Construction de surfaces minimales par résolution du problème de Dirichlet

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problème de Dirichlet

Laurent Mazet

To cite this version:

Laurent Mazet. Construction de surfaces minimales par résolution du problème de Dirichlet.

Mathé-matiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2004. Français. �tel-00007780�

do torat de l'universit 

e Toulouse III Paul Sabatier

Sp  e ialit  e : Math  ematiquesPures par Laurent Mazet

Constru tion de surfa es

minimales par r  esolution du probl  eme de Diri hlet

Soutenue le Jeudi 2 De embre 2004, devant le jury ompose de :

M. Boileau Professeur, universite Toulouse III examinateur

P. Collin CR, CNRS universite Toulouse III dire teur

A. El Sou Professeur, universite Tours president du jury

L. Hauswirth MCF, universite Marne-la-Vallee examinateur

F. Pa ard Professeur, universite Paris XII rapporteur

J.M. S hlenker Professeur, universite Toulouse III examinateur

suite aux rapports de F. Pa ard et A. Ros (Professeur, universite de

Grenade, Espagne).

LaboratoireEmile Pi ard, UMR 5580, UFRMIG, universitePaulSabatier,

Ce memoire est l'o asion de saluer toutes les personnes qui m'ont permis, par

leurs onseilsou leur soutien,de realiser e travail.

Tout d'abord, je souhaite exprimermaprofonde gratitude a Pas al Collin qui a

suparfaitementen adrermontravail.Gr^a easagentillesseetaux onseilsqu'ilm'a

donnes, j'ai pu apprendre, omprendre et mener ma re her he ave un reel plaisir.

En ela, il a repondu a toutes mes attentes en tant que do torant.

Jetiensaussiaremer ier Jean-Mar S hlenkerd'avoira eptede oen adrerma

these etde m'avoir fournil'aide ne essaire sur la n de mon travail.

Jesouhaitediretoutemare onnaissan e aFrankPa ardetAntonioRosquiont

rapporte mon memoire. Je tiens aussi aremer ier Mi hel Boileau, Ahmad El Sou

etLaurentHauswirth d'avoir a epte de fairepartie de mon jury de soutenan e.

Je remer ie Harold Rosenberg pour m'avoir fait de ouvrir la beaute des

sur-fa es minimales.De plus, il a su m'aider lors du hoix d'un theme de re her he et

m'orienter vers Pas al Collin.

Je tiens aussi a exprimer mes remer iements a Antonio Ros, Rabah Souam et

Eri Toubiana pour m'avoir permis d'exposer mes travaux lors de seminaires et

onferen es.

Je veux aussi remer ier Marie-LineChemin, Yveline Panabiere etAgnesRequis

pour leur gentillesse et m'avoir simplie les aspe ts materiels et administratifs de

mathese.

Je souhaite enn exprimer mes remer iements a toutes les personnes que j'ai

otoyees durant mathese. Je pense, tout d'abord, a mes parents et mes soeurs. Ils

m'ont toujours en ourage et soutenu durant es trois ans. Je salue eux qui m'ont

a ompagne lors de ma premiere annee de these et, de fa on plus eloignee, par la

suite; mer i don aux ex-B6 et ratta hes (Fran ois, Ni olas, Denis). Mes derniers

remer iements vont, bien s^ur, aux do torants du laboratoire Emile Pi ard pour

l'ambian e qui regne entre nous, elle est propi e au travail mais aussi a la detente

Ce memoire de do torat est onsa re a l'etude de la theorie des surfa es

mi-nimales. Notre obje tif est de onstruire une grande lasse d'exemples de surfa es

minimales ompletes a ourbure totale nie. Ce travail passe par une etude pre ise

de la onvergen e des suites de solutionsde l'equation des surfa es minimales.

Lessurfa esminimalessontlessurfa esa ourburemoyennenulle, ette ondition

signie que elles- i sont des points ritiques de la fon tionnelle d'aire pour les

variationsasupport ompa t.Lessurfa esminimalesquenoussouhaitons onstruire

sont ompletes et a ourbure totale nie (i.e. l'integrale de la valeur absolue de la

ourbure de Gauss le long de la surfa e est nie). On sait gr^a e a un resultat de

R. Ossermann qu'une telle surfa e est onformement equivalente a une surfa e de

Riemann ompa te privee d'un nombre ni de pointset est proprement immergee;

ainsi es surfa es ont un omportement asymptotique donne par un nombre ni

d'anneauxappelesboutsdelasurfa e.Siunboutestplonge,R.S hoennousapprend

que son omportement asymptotique est ara terise par un ve teur appele ux du

bout qui est olineaire a la normale limite du bout; si e ux est nul le bout est

asymptotique a un plan, si le ux est non-nul le bout est asymptotique a un bout

de atenode ayant le m^eme ux. Nous nous interessons don aux surfa es ayant

leurs bouts plonges, nous appellerons, dans la suite, r-node, une surfa e minimale

omplete de ourbure totale nie a bouts plonges (r designe le nombre de bouts).

Une ondition ne essaire d'existen e de r-node est alorsque la sommedes ux des

bouts soit nulle, e que l'on peut interpreter omme une ondition d'equilibre sur

lesbouts.

Dans un arti lede 2001, C. CosnetA. Ross'interessent al'espa e des r-nodes

Alexandrov-plongesetsymetriquesparrapportauplanhorizontald'equationz =0.

Lase onde hypothese impose quele uxde haque bout soitun ve teurhorizontal,

la premiere dit que elui- i ne peut pas ^etre nul. Dans et arti le, les deux auteurs

s'interessent plus parti ulierementauxr-nodesde genre0, oulegenred'unr-noide

designelegenredelasurfa ede Riemann ompa tesous-ja ente. C.CosnetA.Ros

asso ient a haque r-node Alexandrov-plonge symetrique de genre 0 un polygone

appele polygone de ux : il s'agit des ux des bouts ranges dans un ordre naturel

de R 2

borde un disque immerge si il existe une immersion du disque unite ferme

dans R

2

envoyant le er le unite sur le polygone. Enon ons maintenant le resultat

d'existen e ontenudans letravail de C. Cosnet A. Ros.

Theoreme. Soient v 1 ;:::;v r , r ve teurs non-nuls de R 2 , tels que (v 1 ;:::;v r ) soit unpolygonedeR 2

bordantundisque immerge.Ilexistealorsun r-node

Alexandrov-plonge symetrique de genre 0 dont le polygone de ux est le polygone (v 1

;:::;v r

).

En fait,lesdeux auteursmontrentqu'a l'ex eption du as r=2qui orrespond

aux atenodes, la ondition de border un disque immergepour le polygone de ux

est une ondition qui, en plus d'^etre suÆsante, est ne essaire pour l'existen e d'un

r-node Alexandrov-plonge symetrique de genre 0. Dans une premiere partie, notre

travail onsistera a donner une nouvelledemonstrationde leur resultatd'existen e,

notre appro he pouvant^etre qualiee de plus onstru tive.

Dansundeuxiemetemps,nous poursuiveronsnotretravailenetudiantle asdes

r-nodesAlexandrov-plongessymetriquesde genre 1.Nousmontreronsque, dans e

as, on peut aussi denir un polygone de ux. En developpant plus profondement

les idees mise en uvre dans notre demonstration du resultat i-dessus, nous

ob-tiendrons un se ond resultatd'existen e.

Theoreme. Soient v 1 ;:::;v r , r ve teurs non-nuls de R 2 , tels que (v 1 ;:::;v r ) soit unpolygonedeR 2

bordantundisque immerge.Ilexistealorsun r-node

Alexandrov-plonge symetrique de genre 1 dont le polygone de ux est le polygone (v 1

;:::;v r

).

Les deux theoremes que nous venons d'enon er sont les prin ipaux resultats

d'existen e ontenusdansnotretravail.Nousdemonteronstoutefoisquedesr-nodes

Alexandrov-plonges symetriques de genre 1 existent aussi pour des polygones plus

generaux que eux onsideres dans letheoreme i-dessus.

L'idee prin ipale que nous utiliserons pour onstruire es r-nodes est qu'en

fai-santusage de lasymetrie plane, eux- ipeuvent sevoir ommelasurfa e minimale

onjugueed'ungraphe.Legraphed'unefon tionestunesurfa eminimalesila

fon -tion satisfait uneequationaux derivees partielles du se ondordre appeleeequation

des surfa esminimales.Leprobleme dela onstru tion des r-nodesseresumedon



ala resolutiondu probleme de Diri hlet asso ie a ette equation.

Dansle asdu genre0,ledomaineetlesdonnees aubordnousserontdonnespar

lepolygone. Par ontre, pour legenre 1,ledomainesera onnu,a l'ex eption d'une

singularite. Le probleme qui onsistea pla er ette singularitede telle sorte que la

surfa e obtenue apres onjugaison soitun r-node est appeleprobleme de periode.

La onstru tiondessolutionsduproblemedeDiri hletestdonneeparunpassage



des suites de solutions de l'equation des surfa es minimales. Cette etude onsiste



a omprendre les possibles divergen es de telles suites; a et eet, nous avons le

resultatfondamental suivant.

Theoreme. Soient undomainede R

2 et (u

n

)une suitede solutions del'equation

des surfa es minimales sur . On designe par N

n

(Q) la normale au graphe de u

n

au point (Q;u n

(Q)). Soient P 2 et N un ve teur unitaire horizontal, on note L

la geodesiquede passantpar P et normale a N. Si la suite des normales (N n

(P))

onverge vers N, alors (N n

(Q)) onverge vers N en tout point Q de L.

Ce theoreme est le prin ipal outil que nous utiliserons dans notre etude de la

onvergen e des suites ar il permet, en onnaissant les suites le long du bord du

domaine, de ontr^oler leur onvergen e ou leur divergen e. Outre la resolution du

probleme de Diri hlet, nous utiliserons aussi e resultat dans l'etude du probleme

1 Les surfa es minimales 1

1.1 Un peu de theorie generale . . . 1

1.1.1 Fon tionsharmoniques et pointsde bran hement . . . 2

1.1.2 Representation de Weierstrass etappli ation de Gauss . . . . 2

1.1.3 Surfa e minimale onjuguee . . . 4

1.1.4 Prin ipes de re exion de S hwarz . . . 5

1.1.5 Flux . . . 6

1.1.6 Exemples . . . 7

1.2 Surfa es minimalesa ourbure totale nie et probleme de Plateau a l'inni . . . 8

1.2.1 Stru ture onforme . . . 9

1.2.2 Comportement asymptotique . . . 9

1.2.3 Leprobleme de Plateaua l'inni . . . 10

1.3 Les graphes minimaux . . . 11

1.3.1 L'equation des surfa es minimales . . . 11

1.3.2 Estimes et onvergen e des suites . . . 12

1.3.3 Leprobleme de Diri hlet . . . 13

1.3.4 Prin ipe de re exion de S hwarz . . . 14

1.3.5 Lafon tion onjuguee . . . 15

1.3.6 Exemples . . . 16

1.4 Convergen es des suites de solutionsde (ESM) . . . 17

1.4.1 Ledomaine de onvergen e . . . 17

1.4.2 Leslignes de divergen e . . . 19

1.4.3 Quelleslignes de divergen e existent? . . . 20

1.4.4 Remarques. . . 24

2 De nouveaux outils pour le probleme de Diri hlet et le probleme de Plateau a l'inni en genre 0 27 2.1 Introdu tion . . . 27

2.2 The Diri hlet problemon multi-domains . . . 31

2.6 The onstru tionof a solutionto the Plateau problematinnity . . . 47

2.7 Appendix : The Caratheodory's Theorem. . . 53

3 Le probleme de Plateau a l'inni en genre 1 55 3.1 Introdu tion . . . 55

3.2 Preliminaries . . . 59

3.2.1 Graphon multi-domains . . . 59

3.2.2 The r-noids of genus1 . . . 62

3.3 ADiri hlet problem. . . 66

3.3.1 Notations . . . 67

3.3.2 Proof of the existen e. . . 68

3.3.3 Property of the solution1 . . . 70

3.3.4 Proof of the uniqueness . . . 71

3.3.5 Property of the solution2 . . . 74

3.4 The regularityover the singularity point . . . 75

3.4.1 A ompa tnessresult . . . 76

3.4.2 Proof of Theorem 3.4.2 . . . 78

3.4.3 Property of the solution3 . . . 84

3.5 The periodproblem . . . 84

3.5.1 The general ase . . . 84

3.5.2 The periodmap and the proof of Theorem 3.2.11 . . . 86

3.6 The periodmap on the boundary of P . . . 87

3.6.1 The behaviouron the edges . . . 87

3.6.2 The behaviourat the verti es . . . 90

3.6.3 Con lusion. . . 103

3.7 Another example of solutionto the Plateau problematinnity . . . 104

3.8 Appendix : Convergen e of sequen es of solution of (MSE) and line of divergen e . . . 106

3.9 Appendix : Convex urves inR 2 . . . 110

4 Quelques resultats de non-existen e pour l'equation des surfa es minimales 113 4.1 Introdu tion . . . 113

4.2 Quelques as parti uliers . . . 115

4.2.1 Preliminaires . . . 115

4.2.2 Le as du se teur angulaire. . . 115

4.2.3 Le as des petits angles . . . 116

4.3 Leresultat general . . . 117

Les surfa es minimales

Dans e hapitre, nous presentons dierents aspe ts de la theorie des surfa es

minimales.Lestroispremierespartiessont onsa reesadesresultats lassiquesdont

onpourra trouver lespreuves dans lalitterature. Pour la se tion 1.1, onsereferera

aux livres de R. Osserman [Os2℄ et de U. Dierkes, S. Hildebrandt, A. Kuster et

O. Wohlrab [DHKW℄. Une bonne referen e pour la deuxieme partie est l'arti le

de D. Homan et H. Kar her [HK℄. Quant aux graphes minimaux, on lira le livre

de R. Osserman et elui de J.C.C. Nits he [Ni2℄. La derniere partie presente des

resultatsnouveaux on ernantl'etudedesgraphesminimaux,lespreuvessetrouvent

soitdire tement dans ette partie soitdans les hapitressuivants.

1.1 Un peu de theorie generale

Dans e travail, nous onsiderons des surfa es  qui sont immergees dans R 3

.

Nous adopterons don le point de vue suivant : X :  ! R

3

ou  est une variete

orientee de dimension 2 et X est une immersion; X() est alors une surfa e

im-mergee dans R 3

. Toutefois, par abus de langage, nous dirons parfois que  est une

surfa e de R 3

.

Nous avons alors la denition d'unesurfa e minimale.

Denition 1.1.1. Considerons une surfa e immergee X :  ! R

3

. X est une

immersion minimale si sa ourbure moyenne H est nulle en tout point. On dira

alors queX() est une surfa e minimale de R

3 .

Rappelons que la ourbure moyenne est la somme des ourbures prin ipales;

1.1.1 Fon tions harmoniques et points de bran hement

Soit X : !R

3

une surfa e immergee, onpose X =(x

1 ;x 2 ;x 3 ). Notons ds 2 la

metriqueinduite par X sur , alors

H =
ds 2(x 1 ;x 2 ;x 3 ) (1.1)

Ainsi les fon tions oordonnees x i

d'une surfa e minimale sont des fon tions

harmoniques pour la metrique induite.

Par ailleurs, la metrique ds 2

induit une stru ture de surfa e de Riemann sur

. L'harmoni ite etant un invariant onforme, les fon tions oordonnees x i

sont

harmoniquesentantquefon tionssur ettesurfa edeRiemann.Lametriqueinduite

par X denissant la stru ture de surfa e de Riemann de , l'appli ation X est

onforme.

Maintenant, si  est une surfa e de Riemann, X :  ! R

3

est une surfa e

minimalesietseulement siX est une immersionharmonique et onforme.De plus,

ave e point de vue, on peut generaliser la denition des surfa es minimales. Si

X :!R

3

est justesupposee harmonique,non- onstanteet onforme,X est alors

une immersionsauf en des pointsisoles.

Denition 1.1.2. Soit  une surfa e de Riemann. X :  ! R

3

est une surfa e

minimale generalisee si X est harmonique, non- onstante et onforme. Les points

ouX n'est pas une immersion sont appelespoints de bran hements de lasurfa e.

Dans la suite, on dira seulement que  est une surfa e minimale en pre isant

justesi ellepossede ou non des points de bran hement.

Lesfon tions oordonneesetantharmoniques,ellesnepeuventpresenterde

maxi-mum en un point interieur a moins d'^etre onstantes ainsi il n'existe pas

d'immer-sion minimaled'une surfa e de Riemann  ompa te sans bord. A titre d'exemple,

iln'existe pas, dans R 3

,de surfa e minimaleayant latopologie de la sphere.

1.1.2 Representation de Weierstrass et appli ation de Gauss

On vamaintenant voir omment onpeut onstruire des surfa es minimales.

Soit  une surfa e de Riemannet X =(x

1 ;x 2 ;x 3 ):!R 3

une immersion

mi-nimale.X estalors onformeetlesx i

sontharmoniques.Soit alorsz une oordonnee

lo ale sur , onnote  i

= x

i

z

. On aalors les proprietes suivantes :

1. lesfon tions  i

sont holomorphes e qui traduitl'harmoni ite des x i , 2.  2 1 + 2 2 + 2 3

=0 e qui est equivalenta X est onforme,

3. j 1 j 2 +j 2 j 2 +j 3 j 2

Re iproquement, si ona trois fon tionsholomorphes  i

veriantles deux dernieres

proprietes etdenies sur un ouvert simplement onnexe de C, l'expression suivante

denit une surfa e minimale:

< Z ( 1 ; 2 ; 3 )dz (1.2)

Si la propriete 3 n'est pas veriee, il s'agit d'une surfa e minimale ave des points

de bran hement.

Construire des surfa es minimalesrevient don aresoudre l'equation 2 1 + 2 2 +  2 3

=0 pour des fon tions holomorphes sous la ontraintej

1 j 2 +j 2 j 2 +j 3 j 2 6=0.

On montre alors que lessolutions sont de laforme:

 1 = 1 2 f(1 g 2 );  2 = i 2 f(1+g 2 );  3 =fg

ave f une fon tion holomorphe et g une fon tion meromorphe telles que g ait un

p^ole d'ordre m en z si et seulement si z est un zero d'ordre 2m pour f. Si f a un

zero d'ordresuperieur enun point,lapropriete3n'estpas satisfaiteetils'agitd'un

point de bran hement.

On a don un resultat important :

Theoreme 1.1.3 (Representation de Weierstrass). Toute surfa e minimale

simplement onnexe peut ^etre parametree de la fa on suivante :

X =< Z 1 2 f(1 g 2 )dz; Z i 2 f(1+g 2 )dz; Z fgdz  (1.3)

o u f estune fon tion holomorphe etg une fon tion meromorphedeniessurun

ou-vertsimplement onnexedeC tellesqueg ait unp^oled'ordre m enz sietseulement

si z est un zero d'ordre 2m pour f.

Quitteapasseraurev^etementuniversel e

de, etheoremepermetderepresenter

toutes les surfa es minimales(on rappelleque le rev^etement universel ne peut ^etre

ompa t et est don un ouvert de C). Cette formule de representation permet de

onstruire de nombreux exemples de surfa es minimales.

Parailleurs,onpeut retrouvertouteslesdonnees geometriquesapartirdes

fon -tions f et g.Parexemple, la metrique induite est donnee par :

ds 2 =  jfj(1+jgj 2 ) 2  2 dzdz (1.4)

On onstate que ette metrique est bien onforme a lametrique eu lidienne sur C.

Par ailleurs,onmontre quela normalea lasurfa e est donnee par :

N =  2<(g) 2 ; 2=(g) 2 ; jgj 2 1 2  (1.5)

Ce inousditquelafon tionmeromorpheg estleprojetestereographiquede

l'appli- ationN :!S

2

.Ainsionpeutidentierlafon tionmeromorphegetl'appli ation

N, e qui nous donne:

Proposition 1.1.4. Sur une surfa e minimale , l'appli ation qui, a un point,

asso ie la normale a la surfa e en e point est une appli ation onforme de  dans

S 2

. Cette appli ation est appelee appli ation de Gauss.

1.1.3 Surfa e minimale onjuguee

Dans ette partie, nous allons voir omment a toute surfa e minimale on peut

asso ieruneautresurfa eminimalequiluiestlo alementisometrique.Cettese onde

surfa e est un outil tres important dans l'etudedes surfa es minimales.

Soit X :!R

3

une surfa e minimale,nous supposons tout d'abord 

simple-ment onnexe pour plus de simpli ite. Pour i = 1;2;3, la fon tion oordonnee x i s'e rit x i =< R  i

dz etest don la partiereelle d'une fon tion holomorphe, notons

alors x  i

la partie imaginaire de ette fon tion holomorphe, x

 i

est appelee fon tion

harmonique onjuguee de x

i

(remarquons que x



i

n'est denie qu'a une onstante

additive pres). La fon tion x 

i

est harmonique sur . On note alors X



:  ! R

3

l'appli ationdenie par les x  i . X  :!R 3

est alors une surfa e minimale ar

x  k z = i x k z = i k (1.6) la fon tion x  k z

satisfait don les proprietes 1, 2 et 3 de la se tion pre edente. De

plus, e al ul prouve queles deux surfa es sont lo alement isometriques.

Pour le as general, ondoit onsiderer lerev^etement universel de pour denir

X 

, e i nous donne:

Denition 1.1.5. Soit X :  ! R

3

une surfa e minimale, alors X

 : e ! R 3 est

appelee surfa e minimale onjugee a X() ( e

 designe le rev^etement universel de

). La surfa e minimale onjuguee n'est denie qu'aune translationpres.

Sif etg sontles donnees de Weierstrass pour lasurfa eX(), lesdonnees pour

X 

() sont if etg. On onstate ainsi quela surfa e originaleetsa onjuguee ont

lam^eme appli ation de Gauss.

Si X:!R 3 , alors X s'e rit : Z (dx 1 ;dx 2 ;dx 3 ) (1.7)

Aux dierentielles dx k

, on asso ie des dierentielles dx 

k

mais pour denirla

primi-tive X 

de elles- i,nous devons passer,a priori, aurev^etement universel e

 .

Main-tenant,onpeut sedemander sil'appli ationX



n'estpas denie sur un rev^etement

intermediaire, entre  et e

 , voir m^eme sur . Pour ela on doit etudier, pour les

la ets non triviauxde , lavaleur de

Z (dx  1 ;dx  2 ;dx  3 ) (1.8)

Si etteintegraleestnulle,ladenitiondeX 

des endaunrev^etementintermediaire.

Si l'integrale est non-nulle, la surfa e minimale onjuguee presente alors une

inva-rian e par translation. Tout e probleme s'appelle le probleme de periode et les

ve teurs donnes par l'expression (1.8) sont appeleslesperiodes de X 

( e ):

1.1.4 Prin ipes de re exion de S hwarz

Interessons nous maintenantaux symetries apparaissantdans lessurfa es

mini-males. Nous allons noter D le disque unite de C, D +

=fz 2Cj jzj< 1; =z >0g,

D =fz 2Cj jzj<1; =z <0getI =fz 2Cj jzj<1; z 2Rg. On aalors lesdeux

resultatssuivants, appeles prin ipesde re exion.

Proposition 1.1.6. Soit X :D

+

[I !R

3

ontinue telle que la restri tion de X a

D +

soit une surfa e minimale (i.e. X est harmonique,non onstante et onforme).

On suppose que l'image de I par X est in luse dans une droite L

0 de R

3

. Alors X

peut ^etre etendue a D par re exion par rapport a L 0

; X(D) est alors une surfa e

minimale. Pre isement sur D , X est denie par :

X(z):=R (X(z)) (1.9)

o u R est la symetriepar rapport a la droite L 0 . Proposition 1.1.7. Soit X : D + [I ! R 3 C 1

telle que la restri tion de X a D +

soit une surfa e minimale (i.e. X est harmonique, non onstante et onforme).On

suppose que l'image de I par X est in luse dans un plan P

0

de R

3

tel que X soit

normale a P 0

le long de I (la normale a X en un point de I est in luse dans P 0

).

Alors X peut ^etre etendue a D par re exion par rapport a P 0

; X(D) est alors une

surfa e minimale. Pre isement sur D , X est denie par :

X(z):=R (X(z)) (1.10)

o u R est la symetriepar rapport au plan P 0

Cesdeuxresultatsnousdisentsousquelles onditionsonpeutetendreunesurfa e

minimaleaudela de son bord.

La Proposition 1.1.6 permet, si on a une partie de droite dans le bord d'une

surfa e minimale, d'etendre ette surfa e par re exion par rapport a ette droite.

De m^eme, laProposition 1.1.7 permet, si le bord d'une surfa e minimaleest in lus

dans un plan et que la surfa e arrive perpendi ulairement au plan, d'etendre la

surfa e par re exion par rapport auplan.

Maintenant, si une surfa e minimale possede une telle symetrie, que se

passe-t'il pour la surfa e minimale onjuguee? En fait, on montre que si une droite ou

une partie de droite est in luse dans une surfa e minimale alors, dans la surfa e

onjuguee, ette partie de droite orrespond a une ourbe in luse dans un plan P 0

le long de laquelle la surfa e est normale a P 0

. De m^eme, si une surfa e minimale

 ontient une ourbe in luse dans un plan le long de laquelle  est normale au

plan alors a ette ourbe orrespond, dans la surfa e minimale onjuguee, a une

partie de droite. Essentiellement, une surfa e minimale est invariante par symetrie

par rapport a une droite si et seulement si la surfa e minimale onjuguee est

in-variante par une symetrie plane. De plus, l'appli ation de Gauss etant onservee

par passage a la onjuguee, si une surfa e minimale ontient une droite L 0

alors la

ourbe orrespondante dans la surfa e onjuguee est in luse dans un plan qui est

normala L 0

.

1.1.5 Flux

On vamaintenantintroduireunenotionquiest utiledanslatheoriedessurfa es

minimales.

Soit X :!R

3

une surfa e minimaleet un la et oriente de . On note  le

hoix d'une normalea dans X() (en general onprend  la onormale, i.e.  est

telle que(N; 0

;) est un triedre dire t),on note alors :

Flux( )=

Z

(s)ds (1.11)

ou s designe l'abs isse urviligne le long de . X() etant minimale, Flux( ) ne

depend que de la lasse d'homologie du y le . Par ailleurs, si dx



i

designe la

dierentielle de la onjuguee de la fon tion oordonnee x i ,on a: Flux( )= Z (dx  1 ;dx  2 ;dx  3 ) (1.12)

On onstate don que le ux est lie au probleme de periode. On reviendra sur la

1.1.6 Exemples

Enutilisantlarepresentationde Weierstrass, onvapresenter quelques exemples

lassiques de surfa es minimales.

Le premier exemple onsiste a prendre pour donnees de Weierstrass g(z) = 1

et f(z) = 1 sur C , la surfa e minimale que l'on obtient est le plan. Il s'agit de

l'exemplele plus simple quel'on puisseimaginer.

Le deuxieme exemple que l'on onsidere est elui orrespondant aux donnees

de Weierstrass g(z) = z et f(z) =  z sur C  ave  2 R  + . A priori, C  n'etant

pas simplement onnexe,il y a un probleme de periode, on montre toutefois que la

surfa e sereferme bien. Lasurfa e que l'on obtient s'appelleun atenode (Figure

1.1). En passant au rev^etement universel de C 

, on voit que e atenode a pour

donnee de Weierstrass sur C, g(!)=exp (!)etf(!)=.Ainsionaleparametrage

suivantdu atenoide dans des oordonnees onformes :

X(u;v)= 8 > < > :  osh(u) os(v)  osh(u)sin(v) u (1.13)

Les atenodes sont don les surfa es de revolution d'equation r =  osh ( z

 ) (ou

r;;zsontles oordonnees ylindriques).Ils'agitenfaitdesseulessurfa esminimales

de revolution.

Fig. 1.1 {Le atenode

Le dernierexemple quel'on va regarder est elui des heli odes (Figure1.2), il

des oordonnees onformes est donne par : X(u;v)= 8 > < > : sinh(u) os(v) sinh(u)sin(v) v (1.14)

Geometriquement, on peut de rire es surfa es par une droite horizontale passant

par l'axeverti al d'equationx=0=y quel'on faitmonter en latournant avitesse

onstanteautour de et axe.

Fig. 1.2 { L'heli ode

Ave ette des ription, on onstate qu'un heli ode est une surfa e reglee. Cette

surfa e possede don de nombreuses symetries d'apres les prin ipes de re exion de

S hwarz.Surles atenodes, essymetriessetraduisentparl'invarian eparrotation.

1.2 Surfa es minimales a ourbure totale nie et

probleme de Plateau a l'inni

Dans ette se tion, nous allons nous interesser auxsurfa es minimalesX :!

R 3

1.2.1 Stru ture onforme

Denition 1.2.1. SoitX :!R

3

unesurfa eminimale.Ondiraque ettesurfa e

est a ourbure totale nie si:

Z



KdA<+1 (1.15)

ouK designe la ourbure se tionnelle de X().

On rappelle que pour une surfa e minimale, la ourbure se tionnelle K est

negative en tout point.

On a alors le resultat suivant qui pre ise la stru ture onforme de  sous

l'hy-pothese de ourbure totale nie.

Theoreme 1.2.2 (R. Osserman [Os2℄). Soit X :!R

3

une surfa e minimale

propre et ompleteave une ourbure totale nie. Alors :

1. il existe  une surfa e de Riemann ompa te et p

1 ;:::;p

r

2  r points tels

que soit onforme a nfp 1 ;:::;p r g et 2. l'appli ation de Gauss N : ! S 2

s'etend en une appli ation meromorphe a

 .

A titre d'exemple, le atenode qui est de ourbure totale 4 satisfait les

hy-potheses de e theoreme. On saitque sastru ture onforme est elle de C 

, 'est-

a-dire lasphere de Riemannprivee de deux points.

1.2.2 Comportement asymptotique

Soit X :! R

3

une surfa e minimale satisfaisant leshypotheses du Theoreme

1.2.2. L'immersion X etant propre, le omportement asymptotique de la surfa e

est donne par les voisinages des points p i

. On appelle alors bouts de la surfa e les

imagesparX des voisinagesdes pointsp

i

.Le omportementasymptotique deX()

sede ompose alorsen r parties, haque partieest l'undes bouts. Onvamaintenant

faireune hypothesesupplementairesur lasurfa epourassurerquele omportement

des bouts est simple :on suppose que lesbouts sont plonges.

Par ailleurs, l'appli ation de Gauss etant meromorphe sur , la normale

ad-met une limite en haque point p

i

. On peut maintenant pre iser le omportement

asymptotique de X(), onnote D



le disque unite pointe.

Theoreme 1.2.3 (R. S hoen [S ℄). Soit X : D



! R

3

un bout plonge d'une

surfa e minimale propre omplete a ourbure totale nie. On suppose que la valeur

de N en l'origine est (0;0;1). Alors, hors d'un ompa t, X(D 

) est un graphe (sur

un domaine exterieur du plan (x 1

;x 2

)) ave le omportement suivant :

x 3 (x 1 ;x 2 )=ln()++ 2 ( 1 x 1 + 2 x 2 )+O( 2 ) (1.16)

ave = p x 2 1 +x 2 2 .

Ce que dit e theoreme, 'est que haque bout de X() est asymptotique a un

bout de atenode si  6= 0 ou a un plan si  = 0. On appelle  la roissan e du

bout.

Sous les hypotheses du Theoreme 1.2.2 et l'hypothese de bouts plonges, on

peut donner une expression de la ourbure totale (le al ul est d^u a L.P. Jorge

etW.H. Meeks [JM ℄),on a:

Z



KdA = 4(g+r 1) (1.17)

oug designe legenre de la surfa e de Riemann ompa te .

Repla ons nous dans le adre du Theoreme 1.2.3 . Si est un generateur du

 1

(D 

)etdesignelanormaledansX(D 

)pointantverslasingularite,ledeveloppement

asymptotique (1.16) permet de al ulerle ux de et on obtient (0;0;2 ). Ainsi

pour un point p

i

et un generateur du groupe fondamental du bout, le ux de

que l'on appelle le ux du bout asso ie a p i

ontient presque toute l'information

sur le omportementasymptotique du bout lorsque e uxest non nul; en eet, on

onna^tla normalelimite etla roissan e du bout.

Par ailleurs, si V i

designe le ux du bout asso ie a p i

, on a la formule suivante

qui traduit un ertain equilibre sur l'ensemble du omportement asymptotique de

lasurfa e : V 1 +


+V r =0 (1.18)

1.2.3 Le probleme de Plateau a l'inni

Nousallonsmaintenantposerun probleme appeleprobleme de Plateaual'inni

quiest etudie dans les hapitres 2et 3.

Le probleme de Plateau lassique onsistea determiner une surfa e d'aire

mini-male pour un bord xe. La question que nous allons nous poser est de trouver une

surfa e minimaleayant un omportementasymptotique pres rit.

Soitretgdeuxentierspositifs,on onsiderev 1 ;:::;v r ,rve teursunitairesdeR 3 , et 1 ;:::; r

,rreels,telsque 1 v 1 +


+ r v r

=0.LeproblemedePlateaual'inni

pour es donneesest alorsde trouverune surfa eminimaleX : g nfp 1 ;:::;p r g!R 3 ( g

est une surfa e de Riemann ompa te de genre g) qui soitpropre, omplete, a

ourbure totale nie et a bouts plonges et telle que v i

soit la normale limite en p i

et i

v i

soitle uxdu bout asso iea p i

. Unesolution de e probleme est appelee un

r-node.

On peut trouver une etude de e probleme pour le genre 0 dans l'arti le de

S.Kato, M. Umeharaet K.Yamada [KUY℄.

Denition 1.2.4. Soit X : ! R 3

une immersion propre, X() est

Alexandrov-plongee si il existe W une variete de dimension 3 telle que  =W et X s'etende

en une immersionpropre de W dans R

3 .

Sous ettehypothese,les roissan es i

desboutssontne essairementnon-nulles.

Deplus, nousnousinteresserons aun astressymetriquepuisque noussupposerons

queles normaleslimites v i

sont horizontales.

Dans leur arti le [CR ℄, C. Cosn et A. Ros etudient le probleme de Plateau



a l'inni sous es hypotheses dans le as du genre 0. Leurs prin ipaux resultats

sont rappeles dans les se tions 2.5 et 3.2. Notre etude vise tout d'abord a donner

une nouvelle preuve du resultat de C. Cosn et A. Ros que l'on peut qualier de

onstru tive. Parla suite, nous utiliserons nos idees pour etudierle as du genre 1.

Le point de depart est que, sous leshypotheses pre isees i-dessus, une solution

du probleme de Plateau a l'inni est symetrique par rapport a un plan horizontal.

Ainsi,il suÆt de onstruire une moitie de lasurfa e. Le deuxieme point important

est quelasurfa e onjuguee a ettemoitiepeut sevoiralors ommelegraphed'une

fon tion au dessus d'un domaine relativement simple;on onna^t de plus la valeur

surlebordde ettefon tion.La onstru tiond'unesolutiondu problemede Plateau



al'innipassedon parlaresolutiond'unproblemedeDiri hlet(voirse tion1.3.3);

unepartiedenotretravail onsistedon enla onstru tionde es graphes.Cesidees

seront pre isees dans les hapitres suivants.

1.3 Les graphes minimaux

Comme nous venons de le dire lessurfa es minimalesqui sont des graphes vont

^etre, dans la suite, les surfa es qui vont nous interesser. En fait, toute surfa e

im-mergee dans R 3

est lo alement le graphe d'une fon tion au dessus d'un domaine

du plan tangent, e point de vue est don tres general. Nous allons don donner

ertains des prin ipaux resultats sur les graphes de fon tions qui sont des surfa es

minimales.

1.3.1 L'equation des surfa es minimales

ConsideronsR

2

undomaineduplanetuunefon tionquel'onsupposedeux

fois ontin^ument derivable. Le graphede u est une surfa e immergee de R 3

et ette

surfa e est une surfa e minimale si la fon tion u satisfait l'equation des surfa es

minimales: div ru p 1+jruj 2 ! =0 (ESM)

Ave les notations lassiques u x = u x , u xx =  2 u x 2

et autres, ette equation se

ree rit : (1+u 2 y )u xx 2u x u y u xy +(1+u 2 x )u yy =0

Pre isons des a present que, dans la suite, nous noterons W = p

1+jruj

2 .

L'equation des surfa es minimales (ESM) est une equation aux derivees

par-tielles du se ond ordre; elle est non-lineaire et elliptique ar s'e rivant sous forme

divergen e (voir [GT℄). Ainsi les solutions de ette equation heritent de toutes les

proprietes issues de la theorie des equationsaux derivees partielleselliptiques.

Par ailleurs, on sait que les fon tions oordonnees sont harmoniques don

ana-lytiques, on en deduit qu'une solution de (ESM) est une fon tion analytique en

(x;y).

1.3.2 Estimes et onvergen e des suites

Commepourdenombreusesequationsauxderiveespartielleselliptiques,onpeut

estimerles derivees des solutionsde (ESM) . Par exemple,on a :

Proposition1.3.1. Il existeune onstantepositiveC telleque,siuestunesolution

positive de (ESM) denie sur le disque x 2 +y 2 <R 2 , on ait : W(0) Cexp  u(0) 2R  (1.19)

Proposition1.3.2. Il existeune onstantepositiveC telleque,siuestunesolution

de (ESM) denie sur le disque x 2 +y 2 <R 2 , on ait : u 2 xx (0)+2u 2 xy (0)+u 2 yy (0)  C R 2 W 4 (0) (1.20)

Il existe de nombreux autres estimes pour les solutions de (ESM) , onpourra se

referer al'arti le de J.C.C. Nits he [Ni1℄.

Undesinter^ets de es resultatssontlesdierentstheoremesde ompa itesur les

solutions de l'equation des surfa es minimales. Le prin ipal resultat sur la

onver-gen edes suites de solutions de (ESM) est lesuivant :

Theoreme 1.3.3. Soit (u n

) une suite de solutions de l'equation des surfa es

mi-nimales denies sur un domaine  R

2

. On suppose que la suite (u

n

) est

uni-formement borneesur tout ompa tK in lus dans. Alors, il existeune sous-suite

de(u n

) qui onvergeversu unesolution de (ESM) pour la onvergen eC

k

uniforme

sur tout ompa t et pour tout k2N.

Ce theoreme est un resultat important ar il est lie a la resolution du probleme

deDiri hletquenousallonsevoquerdanslapartiesuivante.Nousreviendronsparla

1.3.3 Le probleme de Diri hlet

Le probleme de Diri hlet est le probleme naturel asso ie a une equation aux

derivees partielles, il s'agit de determiner une solution u de l'equation des surfa es

minimales sur un domaine en se xant la valeur de u le long du bord de . Ce

problemeposedeuxquestionsimportantes: elledel'existen ede lasolutionet elle

de l'uni itede elle- i.

Pourdesdomainesbornes,lareponselaplusgeneralefutapporteeparH.Jenkins

et J. Serrin [JS ℄. Elle porte sur les domaines onvexes et des donnees au bord tres

diverses puisque les valeurs +1et 1sont autorisees.

Tout d'abord nous allons donner un lemme qui pre ise le type de donnees

onsiderees dans leresultat de H. Jenkins et J. Serrin.

Lemme 1.3.4 (Lemme de la ligne droite). On onsidere un domaine borne

in lus dans un demi-plan delimite par une droite L. On note T = L\  et C

la partie omplementaire du bord. Alors pour tout ompa t K  [ C il existe

une onstante N positive telle que, pour toute solution u de (ESM) sur telle que

muM sur C, on ait :

m N uM +N sur K (1.21)

Ceresultat,ave leTheoreme10:3de[Os2℄,prouvequ'unesolutionudel'equation

des surfa es minimalespeut tendre vers +1ou 1 lelong d'un ar in lus dans le

bord d'un domaine uniquement si et ar est re tiligne.

FixonsmaintenantlesnotationspourdonnerleresultatdeH.JenkinsetJ.Serrin.

Soit un domaine onvexe borne de R

2 , on note alors A 1 ;:::;A k une famille de

segmentsin lusdanslebordde,B

1 :::;B

l

unedeuxiemefamilledesegmentsin lus

dans le bord de . Les A

j

(resp. B j

) orrespondent aux segments le long desquels

la donnee au bord sera +1 (resp. 1). On note C

1

;:::;C n

les ar s omposant le

restedubordde.Parailleurs,siP estunpolygonein lusdansdontlessommets

sont parmi les extremites des segments A j

et B j

, on note  la longueur totale des

segmentsA

j

in lus dansP, lalongueur totaledes segmentsB j

in lus dansP et

leperimetrede P.On peut maintenantdonnerleresultatdeH. Jenkins etJ. Serrin

[JS ℄:

Theoreme 1.3.5. Soit un domaine onvexebornede R

2

muni des famillesfA

j g, fB j g et fC j g. Si la famillefC j

g est nonvide, il existe une solution de (ESM) sur qui prend

les valeurs +1 le long des A

j

, 1 le long des B

j

et toutes donnees ontinues le

long des C

j

, si et seulement si :

pour tout polygone P in lus dans dont les sommets sont parmi les extremites des

A j

et B j

. De plus, si la solution existe, elle est unique.

Si la famille fC j

g est vide, une solution existe, siet seulement si :

= ()

pourlepolygone P = et ()est satisfaitepour toutautre polygoneP in lus dans

dont les sommets sont parmi les extremites des A j

et B j

. De plus, si la solution

existe, elle est unique a l'ajout d'une onstante pres.

Une premiere remarque que l'on peut faire est qu'au une valeur n'est imposee

aux extremites des ar s. Toutefois, e resultat apporte une reponse omplete au

probleme de Diri hlet puisqu'il traite de l'existen e et de l'uni ite de la solution.

L'arti le de H. Jenkins et J. Serrin ontient une generalisation de e resultat au

as non- onvexe, en fait ils supposent juste que les ar s C

j

sont onvexes. Dans

le hapitre 2, nous donnerons une nouvelle generalisation de e resultat. Tous es

resultats traitent du as des domaines bornes, le as des domaines non-bornes est

un probleme qui reste totalement ouvert; ona tout de m^eme des resultats partiels

eton saitentre autre que l'on perd, en general, l'uni itede lasolution (voir [Co ℄).

Le probleme de l'uni ite est reliea l'existen e d'un prin ipede maximum. Pour

lessurfa es minimalesil existe dierentsprin ipesdu maximum; pour les graphes,

elui- is'e rit de la fa on suivante :

Proposition 1.3.6 (prin ipe du maximum). Soient un domaine borne de

R 2

, u et v deux solutions sur de l'equation des surfa es minimales. On suppose

que lim(u v) 0 pour toute suite onvergeant vers un point du bord de . Alors

u v 0 sur tout .

On trouvera une demonstration dans [Ni1℄.

Ilexisted'autresversionsduprin ipedumaximum,onpeut,entreautre,adapter

leshypotheses au adre de rit dans leTheoreme 1.3.5.

1.3.4 Prin ipe de re exion de S hwarz

Nousavons vudans lase tion 1.1.4,des resultats permettantd'etendre des

sur-fa esminimalesautravers de leurbord. Cesresultatssetraduisentpourlesgraphes

minimaux.

Proposition1.3.7. SoitundomainedeR

3

quel'onsuppose in lusdansfy 0g.

Onsupposedeplusqu'ilexisteT,unintervalleouvertde fy=0g,quisoit unepartie

dubordde.Soituune solutiondel'equationdessurfa es minimalessurprenant

unevaleur 2R lelong deT, us'etendalorsaudomaine 0

=f(x;y)2R 2

j(x;y)2

; (x;y)2T ou (x; y)2g en une solution v de (ESM) par v(x;y)=u(x;y) si

Cette proposition peut aussi s'interpreter omme un resultat de regularite au

bord du domainede la solutionu.

1.3.5 La fon tion onjuguee

Nous allons maintenant introduire un outil essentiel dans l'etude des solutions

de (ESM) . Considerons un domaine de R

2

et une solution u de l'equation des

surfa es minimales.Notons alors d la dierentielle suivante :

d = u x W dy u y W dx (1.22)

Lafon tionuetantune solutionde(ESM), ladierentielle d estfermee etdenit,

aumoins lo alement, une fon tion .

Denition 1.3.8. La fon tion ainsi denie est appelee fon tion onjuguee a u.

Tout d'abord, expliquons ette terminologie; en fait, la dierentielle d est la

dierentielle de la onjuguee de latroisiemefon tion oordonnee sur legraphede u

exprimee danslesvariablesxety,don orrespond ala onjugueede x 3

exprimee

dans les variables x et y. Pre isons juste que l'orientation sur le graphe qui est

ne essaire pourdenirla onjuguee estxeeen imposantquelanormalealasurfa e

pointe vers lebas. Ce hoix d'orientation sera d'ailleurs elui que l'on fera toujours

pour un graphe.

Regardons maintenantlesproprietesde lafon tion onjugueeau.Tout d'abord,

la fon tion n'est denie que lo alement et a une onstante pres, on parlera tout

de m^eme de la fon tion lorsqu'il n'y aura pas trop d'ambigute.On a :

jr j= p u 2 x +u 2 y W <1 (1.23)

Ainsi estunefon tion1-Lips hitzienne,don elles'etenddefa on ontinueaubord

du domaine. Cal uler le long du bord est justement une question interessante et

ona lesdeux resultats suivants :

Lemme 1.3.9. Soit u une solution de (ESM) sur un domaine . On suppose que

u est ontinue le long d'un ar onvexe C appartenant au bord de . Alors :

    Z C d     <jCj (1.24)

Lemme1.3.10. Soit undomainedeR 2

borde enpartieparun segmentT oriente

par la normale sortante. Soit u une solution de (ESM) sur tendant vers +1 en

tout point interieurau segment T. Alors :

Z

T

d =jTj (1.25)

On trouve la preuve de es deux resultats dans [JS ℄.

Nousreviendronssurl'utilisationdelafon tion onjugueedanslapartie onsa ree



ala onvergen e des suites de solutionsde l'equation des surfa es minimales.

1.3.6 Exemples

Nous allons presenter quelques exemples de solutions de l'equation des surfa es

minimales.

Tout d'abord illustronsleTheoreme 1.3.5gr^a e alasurfa e de S herk(Figure

1.3). On se pla esur le arre℄  2 ;  2 [ 2

et on onsidere la fon tion denie par :

u(x;y)= ln( osx)+ln( osy) (1.26)

On montre que u satisfait l'equation des surfa es minimales,en fait, ette solution

appara^tlorsquel'on her he unesolutionavariablesseparees(i.e.quis'e ritu 1

(x)+

u 2

(y)). Pour ses valeurs au bord, on onstate que u prend lavaleur +1 le long de

f  2 g℄  2 ;  2 [ et f  2 g℄  2 ;  2 [ et la valeur 1 le long de ℄  2 ;  2 [f  2 g et ℄  2 ;  2 [f  2

g. Sur le arre,les onditions du Theoreme 1.3.5 sont don veriees.

Par ailleurs, on onstate que le graphe de la fon tion u, qui est appele surfa e

de S herk, est borde parquatre droitesverti alespassant par lessommetsdu arre.

Ainsionpeutetendrelasurfa edeS herkpardesre exionslelongde esdroites.On

obtient ainsi une surfa e minimale doublement periodique. Le fait qu'a l'extremite

ommune d'unsegment de type A

j

etd'un segmentde typeB

j

legraphesoitborde

parunedroiteverti aleestunfaitgeneral,ondemontrera eresultatdansle hapitre

2.

Nousallonsmaintenantdonnerunexempledesolutionde(ESM)surundomaine

non borne.Considerons =R  + ℄  2 ;  2

[ etu denie sur par :

u(x;y)=xtany (1.27)

Alorsu est une solution de l'equation des surfa es minimales;en fait, legraphe de

uest un mor eau d'heli ode(Figure1.4) d'axe ladroited'equationx=0=z. La

fon tionupeutsevoir ommelasolutionduproblemedeDiri hletpourlesdonnees

aubord :0 sur f0g℄  2 ;  2 [, +1sur R  + f  2 g et 1sur R  + f  2 g.

Danslasuite,lesdomaines quenousetudierontserontde laformesuivante:une

+1 +1 1 1 x y

Fig. 1.3 {La surfa e de S herk

interesserontseront+1lelongd'unbord desdemi-bandeset 1lelongdel'autre.

Ainsi le dessin orrespondant a e mor eau d'heli ode represente la situation que

l'on ren ontrera par la suite.

1.4 Convergen es des suites de solutions de (ESM)

Nousallons onsa rer ettederniere partieal'etudede la onvergen e dessuites

(u n

) de solutions de l'equation des surfa es minimalessur un domaine. Nous

re-grouponsenfaitdesresultatsquenousdemontronsdanslase tion2.4etl'appendi e

3.8.

1.4.1 Le domaine de onvergen e

Nous onsiderons (u n

) une suite de solutions de (ESM) denies sur un domaine

 R

2

. La question que l'on se pose est elle d'une eventuelle onvergen e d'une

sous-suite de (u n

).

Tout d'abord, remarquons que, si u est une solution de (ESM) alors pour (

n )

une suite de reels, la suite denie par u n

= u+

n

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

–1

0

1

–2

–1

0

1

2

Fig. 1.4 { L'heli ode

(ESM) qui ne onverge que si (

n

) onverge. Nous allons don nous interesser aux

suites (u n

) atranslation verti alepres.

Maintenant,siunesuite(u n

) onverge,noussavonsquelasuite(W n

)qui ontr^ole

lanorme du gradient doit rester bornee. On a alors un premier resultat:

Lemme 1.4.1. Soient un domaine et (u

n

) une suite de solutions de (ESM) sur

. Soit P 2 ; on suppose que la suite (W

n

(P)) est bornee par une onstante M.

Alors il existe R > 0 qui depend seulement de M et de la distan e de P a  tel

que (W

n

) soit bornee par 2M sur le disque de entre P et de rayon R .

CeresultatestenfaitleLemme2.4.1,onentrouvedon lapreuvedanslase tion

2.4. Lapreuveest essentiellementbasee sur l'estimedonnepar laProposition 1.3.2.

Nousposons alors ladenitionsuivante :

Denition 1.4.2. Soit (u n

)unesuite de solutionsde (ESM) denie sur. On pose

alors :

B(u n

)=fQ2j (W

n

(Q)) est borneeg (1.28)

B(u n

) est appele domainede onvergen e de la suite (u n

).

LeLemme1.4.1adeux onsequen es importantes surledomainede onvergen e

de (u

n

). Tout d'abord, il implique que B(u

n

implique que lasuite (W n

) est uniformement bornee sur tout ompa t du domaine

de onvergen e. Ainsi si P est un point de B(u

n

) et C est la omposante onnexe

de B(u

n

) ontenant P, il existe une sous-suite (u n

0 u

n 0(P

)) qui onverge vers

une solution de l'equation des surfa es minimales sur C (la onvergen e est elle

du Theoreme 1.3.3). Ce i justie le nom donne a B(u n

). Tout le probleme de la

onvergen e se porte don sur la omprehension de B(u

n

) ou, plus pre isement, de

son omplementaire.

1.4.2 Les lignes de divergen e

Considerons P un point dans le omplementaire du domainede onvergen e. Il

existe alors une sous-suite (u n

0

) telle que W n

0(P

) ! +1. Par ailleurs, la normale

augraphe de u

n

au point (P;u n

(P)) nous est donnee par :

N n (P)=  u nx (P) W n (P) ; u ny (P) W n (P) ; 1 W n (P)  (1.29) u nx est la derivee de u n

par rapport a x, on rappelle aussi le hoix de la normale

pointant vers le bas. Nous pouvons don supposer que la normale N

n

0(P) onverge

vers un ve teur unitairehorizontal N. On a alors le resultat suivant :

Theoreme 1.4.3. Soient un domaine de R

2 et (u

n

) une suite de solutions de

(ESM) sur . Soit P 2 et N un ve teur unitaire horizontal, on note L la

geodesique de passant par P et normale a N. Si la suite des normales (N n

(P))

onverge vers N, alors (N n

(Q)) onverge vers N pour tout point Q de L.

Pre isons tout d'abord que la geodesique L est juste la omposante onnexe

ontenant P de l'interse tion de ave la droite de R

2

passant par P et normale



aN. Ce resultatest en fait le Theoreme 2.4.3, lapreuve est basee sur leTheoreme

2.4.2 qui est un resultat lo al.

Denition 1.4.4. Ave les notations i-dessus, si L est une geodesique de telle

que (N

n 0

(Q)) onverge vers N pour tout point Q de L ave N un ve teur unitaire

horizontaletnormalaL, Lest appelee une ligne de divergen e de lasuite (u n

).On

dira,de plus, que lasous-suite d'indi e(n 0

)fait appara^trela lignede divergen e L.

On omprendmaintenantle omplementairedudomainede onvergen e,eneet,

siune sous-suiteN n

0

(Q) onverge versun ve teurhorizontal,alors(W n

(Q))est

non-bornee. Ainsi le omplementaire de B(u n

) est l'union des lignes de divergen e de

(u n

).

La onvergen e de la normale le long d'une ligne de divergen e se traduit sur

la suite (

n

) des onjuguees des fon tions u n

. Ainsi, onsiderons L une ligne de

divergen eave ,parexemple,N

n 0

borne de L oriente par v un ve teur dire teur de la droite hoisi de telle fa on que

(N;v)soit une base dire te.On aalors :

lim n 0 !+1 Z T d n 0 =jTj (1.30)

D'unemaniere generale, 'est ette ara terisationdes lignesde divergen e quel'on

utiliserapar la suite.

1.4.3 Quelles lignes de divergen e existent?

On vient de voir que l'etude de la onvergen e d'une suite (u n

) de solutions de

l'equation des surfa es minimales passe par la omprehension des lignes de

diver-gen e qui lui sont asso iees. La question qui se pose est, en fait, de omprendre

quelles hypotheses sur la suite (u n

) permettent d'interdire a telle ou telle ligne de

divergen e d'appara^tre. Les lignes de divergen e etant des geodesiques, elles

ren- ontrent le bord du domaine ou partenteventuellement a l'inni si le domaine est

non-borne. Ce sont don des onditions sur les valeurs de u n

au bord que l'on va

imposer; e type de ondition est naturel puisque l'etude de la onvergen e d'une

suite est un outilpour laresolutiondu probleme de Diri hlet.

Le premier resultat que l'on peut donner on erne le as ou les fon tions u n

prennent toutes une valeurinnie le long d'un segment du bord du domaine.

Proposition1.4.5. Soit (u

n

) une suite de solutions de (ESM) sur ℄0;1[ 2

telle que,

pourtout n,la fon tion u n

tendevers+1le long def1g℄0;1[. Alors, au une ligne

de divergen e de la suite (u n

) n'a le point (1; 1

2

)pour extremite.

Cette proposition nous dit qu'une ligne de divergen e ne peut pas avoir pour

extremiteun pointoula suiteprend une valeur innie. Ce resultatest prouvedans

l'appendi e 3.8, il s'agit du Lemme 3.8.3. Interessons nous maintenant au as oula

valeur aubord est une onstante.

Lemme 1.4.6. Considerons un domaine dontune partiedu bord C est re tiligne

et(u n

)une suite de solutions de (ESM) tellequeu n

prenne la valeur n

2R lelong

de C. Alors au une ligne de divergen e de la suite (u

n

) n'a un point interieur a C

pour extremite.

Demonstration. Supposons que L soit une ligne de divergen e de lasuite u

n ayant

lepointP 2C pour extremiteet, de plus, que N n

(Q)!N pour tout pointQ 2L

(N est normalaL).Quittea onsidererunvoisinagede P etafaireunehomothetie,

on peut supposer que le domaine est D

+ = f(x;y) 2 R 2 j x 2 +y 2 < 1; y > 0g, C =℄ 1;1[f0g etP =(0;0).

Lafon tion u n

onverge vers n

lelong de C, don ,par re exion de S hwarz, on

peut etendre u n

en une solution de (ESM) denie sur D =f(x;y)2 R

2 j x 2 +y 2 <

1g. Maintenant pour un point Q de L, on a toujours N

n

(Q) ! N don la ligne

de divergen e L s'etend a tout le disque et N n

(0;0) ! N. Par ailleurs, u n

etant

onstantelelongdel'axedesreels,lanormaleenl'origineaunepremiere oordonnee

nulle. Ainsi le ve teur limite N est (0;1;0) e qui est impossible puisque L est

in lusedans ledemi-disque superieur.

On va generaliser e resultat a d'autres donnees nies sur le bord; mais avant

ela nous devons pre iser le omportement de la suite des graphes au dessus d'une

ligne de divergen e.

Proposition1.4.7. Considerons un domaine, P un point de et (u

n

) une suite

de solutions de (ESM) . Supposons que N

n

(P) ! N ave N un ve teur unitaire

horizontal, on note 2R la distan e de P au bord du domaine . Alors, si D

n (R )

designele disque geodesique du graphe de u n de entre (P;u n (P)) et de rayon R , la suite(D n

(R )) onvergeversundisqueplatderayonRetnormalaN (la onvergen e

se fait a translationverti ale pres).

Demonstration. Tout d'abord, quitte a restreindre le domaine et a faire une

ho-mothetie, on peut supposer que est le disque unitaire, que P en est le entre et

que N = (1;0;0). On se trouve don dans la situation du Theoreme 2.4.2, on va

utiliserles m^emes outilsque dans la preuve de elui- i.

Fixons ertainesnotations, onpose p n = u n x etq n = u n y

;onpeutalors denir

 n :(x;y)7!(;) ave  n (0;0)=(0;0) et: d =  1+ 1+p 2 n W n  dx+ p n q n W n dy (1.31) d = p n q n W n dx+  1+ 1+q 2 n W n  dy (1.32) Onsaitque n

est undieomorphismesurson image ar n

augmentelesdistan es

etque(;)sontdesparametres onformespourlegraphedeu n

.Finalement,onnote

g n

(+i)l'appli ation de Gauss.Comme

n

augmentelesdistan es,l'imagede 

n

ontientledisqueunitaireduplandes parametres(;).Notreetudevamaintenant

se restreindre a e disque D. De plus, on sait, par hypothese sur la normale, que

la suite (g n

) onverge vers 1 sur D (voir la demonstration du Theoreme 2.4.2), la

onvergen e est uniforme sur tout ompa t du disque. Ce i prouve que pour tout

">0et tout <1,si n est assez grandon a:

p n W >1 " ; jq n j W <" et 1 W <" (1.33)

sur  1 n (D(0; )). On note (x n ;y n ) = 1 n

sur le disque unite alors, si z n = u n (x n ;y n ), (x n ;y n ;z n )

sont lesfon tions oordonnees pour legraphe de u n

dans les parametres onformes

(;).On a alors : rx n =  W n +1+q 2 n J n W n ; p n q n J n W n  Æ(x n ;y n ) (1.34) ry n =  p n q n J n W n ; W n +1+p 2 n J n W n  Æ(x n ;y n ) (1.35) rz n =  W n p n +p n J n W n ; W n q n +q n J n W n  Æ(x n ;y n ) (1.36) ave J n = det (d n ) = W n + 2+ 1 Wn

. On en deduit que le fa teur onforme de

la metrique vaut Jn

Wn

. D'apres les equations (1.33), le fa teur onforme tend vers

1 uniformement sur tout ompa t du disque, don pour n assez grand le disque

geodesique D n

(1=2) est in lus dans la partie parametree par le disque de entre

l'origineetde rayon3=4 du plan .Lesmajorations (1.33)et lesequations (1.34),

(1.35) et (1.36) montrent que rx n ! (0;0), ry n ! (0;1) et rz n ! (1;0), les

onvergen es sont uniformes sur le disque de rayon 3=4. Ce i prouve que la suite

des disques geodesiques D n

(1=2) onverge bien vers un disque plat normal a N =

(1;0;0).

Enutilisant eresultat,nousallonspouvoirdemontrer leresultatsuivantquiest

une generalisationdu Lemme 1.4.6 :

Proposition1.4.8. Soient un domainede R

2

, C un ar onvexeappartenantau

bord de et (f

n

) une suite de fon tions ontinues denies sur C, on suppose que

(f n

) onverge uniformement vers f, une fon tion ontinue sur C. Considerons(u n

)

une suite de solutions de l'equation des surfa es minimales sur telle u n

= f

n le

long de C; alors au une ligne de divergen e de la suite (u n

) n'a un point interieur



a C pour extremite.

Demonstration. Tout d'abord, d'apres le Lemmede laligne droite 1.3.4 et l'estime

(1.19), le resultat est vrai si C est stri tement onvexe (i.e. ne ontient pas de

segment).

On supposeradon maintenantqueC estun segment.Supposons queLsoitune

ligne de divergen e de lasuite (u n

)ayant un point P interieur a C pour extremite.

Pour simplier,on supposera que N

n

(Q)!N pour tout point de L. De m^eme que

dansleLemme1.4.6,quittea onsidererunvoisinagedeP etafaireunehomothetie,

onpeut supposer que =D

+

, C =℄ 1;1[f0g et P =(0;0).

Considerons">0,ilexistealors0<<1telquesur℄ ;[f0g,jf f(P)j<

".Onposealors,pourtoutn 2N,g n

g n = f(P) et sur Cn℄ ;[f0g, g n = f n

. Alors en utilisant le Theoreme 1.3.5,

on denit sur D +

la solution v n

de l'equation des surfa es minimales satisfaisant

v n = g n le long de C et v n = u n

le long du reste du bord du domaine. La preuve

onsiste a montrer que la suite v n

admet L omme ligne de divergen e e qui est

impossibled'apres leLemme 1.4.6.

Tout d'abord, onstatons que, pour n assez grand, ona f

n 2" <g n <f n +2"

ainsi, d'apresle prin ipe du maximum, pour n assez grand:

u n 2"<v n <u n +2" (1.37)

Pour simplier, dans e qui suit, on supposera que es inegalites sont satisfaites

pour tout n. Le graphe de v

n

est ainsi ompris entre le translate de 2" vers le bas

du graphe de u

n

et son translate de 2" vers lehaut.

FixonsunpointQappartenantalalignededivergen eLetnotons2Rladistan e

deQauborddeD

+

.Alors,gr^a ealaProposition1.4.7,on onnaitle omportement

du graphe de u

n

au voisinage du point (Q;u

n

(Q)). On xe maintenant " de sorte

que R > 4". Nous nous interessons au omportement des derivees de v n

au point

Q, tout se passe don a une translation verti ale pres; nous supposons don que

u n

(Q)=0.

Supposonstout d'abord quela suite(W

vn

(Q)) soitbornee, on a 2"<v n

(Q)<

2", don il existe une sous-suite v n

0

qui onverge vers v sur un disque entre en Q

etde rayonr. On a 2"v(Q) 2".Par ailleurs,le disque geodesique du graphe

de u n

2" de rayon R etde entre (Q; 2") onverge vers le disque plat de entre

(Q; 2") et de rayon R normal a N. Comme R > 4", e disque et le graphe de v

s'interse tent transversalement etdon pourn 0

assezgrand,lesgraphes de v n

0 etde

u n

0

2" s'interse tent e qui est impossible d'apres(1.37).

Si (W

v n

(Q)) n'est pas bornee, on peut supposer que la suite des normales aux

graphes de v n , (N vn ), verie N v n 0 ! N 0 ave N 0

un ve teur unitaire horizontal. Si

N 0

= N alors L est une ligne de divergen e pour la suite v

n

, la preuve est alors

nie.MontronsqueN

0

6=N estimpossible.D'apreslaProposition1.4.7,lesdisques

geodesiques des graphes de v n

0 de entre (Q;v n

0(Q)) et de rayon R onvergent vers

un disque plat de rayon R , de entre (Q;t) (ave 2"  t  2") et normal a N 0

.

Ce disque plat interse te transversalement ledisque limite des disques geodesiques

des graphes de u

n

2" de entre (Q; 2")et rayon R puisque N 0

6=N et R>4".

Don pour n

0

assez grand, les graphes de v

n 0

et u n

0

2" s'interse tent, e qui est

impossibled'apres (1.37).

Les propositions 1.4.5 et1.4.8 permettent d'interdire dire tement l'existen e de

ertaines lignes de divergen e. L'etude du domaine de onvergen e ne essite aussi

parfoisde omprendrele omportementd'uneeventuellelimitedelasuite(u n

).Dans

Proposition 1.4.9. Soit (u n

) une suite de solutions de (ESM) sur ℄0;1[ 2

telle que

(u n

) onverge vers une solution u et telle que l'on soit dans l'un des deux as

sui-vants :

 pour tout n 2N, la fon tion u

n

tend vers +1 sur f1g℄0;1[, ou,

 pour tout n2N, la fon tion u n est la restri tion a ℄0;1[ 2 d'unesolution v n de

(ESM) denie sur℄0;2[℄0;1[et, pourtouty 2℄0;1[, onaN n

(1;y)!(1;0;0).

Alors, la fon tion limite u tend vers +1 sur f1g℄0;1[.

Il s'agit du Lemme 3.8.4.

1.4.4 Remarques

Nous avons enon e les resultats i-dessus dans un ertain adre pour avoir une

ertaineunitedanslesenon es,nousallonsmaintenantdonnerquelquesexpli ations

sur ertains adresplus generaux ou onpeut les appliquer.

Tout d'abord, il se peut que le domaine de denition de la suite ne soit pas

xe.Don onsideronslasituationd'unesuitededomaine( n

)etdessolutions(u n

)

de(ESM)deniessur

n

,onsouhaiteparlerde la onvergen ede lasuite(u n

).Tout

d'abord, si la suite de domaine est roissante, on peut appliquer les resultats des

se tionspre edentes sur ledomainelimite qu'estlareuniondes n

.Lorsquelasuite

n'est pas roissante, il faut pouvoirdonner un sens au domainelimite. Le domaine

que l'on onsidere dans e as est l'interieur de la limite inferieure des n

,

'est-

a-dire qu'un point est dans et ensemble si il existe un voisinage de e point dans

R 2

qui est in lus dans tous les

n

pour n assez grand. Pour e domaine limite on

peut alors appliquer lesresultatssur leslignes de divergen e. On peut, entre autre,

adapter les propositions 1.4.5, 1.4.8et 1.4.9 pour lesappliquerdans e adre.

Ladeuxiemeremarquequel'onpeut faire on erne lageneralisationdelanotion

de domaine. On verra dans les hapitressuivants que, pour traiterun nombre plus

grand de surfa es minimales omme des graphes, on introduit la notion de

multi-domaine:ils'agitessentiellementd'unespa equiest lo alementundomainede R 2

.

Onetudiera,sur esmulti-domaines,lessuitesdesolutionsdel'equationdessurfa es

minimales.Pour faire ette etude, onpourra alors utiliser leslignes de divergen es

(leTheoreme 1.4.3 est d'ailleurs prouve dans le adre des multi-domaines).

La derniere remarque que l'on va faire explique que les lignes de divergen e

etudient plus la suite des derivees de u n

que la suite (u n

) elle-m^eme. Considerons

sur un domaine deux suites de fon tions (p

n )et (q n ) satisfaisant : 1. p n y = q n x et 2. div (p n ;q n ) p 1+p 2 +q 2 .

La premiere equation nous dit que, lo alement, il existe une fon tion u n dont p n et q n

sont les derivees et la se onde equation nous dit que u n

satisfait (ESM). On

peut alors mener l'etude de la onvergen e de la suite (p

n ;q

n

) omme elle des

solutions de (ESM) : on a un domaine de onvergen e qui orrespond au point ou

(p n

;q n

) reste bornee et, sur le domaine de onvergen e, des sous-suites (p

n 0 ;q n 0 )

onvergeant vers (p;q) un ouple de fon tions satisfaisant les deux equations

i-dessus. Le omplementaire du domaine de onvergen e orrespond a des lignes de

divergen e. Ce point de vue est interessant si le domaine n'est pas simplement

onnexe,onpeutainsi etudierla suitedes derivees m^emesi elles- idenissent une

De nouveaux outils pour le

probleme de Diri hlet et le

probleme de Plateau a l'inni en

genre 0

Ce hapitre reprend un arti le dont letitre originalest <The Diri hlet problem

fortheminimalsurfa esequationandPlateauproblematinnity>;ilappara^tdans

labibliographie ala referen e[Ma1℄.

Le but de e papier est de donner une nouvelle preuve d'un resultat donne par

C. Cosn et A. Ros [CR ℄ qui aÆrme que si un polygone borde un disque immerge

alors e polygone est lepolygonede uxd'un r-nodede genre 0Alexandrov plonge

(Theoreme 2.5.3). Un exemple d'un tel r-node est donne par la gure 2.1, ils'agit

d'un exemple onstruit par L.P. Jorge etW.H. Meeks [JM ℄ (l'imageest fournie par

labiliotheque desurfa esminimalesdeGRAPE[MSL℄).Pour resoudre eprobleme,

nous introduisons la notion de multi-domaine qui permet de traiter un plus grand

nombre de surfa es minimales en tant que graphes. Les deux resultats importants

de e papier sont le Theoreme 2.3.2 qui pre ise le omportement du graphe d'une

solutionde (ESM) lorsque l'on passe de ladonnee aubord +1ala donnee 1 et

leTheoreme 2.4.3quipermetd'introduirelanotiondelignede divergen epourune

suite de solutions de l'equationdes surfa es minimales.

2.1 Introdu tion

One lassi al way to onstru t minimal surfa es in R

3

is to see them as the graph

of a fun tion u over a domain  R

2

(see for example the paper of H. Kar her

Fig. 2.1 { Un exemple de 3-node

dierential equation alled the minimal surfa es equation:

div ru p 1+jruj 2 ! =0 (MSE)

Theproblemwhi hisasso iatedtothispointofviewistheDiri hletproblemfor

the equation (MSE) : for a domain and a fun tion f on , this problem onsits

innding a ontinuous fun tionu on whi h isa solution of the minimalsurfa es

equation in and su hthat u=f onthe boundary of . One of the most general

answers tothe Diri hletproblemfor bounded domainhas been given by H.Jenkins

and J. Serrin in [JS℄. They give a ni e ondition on the domain to solve for any

fun tion f; moreover, their result allows us to give innite value for the boundary

dataf. Forunbounded domain,the Diri hletproblemisstillanopen problem. We

know that, in the general ase, we lose the uniqueness of solution. In this paper,

using anew approa h, we develop some tools for the study of this problem.

An other interesting and still open problem on erning minimal surfa es is the

Plateau problem at innity whi h is the following: nding a minimal surfa e for a