Espaces $(L^{q},\ell^{p})^{\alpha}(G)$ sur un groupe de type homogène et continuité de l'intégrale fractionnaire.

(1)

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Espaces (L

q

_{, ℓ}

p

₎

α

_{(G) sur un groupe de type homogène et}

continuité de l’intégrale fractionnaire.

Justin Feuto

To cite this version:

Justin Feuto. Espaces (Lq_{, ℓ}p₎α_{(G) sur un groupe de type homogène et continuité de l’intégrale}

(2)

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

N°

388/2003

THESE DE DOCTORAT

Présentée à l'UFR de Mathématiques et Informatique de

L'Université de Cocody

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR ES-SCIENCES

Spécialité : MATHEMATIQUES PURES

Option : ANALYSE HARMONIQUE

Justin FEUTO

Soutenue le 25/10/2003 devant la commission d’examen composée de :

Président : Saliou TOURE , Professeur à l’université de Cocody Examinateurs : Edmond FEDIDA, Professeur à l’université de Cocody

Daouda SANGARE, Professeur à l’université d’Abobo Adjamé Konin KOUA, Maître de conférence à l’université de Cocody Ibrahim FOFANA, Maître de conférence à l’université de Cocody Kinvi KANGNI, Maître de conférence à l’université de Cocody

Par :

2002-2003

ESPACES

(L

q

_,L

p

₎

α

_(G)

_{SUR UN GROUPE}

DE TYPE HOMOGENE ET CONTINUITE

DE L’INTEGRALE FRACTIONNAIRE.

(3)

i

DEDICACE

A ma fille FEUTO METCHU B´er´enice Flora

et

(4)

REMERCIEMENTS

Ce travail n’aurait jamais vu le jour, n’eussent été l’insistance et la force des arguments de mon oncle M. TALLA NZUMAINTOH, qui m’ont résolu faire le voyage de la Côte d’Ivoire pour la préparation de cette thèse. En plus de cela, son soutient constant m’a été d’une grande utilité. Je voudrais qu’il trouve ici l’expression de ma reconnaissance infinie.

A l’Université de Cocody, les Professeurs KOUA Konin et FOFANA Ibrahim ont bien voulu diriger mes travaux. Comme si cela n’était pas déjà assez, ils ont mis gracieusement à ma disposition tout ce dont j’avais besoin pour travailler. Ces deux maˆıtres resterons à jamais dans mon coeur. Je leur sais infiniment gré, pour tous les sacrifices qu’ils ont consentis afin que ce travail voie le jour.

La section Analyse du laboratoire de MATHEMATIQUES FONDAMENTALES, m’a offert un cadre approprié pour la vérification de mes résultats et m’a permis de découvrir mes insuffisances. Que toute cette équipe, re¸coive mes remerciements.

Je remercie également tous les collègues qui m’ont toujours encouragé et soutenu par la lecture de ce document, particulièrement MM. Lazare Koffi ASSI, Emile GAYE et Eric PETE, sans oublier le bibliothécaire de l’IRMA, N’CHO, qui a mainte fois sacrifié son repos de midi pour me permettre de travailler.

Le Professeur Saliou TOURE a bien voulu sacrifier ses multiples occupations pour pr´esider ce Jury ; qu’il trouve ici l’expression de ma tr`es profonde gratitude.

Professeurs Edmond FEDIDA et Daouda SANGARE, merci infiniment pour avoir accept´e de faire partie de ce jury.

Mes remerciements vont également au Professeur Kinvi KANGNI qui, en plus des conseils qu’il m’a toujours prodigués, a accepté de faire partie de ce jury.

A tout le jury, merci pour les critiques et pour toutes les observations qui ont été faites afin d’améliorer la qualité de ce travail.

Les saintes écritures nous disent que si Dieu ne bâtit la maison, les ouvriers travaillent en vain. Cela pour dire que sans les prières adressées à Dieu en ma faveur par la grande famille TAWAGUE, ma chère épouse et tous ceux qui de près ou de loin me soutenaient en prière, mes efforts auraient été inutiles. Que toutes ces personnes acceptent mes remerciements et que Dieu les bénisse en retour.

(5)

iii

Table des mati`

eres

0.1 INTRODUCTION . . . 1

1 ETUDE DES ESPACES (Lq_{, L}p_{) (G)} ₃ 1.1 INTRODUCTION . . . 3

1.2 ESPACE (Lq_{, L}p_{) (G) . . . .} ₄

1.2.1 Notations et d´efinitions . . . 4

1.2.2 Quelques sous-ensembles de (Lq_{, L}p_{) (G) . . . .} ₆

1.2.3 L’espace de Banach (Lq_{, L}p_{) (G) . . . .} ₉

1.3 UNE NORME EQUIVALENTE A LA NORMEBkk_q,pDANS (Lq, Lp) (G) : LA NORME _kkπ_q,p. . . 15

1.3.1 Partition uniforme de G et d´efinition de la norme _kkπ_q,p. . . 15

1.3.2 Equivalence entre les normes Bkk_q,p etkkπ_q,p. . . 16

1.4 CONCLUSION . . . 22

2 ETUDE DES ESPACES (Lq_{, L}p₎α (G) 23 2.1 INTRODUCTION . . . 23

2.2 ESPACE DE TYPE HOMOGENE . . . 24

2.2.1 Généralités . . . 24

2.2.2 Groupe de type homog`ene [8] . . . 26

2.3 DEFINITION ET PROPRIETES DE L’ESPACE (Lq_{, L}p₎α (G) . . . 28 2.4 QUELQUES SOUS-ENSEMBLES DE (Lq_{, L}p₎α (G) . . . 34 2.5 TRANSLATION DANS (Lq_{, L}p₎α (G) . . . 47 2.6 CONCLUSION . . . 50

3 INTEGRALE FRACTIONNAIRE SUR LES ESPACES (Lq_{, L}p₎α (G) 51 3.1 INTRODUCTION . . . 51

3.2 OPERATEUR MAXIMAL FRACTIONNAIRE . . . 52

3.2.1 Notations et d´efinitions . . . 52

3.2.2 Continuit´e de l’op´erateur maximal mq,β . . . 53

3.3 INTEGRALE FRACTIONNAIRE . . . 66

3.4 CONCLUSION . . . 82

(6)

0.1 INTRODUCTION

Dans leur tentative de résoudre le problème posé par B. Muckenhoupt dans [11] ; à savoir caractériser les fonctions poids u et v pour lesquelles l’inégalité

Z +∞ −∞ bf (x)pu(x)dx_{≤ C} Z +∞ −∞ |f(x)| p v(x)dx

est vérifiée pour tout f Lebesgue mesurable, où bf désigne la transformée de Fourier de f , p un nombre réel supérieur à 1, et C une constante ne dépendant pas de f, Nestor E. Anguilera et Eléonore O. Harbouré ont montré dans [1], qu’une condition nécessaire dans le cas où v = 1 et 1 < p < 2, était que pour tout réel r > 0,

  +∞ X k=−∞ Z r(k+1) rk u(x)dx !b  1 b ≤ Crp−1_{, o`}_{u b =} 2 2_{− p}. (0.1)

C’est pour mieux comprendre la condition (0.1) , que Fofana Ibrahim dans sa Thèse d’Etat, a construit une famille d’espaces vectoriels qui contiennent les fonctions u vérifiant cette condition. Ce travail ayant été fait dans le cas de Rn_{, nous nous}

sommes demandés si ce n’était pas possible de définir de tels espaces dans le cas des groupes localement compacts non abéliens et non compacts ; et dans le cas où cela était possible, si les propriétés établies dans le cas Euclidien restaient encore vraies.

Les groupes localement compacts de type homogène nous ont semblé les plus indiqués pour cette extension, parce que dans ces groupes nous avons une distance et la mesure de Haar qui est l’analogue de la mesure de Lebesgue dans Rn_.

Pour atteindre notre but, nous d´efinissons dans le premier chapitre l’espace

(Lq_{, L}p_{) (G) ,}

Bkk_q,p

, qui s’avère être identifiable à l’espace des amalgamesLπ (q,p),kk

π q,p

défini par R. C. Busby et H. A. Smith dans [2]. Nous rappelons que dans le cas où G est un groupe abélien, F. Holland a établi dans les espaces des amalgames, d’importants résultats en rapport avec la transformée de Fourier.

Dans le chapitre 2, nous définissons les espaces des fonctions à moyenne fraction-naire intégrable (Lq_{, L}p₎α

(G) , pour 1≤ q ≤ α ≤ p ≤ +∞. Nous montrons que pour α_{≤ p ≤ +∞, la famille (L}1_{, L}p₎α

(G) forme une chaine d’espaces de Banach, dont le plus petit est l’espace de Lebesgue Lα_{(G), et le plus grand, l’espace classique de}

Mor-rey qui correspond ici `a (L1_{, L}+∞₎α_{(G). Nous montrons ensuite que si 1}_{≤ q < α < p,}

alors l’espace Lα _{faible est un sous-espace vectoriel propre de (L}q_{, L}p₎α

(7)

0.1. INTRODUCTION 2

L’opérateur maximal fractionnaire de Hardy-Littlewood et l’intégrale fractionnaire ont été beaucoup étudiés dans les espaces de Lebesgue (voir [12], [13], [14], [15], [16]) et dans l’espace de Morrey classique (voir [7]), en rapport avec les problèmes liés aux équations aux dérivées partielles, aux équations intégrales et à la mécanique quantique.

Dans le chapitre 3, nous situant dans les espaces (Lq_{, L}p₎α

(G) , nous comparons en norme ces deux opérateurs, et nous montrons qu’ils vérifient certaines propriétés de continuité dont l’une est le prolongement du théorème 2-7 démontré par Wheeden et Pérez dans [14].

(8)

Chapitre 1

ETUDE DES ESPACES (L

q

, L

p

) (G)

1.1 INTRODUCTION

Soient p et q, deux ´el´ements de [1 ; +_{∞] . L’amalgame de L}q _{et `}p _sur _{R, est}

l’espace (Lq_{, `}p_{) constitu´e des fonctions localement dans L}q _{et ayant un comportement}

`p_{à l’infini, dans ce sens que les normes L}q_{sur les intervalles [k ; k + 1] avec k élément}

deZ, forment une `p_−suite.

L’idée de considérer l’amalgame (Lq_{, `}p_{) par opposition à l’espace de Lebesgue}

Lq _{= (L}q_{, L}q_{) est naturel, dans ce sens qu’il permet de s´eparer le comportement}

global de f de son comportement local. Cette idée vient de Norbert Wiener qui, en 1926, a considéré (L1_{, `}2_{) et (L}2_{, `}+∞_{) dans [18]. Mais la première étude systématique}

de ces espaces a été faite en 1975 par F. Holland dans [10]. James Steward définit en 1979 l’espace des amalgames pour les groupes topologiques localement compacts abéliens dans [17], et R. C. Busby et H. A. Smith en 1981, définissent l’espace des amalgames pour les groupes topologiques localement compacts, non compacts et non commutatifs dans [2].

Nous définissons ici un espace vectoriel qui s’avère être identifiable à l’espace défini par R. C. Busby et H. A. Smith. Toutefois, contrairement à ces derniers qui ont utilisé des partitions uniformes, nous utilisons la convolution de f par la fonction ca-ractéristique d’un voisinage ouvert, symétrique et relativement compact de l’élément neutre e du groupe, pour définir la norme de notre espace.

Dans le deuxième paragraphe de ce chapitre, nous définissons et étudions l’espace (Lq_{, L}p_{) (G), o`}_{u G est un groupe topologique localement compact non abélien, et dans}

(9)

1.2. ESPACE LQ_{, L}P_(G) ₄

par R. C. Busby et H. A. Smith. Dans toute la suite :

B G désignera un groupe topologique localement compact non nécessairement abélien, d’élément neutre e, et dont la loi est notée multiplicativement,

B λ désignera une mesure de Haar à gauche sur G (cette mesure est unique à un facteur constant positif près),

B B désignera un voisinage ouvert, symétrique et relativement compact de e. B C désignera dans ce chapitre et dans les autres, une constante dont la valeur peut changer d’une expression à l’autre.

1.2 ESPACE (L

q

, L

p

) (G)

1.2.1 Notations et d´

efinitions

1) Pour tous sous ensembles A et B de G et tout élément x de G. • χA désigne la fonction caractéristique de A,

• AB = {xy / x ∈ A et y ∈ B} , • A−1₌_{x−1 _{/ x}_{∈ A} ,}

• xA = {xy / y ∈ A} , • Ax = {yx / y ∈ A} ,

• A est sym´etrique si A−1 _{= A.}

2) L0(G) d´esigne l’espace vectoriel complexe des classes d’´equivalences

mo-dulo l’égalité λ-presque partout des fonctions complexes λ-mesurables sur G, K(G) l’espace vectoriel des fonctions complexes continues sur G à support compact.

I La convolée f ∗ g de deux éléments f et g de L0(G) est définie par :

(f_{∗ g) (x) =} Z

G

f (y)g(y−1x)dλ(y),

en tout point x o`u cela a un sens.

I Pour tout ´el´ement f de L0(G) :

• la fonction de distribution de f not´ee λf est d´efinie de [0 ; +∞[

dans [0 ; +∞] par

(10)

• la fonction de réarrangement décroissante f∗ _{définie de [0 ; +}_∞[

dans [0 ; +∞] par

f∗(s) = inf_{{ t > 0 / λ}f(t)≤ s} ,

• pour tout ´el´ement a de G,

? la translatée à droite de vecteur a de f est l’élément fa de

L0(G), d´efini par

fa(x) = f (xa),

et

? la translatée à gauche de vecteur a de f est l’élément af de

L0(G), d´efini par

af (x) = f (a−1x).

• ˇf est l’élément de L0(G) défini par

ˇ

f (x) = f (x−1).

I Soit un élément t de G. La mesure λt _{définie par}

Z G f (x)dλt(x) = Z G f (xt−1)dλ(x), ∀f ∈ K(G)

est une mesure de Haar invariante `a gauche. Donc il existe un r´eel ∆G(t) tel que

λt _{= ∆}

G(t) λ. L’application t→ ∆G(t) de G dansR est appel´ee fonction module de

G.

B Pour tout p élément de [1 ; +∞], Lp_{(G) désigne l’espace de Lebesgue}

habituel sur G relativement à la mesure λ, muni de sa norme usuelle notée _kk_p. 3) Soit (q, p) un couple d’éléments de [1 ; +∞] .

I Pour tout ´el´ement f de L0(G), nous posons : Bkfkq,p =      hR G _fχ yB q p dλ(y)i 1 p si p < +∞ sup ess y∈G fχyB q si p = +∞ , et kfk∗q,p=              p q R+∞ 0 t1qf∗(t) p_dt t 1 p si 1_{≤ q, p < +∞} sup t>0 t1qf∗(t) si 1≤ q < p = +∞ sup t>0 f∗_(t) _{si q = p = +}_∞ .

(11)

1.2. ESPACE LQ_{, L}P_(G) ₆ I Lq,p_{(G) =}n_f _{∈ L} 0(G) / kfk∗q,p< +∞ o (Espaces de Lorentz). I (Lq_{, L}p_{) (G) =}n _f _{∈ L} 0(G) /Bkfk_q,p< +∞ o .

1.2.2 Quelques sous-ensembles de (L

q

, L

p

) (G)

Nous rappelons ici sans démonstration deux résultats classiques qui nous seront d’une grande utilité pour la suite.

Thorme 1.2.1 (inégalité de Young) [5] Soient p, q et r des éléments de l’en-semble [1 ; +_{∞] tels que}

1 p+ 1 q = 1 r + 1.

Si f appartient à Lp_{(G) et g un élément de L}q_{(G) qui vérifie} _kgk

q =kˇgkq, alors f∗ g

appartient `a Lr_{(G), et nous avons}

kf ∗ gkr ≤ kfkpkgkq.

Thorme 1.2.2 [8] Soient p, q et r des r´eels tels que 1 p+ 1 q = 1 r + 1, p > 1, q > 1, et r < +∞.

Il existe une constante C = C(p, q) telle que pour tout ´el´ement f de Lq,+∞_{(G) et pour}

tout ´el´ement g de Lp_{(G), nous ayons}

kf ∗ gkr ≤ C kfk ∗

q,+∞kgkp.

A l’aide de ces deux r´esultats, nous allons montrer que les espaces (Lq_{, L}p_{) (G),}

contiennent les espaces de Lebesgue et de Lebesgue faibles.

Proposition 1.2.3 Soient p, q et r des éléments de [1 ; +∞] tels que 1 ≤ q ≤ r ≤ p ≤ +∞. Il existe une constante réelle C = C(B), telle que :

Bkfkq,p≤ C kfkr, (1.1)

pour tout ´el´ement f de L0(G).

En particulier si q = p alors Bkfkp,p = λ (B) 1 pkfk p, et nous avons Lp_{(G) = (L}p_{, L}p_{) (G).}

(12)

Preuve : Soit un ´el´ement f de L0(G).

Si f n’appartient pas à Lr_{(G), alors l’inégalité (1.1) est trivialement vérifiée.}

Nous supposons donc que f est un ´el´ement de Lr_(G).

1er_{cas : Supposons que 1}_{≤ q ≤ r ≤ p < +∞. Nous avons} Bkfkq,p = hR G R G|f(x)| q χyB(x)dλ(x) p q_dλ(y)i 1 p =hR_G R_G_|f(x)|qχB(x−1y)dλ(x) p q_dλ(y)i 1 p =hR_G(_|f|q _{∗ χ}B) p q_(y)dλ(y) i1 p =_k|f|q_{∗ χ}Bk 1 q p q.

Puisque (_|f|q)rq ₌ _|f|r_, _|f|q _{est un ´el´ement de L}rq(G). Or, χ

B est un élément de Lqr−qp+prpr _{(G), et} 1 r q + pr1 qr−pq+pr = 1p q + 1, avec pr qr_{− pq + pr} ≥ 1 et p q ≥ 1. Donc, Bkfkqq,p=k|f| q ∗ χBkp q ≤ k|f| q kr qkχBk pr qr−qp+pr =kfk q rλ (B) qr−pq+pr pr _{< +}∞, d’après le théorème 1.2.1.

Dans le cas particulier o`u q = r = p, nous avons :

Bkfkp,p = R G R G|f(x)| p χyB(x)dλ(x) dλ(y)1p =R_G R_GχB(x−1y)dλ(y) |f(x)|pdλ(x)1p _{= λ (B)}1p kfk p. C’est-`a-dire que Bkfkp,p = λ (B) 1 pkfk p.

2`eme_{cas : Supposons que p = +}_{∞ et q < +∞.}

D’après ce qui précède,_|f|qest un élément de Lrq(G) et χ

B un élément de L( r q) 0 (G), r q 0 étant le conjugué de r q. Donc, Bkfkq,+∞ = (|f|q ∗ χB) 1 q +∞=k|f| q ∗ χBk 1 q +∞≤ λ (B) 1 q− 1 r _kfk r,

(13)

1.2. ESPACE LQ_{, L}P_(G) ₈ d’après le théorème 1.2.1. Si q < +∞ et r = p = +∞, on a Bkfkq,+∞ ≤ λ (B) 1 qkfk +∞.

3`eme_{cas : Supposons que q = r = p = +}_{∞. Nous avons}

|f(x)| χyB(x)≤ |f(x)| ,

pour λ_{−presque tous x et y dans G, et donc}

Bkfk₊_∞,+∞= fχyB +∞ +∞≤ kfk+∞. Si kfk+∞= 0, alors Bkfk_+∞,+∞=kfk_+∞.

Nous supposons donc que _kfk₊_∞> 0.

Soit r un r´eel tel que 0 < r <kfk+∞. Nous avons

r <_kfk₊_∞= inf_{{a > 0 / λ ({x ∈ G / |f(x)| > a}) = 0} .} Ce qui implique que λ (_{{x ∈ G / |f(x)| > r}) > 0.}

Posons :

Er ={x ∈ G / |f(x)| > r} .

Puisque λ (Er) > 0, il existe un compact K contenu dans Er tel que λ (K) > 0.

Soit B0_{un voisinage ouvert, sym´etrique et relativement compact de e, tel que B}02_{= B}0_B0

soit contenu dans B.

∃ {y1; y2; . . . ; yn} ⊂ K tel que K = n

∪

i=1(K ∩ yiB 0_{) ;}

mais puisque λ (K) > 0, il existe un ´el´ement ` de_{{1; 2; . . . ; n} tel que λ (K ∩ y}`B0) > 0.

Soit y un ´el´ement quelconque de y`B0. Nous avons y`B0 ⊂ y`B02⊂ yB.

Ainsi, K_{∩ y}`B0⊂ K ∩ yB ⊂ K ⊂ Er. Par cons´equent, |f(x)| χyB(x) > r, ∀ (x, y) ∈ (K ∩ y`B 0₎2 . Cette derni`ere relation nous permet de dire que

K_{∩ y}`B0⊂ x_{∈ G / |f(x)| χ}yB(x)≥ r ,_{∀y ∈ K ∩ y}`B0. On en d´eduit que K∩ y`B0 ⊂ n y∈ G / fχyB +∞≥ r o , puisque λ (K∩ y`B0) > 0.

(14)

D’o`u r ≤ fχyB +∞ +∞= Bkfk+∞,+∞ ; et par suite Bkfk+∞,+∞=kfk+∞.

De cette proposition, nous d´eduisons que Lr_(G)

⊂ (Lq_{, L}p_{) (G) , si 1}

≤ q ≤ r ≤ p≤ +∞, avec Lp_{(G) = (L}p_{, L}p_{) (G) .}

Proposition 1.2.4 Soient q, r et p des ´el´ements de [1 ; +_{∞] .}

Si 1 ≤ q < r < p < +∞ alors il existe une constante r´eelle C = C (B, q, p, r) telle que :

Bkfk_q,p ≤ C kfk∗_r,+∞, ∀f ∈ L0(G).

Preuve : Soit f un ´el´ement de L0(G).

Si f n’est pas élément de Lr,+∞(G), alors l’inégalité est triviale. Nous supposons donc que f est un élément de Lr,+∞_(G).

f _{∈ L}r,+∞(G) =_{⇒ |f|}q _{∈ L}rq,+∞(G). Par ailleurs, pr qr_{− qp + pr} > 1 et qr_{− pq + pr} pr + q r = q p+ 1. Comme χB est un ´el´ement de L

pr

qr−qp+pr(G), il existe, d’après le théorème 1.2.2, une

constante r´eelle C telle que :

Bkfkqq,p =k|f| q ∗ χBkp q ≤ Cλ (B) qr−qp+pr pr kfk∗r,+∞ q . D’où l’inégalité.

Il découle de cette autre propriété que Lr,+∞(G) est un sous-ensemble de (Lq_{, L}p_{) (G),}

si 1_{≤ q < r < p < +∞.}

1.2.3 L’espace de Banach (L

q

_{, L}

p

_{) (G)}

Nous allons d´emontrer dans la proposition qui suit, que les applications f _7−→Bkfkq,p,

sont des normes équivalentes pour différents choix de B. Cette proposition justifie le fait que dans la notation (Lq_{, L}p_{) (G) nous ne faisons pas référence au voisinage B.}

(15)

1.2. ESPACE LQ_{, L}P_(G) ₁₀

Proposition 1.2.5 Soient B1 et B2 deux voisinages ouverts relativement compacts

et symétriques de e, p et q deux éléments de [1 ; +∞]. Il existe une constante C = C(B1, B2) telle que :

B2kfkq,p ≤ C B1kfkq,p, ∀f ∈ L0(G).

Preuve : Soit un ´el´ement f de L0(G).

1er _{cas : Supposons que q < +}

∞.

Il existe un sous-ensemble fini{y1; y2; . . . ; yn} de B2 tel que :

B2⊂ n

∪

i=1B1yi.

Ainsi, pour λ_{−presque tout élément y de G, nous avons :} Z G|f(x)| q χ_B2(x−1y)dλ(x) 1 q ≤ n X i=1 Z G|f(x)| q χ_B1(x−1yy_i−1)dλ(x) 1 q . Ce qui peut encore s’écrire

|f|q∗ χB2 1 q_(y) ≤ n X i=1 |f|q ∗ χB1 1 q_(yy−1 i ). (1.2) Donc si p < +_{∞, alors} hR G |f| q ∗ χB2 p q_(y)dλ(y)i 1 p ≤ Pn i=1 hR G |f| q ∗ χB1 p q _(yy−1 i )dλ(y) i1 p ≤ Pn i=1 (∆G(yi)) 1 p hR G |f| q ∗ χB1 p q_(y)dλ(y)i 1 p ≤ _n P i=1 ∆ 1 p G(yi) B1kfkq,p. Par suite, B2kfkq,p≤ C B1kfkq,p, avec C = n X i=1 4 1 p G(yi). Si p = +∞ alors, |f|q∗ χB2 1 q +∞≤ n |f|q∗ χB1 1 q +∞ ; c’est-`a-dire B2kfk_q,+∞ ≤ C B1kfk_q,+∞, avec C = n.

(16)

2`eme _{cas : Supposons que q = +}_∞.

Il existe un sous-ensemble fini_{y1; y2; . . . ; yn} dans B2, tel que

B2⊂ n

∪

i=1yiB1.

Ainsi, pour λ−presque tous x et y dans G, |f| χ_yB2(x)≤ n X i=1 |f| χ_yyiB1(x). Donc, pour λ_{−presque tout y dans G,}

fχ_yB2 +∞≤ n X i=1 fχyyiB1 ₊ ∞.

Par cons´equent, si p < +_{∞ alors} R G fχ_yB2 p +∞dλ(y) 1 p ≤ Pn i=1 _R G fχyyiB1 p +∞dλ(y) 1 p ≤ n P i=1 ∆G yi−1 1 p R G fχ_yB1 p +∞dλ(y) 1 p ; c’est-`a-dire B2kfk+∞,p≤ C B1kfk+∞,p, avec C = n X i=1 4 1 p G(y−1i ).

Si p = +_{∞, alors} B2kfk+∞,+∞ = kfk+∞ = B1kfk+∞,+∞ d’apr`es la proposition

1.2.3.

Proposition 1.2.6 (Inégalité de Hölder) Soient (p1, q1) et (p2, q2) deux éléments

de [1 ; +∞]2 tels que

p−11 + p−12 = p−1 ≤ 1 et q1−1+ q2−1 = q−1 ≤ 1.

Si f est un élément de (Lq1_{, L}p1_{) (G) et g un élément de (L}q2_{, L}p2_{) (G), alors f g est}

un ´el´ement de (Lq_{, L}p_{) (G) et nous avons}

(17)

1.2. ESPACE LQ_{, L}P_(G) ₁₂

Preuve : Soient f un élément de (Lq1_{, L}p1_{) (G) et g un élément de (L}q2_{, L}p2_{) (G).}

Il existe un sous-ensemble λ− mesurable N de G tel que :        λ (N ) = 0 |f| χyB, fχyB _q 1 ∈ Lq1_(G)_{× L}p1_(G), _{∀y ∈ G\N} |g| χyB, gχyB q2 ∈ Lq2_(G)_{× L}p2_(G),_{∀y ∈ G\N} .

Ainsi, d’après l’inégalité de Hölder dans les espaces de Lebesgue, nous avons

Bkfgk_q,p = fgχyB _q p= fχyB gχyB _q _p ≤ fχyB q1 p1 gχyB q2 p2 ≤ Bkfkq1,p1Bkgkq2,p2 < +∞.

D’où, f g est un élément de (Lq_{, L}p_{) (G).}

Dans les deux propositions qui suivent, nous supposons que le groupe G est σ-compact ; c’est-à-dire peut s’écrire comme une réunion dénombrable de σ-compacts.

Proposition 1.2.7 Pour tous r´eels p et q tels que 1 _{≤ p, q ≤ +∞, l’application} f 7−→Bkfkq,p est une norme sur (Lq, Lp) (G).

Preuve : Soit f un élément de (Lq_{, L}p_{) (G) vérifiant}

Bkfk_q,p = 0. Puisque 0 = Bkfk_q,p = fχyB q _p, il existe un sous-ensemble λ- mesurable N de G, v´erifiant :

( λ(N ) = 0 fχ_yB q = 0, ∀y ∈ G\N , où G\N désigne le complémentaire de N dans G.

Remarquons que

G = _∪

y∈G\NyB. (1.3)

En effet, si x est un élément de G, alors xB * N. Par conséquent, xB ∩ (G\N) 6= ∅. Soit y un élément de cette intersection, x_{∈ yB.}

(18)

Pour chaque y choisi dans G_{\N, il existe un sous-ensemble λ-mesurable M}y de G

v´erifiant ₍

λ(My) = 0

f (x)χyB(x) = 0, ∀x ∈ G\My

; (1.4)

c’est-à-dire que pour tout y élément de G\N, fχyB = O, où O désigne la classe des

fonctions nulles λ- presque partout sur G.

Consid´erons un sous-ensemble compact quelconque K de G.

Il existe d’apr`es (1.3) , un sous-ensemble fini _{y1; y2; . . . ; yn} de G\N tel que

K _⊂ _∪n

i=1yiB.

Posons M = _∪n

i=1Myi.

Remarquons que λ(M ) = 0, et que

∀x ∈ (K\M) , ∃i ∈ {1; 2; . . . ; n} tel que x ∈ (yiB)∩ (G\Myi).

Ceci permet d’apr`es (1.4) , de dire que

f (x) = 0, ∀x ∈ (K\M) . Ainsi, f χK = O.

Puisque G est σ-compact, f = O.

L’homogénéité positive et l’inégalité triangulaire découlent immédiatement de la définition de Bkkq,p.

Proposition 1.2.8 Soient p et q deux ´el´ements de [1 ; + ∞]. Alors, (Lq_{, L}p_{) (G),}

Bkfk_q,p

est un espace de Banach complexe.

Preuve : Soit (fn)n∈N∗ une suite d’´el´ements de (Lq, Lp) (G) telle que

X n≥1 Bkfnkq,p < +∞. Puisque X n≥1 Bkfnk_q,p= X n≥1 fnχyB q _p < +∞, il existe un sous-ensemble λ-mesurable N de G tel que :

   λ(N ) = 0 P n≥1 fnχyB _q < +_{∞, ∀y ∈ G\N} .

(19)

1.2. ESPACE LQ_{, L}P_(G) ₁₄

Ainsi, pour tout ´el´ement y de G_\N, P

n≥1

fnχyB converge dans L

q_{(G) vers un ´el´ement}

ϕy qui est nul en dehors de yB.

Soit un élément y de G_{\N, désignons par M}y un sous-ensemble λ-mesurable de G tel

que : _   λ(My) = 0 P n≥1 fn(x)χyB(x) = ϕy(x), ∀x ∈ G\My .

Remarquons que si y1 et y2 sont deux ´el´ements de G\N tels que (y1B)∩ (y2B)6= ∅,

alors X n≥1 fn(x)χ_y1B(x) = X n≥1 fn(x)χ_y2B(x),

pour λ−presque tout x dans (y1B)∩ (y2B) .

Posons f (x) = P

n≥1

fn(x).

Consid´erons un sous ensemble compact K de G.

Il existe d’apr`es (1.3) un sous-ensemble fini {y1; y2; . . . ; yn} de G\N tel que :

K _⊂ _∪n i=1yiB. Posons MK = n ∪ i=1Myi. Nous avons : ( λ(MK) = 0

∀x ∈ K\MK,∃i ∈ {1; 2; . . . ; n} tel que x ∈ (yiB)∩ (G\Myi)

. Ainsi, pour tout x élément de K_\MK, f (x) est bien définie.

Donc f est d´efinie λ−presque partout, puisque G est σ−compact. Nous avons par ailleurs,

Bkfk_q,p≤ X n≥1 Bkfnk_q,p < +∞ et f χyB − n X k=1 fkχyB q ≤X k>n fkχyB _q,

pour λ_{−presque tout y dans G et pour tout entier naturel non nul n.} Donc B f − n X k=1 fk q,p ≤X k>n Bkfkkq,p.

(20)

D’o`u

P

n≥1

fn converge dans (Lq, Lp) (G) vers f.

1.3 UNE NORME EQUIVALENTE A LA NORME

B

kkq,p

DANS (L

q

, L

p

) (G)

: LA NORME

kk

π_q,p

.

1.3.1 Partition uniforme de G et d´

efinition de la norme

_kk

π_q,p

.

Rappelons quelques résultats et définitions donnés par Robert C. Busby et Harvey A. Smith dans [2].

Dfinition 1.3.1 Soient U et V deux voisinages ouverts et relativement compacts de e tels que U ⊂ V.

On appelle U _{− V partition uniforme de G, toute partition π de G en boreliens telle} que :

∀E ∈ π, ∃xE ∈ E tel que xEU ⊂ E ⊂ xEV.

Proposition 1.3.2 Si U est un voisinage ouvert, relativement compact et sym´etrique de e, alors il existe une U _{− U}2 _{partition uniforme de G.}

Proposition 1.3.3 Soient π une U − V partition uniforme de G, K et L deux boreliens relativement compacts de G. Il existe une constante r´eelle nπ(K, L) ≥ 1,

telle que pour tout ´el´ement a de G, l’ensemble {E ∈ π / aL ∩ xEK 6= ∅} ait au plus

nπ(K, L) ´el´ements. Nous pouvons prendre

nπ(K, L) =

λ (LK−1_{U )}

λ (U ) . (1.5)

Proposition 1.3.4 Soient π une U _{− V partition uniforme de G, et K un borélien} relativement compact de G. Toute translatée à gauche de K rencontre au plus nπ(V, K)

(21)

1.3. UNE NORME EQUIVALENTE A LA NORMEBkkQ,P DANS L

Q_{, L}P_(G)_{: LA NORME kk}π

Q,P. 16

Dfinition 1.3.5 Soient π une partition uniforme de G et (q, p) un ´el´ement de [1 ; +_∞]2. Posons, I kfkπ q,p =        P E∈π kfχEkq p1p si 1≤ p < +∞ sup E∈πkfχEkq si p = +_∞

, pour tout ´el´ement f de L0(G). I Lπ (q,p)(G) = n f _{∈ L}0(G) / kfkπq,p < +∞ o .

Proposition 1.3.6 Soient π et π0 deux partitions uniformes de G, p et q deux ´el´ements de [1 ; +_∞].

Il existe une constante réelle positive M = M (π, π0) telle que pour tout élément f de L0(G), nous ayons :

kfkπq,p0 ≤ M kfk π q,p.

Proposition 1.3.7 Soient π une partition uniforme de G et (q, p) un ´el´ement de [1 ; +_∞]2. Alors, Lπ

(q,p)(G) ,kk π q,p

est un espace de Banach complexe.

1.3.2 Equivalence entre les normes

B

kk

_q,p

et

kk

π_q,p

.

Pour ´etablir l’´equivalence entre les normes Bkk_q,p et kkπ_q,p, nous avons besoin du

r´esultat de continuit´e suivant :

Proposition 1.3.8 Soient (p, q) un élément de [1 ; +∞]2 et B un voisinage ouvert relativement compact et symétrique de e. Pour tout élément f de (Lq_{, L}p_{) (G),}

a) (|f|q∗ χB) (x) est fini pour tout x ´el´ement de G.

b) _|f|q _{∗ χ}B est continue sur G.

Preuve : Soient f un élément de (Lq_{, L}p_{) (G) et x un élément de G.}

a) Nous avons fχyB

_q

p < +∞.

Par cons´equent, il existe un sous-ensemble λ-mesurable N de G tel que : ( λ(N ) = 0 fχyB _q < +_{∞, ∀y ∈ G\N} .

(22)

Par ailleurs, il existe un sous-ensemble fini _{y1 ; y2 ; . . . ; yn} de G\N tel que :

xB ⊂_i=1∪n yiB,

car xB est un sous-ensemble relativement compact de G. Par suite, (_|f|q_{∗ χ}B) (x) = R G|f(t)| q χB(t−1x)dλ(t) = R G|f(t)| q χxB(t)dλ(t) ≤ n P i=1 R G|f(t)| q χ_yiB(t)dλ(t). Donc, (|f|q∗ χB) (x)≤ n X i=1 fχyiB q_q < +∞.

b) Considérons une suite (xn)_n≥0d’éléments de G qui converge vers x.

Soit V0 un voisinage compact de e. Il existe un entier naturel N0 tel que

∀n ∈ N, n > N0=⇒ xnx−1 ∈ V0 . Posons K = _N 0 ∪ n=0(xnx −1_V 0) ∪ V0.

K est un voisinage compact de e, et nous avons xnx−1 ∈ K, ∀n ∈ N. Ainsi, |(|f|q∗ χB) (xn)− (|f| q ∗ χB) (x)| = R_G_|f(xnt)|qχB(t)dλ(t)− R G|f(xt)| q χB(t)dλ(t) ≤RG||f(xnt)| q − |f(xt)|q| χB(t)dλ(t) ≤RG fχ_KxB(xnt) q − fχKxB (xt)q dλ(t) ≤RG fχ_KxB(xnx−1t) q − fχKxB (t)q dλ(t), puisque ₍ t_{∈ B} xnx−1 ∈ K =_⇒ ( xnt∈ KxB xt_{∈ xB ⊂ KxB} . Par suite, |(|f|q∗ χB) (xn)− (|f| q ∗ χB) (x)| ≤ _xx−1 n |f| q χ_KxB− |f|qχ_KxB ₁.

(23)

Q,P. 18

KxB ´etant compact, l’application z _7−→ z |f|qχ_KxB

de G dans L1_{(G) est}

uni-formément continue à gauche dans G. Par conséquent, 0≤ lim_n →+∞|(|f| q ∗ χB) (xn)− (|f| q ∗ χB) (x)| ≤ lim n→+∞ _xx−1 n |f| q χ_KxB− |f|qχ_KxB ₁= 0.

Proposition 1.3.9 Soient p et q deux éléments de [1 ; +∞]. Il existe deux constantes réelles C1 et C2 telles que pour tout élément f de L0(G),

C1 Bkfk_q,p≤ kfkπ_q,p≤ C2 Bkfk_q,p.

Preuve : Soient B1 et B2 deux voisinages ouverts sym´etriques et relativement

compacts de e, tels que

B12⊂ B2 et B22⊂ B.

Désignons par π une B1− B12 partition uniforme de G. Pour tout élément E de

π, nous avons x0

EB1 ⊂ E ⊂ x0EB12 pour un certain x0E dans E, et E ⊂ xB pour tout

x dans E.

Posons pour tout ´el´ement E de π,

T (E) =_{E0_{∈ π / E ∩ E}0B_{6= ∅} ,} et pour tout ´el´ement y de G,

Ty ={E ∈ π / E ∩ yB 6= ∅} .

D’apr`es la proposition 1.3.4,

card T (E)_{≤ n}π(B12, B12B), ∀E ∈ π,

et

card Ty ≤ nπ(B12, B), ∀y ∈ G.

Soit un ´el´ement f de L0(G).

1er _{cas : Supposons que p < +}_{∞ et q < +∞.}

Si f n’est pas un ´el´ement de (Lq_{, L}p_{) (G), alors} _kfkπ

q,p≤Bkfkq,p.

Supposons donc que f est un ´el´ement de (Lq_{, L}p_{) (G).}

Pour tout élément E de π, il existe un élément zE de E qui vérifie :

(|f|q∗ χB) p q_(z E) ≤ λ (E)−1 Z E [(|f|q∗ χB) (x)] p q _dλ(x),

(24)

d’apr`es la proposition 1.3.8. Ainsi, kfχEkq p = R_E_|f(x)|qdλ(x) p q ≤RzEB|f(x)| q dλ(x) p q ≤ [(|f|q∗ χB) (zE)] p q ≤ λ (E)−1RE[(|f| q ∗ χB) (x)] p q_dλ(x) ≤ λ (B1)−1R_E[(|f|q ∗ χB) (x)] p q_dλ(x).

Prenant la somme sur π, nous obtenons : P E∈π kfχEkq p ≤ λ (B1)−1 P E∈π R E[(|f| q ∗ χB) (x)] p q _dλ(x) = λ (B1)−1 (|f|q ∗ χB) 1 q p_p. Donc kfkπq,p≤ λ(B1)− 1 p _Bkfk q,p. Par ailleurs, Bkfkpq,p = R G[(|f| q ∗ χB) (x)] p q _dλ(x) = P E∈π R E[(|f| q ∗ χB) (x)] p q_dλ(x) = P E∈π R E P E1∈Tx R G fχ_E1(y)qχxB(y)dλ(y) p q dλ(x) ≤ nπ(B12, B) p q P E∈π P E1∈π R E R G fχ_E1(y)qχxB(y)dλ(y) p q _dλ(x) ≤ nπ(B12, B) p q P E1∈π P E∈T (E1) R E _fχ E1 q p dλ(x) ≤ nπ(B12, B) p q P E1∈π P E∈T (E1) λ (E) fχ_E1 _qp ≤ nπ(B12, B) p q P E1∈π P E∈T (E1) λ (B2) fχ_E1 q p . Donc, Bkfk_q,p≤ λ (B2) 1 p _n π(B12, B) 1 q_n π B12, B12B 1 p kfkπq,p. D’o`u : C1 Bkfk_q,p≤ kfkπ_q,p≤ C2 Bkfk_q,p, avec C1 = λ (B2)− 1 pn π(B12, B)− 1 qn π(B12, B12B) −1 p _{et C} 2 = λ (B1)− 1 p.

(25)

Q,P. 20

2`eme_{cas : Supposons que p = +}

∞ et q < +∞.

Soient y un élément de G et E0 _{un élément de π contenant y.}

[(_|f|q_{∗ χ}B) (y)] 1 q ₌R G|f(x)| q χB(x−1y)dλ(x) 1 q = " P E∈T (E0) R G|(fχE) (x)| q χyB(x)dλ(x) #1 q ≤ " P E∈T (E0₎ R G|(fχE) (x)| q dλ(x) #1 q ≤ P E∈T (E0₎kfχEkq ≤ nπ (B2 1, B21B)kfk π q,+∞. Ainsi, Bkfkq,+∞= (|f|q∗ χB) 1 q ₊ ∞ ≤ nπ(B 2 1, B12B)kfk π q,+∞.

Par ailleurs, pour tout ´el´ement E de π, kfχEkq ≤ "Z x0 EB |f(x)|qdλ(x) #1 q =(|f|q∗ χB) (x 0 E) 1 q ≤ (|f|q∗ χB) 1 q +∞. De sorte que kfkπq,+∞ ≤ Bkfkq,+∞. Donc C1 Bkfk_q,+∞ ≤ kfkπ_q,+∞≤ C2 Bkfk_q,+∞, avec C1 = nπ(B12, B21B)−1 et C2= 1

3`eme_{cas : Supposons que q = +}_{∞ et p < +∞.}

fχ_yB +∞≤ X E∈Ty kfχEk+∞χx0 EB21 B(y). Donc Bkfk_+∞,p≤ nπ B12, B p−1 p _{λ B}2 1B 1 p_kfkπ +∞,p.

(26)

Par ailleurs, pour tout ´el´ement E de π et pour tout y de E, nous avons kfχEk_+∞≤ fχyB ₊ ∞, car E ⊂ yB.

Ce qui permet d’´ecrire kfχEk+∞ p ≤ λ (E)−1 Z E _fχ yB +∞ p dλ(y)≤ λ (B1)−1 Z E _fχ yB +∞ p dλ(y). Donc, kfkπ+∞,p = " X E∈π kfχEk_+∞ p #1 p ≤ λ (B1)− 1 p Bkfk+∞,p. D’o`u : C1 Bkfk_+∞,q ≤ kfkπ_+∞,q≤ C2 Bkfk_+∞,q, avec C1 = nπ(B12, B) 1−p p _{λ (B}2 1B) −1 p _{et C} 2 = λ (B1)− 1 p . Lorsque p = q, on a kfkπp,p =kfkp, etBkfkp,p = λ (B) 1 p kfk p.

Pour terminer ce chapitre, nous reformulons à l’aide de l’équivalence ci-dessus, certains résultats établis par Busby et Smith dans [2].

Proposition 1.3.10 Si t, s, p et q sont des ´el´ements de [1 , +_{∞] tels que q ≤ s ≤} t≤ p, alors

Ls, Lt(G)_{⊂ (L}q, Lp) (G). En particulier, si p_{≤ q alors}

(Lq, Lp) (G)_{⊂ L}p(G)_{∩ L}q(G).

Proposition 1.3.11 Si p < +∞ et q < +∞, alors K(G) est dense dans (Lq_{, L}p_{) (G).}

Proposition 1.3.12 Si p < +_{∞ et q < +∞, alors les assertions suivantes sont} ´equivalentes :

(i) f appartient `a (Lq_{, L}p_{) (G) ;}

(ii) pour une fonction g positive non identiquement nulle de _{K(G), (|f|}q_{∗ g) (x)} est finie pour tout x dans G, et (_|f|q_{∗ g)}1q_{est dans L}p_(G).

(27)

1.4. CONCLUSION 22

1.4 CONCLUSION

Les espaces des amalgames (Lq_{, L}p_{) (G), comme nous le constatons, contiennent}

les espaces Lp _{faibles. Nous avons muni cet espace de deux normes ´equivalentes, et}

l’on pourrait se demander le bien fondé de cette nouvelle définition des espaces des amalgames. Cela apparaˆıt de fa¸con claire dans le deuxième et le troisième chapitres, où nous étudions respectivement des sous-espaces particuliers de ces espaces (Espaces des fonctions à moyenne fractionnaire intégrable), et deux opérateurs dont l’importance en analyse harmonique n’est plus à démontrer (l’opérateur maximal fractionnaire de Hardy-Littlewood et l’intégrale fractionnaire).

(28)

Chapitre 2

ETUDE DES ESPACES

(L

q

, L

p

)

α

(G)

2.1 INTRODUCTION

Soient un nombre entier n _{≥ 1, R}n _{muni de sa mesure de Lebesgue et α, p et q}

des ´el´ements de [1 ; +∞] tels que 1 ≤ q ≤ α ≤ p ≤ +∞.

Pour tout nombre réel r > 0, et tout élément f de L0(G), nous posons :

B Ir k = n Π i=1[kir ; (ki+ 1) r[ , ∀k = (k1, k2, . . . , kn)∈ Z n_, B Jr x= n Π i=1 i xi− r 2 ; xi+ r 2 h , ∀x = (x1, x2, . . . , xn)∈ Rn, B rkfkq,p=        P k∈Zn fχIr k q p1_p si p < +∞ sup x∈Rn fχJrx _q si p = +_∞ .

Remarquons que pour tout nombre r´eel r > 0, πr ={Ikr / k ∈ Zn} est une J

r 2

0 −J02r

partition uniforme de Rn_{. Donc, en prenant G =} _Rn _{dans la d´efinition 1.3.5, nous}

constatons que l’espace des amalgames Lπ (q,p)(R

n_{) introduit par Busby et Smith dans}

[2], est identique `a l’espace des amalgames (Lq_{, `}p_{) (}_Rn_{) =}n_f _{∈ L}

0(Rn) / 1kfkq,p< +∞

o d´efini par F. Holland dans [10].

En outre, grˆace aux propositions 1.2.5, 1.3.6 et 1.3.9, nous voyons que sur (Lq_{, `}p_{) (}_Rn_{) ,}

il y a ´equivalence entre les normes : (i) 1k kq,p

(29)

2.2. ESPACE DE TYPE HOMOGENE 24 (iii) f _7−→ rk|f|kq,p=        R Rn fχy+Jr₀ p_qdy 1 p si p < +∞ sup ess y∈Rn fχy+Jr 0 q si p = +∞ . Dans [6], Fofana d´efinit l’espace (Lq_{, `}p₎α

(Rn_{) par} (Lq, `p)α(Rn) =nf _{∈ L}0(Rn) / kfkq,p,α < +∞ o , avec kfkq,p,α = sup r>0 rn(α1− 1 q) rkfk_q,p, ∀f ∈ L0(Rn) .

Notre but ici est de d´efinir l’espace (Lq_{, L}p₎α

(G), o`u G est un groupe topologique localement compact non ab´elien.

Pour y parvenir, nous avons besoin sur G d’une distance associée à la topologie de G et pour laquelle il y a une relation entre le diamètre d’une boule et sa mesure de Haar. Cette condition est remplie par les groupes de type homogène. C’est ainsi que dans le reste de notre travail, G désignera un tel groupe.

Dans le deuxième paragraphe, nous rappelons quelques définitions et propriétés liées aux espaces et groupes de type homogène. Dans le troisième paragraphe, nous définissons l’espace (Lq_{, L}p₎α

(G) et en donnons quelques propriétés. Dans le para-graphe 4, nous étudions les relations de cet espace avec certains espaces classiques. Enfin dans le paragraphe 5, nous donnons quelques propriétés de la translation à gauche dans (Lq_{, L}p₎α

(G).

2.2 ESPACE DE TYPE HOMOGENE

2.2.1 G´

en´

eralit´

es

Consid´erons un ensemble X.

Dfinition 2.2.1 a) Une quasi-distance sur X, est une application d de X × X dans R+, vérifiant les propriétés suivantes :

(i) d(x, y) = 0⇐⇒ x = y,

(ii) d(x, y) = d(y, x),_{∀ (x, y) ∈ X × X,}

(iii) ∃κ ∈ [1 ; +∞[ tel que d(x, y) ≤ κ (d(x, z) + d(z, y)), ∀ (x, y, z) ∈ X3_.

(30)

I (X, d) est appelé un espace quasi-métrique. I Pour tout élément (x, r) de X × R∗

+, B(x,r)={y ∈ X / d (x, y) < r} est la

boule de centre x et de rayon r dans (X, d) .

I La topologie d´efinie sur X par la famille d’ouverts O (X, d) =O_{⊂ X / ∀x ∈ O ∃r}x∈ R∗+ : B(x,rx)⊂ O

, est la topologie associ´ee `a d sur X.

Remarque 2.2.2 Dans la suite, on admettra que tout espace quasi-métrique (X, d) : a) est muni de la topologie associée à d sur X,

b) v´erifie les conditions suivantes :

(i) toute boule B(x,r) est un ouvert de (X, d) ,

(ii) pour tout ´el´ement (x, r, R) de X× R∗

+× R∗+,

r < R =_{⇒ B}(x,R)\ B(x,r)6= ∅.

Dfinition 2.2.3 Soit (X, d) un espace quasi-m´etrique.

a) Une mesure de Borel µ sur (X, d) positive et non triviale est dite doublante, s’il existe une constante r´eelle C telle que

µ B(x,2r) ≤ Cµ B(x,r) , ∀ (x, r) ∈ X × R∗ +. (2.1)

b) Si µ est une mesure doublante sur (X, d) alors (X, d, µ) est appel´e un espace de type homog`ene.

Notation 2.2.4 Soit (X, d, µ) un espace de type homog`ene.

B Pour une boule quelconque B de X, r(B) d´esigne son rayon et xB son centre.

B Cµ = inf C_{∈ R}∗ + / µ B(x,2r) ≤ Cµ B(x,r) , _{∀ (x, r) ∈ X × R}∗ + . B Dµ= ln Cµ

ln 2 , est l’ordre de doublement de µ.

Il est aisé de déduire de la relation (2.1) que, si B et ˜B sont deux boules de l’espace de type homogène (X, d, µ), alors

˜ B_{⊂ B =⇒} µ (B) µBe ≤ Aµ r(B) r( eB) !Dµ , (2.2) avec Aµ = Cµ(2κ)Dµ.

(31)

2.2. ESPACE DE TYPE HOMOGENE 26

Exemple 2.2.5 a) Soit n un entier naturel non nul, δ la distance euclidienne sur Rn _{et m la mesure de Lebesgue sur} _Rn_{. (}_Rn_{, δ, m) est un espace de type homog`ene.}

b) Soit X un groupe localement compact pour lequel il existe une base dénombrable de voisinages ouverts {Uj , j ∈ Z} de l’élément neutre e, vérifiant les conditions

sui-vantes :

(i) Uj = Uj−1 ∀j ∈ Z,

(ii) UjUj ⊂ Uj+1 ∀j ∈ Z,

(iii) 0 < µ (Uj+1) < Cµ (Uj) ∀j ∈ Z,

où µ est une mesure de Haar invariante à gauche et C une constante indépendante de j,

(iv) _∪

j∈ZUj= X,

et la quasi-distance d d´efinie par

d (x, y) = inf_{{µ (U}j) , x−1y∈ Uj} . (X, d, µ) est un espace de type homog`ene.

Il existe des espaces de type homogène (X, d, µ) dont l’espace sous-jacent X est un groupe localement compact et tel que la mesure µ et la quasi-distance d soient liées de fa¸con plus précise. Nous allons nous étendre un peu plus sur ce cas dans le sous-paragraphe suivant.

2.2.2 Groupe de type homog`

ene [8]

G est un groupe de Lie de dimension finie connexe, simplement connexe et nil-potent, d’alg`ebre de Lie G.

Nous avons la proposition suivante :

Proposition 2.2.6 a) L’application exponentielle est un diff´eomorphisme de G dans G.

b) Si G est identifié à G grâce à l’application exponentielle, alors la loi de G (x, y)_{7−→ xy, est une application polynomiale.}

c) Si µ d´esigne la mesure de Lebesgue sur G, alors λ = µ ◦ exp−1 _{est une mesure}

de Haar bi-invariante sur G.

Supposons qu’il existe un endomorphisme A de G, diagonalisable et de valeurs propres toutes strictement positives.

(32)

Posons :

γr = exp(A log r), ∀r ∈ R∗+.

Remarquons queγr, r ∈ R∗+

, est une famille d’automorphismes de_G. exp :G −→ G ´etant un diff´eomorphisme, en posant

δr = exp◦γr◦ exp−1, ∀r ∈ R∗+,

nous obtenons une famille δr, r∈ R∗+

d’automorphismes de groupe de G appel´ee une famille de dilatations.

On montre que :

Proposition 2.2.7 Il existe une application continue

| | : G −→ R+

x _{7−→ |x|}

ayant les propri´et´es suivantes :

(i) _{| | est de classe C}∞ _{sur G}_{\ {e} ,}

(ii) |x−1_{| = |x|} _{∀x ∈ G,} (iii) _|δrx| = |rx| = r |x| ∀ (x, r) ∈ G × R∗+, (iv) |x| = 0 ⇐⇒ x = e. En outre, a) _{∀ (x, r) ∈ G × R}∗ +, B(x,r)={y ∈ G / |x−1y| ≤ r} est compact. b) ∃C ∈ R∗

+ tel que ∀ (x, y) ∈ G2, |xy| ≤ C (|x| + |y|) .

c) Si ρ est la trace de A, alors pour tout sous-ensemble mesurable E de G et tout r´eel r > 0, λ (δr(E)) = rρλ (E) .

L’application définie ci-dessus, est appelée norme homogène sur G.

Nous constatons que si d est la quasi-distance associ´ee sur G `a la norme| | , ∀ (x, y) ∈ G2 _{d (x, y) =}_x−1_y_,

alors (G, d, λ) est un espace de type homog`ene.

Un groupe localement compact connexe et simplement connexe G, muni d’une mesure de Haar bi-invariante λ, d’une application continue de G dans R+ not´ee| |

(33)

2.3. DEFINITION ET PROPRIETES DE L’ESPACE LQ_{, L}Pα

(G) 28

constantes C0 et ρ telles que λ B(x,r)

= C0rρ pour tout ´el´ement (x, r) de G× R∗+,

est appel´e groupe de type homog`ene (G,| | , λ) .

Comme exemples de groupes de type homog`ene, nous avons : a) (Rn_{, +) avec δ} r : (x1, x2, . . . , xn)7−→ (rx1, rx2, . . . , rxn) comme dilatations, et | | : (x1, x2, . . . , xn)7−→ r_n P i=1 x2

i, comme norme homog`ene.

b) Le groupe de Heisenberg Hn =Cn× R avec

(z1, z2, . . . , zn, t) (z10, z20, . . . , zn0, t0) = z1+ z10, z2+ z20, . . . , zn+ zn0, t + t0+ 2= n X j=1 zjzj0 !

comme loi de groupe , δr : (z1, z2, . . . , zn, t)7−→ (rz1, rz2, . . . , rzn, r2t) comme

dilata-tions, et | | : (z1, z2, . . . , zn, t)7−→   n X j=1 |zj|2 !2 + t2   1 4

comme norme homog`ene.

Dans la suite, nous fixons un groupe de type homogène (G,_{| | , λ) tel que défini} ci-dessus, avec la mesure λ normalisée par la condition λ B(e,1)

= 1, et nous posons γ = inf_{{C > 0 / |xy| ≤ C (|x| + |y|) , ∀ (x, y) ∈ G × G} .}

L0(X, d, µ) désignera l’ensemble des classes d’équivalences modulo l’égalité µ-presque

partout des fonctions complexes µ-mesurables sur un espace de type homog`ene quel-conque (X, d, µ), et_kk_q,µ la norme habituelle dans l’espace de Lebesgue Lq_{(X, d, µ) ;}

mais nous garderons les notations du chapitre 1 sur le groupe de type homog`ene (G,_{| | , λ) .}

2.3 DEFINITION ET PROPRIETES DE L’ESPACE

(L

q

, L

p

)

α

(G)

Dfinition 2.3.1 Soient 1 _{≤ q ≤ α ≤ p ≤ +∞, et r > 0. D´esignons par π}r une

B e, r 4γ2 _{− B}2 e, r 4γ2 _{partition uniforme de G.} a) _kfk_q,p,α= sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p, ∀f ∈ L0(G). b) (Lq_{, L}p₎α (G) = n f ∈ L0(G) / kfkq,p,α< +∞ o .

(34)

Proposition 2.3.2 Soit (α, p, q) un ´el´ement de [1 ; +_∞]3. a) (Lq_{, L}p₎α

(G) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel complexe (Lq_{, L}p_{) (G).}

b) L’application f _{7−→ kfk}_q,p,α d´efinie une norme sur (Lq_{, L}p₎α

(G). Preuve : Soit (α, p, q) un ´el´ement de [1 ; +∞]3.

a) (Lq_{, L}p₎α

(G)_{6= ∅ car elle contient O.}

Par ailleurs, si f et g sont deux ´el´ements de (Lq_{, L}p₎α

(G) et β un nombre complexe, alors nous avons :

kβfkq,p,α= sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q kβfkπr q,p =|β| sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p =|β| kfkq,p,α (2.3) et kf + gkq,p,α = sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q kf + gkπr q,p ≤ sup r>0λ B(e,r) 1 α− 1 q _kfkπr q,p+kgk πr q,p ≤ sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p+ sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q kgkπr q,p, c’est-`a-dire, kf + gkq,p,α≤ kfkq,p,α+kgkq,p,α. (2.4) Donc, (Lq_{, L}p₎α

(G) est un sous-espace vectoriel de (Lq_{, L}p_{) (G).}

b) Soit f un ´el´ement de (Lq_{, L}p₎α

(G) tel que _kfk_q,p,α= 0. D’apr`es la d´efinition de la norme kkq,p,α, nous avons kfk

πr

q,p= 0 pour tout r´eel r > 0.

Et puisque _kkπr

q,p est une norme, f = O.

Les in´egalit´es (2.3) et (2.4) permettent alors de conclure que l’application f _{7−→ kfk}_q,p,α est une norme sur (Lq_{, L}p₎α

(G).

Proposition 2.3.3 Pour tout triplet (α, p, q) d’´el´ements de [1 ; +∞] avec q ≤ α ≤ p,

(Lq_{, L}p₎α

(G),_kk_q,p,α est un espace de Banach.

Preuve : Soit (fn)n∈N, une suite de Cauchy dans (Lq, Lp) α

(G). Pour tous entiers naturels n et m, nous avons :

kfn− fmkπ_q,p1 ≤ kfn− fmk_q,p,α.

Par cons´equent, (fn)_n_∈Nest une suite de Cauchy dans l’espace de Banach (Lq, Lp) (G) ;

(35)

2.3. DEFINITION ET PROPRIETES DE L’ESPACE LQ_{, L}Pα

(G) 30

De mˆemekfnkq,p,α

n∈N´etant de Cauchy dansR , y converge vers un r´eel M ≥ 0.

Pour tout r´eel r > 0 et tout entier m_{≥ 0,} λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p = λ B(e,r) 1 α− 1 q kfm− fm+ fkπq,pr ≤ λ B(e,r) 1 α− 1 q kfmkπq,pr + λ B(e,r) 1 α− 1 q kfm− fkπq,pr ≤ kfmk_q,p,α+ λ B(e,r) 1 α− 1 q kfm− fkπ_q,pr .

Donc pour tout r´eel r > 0, λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p ≤ lim_m_→+∞ kfmk_q,p,α+ λ B(e,r) 1 α− 1 q kfm− fkπ_q,pr = M. Ainsi, sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p ≤ M < +∞.

Par conséquent, f est un élément de (Lq_{, L}p₎α

(G). Soit un r´eel ε > 0.

Il existe un entier naturel m0 tel que pour tous entiers naturels m0 > m0 et

m” > m0, nous ayons λ B(e,r) 1 α− 1 q kfm0− fm”kπ_q,pr ≤ kfm0− fm”k_q,p,α< ε, ∀r ∈ R∗+.

Donc, pour tout r´eel r > 0 et tout m0 _{> m} 0, λ B(e,r) 1 α− 1 q _kf m0− fkπ_q,pr = lim m”→+∞λ B(e,r) 1 α− 1 q _kf m0− fm”kπ_q,pr < ε.

Par cons´equent pour tout m0 _{> m}

0, kfm0− fk_q,p,α < ε.

Donc (fn)_n_∈N converge dans (Lq, Lp)α(G) vers f .

L’inégalité de Hölder s’étend sur les espaces (Lq_{, L}p₎α

(G), comme le montre la proposition suivante :

Proposition 2.3.4 Soient (q1, p1, α1) et (q2, p2, α2) deux ´el´ements de [1 ; +∞]3 tels

que q1≤ α1 ≤ p1 et q2≤ α2 ≤ p2. Si 1 q1 + 1 q2 = 1 q ≤ 1, 1 p1 + 1 p2 = 1 p ≤ 1 et 1 α1 + 1 α2 = 1 α, alors, pour tous ´el´ements f et g de L0(G), nous avons :

(36)

Preuve : Soient f et g deux ´el´ements de L0(G).

Nous pouvons supposerkfgkq,p,α6= 0, kfkq1,p1,α1 < +∞ et kgkq2,p2,α2 < +∞ ; car

dans le cas contraire, l’inégalité est triviale. Soit r un réel strictement positif.

Pour tout ´el´ement E de πr, nous avons :

kfgχEkq ≤ kfχEkq1kgχEkq2.

D’où, en prenant la norme `p_{(π) des deux membres de l’inégalité, nous obtenons :}

kfgkπr q,p ≤ kfk πr q1,p1kgk πr q2,p2. (2.5)

Multiplions les deux membres de (2.5) par λ B(e,r)

1 α− 1 q_{, en remarquant que} 1 α− 1 q = 1 α1 − 1 q1 + 1 α2 − 1 q2 . Il vient que λ B(e,r) 1 α− 1 q kfgkπr q,p≤ h λ B(e,r) 1 α1− 1 q1 _kfkπr q1,p1 i h λ B(e,r) 1 α2− 1 q2 _kgkπr q2,p2 i . Cela ´etant vrai pour tout r´eel r > 0, nous obtenons :

kfgkq,p,α ≤ kfkq1,p1,α1kgkq2,p2,α2.

Dans le cadre particulier pr´esent, la proposition 1.3.9 peut prendre la forme plus pr´ecise suivante :

Proposition 2.3.5 Soient (p, q) un élément de [1 ; +_∞]2, r un réel strictement positif et f un élément de (Lq_{, L}p_{) (G). Alors,}

i) pour tout ´el´ement x de G, l’ensemble Tx=

E _{∈ π}r / B(x,r)∩ E 6=

(2.6) est fini et cardTx< (4γ4+ 3γ2)ρ,

ii) kfkπr q,+∞≤ B(e,r)kfkq,+∞≤ 4γ 5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2ρ kfkπr q,+∞, (2.7) iii) si q_{≤ p < +∞, alors} kfkπr q,p≤ _r 4γ2 −ρp B(e,r)kfkq,p (2.8)

(37)

2.3. DEFINITION ET PROPRIETES DE L’ESPACE LQ_{, L}Pα (G) 32 et B(e,r)kfkq,p ≤ r 2γ ρ p 4γ4+ 3γ2 ρ q _4γ5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2 ρ p kfkπr q,p. (2.9) Preuve : Posons B1= B_e, r 4γ2 _{, B}₂ _{= B}2 e, r 4γ2 _{et B = B}_(e,r)_. Remarquons que : B2 1B B12 −1 B1⊂ B(_e,r(γ3₊3 4γ+ 1 2)) et B B 2 1 −1 B1⊂ B(_e,r(γ2₊3 4)).

D’après la relation (1.5) de la proposition 1.3.3 et les propriétés de la mesure λ, nous avons : nπr B 2 1, B12B < λ_B(_e,r(γ3₊3 4γ+ 1 2)) λ B e,_4γ2r = r(γ 3₊ 3 4γ + 1 2) ρ r 4γ2 ρ = 4γ5+ 3γ3+ 2γ2 ρ , nπr B 2 1, B < λ_B(_e,r(γ2₊3 4)) λ B e, r 4γ2 = 4γ4_{+ 3γ}2ρ_, λ (B) = rρ, λ (B1) = r 4γ2 ρ et λ (B2) = r 2γ ρ .

Le résultat annoncé s’obtient en reprenant la démonstration de la proposition 1.3.9 et en tenant compte des précisions ci-dessus.

Nous donnons à présent une norme, équivalente à kkq,p,α sur (Lq, Lp) α

(G), plus facile `a manipuler dans notre contexte.

Proposition 2.3.6 Soit (p, q, α) un élément de [1 ; +∞]3, avec 1≤ q ≤ α ≤ p ≤ +∞. Il existe deux constantes C1 et C2 telles que pour tout f élément de (Lq, Lp) (G),

nous ayons : C1kfkq,p,α≤ sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q− 1 p B(e,r)kfkq,p ≤ C2kfkq,p,α .

(38)

Preuve : Soit un ´el´ement f de (Lq_{, L}p_{) (G).}

1er _{cas : Supposons que p = +}_∞.

D’apr`es la relation (2.7) de la proposition 2.3.5, kfkπr q,+∞ ≤ B(e,r)kfkq,+∞≤ C2kfk πr q,+∞, ∀r ∈ R∗+, avec C2 = (4γ5+ 3γ3+ 2γ2)ρ. Si q = α, alors sup r>0kfk πr

q,+∞ ≤ sup_r>0 B(e,r)kfkq,+∞≤ C2sup_r>0kfk πr q,+∞, ∀r ∈ R∗+. Par cons´equent, kfkq,+∞,q ≤ sup r>0 B(e,r)kfkq,+∞≤ C2kfkq,+∞,q . Si q < α≤ +∞ alors λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,+∞≤ λ B(e,r) 1 α− 1 q B(e,r)kfkq,+∞ ≤ C2λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,+∞,∀r ∈ R∗+.

Ce qui permet de dire que sup r>0λ B(e,r) 1 α− 1 q_kfkπr q,+∞ ≤ sup_r>0λ B(e,r) 1 α− 1 q B(e,r)kfkq,+∞ ≤ C2sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,+∞, c’est-`a-dire, kfkq,+∞,α≤ sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q B(e,r)kfkq,+∞≤ C2kfkq,+∞,α.

2`eme _{cas : Supposons que p < +}

∞.

Les relations (2.8) et (2.9) de la proposition 2.3.5, nous permettent d’´ecrire que C1kfkπ_q,pr ≤ λ B(e,r) −1 p B(e,r)kfkq,p≤ C2kfk πr q,p, ∀r ∈ R∗+, avec C1= 1 4γ2 ρ p et C2= 1 2γ ρ p (4γ4_{+ 3γ}2₎ρp_(4γ5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2₎ ρ p_. De sorte que : C1λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p ≤ λ B(e,r) 1 α− 1 q− 1 p B(e,r)kfkq,p ≤ C2λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p,∀r ∈ R∗+. D’o`u, C1kfkq,p,α ≤ sup r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q− 1 p B(e,r)kfkq,p ≤ C2kfkq,p,α.

(39)

2.4. QUELQUES SOUS-ENSEMBLES DE LQ_{, L}Pα

(G) 34

2.4 QUELQUES SOUS-ENSEMBLES DE (L

q

, L

p

)

α

(G)

Proposition 2.4.1 Soient q un élément de [1 ; +∞[ et f un élément de (Lq_{, L}+∞_{) (G).}

lim

r→+∞ B(e,r)kfkq,+∞=kfkq = supr>0 B(e,r)kfkq,+∞.

Preuve : Soient f un élément de (Lq_{, L}+∞_{) (G), y un élément de G et r un réel}

strictement positif. fχ_yB(e,r) q = "Z yB(e,r) |f(t)|qdλ(t) #1 q ≤ Z G|f(t)| q dλ(t) 1 q =_kfk_q. Donc pour tout r´eel r > 0,

B(e,r)kfkq,+∞= sup y∈G fχyB(e,r) _q ≤ kfkq. Par cons´equent, sup

r>0 B(e,r)kfkq,+∞= limr→+∞ B(e,r)kfkq,+∞≤ kfkq.

Si sup

r>0 B(e,r)kfkq,+∞

= +_{∞, alors l’´egalit´e s’ensuit.} Supposons que sup

r>0 B(e,r)kfkq,+∞

= M < +_{∞. Pour tout r´eel r > 0, nous avons :}

B(e,r)kfkq,+∞≤ M.

Cela signifie que pour λ_{−presque tout y dans G et pour tout r´eel r > 0,} Z B(e,r) |y−1f (t)|qdλ(t)≤ Mq. D’o`u kfkq ≤ M = sup r>0 B(e,r) kfkq,+∞, puisque sup r>0 R B(e,r)|y−1f (t)| q dλ(t) =ky−1fkq_q =kfkq_q.

Dans les propositions qui suivent, nous examinons les relations entre les espaces (Lq_{, L}p₎α

(G) et ceux de Lebesgue et de Lebesgue faible. Nous justifions aussi la condition q _{≤ α ≤ p que nous utilisons dans la d´efinition des espaces (L}q_{, L}p₎α

(40)

Proposition 2.4.2 Si p, q et α sont des éléments de [1 ; +_{∞] tels que q ≤ α ≤ p,} alors pour tout élément f de L0(G),

kfkq,p,α≤ kfkα.

1er _{cas : Supposons que p = +}

∞. Si q = α alors, pour tout r´eel r > 0,

kfχEkq ≤ kfkq =kfkα, ∀E ∈ πr. Donc, kfkπr q,+∞= sup E∈πr kfχEkq ≤ kfkα.

Si q < α_{≤ +∞, alors pour tout r´eel r > 0,} kfχEkq ≤ λ (E) 1 q− 1 αkfχ Ekα≤ λ B(e,r) 1 q− 1 α_kfχ Ekα≤ λ B(e,r) 1 q− 1 α_kfk α ∀E ∈ πr, et par cons´equent : kfkπr q,+∞= sup E∈πr kfχEkq ≤ λ B(e,r) 1 q− 1 α kfkα, ∀r ∈ R∗+, λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,+∞≤ kfkα, ∀r ∈ R∗+, kfkq,+∞,α= sup_r>0λ B(e,r) 1 α− 1 q_kfkπr q,+∞≤ kfkα.

2`eme _{cas : Supposons que p < +}

∞. Soit r un r´eel strictement positif.

Puisque pour tout ´el´ement E de πr nous avons

kfχEkq ≤ λ (E) 1 q− 1 αkfχ Ekα≤ λ B(e,r) 1 q− 1 α kfχEkα, il s’ensuit que P E∈πr kfχEkq p ≤ λ B(e,r) p q− p α P E∈πr (_kfχEkα) p ≤ λ B(e,r) p q− p α P E∈πr (kfχEkα) α p α ≤ λ B(e,r) p q− p α kfkpα ;

(41)

2.4. QUELQUES SOUS-ENSEMBLES DE LQ_{, L}Pα (G) 36 c’est-`a-dire kfkπr q,p≤ λ B(e,r) 1 q− 1 α_kfk α.

Ainsi, pour tout r´eel r > 0,

λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p ≤ kfkα.

Par cons´equent, sup

r>0 λ B(e,r) 1 α− 1 q kfkπr q,p ≤ kfkα.

Il ressort de cette proposition que Lα_(G)

⊂ (Lq_{, L}p₎α

(G) pour 1_{≤ q ≤ α ≤ p ≤} +∞. Dans les propositions 2.4.3, 2.4.4 et 2.4.5, nous montrons que cette inclusion devient une égalité si α = q où α = p.

Proposition 2.4.3 Soit q un élément de [1 ; +∞] . Pour tout élément f de L0(G),

nous avons

4γ5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2−ρ

kfkq ≤ kfkq,+∞,q ≤ kfkq.

Preuve : Soit f un élément de L0(G), d’après la proposition 2.4.2

kfkq,+∞,q ≤ kfkq.

Pour tout r´eel r > 0, nous avons d’apr`es la relation (2.7) de la proposition 2.3.5,

B(e,r)kfkq,+∞ ≤ 4γ 5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2ρ kfkπr q,+∞. Donc sup r>0 B(e,r)kfkq,+∞≤ 4γ 5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2ρ kfkq,+∞,q. Or d’apr`es la proposition 2.4.1 kfkq = sup r>0 B(e,r)kfkq,+∞. D’o`u (4γ5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2₎−ρ_kfk q ≤ kfkq,+∞,q≤ kfkq.

Proposition 2.4.4 Soient p et q deux éléments de [1 ; +_{∞], tels que q ≤ p < +∞.} Pour tout élément f de L0(G), nous avons

kfkq,p,q≤ kfkq ≤ 4γ

4_{+ 3γ}2ρ(ppq−q)

(42)

Preuve : Soit f un élément de L0(G). D’après la proposition 2.4.2, kfkq,p,q≤ kfkq. Si p = q, alors kfkq,q,q = sup r>0kfk πr q,q =kfkq ; car kfk πr q,q =kfkq(voir [2]). (2.10)

fχ_B(e,r) q ≤ 4γ 4_{+ 3γ}2ρ(p−q)pq _kfkπr q,p. (2.11) D’o`u kfkq = sup r>0 fχ_B(e,r) q ≤ 4γ 4_{+ 3γ}2ρ(p−q)pq _sup r>0kfk πr q,p = 4γ 4_{+ 3γ}2ρ(p−q)pq kfkq,p,q. Ainsi, _kfk_q,p,q _{≤ kfk}_q _{≤ (4γ}4_{+ 3γ}2₎ρ(p−q)pq _kfk q,p,q.

Proposition 2.4.5 Soient p et q deux éléments de [1 ; +∞] tels que q ≤ p, et f un élément de L0(G). i) Si q < p = +_{∞ alors,} kfkq,+∞,+∞≤ kfk+∞≤ 4γ 5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2ρ kfkq,+∞,+∞. ii) Si 1_{≤ q < p < +∞ alors,} kfkq,p,p ≤ kfkp ≤ 4γ 4_{+ 3γ}2ρq _4γ4_{+ 3γ}2_{+ 2γ} 2 ρ p kfkq,p,p.

(43)

(G) 38

D’apr`es la proposition 2.4.2,

kfkq,p,p ≤ kfkp.

Si p = q, alors d’apr`es (2.10) , nous avons _kfk_q,p,p =_kfk_p. Si kfkq,p,p = +∞, alors trivialement kfkq,p,p=kfkp.

Nous supposons donc que p_{6= q et que kfk}_q,p,p < +_∞. 1er _{cas : Supposons que q < p = +}_{∞. Pour tout r´eel r > 0,}

λ B(e,r)

−1 q

kfkπr

q,+∞≤ kfkq,+∞,+∞< +∞, (2.12)

et d’apr`es la relation (2.7) de la proposition 2.3.5,

B(e,r)kfkq,+∞ ≤ 4γ 5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2ρ kfkπr q,+∞. (2.13) Il s’ensuit que ( λ B(e,r) −1q B(e,r)kfkq,+∞≤ (4γ 5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2₎ρ_{λ B} (e,r) −1q kfkπr q,+∞ λ B(e,r) −1 q_kfkπr q,+∞≤ kfkq,+∞,+∞< +∞ . Ainsi pour λ_{−presque tout ´el´ement y de G,}

λ B(e,r) −1 qh_|f|q_{∗ χ} B(e,r) i1 q (y)≤ 4γ5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2ρ kfkq,+∞,+∞. Puisque λ B(e,r) −1 qh_|f|q_{∗ χ} B(e,r) i1 q (y) = " 1 λ B(e,r) Z B(y,r) |f(t)|qdλ(t) #1 q ∀y ∈ G, et lim r→0 " 1 λ B(e,r) Z B(y,r) |f(t)|qdλ(t) #1 q =|f(y)| , pour λ_{−presque tout y dans G, nous obtenons :}

|f(y)| ≤ 4γ5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2ρ

kfkq,+∞,+∞,

(44)

D’o`u,

kfk+∞ ≤ 4γ

5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2ρ

kfkq,+∞,+∞.

2`eme _{cas : Supposons que q < p < +}

∞. Pour tout r´eel r > 0, nous avons :

B(e,r)kfkq,p ≤ λ B(e,_2γr) 1 p 4γ4+ 3γ2 ρ q _4γ5_{+ 3γ}3_{+ 2γ}2 ρ p kfkπr q,p,

d’apr`es la relation (2.9) de la proposition 2.3.5. Ainsi, pour tout r´eel strictement positif r, λ B(e,r) −1 q B(e,r)kfkq,p ≤ (4γ 4_{+ 3γ}2₎ρq 4γ4_{+ 3γ}2_{+ 2γ} 2 ρ p λ B(e,r) 1 p− 1 q kfkπr q,p ≤ (4γ4_{+ 3γ}2₎ρq 4γ4_{+ 3γ}2_{+ 2γ} 2 ρ p kfkq,p,p. Posons : fr(x) = " 1 λ B(e,r) Z B(x,r) |f(t)|qdλ(t) #p q . Nous avons pour λ−presque tout x dans G,

lim

r→0fr(x) =|f(x)| p

. De plus, pour tout r´eel r > 0 nous avons fr(x)≥ 0 et

R Gfr(x)dλ(x) 1 p ₌    R G " 1 λ B(e,r) RB(x,r)|f(t)| q dλ(t) #p q    1 p = 1 λ B(e,r) 1 q R G hR G|f(t)| q χ_B(x,r)(t)dλ(t)i p q 1 p = λ B(e,r) −1 q B(e,r)kfkq,p ≤ (4γ4_{+ 3γ}2₎ρq _4γ4_{+ 3γ}2_{+ 2γ} 2 ρ p kfkq,p,p.

D’où, d’après le lemme de Fatou, _|f|p est intégrable et kfkp ≤ (4γ4+ 3γ2) ρ q 4γ4_{+ 3γ}2_{+ 2γ} 2 ρ p kfkq,p,p.

Nous situant maintenant dans le cas o`u q < α < p nous montrons dans les propositions 2.4.6 et 3.2.8, que Lα,+∞(G) (Lq_{, L}p₎α

(45)

(G) 40

Proposition 2.4.6 Soit (q, p, α) un ´el´ement de [1 ; +_∞]3 avec q < α < p. Il existe une constante C = C(q, p, α, ρ) telle que

kfkq,p,α≤ C kfk ∗

α,+∞, ∀f ∈ L0(G).

Nous pouvons supposer que f est un ´el´ement de Lα,+∞_{(G), car dans le cas contraire}

l’in´egalit´e est triviale.

1er _{cas : Supposons que p = +}

∞. Pour tout r´eel r > 0 et pour λ−presque tout x dans G, nous avons

|f|q ∗ χ_B(e,r)(x) = Z G|f(t)| q χ_B(x,r)(t)dλ(t) = _fχ_B(x,r) q q.

Puisque 1_{≤ q < α, nous avons d’apr`es la condition de Kolmogorov [9],} fχ_B(x,r) q ≤ α α− q 1 q kfk∗α,+∞λ B(e,r) 1 q− 1 α_.

Par cons´equent, pour λ_{−presque tout x dans G, nous avons :} |f|q ∗ χ_B(e,r)(x)≤ " α α_{− q} 1 q kfk∗α,+∞λ B(e,r) 1 q− 1 α #q . Donc, |f|q∗ χ_B(e,r) 1 q ₊ ∞ ≤ α α_{− q} 1 q kfk∗α,+∞λ B(e,r) 1 q− 1 α _;

ce qui peut encore s’´ecrire : λ B(e,r) 1 α− 1 q B(e,r)kfkq,+∞ ≤ α α_{− q} 1 q kfk∗α,+∞. D’o`u, kfkq,+∞,α ≤ α α_{− q} 1 q kfk∗α,+∞.

2`eme _{cas : Supposons que p < +}_∞.

Posons β = 1 + q p− q α −1 . Alors, 1 < β < +_{∞, 1 <} α q < +∞ et q p = 1 β + q α− 1.