1 Exercice 1 1) a) t =10 6 . 13 14 ) 10 ln( 12 ) 10 ( = − ≅ g
La température après 10 minutes est de 13.6°C. b) t =3.5 1 14 ) 5 . 3 ln( 12 ) 5 . 3 ( = − ≅ g
La température après 3 minutes 30 est de 1°C. 2) a) t t t g'( )=12×1=12 b) t∈
[ ]
1;10 donc t > 0 et '( )=12 >0 t t gLa dérivée est strictement positive sur
[ ]
1;10 . c) x 1 10 f'(x) + f(x) 13.6 -14 6 . 13 ) 10 ( ≅ g (voir 1°) a)). 14 14 0 14 ) 1 ln( 12 ) 1 ( = − = − =− g 3) a) t 1 2 3 3.5 4 5 6 7 7.5 8 9 10 g(t) -14 -5.7 -0.8 1 2.6 5.3 7.5 9.4 10.2 11 12.4 13.6Bac blanc mathématiques
– Avril 2012- Durée 2h
2 b)
4)
a) On lit la valeur de t telle que f(t)=−2, c'est l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative de f et de la droite d'équation y= -2. La température sera égale à -2°C pourt ≅2.75soit 2 minutes 45.
b) La température sera égale à -2 pour t tel que f(t)=−2, on doit donc résoudre :12ln(t)−14=−2 12ln(t)=−2+14 12ln(t)=12 12 12 ) ( 1n t = c) 1n(t)=1 1n(t)=ln(e) t =e≈2.7
5) L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 5 est :
(
5)
(5) ) 5 ( ' x f f y= × − + On calcule : 2,4 5 12 ) 5 ( ' = = f et f(5)=12ln(5)−14≅5,3L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 5 est donc :y =2,4×
(
x−5)
+5,3 y=2,4x−12+5,3 y=2,4x−6,73
Exercice 2
1) Le PH médian a pour rang : 17 2 34 2
1
33+ = =
. Le 17ème PH est : 7,85. Le PH médian est le PH ayant autant de valeur qui lui sont inférieures que de valeurs qui lui sont supérieures, il partage les PH en deux groupes de même effectifs.
2) Il y a 33 parcelles en tout, dont 17 ne sont pas dans l'intervalle :
[
7,61;7,96[
. Soit : 100 51,5233 17
≅
× % de parcelles qui ne répondent pas au critère précédant.
3) 6,60 est à rejeter car c'est une valeur qui est inférieure à toutes les valeurs de PH observées sur les 33 parcelles. Enfin 8,09 est à rejeter car cette valeur est presque la plus grande observée, et il y a très peu de valeurs qui lui sont supérieures (et elles lui sont supérieures de peu). Le résultat juste est donc 7,80.
Exercice 3 1) a) ln
(
−2x+4)
=0 ln(
−2x+4)
=ln1 −2x+4=1 −2x=1−4 −2x=−3 2 3 2 3 = − − = xln est définie sur
]
0;+∞[
donc il faut vérifier que 4 3 4 1 2 3 2 + =− + = × − est positif, 2 3 = x est bien la solution. b) ln(
2x+1) (
+ln x−2)
=ln(
28−7x)
ln(
(
2x+1)(
x−2)
)
=ln(
28−7x)
(
(
2x+1)(
x−2)
) (
= 28−7x)
x x x x² 4 2 28 7 2 − + − = − 2x²−3x−2−28+7x=0 2x²+4x−30=04
30 4 ²
2x + x− est un trinôme du second degré, donc il faut calculer ∆ : 256 240 16 ) 30 ( 2 4 )² 4 ( 4 ²− = − × × − = + = = ∆ b ac 0 >
∆ donc il y a deux racines :
5 4 20 4 16 4 2 2 256 4 2 1 =− − = − − = × − − = ∆ − − = a b x et 3 4 12 4 16 4 2 2 256 4 2 2 = = + − = × + − = ∆ + − = a b x
ln est définie sur
]
0;+∞[
donc il faut vérifier que chacun des résultats des 3 ln sont positifs pour ces valeurs, or −5−2=−7 est négatif donc -5 ne convient pas comme solution.7 1 6 1 3
2× + = + = , 3−2=1et 28−7×3=28−21=7sont positifs donc 3 est bien solution.
2)
