourrait causer des problèmes (inter- férence électromagnétique).

Généralement, ces moteurs utilisent un rotor à cage d’écureuil, et les seules connexions électriques sont sur l’enroulement du stator.

La fonction de transfert s’établit à partir des caractéristiques couple- vitesse fournies par le fabricant (figure 1).

Dans le cas des moteurs biphasés, une phase est alimentée à tension et fréquence constantes, tandis que l’autre phase, l’enrou- lement de commande, est alimentée à la même fréquence, mais en quadrature avec la première, et à tension variable en amplitude et en polarité selon le signal de commande. Dans la figure 1, V_i représente la tension appliquée sur la phase de commande, la phase de référence étant alimentée à tension nominale.

On peut linéariser les courbes autour d’un point de fonctionne- ment et poser :

C_M = kV – αω

avec caractéristique de couple (N · m · V^–1), caractéristique d’amortissement (N · m · rad^–1 · s).

Comme la vitesse à vide de tout moteur à induction tend vers la vitesse synchrone quelle que soit la tension appliquée, il est facile de vérifier que la constante α varie selon cette tension. On prend généralement pour α la moitié de la pente de la caractéristique obtenue lorsque V_i est à tension nominale (tableau 2).

1.3 Embrayages

Le lecteur se reportera utilement à l’article [9] [10] des Techniques de l’Ingénieur.

Les embrayages sont des accouplements électromécaniques ou électromagnétiques qui permettent de coupler un moteur tournant à vitesse constante à une charge. Leur gros avantage est la possibilité de développer des accélérations très élevées, puisque le moteur n’a pas à accélérer sa propre inertie ; celle-ci contribue d’ailleurs, par son énergie cinétique, à augmenter le transfert initial de puissance entre le moteur et la charge.

Les principaux types d’embrayages sont décrits ci-après. Dans les quatre types d’embrayages décrits, le couple développé est direc- tement proportionnel au signal de commande et pratiquement indé- pendant du glissement ou de la vitesse relative de l’élément moteur par rapport à celle de l’élément charge.

JR_a (KΦ)²+fR_a ---

L_a R_a ---

θ V_f

---( )s KkI_a fR_f

--- 1

1 J

---f s

 + 

  1 L_f

R_f ---s

 + 

 s

---

⋅

=

θ V_f

---( )s KkI_a R_fJ

--- 1

1 L_f R_f ---s

 + 

 s²

---

⋅

=

Figure 1 – Moteur biphasé : couple en fonction de la vitesse

k ∆C

∆V---

 

 

ω=Cte

=

α ∆C

∆ω---

 

 

V=Cte

=

1.3.1 Embrayage à particules magnétiques

Cet embrayage contient une poudre magnétique en suspension dans un fluide entourant les éléments moteur et charge. Sous l’action du courant de commande, la poudre magnétique s’oriente et crée un lien mécanique semi-rigide entre les deux éléments, permettant la transmission d’un couple.

1.3.2 Embrayage à hystérésis

Dans ce type d’embrayage, le fluide magnétique est remplacé par un cylindre ou un disque ferromagnétiques à champ coercitif très élevé. Les caractéristiques de fonctionnement (couple en fonction du courant de commande) sont semblables à celles de l’embrayage à particules magnétiques ; par rapport à ce dernier, l’embrayage à hystérésis présente les avantages d’une vie utile plus longue et d’une réponse plus uniforme en fonction du courant de commande. Un échauffement trop intense risque de modifier les caractéristiques magnétiques du cylindre et les paramètres de l’embrayage.

1.3.3 Embrayage à frottement

Cet embrayage utilise le frottement entre deux éléments pour transmettre un couple. Ses caractéristiques principales sont : rendement élevé et puissance dissipée très faible lorsqu’il est désen- gagé. Il est employé plutôt dans les applications où les accélérations sont intermittentes, à cause de l’usure du matériau à friction.

1.3.4 Embrayage à courants de Foucault

Cet embrayage fonctionne selon le principe du moteur asyn- chrone. Le champ tournant est constitué de pôles réels solidaires de l’arbre moteur. Le couple résulte de l’action sur les pôles des courants de circulation dus aux tensions induites par le champ tour- nant. Il faut noter que l’arbre de la charge ne peut jamais atteindre

la vitesse de l’arbre moteur, car un glissement est nécessaire pour le développement d’un couple.

La caractéristique de couple est fonction du courant d’excitation et du glissement : pour un glissement donné, le couple est directe- ment proportionnel au courant d’excitation.

Cet embrayage est surtout utilisé dans les applications où le glis- sement est faible.

Dans tous les embrayages, il y a une dissipation de puissance non négligeable : cette puissance est égale au produit du couple transmis par la différence de vitesse entre l’arbre moteur et l’arbre de la charge ; il faut prévoir un dispositif pour évacuer la chaleur produite.

1.4 Amortisseurs

Normalement couplé à l’arbre d’un moteur, l’amortisseur est un élément qui développe un couple de charge opposé au couple moteur. Le but est la modification de la fonction de transfert.

1.4.1 Amortisseur visqueux

L’amortisseur visqueux, développant un couple proportionnel à la vitesse, est utilisé pour augmenter la bande passante d’un moteur de système asservi. Il est plutôt employé dans les petits moteurs à cause de la puissance qu’il consomme et est souvent réglable à l’aide d’une vis placée à une extrémité du moteur. On peut noter l’influence de l’amortissement en comparant les fonctions de transfert du moteur seul et du moteur avec amortissement. Si l’on considère le cas d’un système asservi de position où la seule charge est une inertie, l’équation du couple, obtenue à partir de la caractéristique couple-vitesse du moteur, peut s’écrire :

— moteur seul :

C_M = kV – αω =

Tableau 1 – Caractéristiques de quelques moteurs à courant continu à commande d’induit

Puissance

Vitesse nominale

Couple nominal

Tension nominale

Courant nominal

Courant pulsé

Résistance d’induit

Inductance d’induit

Moment d’inertie

Masse Couple de frottement (W) (tr/min) (N · m) (N · m · A^–1

ou V · rad^–1 · s^–1)

(V) (A) (A) (Ω) (µH) (en 10^–5 kg · m²) (kg) (N · m)

15 1 700 0,039 0,02 12 2,7 20 0,9 200 3,11 0,55 0,01

54 3 400 0,176 0,027 9 8,0 35 0,5 10 2,1 1,8 0,016

37 3 900 0,091 0,021 12 7,0 50 0,4 100 2,45 1,5 0,017 6

250 2 500 0,98 0,13 36 9,3 55 0,6 60 40,0 9,9 0,068

250 2 750 0,84 0,108 36 10,0 80 0,4 100 53,9 6,4 0,062 7

1 800 2 000 8,82 0,42 83 25 100 0,5 100 590 27,4 0,098

Tableau 2 – Caractéristiques de quelques moteurs biphasés à courant alternatif

Puissance nominale Tension nominale sur chaque enroulement

Fréquence Vitesse à vide Couple au démarrage Moment d’inertie

(W) (V) (Hz) (tr/min) (N · m) (en 10^–6 kg · m²)

35 115/115 60 3 600 0,318 32,0

25 115/115 60 3 600 0,201 15,4

10 115/115 60 3 600 0,082 4,06

4 115/115 60 3 600 0,049 4,06

25 115/115 400 8 000 0,121 10,6

50 115/115 400 8 000 0,339 39,3

5 115/115 400 8 000 0,016 1,71

K

Jω˙

— moteur avec amortissement visqueux : C_M = kV – αω =

Les fonctions de transfert correspondantes sont respectivement :

avec C_M (N · m) couple moteur, k (N · m · V^–1) constante de couple,

α (N · m · rad^–1 · s) pente de la courbe couple-vitesse, J (kg · m²) moment d’inertie total ramené à l’arbre

moteur,

f (N · m · rad^–1 · s) coefficient de frottement de l’amortis- seur.

La fréquence de coupure de la fonction de transfert a été aug- mentée dans le rapport .

Il faut cependant noter que cette augmentation s’accompagne d’une diminution, dans le même rapport, du gain de la fonction de transfert et de la vitesse à vide du moteur.

1.4.2 Amortisseur à inertie

L’amortisseur à inertie a été imaginé pour permettre d’atteindre le même résultat que l’amortisseur visqueux, du point de vue de la bande passante, sans diminuer le gain ni la vitesse à vide. Il est constitué d’une inertie libre couplée à l’arbre moteur à travers un accouplement visqueux (figure 2).

L’équation du couple est la suivante : C_M = kV – αω = celle de l’amortisseur est :

Après réduction, on obtient la fonction de transfert suivante :

Les deux paramètres f et J_f permettent de déterminer la fréquence de coupure la plus haute (sensiblement égale à ) et la fréquence correspondant au zéro de la fonction de transfert (égale à ).

1.5 Ressorts

Le lecteur peut se reporter aux articles [11] dans les Techniques de l’Ingénieur.

Un ressort peut quelquefois être utilisé pour éliminer le jeu des engrenages dans les systèmes asservis de faible puissance, par exemple dans le positionnement d’un petit miroir réfléchissant un spot lumineux (figure 3).

La constante du ressort doit être suffisante pour que le couple de rappel soit toujours supérieur au couple d’inertie de la charge dans toute la gamme de fonctionnement du système. Le moteur fonc- tionne alors sous un couple de charge unidirectionnel faible ramené au moteur, mais suffisant pour maintenir les engrenages engagés dans le même sens en tout temps. Il faut noter que ce couple n’influe pas sur la réponse dynamique du système.

1.6 Choix d’un moteur

Le choix d’un moteur est, en dernière analyse, fonction de l’appli- cation et de la source de puissance disponible.

Dans les machines-outils, qui sont maintenant souvent comman- dées numériquement, les moteurs pas à pas sont tout indiqués lorsque la vitesse maximale requise est relativement faible, que le couple est relativement constant et que l’avancement incrémental en charge est faible (de l’ordre de la fraction de degré pour le moteur lui-même).

Le moteur pas à pas peut très bien positionner, à travers un engre- nage de réduction, la tête coupeuse ou le chariot. En revanche, dans les applications impliquant un déplacement rapide avec variation appréciable du couple, le moteur à aimants permanents est tout indiqué. On peut citer comme applications les enregistreurs XY, les imprimantes rapides, les magnétophones multipistes industriels.

Le moteur à courant continu à aimants permanents présente aussi l’avantage d’un couple transitoire élevé, ce qui favorise les accélé- rations de démarrage et d’arrêts rapides.‘

Jω˙+fω

θ

V---( )s k/α

s 1 J α--- s

 + 

 

---

=

θ

V---( )s k/(α+f)

s 1 J

α+f --- s

 + 

 

---

=

f+α ---α

Jω˙+f(ω ω– _f)

f(ω ω– _f) = J_fω˙_f

θ V---( )s k

α----

1 J_f --- sf

 + 

 

1 J

---α J_f ---f J_f

---α

+ +

 

  s J_fJ

α --- sf ²

+ + s

---

⋅

=

= k α ----

1 s

ω_f --- +

s 1 s

ω₁ ---

 + 

  1 s

ω₂ ---

 + 

 

---

⋅

α+f ---J

f J_f ---

Figure 2 – Amortisseur à inertie : schéma

Figure 3 – Système à ressort

2. Système asservi en position

Le lecteur pourra consulter l’article [12] des Techniques de l’Ingénieur.

2.1 Calcul de la puissance requise

Dans un système asservi en position, il s’agit du déplacement angulaire ou linéaire d’un élément ayant un moment d’inertie ou une masse. Cet élément doit se déplacer avec une certaine accélération et une certaine vitesse, qui peuvent être spécifiées directement ou calculées à partir du cahier des charges et des contraintes imposées.

L’étude des spécifications et de la charge permet d’établir les para- mètres et les grandeurs suivants :

J_c (kg · m²) inertie de la charge ;

αc (rad · s^–2) accélération maximale requise à la charge ; ωc(rad · s^–1) vitesse angulaire maximale requise à la charge ; C_c(N · m) couple de charge maximal.

Dans ces conditions, la puissance maximale P requise peut être évaluée par l’équation suivante :

P = C_maxωc = [(J_c + k²J_M) αc + C_c] ωc (4) avec P (W) puissance requise calculée à l’arbre

moteur,

C_max (N · m) couple moteur maximal,

(J_c + k²J_M) (kg · m²) inertie du rotor et de la charge rame- née à l’arbre de la charge,

k rapport de réduction d’engrenage

entre l’arbre moteur et la charge, k²J_M (kg · m²) inertie du moteur ramenée à l’arbre

de la charge.

Ces deux derniers paramètres, k et k²J_M, sont inconnus, puisque le moteur n’est pas encore choisi. Cependant, l’équation (4) permet de tracer le début de la caractéristique de la puissance requise en fonction de k et aussi d’indiquer l’allure de cette caractéristique (figure 4).

Le calcul est fait en considérant la vitesse maximale de la charge comme constante : il suppose que le couple de charge, l’accélération et la vitesse sont maximaux en même temps. Le terme kωc représente la vitesse du moteur nécessaire pour entraîner la charge à la vitesse ωc. Cette vitesse est proportionnelle à k, puisque ωc est considérée comme constante dans le calcul de la puissance requise.

2.2 Choix du moteur

À partir de la figure 4, on peut faire un premier choix de moteur, et tracer alors la caractéristique exacte correspondant au moteur choisi.

La puissance disponible d’un moteur, sous tension nominale, peut se calculer facilement à partir de la caractéristique couple-vitesse fournie par le fabricant. Cette caractéristique a la forme générale représentée figure 5. À partir de cette caractéristique on peut faire, pour chaque vitesse, le produit du couple moteur par la vitesse du moteur ; ce produit représente la puissance disponible au moteur.

On peut aussi, sur le même graphique, tracer la caractéristique de la puissance disponible au moteur en fonction de la vitesse du moteur.

L’abscisse de la figure 5 représente la vitesse du moteur.

Comme, pour l’application donnée, cette vitesse est directement proportionnelle au rapport d’engrenage k, on peut faire un change- ment d’échelle et superposer la figure 5 à la figure 4 (voir figure 6).

S’il y a intersection entre les deux courbes, le moteur choisi est suffisamment puissant, puisque, pour une certaine gamme de valeurs de k, la puissance disponible est supérieure à la puissance nécessaire. Si les deux courbes ne se rencontrent pas, il faut choi- sir un moteur plus puissant et recommencer les calculs. Dans le cas où il y a intersection, la zone commune définit pour k un domaine de valeurs possibles comprises entre k₁ et k₂.

Figure 4 – Puissance requise P en fonction du rapport de réduction d’engrenage k

Figure 5 – Puissance disponible en fonction de la vitesse

Figure 6 – Détermination du rapport d’engrenage k

Un choix voisin de k₁ présente les caractéristiques suivantes :

— coût et encombrement réduit pour la boîte d’engrenages ;

— gain minimal requis de l’amplificateur ;

— réserve de vitesse (le moteur pourra entraîner la charge à des vitesses plus grandes que ωc) ;

— pas de réserve de couple ;

— possibilité plus grande de mouvement saccadé aux vitesses très basses ; ce dernier facteur perd de son importance lorsque l’on utilise les moteurs à circuits imprimés, puisque le couple de réluc- tance n’existe pas dans ce type de moteur.

Une valeur de k voisine de k₂ présente les caractéristiques opposées.

2.3 Répartition des divers étages d’engrenages

La répartition doit être telle que l’inertie totale ramenée à l’arbre moteur soit minimale. On peut facilement faire le calcul dans le cas d’une boîte d’engrenages comprenant deux étages. Soit k le rapport total, k_a et k_b respectivement les rapports des premier et second étages (figure 7). Dans ce calcul, on suppose que les roues d’engre- nage ont toutes la même épaisseur, qu’elles sont faites du même matériau et que la roue d’entraînement, pour chaque étage de réduc- tion, a le même rayon r₀. L’inertie de chaque roue d’entraînement est donnée par l’équation suivante :

avec J₀ (kg · m²) inertie de chaque roue de rayon r₀, ρ (kg · m^–3) masse volumique du matériau, r₀ (m) rayon moyen de la roue d’engrenage, e (m) épaisseur de la roue d’engrenage.

Comme l’inertie d’un disque est proportionnelle à la quatrième puissance du rayon et que l’inertie ramenée à travers un étage de réduction est proportionnelle à la deuxième puissance du rapport de réduction, on peut exprimer l’inertie totale de la boîte d’engre- nages, réfléchie au moteur, en fonction de k_a et de k (total), par l’expression suivante :

En dérivant cette expression par rapport à k_a et en annulant la dérivée, on détermine la valeur de k_a donnant l’inertie réfléchie minimale. On peut procéder de façon semblable lorsque le nombre d’étages est supérieur à deux ou utiliser les tables qui donnent directement les différents étages en fonction du nombre d’étages et du rapport total de réduction désiré.

2.4 Réduction du jeu des engrenages

Le jeu dans les engrenages ne peut être éliminé complètement ; il est dû à l’imperfection des dents elles-mêmes et à la non- concentricité des arbres et des roulements.

On peut cependant atténuer les effets du jeu des engrenages en utilisant, au niveau des étages de sortie, des engrenages antijeu (anti-backlash gears) pour l’accouplement à la charge.

On peut aussi corriger le jeu en appliquant une précontrainte sur l’arbre de sortie. Le couple de précontrainte doit être au moins égal au couple maximal que le moteur aura à développer. Ce couple de précontrainte peut provenir d’un ressort ou même d’un autre moteur, selon les puissances en jeu.

Une autre méthode d’élimination du jeu, utilisable dans les systèmes de faible puissance, consiste à utiliser une transmission par courroie ou par friction.

2.5 Retour tachymétrique

Le retour tachymétrique est souvent utilisé en boucle inter- médiaire pour stabiliser un système asservi en position. Dans les applications où le gain et la bande passante sont élevés, il faut s’assurer de la rigidité de l’accouplement mécanique entre le moteur et le tachymètre pour éviter l’introduction d’un deuxième ordre supplémentaire, dû à la torsion mécanique de la transmission et à l’inertie du tachymètre : ce deuxième ordre introduit une pointe de résonance qui peut rendre le système instable.

2.6 Influence du couple perturbateur

La valeur maximale de l’erreur de position due à une perturbation en régime permanent fait normalement partie des spécifications de l’avant-projet, et le gain de boucle est calculé en conséquence.

Cependant, la réponse transitoire du système à une perturbation est aussi fonction des modes du système et du type de compensation.

Pour déterminer cette réponse, on peut utiliser les calculs déjà faits pour déterminer la fonction de transfert sortie/entrée du système.

Ainsi (figure 8), la relation S/P peut être obtenue en faisant le produit des deux fonctions de transfert S/E et E/P. Le calcul de la fonction E/P est relativement simple, puisque seules les variables dirigées vers l’amont, en partant du point d’application de la perturbation, doivent être considérées. Dans le cas de la figure 8, la relation E/P se résume à la fonction de transfert suivante :

Figure 7 – Répartition des étages d’engrenages J₀ ρeπr₀⁴

---2

=

J J₀ 1 k_a²

---(J₀k_a⁴+J₀) 1 k² ---J₀ k

k_a ---

  ⁴

+ +

=

E P--- 1

K--- 1 F₁ ---+F₂

 

 

=

3. Machine asynchrone

Le moteur asynchrone triphasé est utilisé dans la plupart des équi- pements industriels. Ceci est essentiellement dû à sa robustesse, son faible coût, sa facilité d’utilisation pour un régime de fonctionnement fixé donné (tension et fréquence constantes). Son champ d’appli- cation ne fait que s’accroître puisqu’il est de plus en plus considéré comme une alternative au moteur à courant continu qui a, pendant longtemps, constitué la seule source électromécanique pour la vitesse variable.

Ces applications nécessitent un approfondissement théorique de la machine asynchrone et l’élaboration de lois de commande appro- priées [3] [4].

3.1 Modélisation

La figure 9 représente un moteur asynchrone type. Les hypothèses traditionnelles permettant le développement des équations électro- mécaniques du moteur sont :

— les armatures magnétiques du stator et du rotor sont toutes deux cylindriques, séparées par un entrefer constant, et munies chacune d’un enroulement triphasé ;

— circuit magnétique non saturé et à perméabilité constante ;

— pertes ferromagnétiques, effet de peau et effet des encoches négligeables.

3.1.1 Équations électriques

3.1.1.1 Équations des enroulements

Les six enroulements (figure 10) obéissent aux équations élec- triques suivantes :

(5)

(6)

Les notations a, b, c désignent les trois phases du moteur, s se référant au stator et r au rotor. La tension est notée v, le courant i et le flux ϕ.

Avec les définitions suivantes :

R_s (R_r) : résistance d’une phase du stator (du rotor) ; : inductance propre d’une phase du stator (du rotor) ; m_s (m_r) : inductance mutuelle entre deux phases du stator (du

rotor) ;

m_rs : inductance mutuelle (maximale) entre une phase du stator et une phase du rotor,

les flux sont reliés aux courants selon les relations :

(7)

avec :

où µ désigne l’angle électrique entre une phase du rotor et la phase correspondante du stator et vérifie :

dµ/dt = pΩ

Ω étant la vitesse mécanique du moteur et p le nombre de paires de pôles (figure 10).

3.1.1.2 Transformation de Concordia

La machine triphasée peut être transformée en une machine biphasée équivalente à l’aide de la transformation de Concordia :

(8)

dont l’inverse est donnée par :

Dans ce nouveau repère, les équations (5), (6) et (7) donnent :

(9)

Puisque , on en déduit :

Figure 8 – Point d’application de la perturbation dans un système asservi

v_s v_sa v_sb v_sc

dϕ_s

---dt +R_si_s d ---dt

ϕ_sa ϕ_sb ϕ_sc

R_s 0 0 0 R_s 0 0 0 R_s

i_sa i_sb i_sc +

= = =

v_r v_ra v_rb v_rc

dϕ_r

---dt +R_ri_r d ---dt

ϕ_ra ϕ_rb ϕ_rc

R_r 0 0 0 R_r 0 0 0 R_r

i_ra i_rb i_rc +

= = =

s r ( )

ϕ_s = si_s+sri_r ϕ_r = rsi_s+ri_r





sr m_rs

µ ( )

cos µ 4π

---3

 – 

 

cos µ 2π

---3

 – 

 

cos µ 2π

---3

 – 

 

cos cos( )µ µ 4π

---3

 – 

 

cos µ 4π

---3

 – 

 

cos µ 2π

---3

 – 

 

cos cos( )µ

, rs=(sr)^T

=

s

s m_sm_s m_s s m_s m_sm_s s

, r

r m_rm_r m_r r m_r m_rm_r r

=

=

x_αβo T x_abc 1 3 ---

2 1– / 2 – 1 / 2 0 3/2 – 3/2

1 1 1

x_abc

= =

x_abc T^Tx_αβo 1 3 ---

2 0 1

1

– / 2 3/2 1

1

– / 2 – 3/2 1 x_αβo

= =

v_sαβo R_si_sαβo d

dt---[sαβoi_sαβo+srαβoi_rαβo] +

=

v_rαβo R_ri_rαβo d

dt---[rαβoi_rαβo+rsαβoi_sαβo] +

 =





αβo= TT^–1

_sαβo = TsT^–1 L_s 0 0

0 L_s 0 0 0 2m_s+s

=

avec .

avec .

De même on a :

avec .

L_s (respectivement L_r) s’appelle inductance cyclique du stator (res- pectivement du rotor), et M représente l’inductance cyclique entre le stator et le rotor.

Figure 9 – Vue éclatée d’un moteur asynchrone (doc. Leroy Somer)

L_s = s–m_s

rαβo = TrT^–1 L_r 0 0

0 L_r 0 0 0 2m_r+r

=

L_r = r–m_r

srαβo = TsrT^–1

M ( )µ

cos –sin ( )µ 0 ( )µ

sin cos( )µ 0

0 0 0

=

M 3

---2m_sr

=

3.1.1.3 Transformation de Park

Pour simplifier davantage ces expressions et surtout pour que ne dépende plus de µ, on se limite aux axes α et β et l’on opère un autre changement de repère. Pour cela, on considère la transfor- mation de Park définie par :

(10)

dont l’inverse n’est autre que sa transposée :

Cette transformation est une simple rotation d’angle ρ des axes d’un repère. Deux propriétés importantes seront utilisées dans les calculs :

P(ρ)^–1 = P(– ρ) P(ρ) P(ρ’) = P(ρ + ρ’)

3.1.1.4 Équations fondamentales du moteur asynchrone Si l’on ne retient que les composantes α et β dans les relations (8) et (9), elles se simplifient considérablement (I2 désignant la matrice unité de dimension 2) :

On remarque que peut s’exprimer en fonction de la trans- formation de Park de façon très simple, en effet on a :

(11) On définit alors un nouveau repère dq (figure 11), et l’on considère P(ρs) (respectivement P(ρr)) la transformation permettant de faire passer les grandeurs statoriques (respectivement rotoriques) du repère αβ au repère dq. Autrement dit :

x_sdq = P(ρs) x_sαβ et x_rdq = P(ρr) x_rαβ

Si on applique ces rotations à la première équation de (9) relative au stator, on obtient :

(12)

Par ailleurs, nous avons les relations fondamentales suivantes

µ = ρs – ρr (13)

et (14)

où p désigne le nombre de paires de pôles et Ω la vitesse mécanique du rotor.

En utilisant les deux résultats suivants que l’on peut aisément retrouver :

on obtient d’une part, en utilisant (11) et (13) :

et d’autre part :

Finalement, (12) devient :

(15) Figure 10 – Représentation des enroulements

de la machine asynchrone

P( )ρ cos( )ρ sin( )ρ sin ( )ρ

– cos( )ρ

=

P( )ρ ^–1 cos( )ρ – sin ( )ρ ( )ρ

sin cos( )ρ

P( )ρ^T

= =

_sαβ= L_sI₂, _rαβ= L_rI₂

srαβ M cos( )µ – sin ( )µ µ

( )

sin cos( )µ

= srαβ

srαβ= MP(– µ)

Figure 11 – Repérage angulaire des systèmes d’axes

v_sdq R_si_sdq L_sP( ) ρ_s d dt

---[P( )ρ_s ^–1i_sdq] +

=

+P( ) ρ_s d dt

---[srαβP^–1( ) iρ_r rdq]

dµ ---dt = pΩ

P( )ρ dP( )ρ′

---dt ρ ˙ ′ sin(ρ ρ+ ′) – cos (ρ ρ+ ′) ρ ρ+ ′

( )

cos sin(ρ ρ+ ′) –

=

P( )ρ_s d dt

---[srαβ]P^–1( )ρ_r Mµ˙ 0– 1

1 0

 =







P( ) ρ_s d dt

--- P[ ( )^–1ρ_s i_sdq] P( )ρ_s P^–1( ) ρ_s di_sdq dt ---

= +P( ) ρ_s d dt

--- P[ – ( )¹ρ_s ]i_sdq di_sdq dt

--- ρ˙_s 0 1–

1 0

i_sdq +

=

P( ) ρ_s d dt

--- [srαβP^–1( )ρ_r i_rdq] MP( ) ρ_s d dt

--- [P(– µ) P(– ρ_r i) _rdq]

= MP( ) ρ_s d

dt

--- [P(– µ ρ – r)] i_rdq MP( )ρ_s P(– µ ρ – r) di_rdq dt --- +

=

Mρ˙_s 0– 1

1 0 i_rdq M di_rdq dt --- +

=

v_sdq R_si_sdq L_s di_sdq dt

--- ρ˙_sL_s 0 1–

1 0

i_sdq ρ˙_sM 0 1–

1 0

i_rdq

+ + +

=

+M di_rdq dt ---

L’équation relative au rotor en découle immédiatement en rem- plaçant l’indice r par s et vice versa. Soit, en tenant compte du fait que la tension du rotor est nulle (dans n’importe quel repère) :

(16)

Ces équations constituent les équations fondamentales du moteur asynchrone et sont habituellement présentées sous la forme :

(17)

Remarque : la transformation de Park est souvent définie par la matrice A normalisée suivante :

(18)

Le coefficient est choisi pour donner une expression invariante du couple élec- tromagnétique à partir de la propriété A^–1 = A^T.

Cette transformation permet de passer directement du repère abc au repère dq (figure 12). Les axes αβ correspondent à ρ = 0 puisque, en effet, dans ce cas on retrouve la transformation de Concordia (8).

Pour compléter l’exposé, nous donnons l’équivalent des équa- tions (5), (6) et (7) dans le repère dq :

(19)

(20)

(21)

(22)

Remarque : l’axe « o » n’intervient que dans le cas de dissymétrie de l’alimentation statorique. Indiquons pour mémoire les équations correspondantes :

(23)

avec .

3.1.1.5 Modèle d’état du moteur asynchrone

Les techniques modernes de commande des systèmes nécessitent souvent un modèle sous forme d’état. En choisissant comme vecteur d’étatX les courants statoriques et les flux rotoriques, soit :

X = [i_sd i_sq ϕrd ϕrq]^T

et en utilisant les relations (17), (19) (20) (21) (22) et (23), on aboutit aux équations d’état électriques :

(24)

avec K = ,

γ = ,

T_r= ,

σ =

σ s’appelle coefficient de dispersion et T_r la constante de temps rotorique.

Les autres grandeurs électriques sont obtenues à l’aide du système :

(25)

Ces équations sont très générales et plusieurs choix de rotations ρs et ρr sont possibles. Dans la pratique, trois types de référentiels sont utilisés, le choix se faisant en fonction du problème étudié.

3.1.1.6 Choix des référentiels

■Référentiel fixe par rapport au stator

Il se traduit par la condition ρ_s = 0. On en déduit d’après (13) et (14) :

(26) C’est ce référentiel qui sera retenu pour la commande et l’obser- vation du moteur asynchrone.

■Référentiel fixe par rapport au rotor Il se traduit par la condition ρr = 0. D’où :

Ce référentiel peut être intéressant dans les problèmes de régimes v_rdq 0 R_ri_rdq L_r di_rdq

dt

--- ρ˙_rL_r 0 1–

1 0

i_rdq ρ˙_rM 0– 1

1 0

i_sdq

+ + +

= =

+M di_sdq ---dt

v_sd v_sq 0 0

=

R_s+L_s(d/dt) – L _s ρ ˙ _s M(d/dt) – M ρ ˙ _s L_sρ˙_s R_s+L_s(d/dt) Mρ˙_s M(d/dt) M(d/dt) – M ρ ˙ r R_r+L_r(d/dt) – L _r ρ ˙ r

Mρ˙_r M(d/dt) L_rρ˙_r R_r+L_r(d/dt) i_sd i_sq i_rd i_rq

A 2

---3 ρ ( )

cos ρ 2π

---3

 – 

 

cos ρ 4π

---3

 – 

 

cos ρ

( )

sin ρ 2π

---3

 – 

 

sin ρ 4π

---3

 – 

 

sin 1

---2 1

---2 1

---2

=

2 ---3

v_sd v_sq

R_s 0 0 R_s

i_sd i_sq

d dt--- ϕ_sd

ϕ_sq

0 – ρ˙ _s ρ˙_s 0

ϕ sd

ϕ_sq

+ +

=

v_rd v_rq

0 0

R_r 0 0 R_r

i_rd i_rq

d dt--- ϕ_rd

ϕ_rq

0 – ρ ˙ _r ρ˙_r 0

ϕ rd

ϕ_rq

+ +

= =

ϕ_sd ϕ_rd

L_sM M L_r

i_sd i_rd

=

ϕ_sq ϕ_rq

L_sM M L_r

i_sq i_rq

=

vso

vro

Rs 0 0 Rr

iso

iro

d dt--- ϕso

ϕro

+

=

Rs 0 0 Rr

iso

iro

d dt--- Lsoiso

Lroiro

+

=

Lso=s+2mrs, Lro=r+2mr

X˙ γ

– ρ˙_s K/T_r – ρ˙ _r K

ρ˙ _s

– – γ Kρ˙_r K/T_r

M/T_r 0 – 1/ T_r ρ˙

r

0 M/T_r ρ˙ – r – 1/ T_r

X 1

σL_s ---

1 0 0 1 0 0 0 0

v_sd v_sq +

=

M σL_sL_r ---

R_s σL_s --- R_rM²

σL_sL_r² --- + L_r R_r --- 1 M²

L_sL_r --- –

i_rd i_rq ϕ_sd ϕ_sq

1 L_r ---

M

– 0 1 0

0 – M 0 1 σL_sL_r 0 M 0 0 σL_sL_r 0 M

i_sd i _sq ϕ_rd ϕ_rq

=

ρ˙_s = 0, ρ˙_r=– p Ω

ρ˙_r = 0, ρ˙_s=pΩ