Résonances sur les variétés asymptotiquement hyperboliques

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Résonances sur les variétés asymptotiquement

hyperboliques

Colin Guillarmou

To cite this version:

Colin Guillarmou. Résonances sur les variétés asymptotiquement hyperboliques. Mathématiques

[math]. Université de Nantes, 2004. Français. �tel-00006860�

(2)

FACULTÉDESSCIENCESETDESTECHNIQUES

ÉCOLEDOCTORALESCIENCESETTECHNOLOGIES DE L'INFORMATIONETDESMATÉRIAUX

Année: 2004 N

Æ B.U.:

RÉSONANCES SUR LES VARIÉTÉS

ASYMPTOTIQUEMENT HYPERBOLIQUES

THÈSE DE DOCTORAT

Spé ialité: Mathématiqueset appli ations

Présentée etsoutenuepubliquement par

Colin GUILLARMOU

le16juin2004, devantlejury i-dessous

Président : GillesCARRON Professeur(Nantes) Rapporteurs : PeterPERRY Professeur(Kentu ky)

VesselinPETKOV Professeur(Bordeaux) Examinateurs : Ni olasBURQ Professeur(Paris-sud)

LaurentGUILLOPÉ Professeur(Nantes) VesselinPETKOV Professeur(Bordeaux) GeorgiVODEV C.R.duCNRS(Nantes) Ma iejZWORSKI Professeur(Berkeley)

Dire teurde Thèse : LaurentGUILLOPÉ(UniversitédeNantes) N

Æ

(3)

Je tiens tout d'abord àexprimer ma profonde re onnaissan e enversLaurent Guillopé pouravoirsumeguiderdepuislamaîtrisejusqu'àl'aboutissementde ettethèse. Travailler soussadire tion auraétéuneexpérien etrèsenri hissante.

Je voudrais ensuite remer ier Peter Perry et Vesselin Petkov pour avoira epté d'être rapporteursde etravailainsiquepourleurs ommentaires.

Jesuisaussitrèshonorédelaprésen edanslejurydeNi olasBurq,GillesCarron, Ves-selinPetkov, GeorgiVodevet Ma iej Zworski. Je lesremer ie touspour leurdisponibilité, leursympathieet l'intérêtqu'ilsontmanifestépourmontravail.

JepenseaussiausoutiendudépartementdeMathématiquesdeNantesetduCIESGrand Ouest,sansqui ette thèsen'auraitpeut-êtrepasabouti. Par ailleurs,lesautresdo torants ont ertainementjouéunrleimportantpendant esquatreannées,autantpourleurs on-seils,leur uriositéet leurdisponibilitéquepourleuramitié.

(4)

(5)

1 Quelquesrappelset adre de travail 14

1.1 Introdu tion. . . 14

1.2 Paritédelamétrique. . . 15

1.3 Densités,distributions . . . 18

1.4 Théoriespe traledulapla ien . . . 19

2 Prolongement méromorphede la résolvantepour une métrique paire 22 2.1 Variétésé latées . . . 23

2.2 Petit al ul . . . 27

2.3 Opérateurnormal . . . 30

2.4 Equationsindi ielles . . . 40

2.5 Continuitéet normedureste . . . 43

2.6 Prolongementméromorphedelarésolvante . . . 46

2.7 Majorationdunombrederésonan esdansdesbandes . . . 48

3 Etude de la résolvante près de 1 2 (n N) 50 3.1 OpérateurdePoisson,opérateurdediusion . . . 50

3.2 Equivalen esentre méromorphies . . . 55

3.3 Méromorphieet parité . . . 58

3.4 Singularitésessentiellesdelarésolvante . . . 62

3.5 Exemples ave pointd'a umulationderésonan es . . . 64

3.6 Un résultatinverse . . . 67

4 Uneformule de multipli ité 70 4.1 Lemmes préliminaires . . . 70

4.2 Laformuleet sonintérêt. . . 75

5 Absen e de résonan e près de l'axe ritique 78 5.1 LerésultatdeCardoso-Vodev . . . 78

5.2 Deux modèles . . . 79

5.3 Zonessansrésonan e . . . 82

A Fon tions méromorphes dans des espa esde Bana h 90 A.1 Dénitions etnotations . . . 90

A.2 Quelquespropriétésutiles . . . 90

A.3 RappelssurlathéoriedeGohberg-Sigal . . . 93

(6)

(7)

Sur une variété riemanienne lisse ompa te (X;g) le spe tre ( g

) du lapla ien g

est onstitué d'une suite de valeurs propres de multipli ité nie tendant vers +1. La ré-solvante ( g s) 1 de g

est don une famille méromorphe dans C d'opérateurs bornés surL

2

(X;dvol g

)dontles ples sontlesvaleurspropresde g

et lesrangs des résidussont lesmultipli itésde es valeurspropres.

Si la variété n'est pas ompa te on voit en géneral apparaîtredu spe tre essentiel, les premiersexemplesgéométriquesétantl'espa eeu lidien (R

n+1 ;g e )et l'espa ehyperbolique (H n+1 ;g h

) (ave n 1) dont les lapla iens asso iés possèdent uniquement du spe tre es-sentiel ( g e ) =[0;+1) et ( g h ) =[ n 2 4

;+1). Si onprend n pair pour simplier, il est relativementdire tdevérierquepourtoutN >0,lesrésolvantesmodiées

R e (z):=( g e z 2 ) 1 ; R h (z):=( g h n 2 4 z 2 ) 1

dénies sur f=(z) < 0g seprolongent dans les demi-plans omplexes f=(z) < Ng en une familleholomorphed'opérateursbornésdansdesespa esL

2

àpoids(lepoidsdépenddeN). On dit alors que larésolvante se prolonge holomorphiquementdans C à traversle spe tre essentiel,quiétaitreprésenté parla`droite ritique'f=(z)=0gpourlenouveau paramètre spe tral z

2

. Une propriété remarquable du spe tre essentiel est qu'une perturbation om-pa te de la métrique sur une variété riemannienne omplète non- ompa te ne hange pas le spe tre essentiel du lapla ien riemannien. En appliquant e i à nos deux variétés on-sidéréesaudessus, onpeutmontreràl'aidedu théorèmedeFredholmanalytique quepour une perturbation ompa teg des métriques g

e et g h , la résolvante modiée de g se pro-longeméromorphiquement àC ave ples de multipli ité nie, au sensoù lapartie polaire dudéveloppement de Laurent en haqueple est onstituéed'opérateursde rang ni. Les ples provenant de e prolongement sont en quelque sorte les valeurs spe trales dis rètes orrespondantauxvaleurspropresdu as ompa t,onlesappellerésonan es.

A l'instar des valeurspropresdu lapla ien sur une variété ompa te, ellesapparaissent dans des formules de tra e et ontiennent des informations géométriques et dynamiques. Il est par exemple établi que la présen e de résonan es, leur position et leur distribution asymptotiquedansleplan omplexesontfortementliéesàl'ensembledesgéodésiques aptées dans des ompa ts. Une fois le prolongementméromorphe obtenu, les premiers problèmes intéressantsasso iés aux résonan essontde donnerle omportementasymptotique deleur fon tionde omptage N(R ) (i.e. lenombre de résonan es dansun disque D(0;R ) C de rayonR ) et d'étudier lesrésonan es pro hesde l'axe ritique, ellesqui ont leplusde sens physiquement.

Si l'on ne onsidère i i que des résonan es de nature géométrique, les notionsque l'on vient d'introduire proviennentàl'originedel'étude del'opérateurde S hrodinger

g e

+V pour unpotentielV borné àsupport ompa tet elless'étendent àdesperturbations om-pa tesrelativement généralesde

ge

. Pourdetelles perturbations ompa tes,lesrésultats deMelrose[28℄,Zworski[43℄,Sjostrand-Zworski[38℄, Vodev[40℄montrentengéneralla ma-jorationoptimaleN(R )=O(R

n+1

)maisilexisteseulementquelques asparti uliersoùune asymptotique,voireune minoration,deN(R )est onnu.

Ilestnatureldesedemandersilemêmetypedeprolongementsméromorphesàtraversle spe treessentielestpossibledansdes adresgéométriquesrelativementgénéraux ommedes perturbations nonné essairement ompa tes d'espa es symétriques. Lespremiers exemples quel'on peut itersontlesquotientsde H

n+1

pardes groupesdis retsd'isométries,ils ont été étudiés ave su ès par Guillopé et Zworski [14, 15, 16℄ pour n = 1 puis pour n > 1

(8)

d'une majoration de la fon tion de omptage des résonan es N(R ) = O(R n+2

) (la majo-ration optimaleN(R ) =O(R

n+1

) pour n >1 étant due àCuevas et Vodev [8℄) ainsi que d'uneminorationN(R )CR

2

pourn=1. D'unautre té, Melrosearemarquéquedans beau oup de as géométriques la variété riemannienne omplète non ompa te (X;g) est l'intérieurd'unevariété ompa teàbord

X(lebordestl'innideX)surlaquellelelapla ien

g

seprolongeenunopérateurà oe ientslissesmaisdégénéré(nonelliptique)surlebord

X. Lanature de ette dégénéres en esur

X déterminelesdiérentstypesdegéométries prèsdel'inni etMazzeo,Melrose,Mendoza[29,24,22,23,26,27℄ ontdéveloppéun al ul pseudo-diérentieladaptéàl'analysede esdiversproblèmesàbord.

Le asquinousintéressemodéliseenquelquesortedesperturbationsdequotients onvexes o- ompa ts de l'espa e hyperboliqueréel, il s'agit de variétés omplètes dont la ourbure onvergevers 1àl'inni. Pluspré isemment,soit

X =X[

X unevariété ompa telisse àborddedimensionn+1etx unefon tiondénissantlebord(i.e.

X =fx=0getdxj

X nes'annulepas),on ditqu'unemétriqueg sur X est asymptotiquement hyperbolique six

2 g seprolongeenune métriquelissesur

X et si jdxj x 2 g =1sur

X. Cettedernière ondition assureenfaitquela ourburedeg onvergevers 1aubordetelleimpliquequ'ilexisteune fon tionxdénissant

X, unvoisinage ollierdubordU x

:=[0;)

X asso iéàxet une famillelisseh(x)demétriquessur

X pourx2[0;)telsque

g= dx 2 +h(x) x 2 (0.1) dans le ollier U x

. On peut vérier que H n+1

et ses quotients par des groupes onvexes o- ompa tssontasymptotiquementhyperboliques. Ces variétéssontl'objetdenombreuses études, en parti ulier elles qui vérient asymptotiquement l'équation d'Einstein ar elles jouentunrleimportantenphysique.

Unevariétéasymptotiquementhyperboliqueestné essairement omplèteetlespe tredu lapla ien

g

agissantsurlesfon tionsest onstituédespe treessentiel ess ( g )=[ n 2 4 ;+1)

puisd'unnombrenidevaleurspropresformantlespe tredis ret pp ( g )(0; n 2 4 ). Ave lenouveauparamètrespe tral(n ),larésolvantemodiéedulapla ien

R ():=( g

(n )) 1

estdon unefamilleméromorphesurf<()> n 2

gd'opérateursbornéssurL 2

(X;dvol g

),ave desplesdemultipli ité nieauxpoints

e telsque e (n e )2 pp ( g ).

En utilisantlathéoriedéveloppéeinitialementparMelrose,Mazzeoet Melrose[24℄sont parvenusàmontrerl'existen eduprolongementméromorpheave plesdemultipli iténie deR ()dansC n

1 2

(n N). Commel'ontremarquéBorthwi ket Perry[4℄,ilsembleàpriori possiblequelespoints

1 2

(n N) soientdesplesdemultipli itéinnie,voiredessingularités essentielles,pour larésolvante prolongée. Cependant, Guillopé et Zworski [15℄ ontmontré queR () seprolongesur C tout entier si la ourburede lavariétéest onstante horsd'un ompa t et les exemples onnus laissent penser que es points

1 2

(n N) ne sont pas plus singuliers que des ples de multipli ité nie. La lé utilisée par Guillopé et Zworski pour lesanalyser n'est pas tant l'hypothèse de ourbure mais pluttla stru ture spé iale d'une tellevariétéprèsdel'inni,àsavoirqu'ilexisteunefon tionxdénissantlebordde

X telle que la métrique x

2

g reste lisse en la variable := x 2 pour 2 [0; 2 ) (i.e. x 2 g est `paire enx'). Ce i nous onduit àdénir lanotionde métrique paire ommeétant une métrique asymptotiquementhyperboliquetelle quela familleh(x) de(0.1) ait undéveloppementde

(9)

dénitionnedépendenfaitpasdu hoixdex).

On montreraalorsdans un premiertemps (Théorème 2.5)que sous ette hypothèsede parité,larésolvanteR ()seprolongeméromorphiquementave ples demultipli iténie à C tout entier, e i en ombinant les onstru tionsde Mazzeo-Melrose [24℄ et de Guillopé-Zworski[15℄. Notonsque etteétudenouspermetdedonnerunemajorationpolynmialeen Rdunombrederésonan esdansdesbandes(Theorème2.7)

f2C;<( )> n 2

N;j=()jR g

maisle degrédupolynmedépend deN et lerésultat n'estpar onséquent vraisemblable-ment pas optimal. A notre onnaissan e, au une majoration des fon tions de omptage desrésonan esn'a ependantétédémontréesurunevariétéasymptotiquementhyperbolique quel onque.

Dansunese ondepartieonpeutsedemandersi eshypothèsesdeparitésontné essaires à l'existen e d'un prolongement méromorphe de R () à C. En réalité, es problèmes de prolongements sont essentiellement équivalents à des problèmes de diusion dont l'étude dans e adregénéralest d'aborddue àJoshietSá Barreto[19℄puisàGraham et Zworski [12℄, en rappelantque Perry [31, 32℄, Guillopé-Zworski [16℄, Mandouvalos[20℄ avaientdéjà largementtraitéladiusionsurlesquotientshyperboliques. Leprin ipeestdetrouver,pour f 2C 1 ( X)xéeet<()= n 2 (ave 6= n 2 ),unesolution F()=x n F 1 ()+x F 2 (); F i ()2C 1 ( X); i=1;2 de( g (n ))F()=0tellequeF 1 ()j X =f. OnappelleraalorsS():f !F 2 ()j X l'opérateur de diusion agissant sur C

1 (

X). Joshi et Sá Barreto [19℄ montrentque son noyau de S hwartzpeut être exprimé à partir dunoyau de S hwartz de R (), impliquant don unprolongementméromorpheausens faiblede l'opérateurS() àC n

1 2

(n N). Par ailleurs, on vérie que les propriétés de méromorphie de R () aux points

1 2

(n N) sont retrouvées àpartirde elles deS(). Lesrésultats de[19℄ et [12℄montrentquel'opérateur de diusion pour ette géométrie est de nature diérente de elui asso ié à la géométrie eu lidienne puisque S() est i i une famille méromorphe d'opérateurs pseudo-diérentiels d'ordre2 nquipossèdetoujoursdesplesd'ordre1etdemultipli itéinnieen2

n 2

+N et dans ertains as en 2

n 1 2

+N. Ces ples qui apparaissent dans la partie physique f<() >

n 2

g sont en fait l'objet prin ipal de l'arti le ré ent de Graham-Zworski [12℄ qui donne une présentation simple et expli ite des opérateurs de Poisson et de diusion tout en permettant de al uler lesrésidus de S() sur

1 2

(n+N). Modulo le spe tredis ret, e sontdesopérateursdiérentielssur

X dont ertainsontune signi ationparti ulièresi la variété(X;g)estasymptotiquementEinstein puisqu'ilsapparaissentessentiellement omme lespuissan es onformesdu lapla ien sur (

X;h 0 )ave h 0 :=h(0)suivant (0.1). Quitte à fa toriserparunopérateurpseudo-diérentielinversible onvenable,S()devientunefamille holomorphed'opérateursFredholm d'indi e nul pour <()

n 2 et 2= 1 2 (n+N) (modulo lespe tredis ret), l'équation fon tionnelleS(n ) =S()

1

et la théorieFredholm nous permettentdon deretrouverleprolongementméromorphedeS()dansCn

1 2

(n N)( ette méthodeétait utilisée parPerry [31, 32℄ et Patterson-Perry [30℄). Etudier la méromorphie de S() et R () en

1 2

(n N) revient nalement à analyser S() 1

près de 1 2

(n+N) et ette analyse dé oule essentiellement du al ul des résidus de S() en

1 2

(n+N) de [12℄ et dequelqueslemmesd'analyse omplexe dansdesespa esdeBana h. Onobtientainsinotre résultatprin ipal

(10)

1. Larésolvantemodiée( g

(n )) 1

dulapla iensurunevariétéasymptotiquement hyperbolique (X;g)se prolonge méromorphiquement ave ples de multipli ité nie de f<()> n 2 gàC n( n+1 2 N). 2. Larésolvantemodiée( g (n )) 1

dulapla iensurunevariétéasymptotiquement hyperbolique (X;g)se prolonge méromorphiquement ave ples de multipli ité nie de f<()>

n 2

gàC si etseulementsig est unemétriquepaire.

3. Pourtoutk2N etk6= n+1

2

il existeunevariété asymptotiquementhyperbolique(X;g) de dimension n+1tellequelepoint

n+1 2

k soit limited'une suitede résonan es, e pointestdon une singularitéessentielle dela résolvanteprolongée.

4. Soit

X unevariétélisseàborddedimensionn+1>2etxunefon tiondénissantson bord. Il existe alors un ouvert dense de métriques asymptotiquement hyperboliques g surX pourlesquellesleprolongementde(

g

(n )) 1

aunesingularitéessentielle dansC, l'ensembledesmétriquesasymptotiquementhyperboliquessurX étantmunide la topologieinduite parx

2 C 1 ( X;T XT X).

unesuitederésonan es onvergeantvers n+1 2 kave k2N <()= n 2 0 n 2 N n+1 2 N

Figure1: Lesrésonan esde g

(11)

3.9,onserapporteraà eux- ipourdesénon éspluspré is.

L'apparition de singularités essentielles de la résolvante dans le feuillet non-physique f<()<

n 2

gestunphénomènerelativementinattenduet sembleêtre,ànotre onnaissan e, lepremierexempledetellessituations. Onpeut ependantle omparerau asd'unopérateur ayantunpointisolédanslespe treessentieletquiestlimited'unesuitedevaleurspropresde multipli iténie, ommeparexemplelesniveaux deLandau del'opérateurà hamps mag-nétique onstantperturbé par ertains potentielsen dimension paire[34℄. Sa hant que les résonan espournotreproblèmepeuventêtredénies ommelesvaleurspropresd'opérateurs nonauto-adjoints(d'aprèsletravaild'Agmon[1℄)onpeutimaginerquelessingularités essen-tiellesdelarésolvanteprolongéesoientdespointsisolésdanslespe treessentield'opérateurs nonauto-adjoints.

Le ara tèrené essaireetsusantdela onditiondeparitédegpourl'existen edu pro-longementméromorphede R ()ave ples demultipli ité nie montre bien l'instabilitéde tels prolongementsà desperturbations non- ompa teset il serait intéressant d'observer e quisepassepourdesperturbationssingulièresdelamétrique(enajoutantparexempledes termesenx

oulog(x) j

danslamétrique).

Dans une troisièmepartie ondonne une formulereliantlamultipli ité desrésonan es à la multipli ité des ples de l'opérateur de diusion S(). On pose d'abord l'opérateurde diusion`normalisé'introduit initialementparPerry[32℄

e S():=2 2 n ( n 2 ) ( n 2 ) (1+ h 0 ) + n 2 S()(1+ h 0 ) + n 2

puisondénit lamultipli itéd'unerésonan epuisd'unplede e S()par m( 0 ):=rang Res 0 ((n 2)R ()) ; ( 0 ):= Tr Res 0 ( e S 1 () e S 0 ()) où Res 0

désigne lerésidu au point 0

. En utilisant notre étude pré edente ainsi quedes résultatsdeGuillopé-Zworski[16℄etdeGohberg-Sigal[10℄, onmontrealorsle

Théorème2. Soit(X;g)unevariétéasymptotiquementhyperbolique,alors 0

2f<() n 2 g estune résonan esi etseulementsi 'est unplede S() etona

m( 0 )=m(n 0 )+( 0 ) 1l n 2 N ( 0

)dimkerRes n 0 S() si 0 = 2 n 2 N ou 0 (n 0 )2= pp ( g ),1l n 2 N

(:)étantlafon tion ara téristiquedel'ensemble n

2

N C.

CetteformuleétendunrésultatdeBorthwi ketPerry[4℄auxpoints 1 2

(n N) etrépond àune questionposée par Patterson-Perry [30℄. Notons que e résultat devient intéressant si (X;g) est asymptotiquement Einstein ar l'opérateur Res

n 2

+k

S() est essentiellement le k-ième lapla ien onforme sur (

X;h

0

) d'après [12℄. En parti ulier le al ul ré ent du di-viseuren

0

2C delafon tionZetasurunquotient onvexe o- ompa tparPatterson-Perry [30℄ et Bunke-Olbri h [5℄fait apparaître (modulo lespe tredis ret) leterme (

0

) qui est appelé `termespe tral'et un`termetopologique'si

0 2 N

0

quiest unmultiplede la ar-a téristiqued'Eulerde X. Si 0 2 n 2

N letermespe tralpeutdon êtrenonnul bien que S() et R () soient holomorphesen

0

( 'est le as de H 2n+1

), e i enraison des fa teurs Gammaque ontient

e

S(). On observealorsqueleterme spe traldudiviseur enunpoint n

2

ksedé omposeenfaitenunvéritabletermespe tral,àsavoirlamultipli itém( 0

(12)

sur ( X;h

0

). Perry [33℄ déduit de ette étude des diviseurs une formule de type Poisson permettantde donneruneminorationde lafon tion de omptage desples de

e

S()sur les quotients onvexes o- ompa ts. Une majoration desdimensionsdes noyauxdeslapla iens invariants onformessurle bord detels quotientsapporterait par onséquentune véritable minorationdunombrederésonan esdans es adrestypiquementgéométriques.

Pournirons'atta heraàmontrerquepourunevariétéasymptotiquementhyperbolique iln'y apasrésonan edansun voisinageexponentieldeladroite ritique f<()=

n 2

g. Ces problèmesinitialementétudiésparBurq[3℄pourlagéométrieeu lidienneontétéré emment omplétésdemanièresigni ativeparCardoso-VodevetVodev[7,41,42℄y omprispourle asdesquotientsdeH

2

. Onutiliseraunedeleursestiméessurlanormedelarésolvantesur l'axe ritiquepourobtenirle

Théorème 3. Soit (X;g) une variété asymptotiquement hyperbolique, il existe C 1 ;C 2 >0 telsque( g (n )) 1 seprolonge de f2C;<()> n 2 ;j=()j>C 1 gà f2C;j=()j >C 1 ;<()> n 2 C 2 e C2jj g

enune famille holomorphed'opérateursbornés dansdesespa esL 2

àpoids.

Ce résultat est optimal dans le as général puisque la onstru tion de quasimodes ex-ponentiellement pro hes de l'axe ritique est possible s'il existe une traje toire périodique elliptique. Le as parti ulier des métriques non- aptives à ourbure onstante hors d'un ompa t sera aussi étudié, on montrera l'existen e d'une bande près de la droite ritique ontenantauplusunnombreniderésonan es.

Onpeutdon résumerl'organisationdelathèsedelamanièresuivante: danslapremière se tiononintroduit lesdénitions etrappelsdebase pour ette géométrie,puisonreprend dansladeuxième se tionune partie dela onstru tionduprolongementméromorphede la résolvante suivantMazzeo-Melrose[24℄dansle asd'unemétriquepaire,tout en ontrlant lesnormesdes restes pour donnerune majoration dunombrede résonan es dans des ban-des; onmontre leThéorème1dans latroisième se tionaprès avoirrésumélesrésultatsde Joshi-SáBarretoetGraham-Zworskiquinousintéressentetonproterades al ulsee tués pourmontrer unrésultatdediusion inverse on ernantlespoints

1 2

(n+N). Pournir on donnerales démonstrations des Théorèmes 2 et 3dans les deux se tions suivantes et une annexe ontientquelquesrésultatsd'analyse omplexe danslesespa esdeBana hainsi que desestiméesdenormesde larésolvante dulapla ien surH

n+1

quinoussontutilespourles se tions2et5.

Pour on lure, onpeutespérerétendre à es variétésdiérents résultats onnus sur les quotients onvexes o- ompa ts, le premier étant une majoration optimale de la fon tion de omptage des résonan es si la métrique est paire. Il est lair que ette question pose demultiples problèmes, que e soit pour utiliser ladistorsionanalytique dans le as d'une métriqueanalytiqueoudansle hoixdemodèlessatisfaisantspourappliquerdesthéoriesde perturbations. NotonsennqueSjostrand[37℄(dansdes adressemi- lassiques)puisZworski [44℄etGuillopé-Lin-Zworski[17℄(surdesquotients onvexes o- ompa tsdeH

n+1

)donnent desbornesgéométriquesdunombrederésonan esprèsdel'axe ritique(dansdesvoisinages sous- oniquesoudansdesbandes), es bornesfontapparaîtreladimensiondeHausdorde l'ensemble des géodésiques aptées. C'est probablement letype de résultats optimaux qui peuventêtreobtenussurune variétéasymptotiquementhyperbolique.

(13)

quinedépendentpasdesparamètresquel'onfaitvarier,puisN =f1;2;:::getN 0 =N[f0g. PourN 2R, n2N onpose O N := n 2C;<( ) > n 2 N o Z k := n 2 ( k 2 +N 0 )C; k=1;2 B n+1 :=fm2R n+1 ;jmj<1g Soit (H i ) i=0;1;2

des espa es de Hilbert et (B i

) i=0;1;2

des espa es de Bana h. On note L(B 1 ;B 2 ) (ou L(B 1 ) si B 1 = B 2

) l'espa e des opérateurs linéaires ontinus de B 1 dans B 2 , puis pour p 1, S p (H 1 ;H 2 ) (ou S p (H 1 ) si H 1 = H 2

) désigne la lasse de S hatten d'indi ep,ave sanormeasso iéejj:jj

Sp

. Onutiliseraaussilanotationusuelle

hZi:=(1+jZj 2 ) 1 2 pour Z 2 R n

ou Z 2 C, puis ' désignera en général diéomorphe alors que =

désignera isométrique.

Enn,lesnotationsetdénitions on ernantlesappli ationsméromorphesàvaleursdans desespa esdeBana hsontdonnéesdansl'AnnexeA.

(14)

(15)

1.1 Introdu tion

Soit

X =X [

X unevariétélisse ompa teàborddedimensionn+1etx 0

une fon tion lissedénissantsonbord

X, 'est-à-dire x 0 0; X=fm2 X;x 0 (m)=0g; dx 0 j X 6=0

Onditqu'unemétriqueg lissesurl'intérieurX est onformément ompa tesi

H 0 :=x 2 0 g (1.1) seprolongesur

X enunemétriquelisse. Onappelleraaussi(X;g)(ouX quandiln'yapas de onfusionpossiblesurg)une variété onformément ompa te. La lasse onforme(notée [H 0 j T X ℄)delamétriqueH 0 j T X sur

X nedépenddon pasdu hoixdelafon tionx 0

,on l'appellel'inni onformedeg. Onpeutobserverque(jdx

0 j H 0 )j X

estluiaussiindépendant du hoixde x

0

et Mazzeo-Melrose [24℄ remarquentque les ourburesse tionnelles de g en m2 X tendentvers jdx 0 j 2 H 0 (y)si y 2

X et m !y. Ce i nous amèneàdénirles var-iétésasymptotiquementhyperboliques ommelesvariétés onformément ompa tesvériant (jdx 0 j H 0 )j X

= 1. Ces métriques sont omplètes et forment un adreraisonnable pour es-pérer généraliserdesrésultats dethéoriespe tralevalables surl'espa ehyperboliqueH

n+1 . Elles ontiennentd'autrepartl'ensembledesquotients onvexes o- ompa tsdeH

n+1 ainsi queleursperturbationssurdes ompa ts,maisle asdes` usps'n'entrepasdans etteétude.

x X

X

Figure2: Variété onformément ompa te

Si X est asymptotiquement hyperbolique, il est montré dans [11℄ ou [19℄ qu'il existe pour haquemétrique h

0 2[H 0 j T X

℄, une uniquefon tion x dénissantle bordde X telle que jdxj x 2 g = 1 dans un voisinage V x de X et H 0 j T X = h 0

. Il existe don un ollier U x :=[0; x )

X telqu'onait lediéomorphisme

: U x ! (U x )V x (t;y) ! t (y) (1.2)

(16)

t x g g= dt 2 +h(t;y;dy) t 2 ; h(0;y;dy)=h 0 (y;dy); h2C 1 (U x ;S 2 (T U x )) (1.3) ave S 2 (T U x ) T U x T U x

le bré des 2-tenseurs symétriques. On dit que (1.3) est uneformemodèle delamétriqueetoné rirag et xàlapla ede

g ett. Ondénit aussi l'ensembledesfon tionsdénissantlebordquiinduisentuneformemodèlepourlamétrique

Z g ( X):=fx2C 1 ( X);x0; X=x 1 (0);9 x >0;8m2x 1 ([0; x ));jdxj x 2 g (m)=1g

etGraham[11℄ adon onstruitunebije tion

[Hj T X ℄ !Z g ( X)

Letenseursymétriqueh(t;y;dy)de(1.3)denitunefamilledemétriquesh(t)surles hyper-surfa esfx=tg,et ette familledépenddu hoixdex2Z

g (

X).

Parexemplel'espa ehyperboliqueH n+1 dénipar H n+1 := B n+1 ;g h = 4jdmj 2 (1 jmj 2 ) 2

s'é ritsousformemodèleenposantx:=2 1 jmj 1+jmj H n+1 nf0g = (0;2)S n ; dx 2 +h(x) x 2 ; h(x):=(1 x 2 4 ) 2 g S n (1.4) g S n

étant la métrique anonique (de ourbure 1) sur la sphère S n

de dimension n. En oordonnéespolairessurH

n+1 ,onvériequex=2e t oùt(m)=d H n+1(m;e)estladistan e hyperboliquedupointm au entreedeH

n+1 (e=0

R

n+1 dans emodèle).

1.2 Parité de la métrique

Onpeutvériersanspeinequ'àk2N xé,la ondition

h(x) h(0)=O(x k

)

est invariante par hangementde fon tion x 2Z g

(

X). Pour traiterle problèmequi nous intéresse,on hoisirala onditionunpeumoinsfortedeparitémoduloO(x

2k +1

)ausensoù ilexiste,pourk2N xé,unefon tionx2Z

g (

X)tellequelamétriquex 2 g s'é rivesousla forme x 2 g=dx 2 +l(x 2 ;y;dy)+O(x 2k +1 ); l2C 1 (U x ;S 2 (T U x )) (1.5) dansle ollierU x asso ié àx par(1.2):

Dénition1.1. Soit(X;g)une variétéasymptotiquement hyperboliqueetk2N[f1g. On ditque g pairemodulo O(x

2k +1

)si il existe >0, une fon tion x dénissantle bordet des tenseurssymétriques(h 2i ) i=0;:::;k 2C 1 ( X;S 2 (T X))telsque (x 2 g)=dt 2 + k X i=0 h 2i t 2i +O(t 2k +1 )

oùestlediéomorphisme induitpar leot t dugradient grad x 2 g (x): : [0;) X ! ([0;) X) (t;y) ! t (y)

(17)

Ondémontrealorsque ette onditionnedépendpasdu hoixdelafon tionx2Z g

(X).

Lemme1.2. Soit(X;g)unevariétéasymptotiquement hyperbolique. Supposonsqu'ilexiste unefon tion x2Z

g (

X)etk2N telsquela métriquex 2 g s'é rive x 2 g=dx 2 +l(x 2 ;y;dy)+O(x 2k +1 ); l2C 1 (U x ;S 2 (T U x )); k2N (1.6) dansle ollier U =[0; x )

X asso iéàxpar(1.2). Alorspourtoutefon tiont2Z g ( X), lamétrique t 2

g s'é rit souslaforme

t 2 g=dt 2 +p(t 2 ;z;dz)+O(t 2k +1 ); p2C 1 (U t ;S 2 (T U t )) dansle ollier U t =[0; t ) X asso ié àt par(1.2).

Preuve: reprenonsd'abordles al ulsdeGraham[11,Lem. 2.1et2.2℄. Soitx2Z g

( X) tellequ'onait(1.6)et t2Z

g ( X). Oné rit t=e ! x; !2C 1 (U x )

etd'après[11℄,! vériel'équationnonlinéaire

2 x !+x ( x !) 2 + X ij h ij (x) yi ! yj ! =0 (1.7) Onobtientimmédiatement x !j x=0

=0et parré urren e,onmontre endérivant (1.7)par rapportàxunnombrepairdefoisque

2j+1 x

!j x=0

=0pourjk( f. [11℄pourlesdétails). Rappelonsmaintenantquele ollierasso ié àtest onstruitparlediéomorphisme

: U t =[0; t ) X ! (U t ) (t;z) ! 0 t (z) ave 0 t (z)leotdegrad t 2 g t. Notons x(t;z):=x( 0 t (z)); y(t;z):=y( 0 t (z))

etmontronsparré urren equepourtout m2k+2

2j t x(t;z)j t=0 =0 8j;02jm 2j+1 t y(t;z)j t=0 =0 8j;02j+1m (1.8)

Dansunpremiertempsonnoteque

grad t 2 g t = t 2 grad g t=e ! grad x 2 g x+e ! xgrad x 2 g ! = (e ! +te 2! x !) x +e 2! t X i;j h ij (x) y i ! y j

etx(t;z),y(t;z)sontdénisparleséquationsduot

t x(t;z) = e !(x(t;z);y(t;z)) +te 2!(x(t;z);y(t;z)) x !(x(t;z);y(t;z)) (1.9) t y j (t;z) = e 2!(x(t;z);y(t;z)) t n X i=1 h ij ( x(t;z);y(t;z)) yi !(x(t;z);y(t;z)) (1.10)

Pourmontrer(1.8),onlavérieaurangm=1

x(0;z)=0; t

y j

(18)

Sim+1est pairet inférieurouégalà2k+2,onad'après(1.9) m+1 t x(0;z)= m t e ! j t=0 +m m 1 t (e 2! x !)j t=0

Remarquonsquesif(x;y)estunefon tionpaire(resp. impaire)enxmoduloO(x 2l+1 )(resp. moduloO(x 2l )),sa omposéeave (t;z)!(x(t;z);y(t;z))

estpaire(resp. impaire)ent moduloO(t

min(2l+1;m+2)

)(resp. moduloO(t

min(2l;m+1) )). On endéduitque m t e ! j t=0 =0

puisquemestimpairete !

estpairemoduloO(x 2k +3

). Deplus,m 1estpairetlesdérivées m 1 t (e 2! x !)j t=0

se séparenten une somme de produits de dérivées de e 2!

et de x

!. Si lenombrede dérivéesà ee tuerpourl'un destermes du produit est impair,le nombre de dérivées pour l'autre l'est aussi et l'argumentpré édent prouveque le produit s'annule puisque e

2!

est pairemodulo O(x 2k +3

). Si lenombre dedérivéespour l'undes termes est pair,l'autre l'estaussietleproduits'annulepuisque

x

! estimpairemoduloO(x 2k +2 ). On adon m+1 t x(0;z)=0

Si m+1est impairet inférieurouégalà2k+1,onappliquelemêmeraisonnementsur l'équation(1.10)etonaàdériverunnombreimpair(=m 1)defoisunproduitdefon tions pairesentmoduloO(t

min(2k +1;m+1)

), equiprouvel'annulation

m+1 t y i (0;z)=0

et(1.8)estvraijusqu'aurang2k+2. Ilresteàvérierquepourtout 2T

z X t 2 g(;)=e 2! ( z x:dz()) 2 +h(x;y; z y:dz())

est paire en t modulo O(t 2k +1

), e qui dé oule immédiatement des propriétés de

parité-imparitéde!,x,y eth.

Interprétation géométrique Notons [ X℄ 2 := ( X F X)= X le double de X omme es-pa e topologique et hoisissons x une fon tion qui dénit le bord

X de

X. A partir du diéomorphisme(1.2), on peut onstruireun atlasC

1 sur [ X℄ 2 en notant que X [ X℄ 2

est ontenu dans unouvert [V x ℄ 2 :=(V 1 F V 2 )= X (ave V 1 =V 2 =(U x ))diéomorphe à ( x ; x ) X via ( x ; x ) X ' [V x ℄ 2 (x;y) ! [ x (y)℄; x (y)2V 1 six0 [ x (y)℄; x (y)2V 2 six0

Lerestedes artesprovientde ellesre ouvrantl'intérieurX de

Xetneposepasdeproblème. Onremarqueque ette stru ture C

1 sur[

X℄

2

dépend du hoixdelafon tionx dénissant X. Simaintenant[ X℄ 2 x

désigne ettestru ture,onalediéomorphismeglobal

[ X℄ 2 x '[ X℄ 2 x 0

(19)

pourx;x deuxfon tionsdénissant

X, ependantau un hoixdestru tureC surl'espa e topologique[

X℄

2

n'estnaturelparrapportàC 1

(

X). Ondénit alorslesfon tionspairesen xmoduloO(x

2k +1 )sur

X ommelesfon tionsseprolongeantsur[ X℄ 2 x endesfon tionsC 2k

invariantesparl'involutionnaturellesur[ X℄

2

,onobtientune lassedefon tionsquidépend delafon tion x. Autrementdit, une fon tionqui aundéveloppementdeTaylorenx pair moduloO(x

2k +1

)n'aurapasné essairementundéveloppementenx 0

pairmoduloO(x 02k +1

) oùx

0

estuneautrefon tionquidénitlebord. DanslapreuveduLemme1.2,onvoitquesi lamétriquevérie(1.5)pourunefon tionx,alorsles hangementsde artessur[0;)

X (où:=min( x ; x 0

)quilaissentlamétriquesousformemodèlesontdutype

x 0 =x k +1 X j=0 a j (y)x 2j +O(x 2k +4 ); y 0 = k +1 X j=0 b j (y)x 2j +O(x 2k +3 )

etinduisentdon des artesC 2k +2 ompatibles sur[ X℄ 2 x

. Onobtientalorsun hoixnaturel (parrapportàg)destru tureC

2k +2 sur[

X℄

2

, induitparlesfon tionsdeZ g ( X). Onnote [ X℄ 2 Z g

ettestru tureetonobservequ'elleestmunied'une lasse onformedemétriquesC 2k

invariantes par l'involution de [ X℄

2

, il sut pour ela de prolonger les métriques x 2

g par symétriepour haquex2Z

g (

X).

Exemples Les variétés asymptotiquement hyperboliques à ourbure onstante horsd'un ompa t (dont font partie les quotients onvexes o- ompa ts de H

n+1

) sont paires mod-ulo O(x

1

), les métriques presque-produit x 2

(dx 2

+h 0

(y;dy))+O(x 1

) ( f. [19℄) et de S hwartzs hild-Desitter ( f. [35℄) le sontaussi. Les métriquesasymptotiquement Einstein dedimensionn+1( f. [12℄)sonttoujourspairesmoduloO(x

n

)maisontgénériquementdes termesimpairsàpartirdelapuissan ex

n . 1.3 Densités, distributions Soitx2Z g (

X)une fon tionqui dénitlebord X de X telleque g=x 2 H =x 2 (dx 2 +h(x;y;dy))

soit une forme modèle de la métrique g près du bord. L'ensemble V 0

(

X) des hamps de ve teurslissessur

Xquis'annulentaubordestaussil'espa eve torieldesse tionslissesd'un bré noté T

0

X dont une base lo ale est donnée par(x x ;x y 1 ;:::;x y n ) où (x;y 1 ;:::;y n ) estunsystèmede oordonnéesprèsdubord. V

0 (

X)aunestru tured'algèbredeLieave

[xX;xY℄=x 2 [X;Y℄+xdx(X)Y xdx(Y)X; X;Y 2C 1 ( X;T X) Lebré T 0 X dual deT 0

X apour base lo ale(x 1 dx;x 1 dy 1 ;:::;x 1 dy n ). On note ( X) lebrédedensité`naturel'de

X,dont haquebre( ( X))

m

estunedroiteengendréeparla densitéjdxdyj sur(T

X)

m

. Ilest lair que

jdvol H

j:=Æjdxdyj; Æ:= p

detH(x;y)

estune se tiontrivialisante de ebré. Ensuite, soit 0 ( X)le0-brédedensitéde X dont haquebre( 0 ( X)) m

estunedroiteengendréeparladensitéx n 1 jdxdyjsur(T 0 X) m . On peutvérierque

0 ( X)=x n 1 ( X)etque jdvol g j:=Æ dxdy x n+1

(20)

2C 1 ( X; 0 ( X)) () 9a2C 1 ( X); =ajdvol g j

On onstruitde lamême façonlesbrés s ( X)et s 0 ( X):=x s(n+1) s ( X)des-densité (s>0) sur

X. Plus,généralement,surunevariétéà oinsayantNhypersurfa esfrontières déniesparlesfon tionslissesx

1 ;:::;x

N

,onpeutaussi onstruireun0-brédes-densitéen posant s 0 := N Y i=1 x i ! s(n+1) s où s

est lebrédes-densiténaturel. On note _ C 1 ( X) (resp. _ C 1 ( X; 1 2 0 (

X))) l'ensemble des fon tions (resp. se tions de 1 2 0 ( X))lissessur

XdontledéveloppementdeTayloren haquepointdubord

X s'annuleà toutordre,puis

_ C

1

(X)leurrestri tionàX. Leproduitdedeux 1 2

-densitésestune1-densité etl'onadon unproduithermitien

hf;gi:= Z X fg; f;g2 _ C 1 ( X; 1 2 0 ( X)) qui omplète _ C 1 ( X; 1 2 0 (

X)) en un espa e de Hilbert appelé L 2 ( X; 1 2 0 ( X)). Etant donné

lesisomorphismesentre _ C 1 (X)et _ C 1 ( X; 1 2 0 (

X)),il est lairqu'ilexisteunisomorphisme isométrique L 2 ( X; 1 2 0 ( X)) = L 2 (X;dvol g ) oùL 2 (X;dvol g

) est l'espa e des fon tions de arré intégrablepar rapport à la mesure rie-manienne sur X. De plus, pour deux métriques onformément ompa tes g

i = x 2 H i (i = 1;2) sur X, l'identité L 2 (X;dvol g1 ) ! L 2 (X;dvol g2

) est ontinue ar H 1 et H 2 sont quasi-isométriques. Le dual topologique de _ C 1 ( X; 1 2 0 (

X)) est appelé l'ensemble des distributions

demi-densitéprolongeables,noté C 1 ( X; 1 2 0 ( X)). Pour a2C, l'in lusion dex a C 1 ( X; 1 2 0 ( X)) dansC 1 ( X; 1 2 0 (

X))est donnéenaturellementparleproduit

(f;g):= Z X fg; f 2C 1 ( X; 1 2 0 ( X)); g2 _ C 1 ( X; 1 2 0 ( X)) (1.11)

Demêmepourunevariétélisseà oinsM,onnotera _ C 1 ( X; 1 2 0

(M))l'ensembledesfon tions

quis'annulentàtoutordresurtoutesleshypersurfa esfrontièresdeM,etC 1 (M; 1 2 0 (M))

sondual. Parlasuiteoné rirapoursimplier(quandiln'y apasde onfusionpossible) 1 2 0 et 1 2 àlapla ede 1 2 0 (M)et 1 2

(M)siM est unevariétélisseà oins.

1.4 Théorie spe trale du lapla ien

Onnote Di k 0

(X)l'ensemble desopérateurs diérentielsd'ordrek à oe ientsC 1 ( X)en lesx yi ;x x (i=1;:::;n) Di k 0 ( X):= Ve t 0ik V 0 ( X) i ; V 0 ( X) 0 =C 1 ( X)

(21)

L'unedespropriétésdontonseservirasouventestquepourtoutD2Di 0 ( X)eta2C on a x a Dx a 2Di k 0 ( X) (1.12)

equidé oulefa ilementdel'é riturelo ale

x x x a =x a+1 x +ax a ; x yi x a =x a+1 yi

Un al ul en oordonnéeslo alesmontre parexemplequelelapla ienasso iéàgvérie

g 2Di 2 0 ( X)

Ilestsymétriquesur _ C

1

(X)admettantl'extensionauto-adjointedeFriedri hssurL 2

(X;dvol g

),

mais on peut aussi le voir omme un opérateur sur _ C 1 ( X; 1 2 0

) par l'a tion naturelle de

Di 0 ( X)sur _ C 1 ( X; 1 2 0 ) P():=P jdvol g j 1 2 jdvol g j 1 2 (1.13) Soitr g

la onne tiondeLevi-Civitaasso iéeàgsurX etr H

elleasso iéeàH sur X,puis grad g etgrad H

lesgradientsasso iésàg et H. Unpetit al ulmontreque

r H W Y =r g W Y +x 1 dx(Y)W +x 1 dx(W)Y x 1 H(W;Y)grad H (x)

equi prouveque pourW;Y 2V 0 ( X), r W Y 2V 0 (

X). Onpeutalorsdénir, ommedans le asdesvariétés ompa tes,lesespa esdeSoboleventiers delamanièresuivante

H k :=H k (X):=ff2L 2 (X;dvol g ); k X j=0 j(r g ) j fj g 2L 2 (X;dvol g )g

oùlemembre dedroite doitêtre ompris ommele omplétéde _ C 1 (X)dansL 2 (X;dvol g ) pourlanorme jjfjj H k= 0 k X j=0 Z X j(r g ) j fj 2 g dvol g 1 A 1 2

quilemunitdon d'unestru tured'espa eHilbertien. Pourk<0entier,onposeraH k

ledual

deH k

. Làen oreonpeutdénirlesespa esdeSobolevàdemi-densitéH k ( X; 1 2 0 )puisque r g

agitaussinaturellementsurlesdemi-densités, etonaunisomorphismeisométrique

H k = H k ( X; 1 2 0 )

Onremarqueaussiquepourf2 _ C 1 (X) jr g fj g =jdfj g =xjdfj H (1.14)

don pourtoutv2V 0 ( X) jjvfjj 2 H 0 Z X jdfj 2 g jvj 2 g dvol g Z X jr g fj 2 g jx 1 vj 2 H dvol g C v jjfjj 2 H 1

e qui prouve que v 2 Di 1 0 (

X) est un opérateur borné de H 1

dans H 0

. De plus, (1.14) montrequ'ilexisteune famillenie (v

i ) i d'élémentsdeDi 1 0 ( X)telleque jr g fj g X i jv i fj H

(22)

Leproduit(1.11)permetdedénir,vial'intégrationparpartie,latransposée D d'un opéra-teurD2Di 0 ( X) (Df;g)=(f; t Dg); f;g2 _ C 1 ( X; 1 2 0 )

quiimplique unprolongementnaturelde l'a tiondeDi 0 ( X)àC 1 ( X; 1 2 0 ). Dans e as, ladis ussionpré édente montrequepourk=0;1

H k ( X; 1 2 0 )=ff 2C 1 ( X; 1 2 0 );8D2Di k 0 ( X);Df 2H 0 ( X; 1 2 0 )g

et on peut vérier que ça reste vrai pour tout k 2 N en montrant que D 2 Di 1 0 ( X) est ontinudeH k dansH k 1 sik2N, onadon D:H p !H p k (1.15) siD2Di k 0 ( X; 1 2 0

)pourk;p2N. D'autrepartledomainede(1+ g ) 1 2 estD((1+ g ) 1 2 )= H 1 et g est ontinudeH 1 dansH 1

. Commepourle asd'unevariété ompa te,ilexiste desestimationsàprioripourk2N

0 jjfjj 2 H k +1 Cjj g fjj 2 H k 1 +Cjjfjj 2 H k

quimontrentalorsqueledomainede(1+ g ) k 2 estH k . Lelapla ien g apourspe tre( g )= pp ( g )[ ess ( g )ave pp ( g )(0; n 2 4 ); ℄ pp ( g )<1; ess ( g )=[ n 2 4 ;1)

sansvaleurpropreplongéedanslespe treessentiel( f. [21℄).

Ondénitlesespa esàpoidssuivants

H p N :=ff 2H p lo ;x N f 2H p g (1.16)

ave x unefon tiondénissantlebord,N 2R, et H p lo

l'espa edesfon tions mesurablesf surX tellesquef 2H

p

pourtoutefon tion2C 1 0

(X). Cesespa esmunisdelanorme

jjfjj H p N :=jjx N fjj H p

sontdesespa esdeBana h. Leproduit (:;:)symétriquenon-dégénéréde(1.11)s'étendsur H

0 N

pourN0etona lassiquementleproduitsymétriquenon-dégénérésurL 2 ( X; 1 2 ) (u;v):= Z X uv

PourN 2R, onpeut vérierquel'espa edual deH 0 N

estnaturellementisomorpheàH 0

N par rapport au produit (1.11). On utilisera aussiles notations tensoriellessuivantes pour E=H 0 N (resp. E=L 2 ( X; 1 2 )), ;2E 0 : E ! E 0 f ! ( ;f)

(23)

métrique paire

Dans ette partie on reprendessentiellementla onstru tion duprolongementméromorphe delarésolvantedulapla iensurlesvariétésasymptotiquementhyperboliques,parMazzeoet Melrose[24℄. Onva onsidérerle asd'unemétriquepairepourpouvoirobtenirun prolonge-mentméromorphe-nidansC tout entier,maispuisqu'unegrandepartie dela onstru tion estgénéraleonneferaintervenirl'hypothèsedeparitéqu'àpartirdumomentoùelledevient né essaire.

Pourpouvoirprolongerlarésolvante( g

z) 1

àtraverslespe treessentielonutilisele nouveau paramètrez=(n ) ave <()>

n 2 . Onaalors R ():=( g (n )) 1

qui est méromorphe-ni sur f<() > n 2

g à valeur dans L(H 0

), ave pour ples les e 2 f<()> n 2 gtels que e (n e )2 pp ( g

). La partie physique de C est f<()> n 2 g, elle orrespondàz=(n )2Cn ess ( g

). Ladroite ritiqueestf<()= n 2 get orrespondau spe treessentiel(n )2 ess ( g

). PourespérerétendreR ()à2C ilfaudrarestreindre l'espa esur lequel R ()est déni et étendre elui danslequel il vaprendre sesvaleurs, on travailleraalorsnaturellementdanslesespa es(1.16).

Lareprésentationdesopérateurslinéaires ontinusde _ C 1 ( X; 1 2 0 )dansC 1 ( X; 1 2 0 )par

leur noyau de distribution dans C 1 ( X X; 1 2 0

) est valable dans e adre (théorème de S hwartz). L'étude de tels opérateurs seréduit don àl'étude de leur noyau de S hwartz, quisontdesdistributionsprolongeablessurlavariétélisseà oins

X X. Leprin ipepour inverser g

(n )estdetrouverunedistributionq(;!;! 0

)sur X

X quiest`presque' solutionsde ( g (n )) ! q(;!;! 0 )=Æ(! ! 0 )

ausensoùlerestedoitêtrelenoyaud'unopérateur ompa tsurunespa edeBana hbien hoisi.

La onstru tiond'uneparametrixdelarésolvanteparlaméthodedeMazzeo-Melrosefait intervenirlanotiond'é latementréelpourdésingulariserlesnoyauxdeS hwartz. Leprin ipe est de rempla er la variété

X

X (sur laquelle vit lenoyaude S hwartz) parune variété à oins`plus grosse' et nalement mieux adaptée àla stru ture géométriquedu noyau de S hwartzdelarésolvantedulapla ien. Pourdonneruneidéeduproblème,onpeutimaginer ladistribution (fon tion)sur[0;1℄

x [0;1℄ x 0 dénie par f(x;x 0 ):= (xx 0 ) (x 2 +x 02 ) ; 2C ausensdeC 1 ([0;1℄ [0;1℄; 1 2 0

)introduitauparavant. Onvoitquelepassageen oordonnées polairesestplusadaptéàsonétudeprèsdu oinx=x

0 =0, f(r os();rsin())= 1 2 sin(2)

C'est epro édédepassageen oordonnéespolaires(oué latement)surunevariétéquel'on vamaintenantrappeler.

(24)

On hoisitunatlas(U i ) i2I [(U j ) j2J de X telque U j '[0;)B n ; U i 'B n+1

oùla oordonnéex2[0;)utiliséepourU j

estunefon tionglobalex2Z g ( X)sur X telle quelamétriquegs'é rivedansX\U

i souslaformeg=x 2 (dx 2 +h(x;y;dy)). Lavariété X

X est unevariétélisseà oins( f. [26℄)munie del'atlas(U U 0 ) ; 0 2I[J . Si R ; L sontlesproje tionsàdroiteetàgau hede

X

X sur

X,onnoteen orexpour L (x)et x 0 pour R (x). X

X adon deuxhypersurfa esfrontièresdiéomorphesà X X (dénies parx=0et parx 0

=0),puisun oinde odimension2diéomorpheà X X (dénipar x=x 0 =0). Considéronsladiagonale X de X X etnotonsla B:= X =f(y;y)2 X X;y2 Xg (2.1)

Onalesplongementsnaturelssuivants

B! X X! X X ! X X (2.2)

quel'on traiteramaintenant ommedesin lusions. SoitCl'espa edes ourbes

C:= 2C 1 [0;1℄; X X ; (t)2B,t=0; 0 (0)2=T (0) B

muniedesatopologiede onvergen euniforme(ainsiquelesdérivées)surles ompa ts. Sur etespa e,onmetlarelationd'équivalen e

1 2 () 1 (0)= 2 (0)=m;9a2R + ; 0 1 (0) a 0 2 (0)2T p B

SiN(B)est lebrénormaldeB dans X

X dontlesbressont

N p B=T p ( X X)=T p B; 8p2B

ondénit lebrénormalsphériquepointantàl'intérieur par

S + NB := t p2B S + N p B S + N p B:=fv2N p Bnf0g;dx(v)0;dx 0 (v)0g=R +

ave laproje tionnaturelle :S +

NB!B. Onvoit queS +

NB peutêtrereprésenté aussi par S + N p (B)=f 2C; (0)=pg=

dont onnote [ ℄ les lasses d'équivalen es. Si Q est lequart de sphèrede dimension n+1 dénipar Q:=fY =(Y 0 ;:::;Y n+1 )2R n+2 ;jYj=1;Y 0 0;Y 1 0g

onades` artes'lo alesinduites parles artes(x;y )surU S + N(B) 1 (U ) ' U Q (p;v) ! p; (dx(v);dx 0 (v);dy (v) dy 0 (v)) ((dx(v)) 2 +(dx 0 (v)) 2 +jdy (v) dy 0 (v)j 2 ) 1 2 !

Il n'est pas ompliqué de vérier que ette expression ne dépend pas du repésentant v et s'ilne s'agitpasde véritables artes,onverraqueQaune stru ture devariétéà oinsqui

(25)

+

variété`lo alementà oins'( f. [26℄). EnsuiteleV 0 -produité latéde X par X estl'ensemble X 0 X :=(( X X)nB)tS + NB

surlequelonmetunetopologiequire olleS +

NB àlapla edeB. Pour elasoit

e :[0;1℄! X 0 X; e (t)= (t);t>0; e (0)=[ ℄ alorsonpose U ouvert () 8 < : U\S + NB ouvert;U\( X X)nB ouvert 8 2C;e (0)2U;9>0;9V Cvoisinagede ; 8x2V ;8t2[0;);ex(t)2U Onauneproje tion : X 0 X ! X

X appeléeappli ationd'é rasement

(m)= (m) sim2S + NB m sim2( X X)nB

quiest ontinue. Ennotant e U ; 0 := 1 (U U 0),on onstruitunre ouvrementde X 0 X par( e U ; 0 ). Onposealors e x:= (x); xe 0 := (x 0 ); ye := (y ); ye 0 := (y 0 ) R ; 0 := ex 2 +xe 02 +jey e y 0 0j 2 1 2 ; ; 0 := e x R ; 0 ; (2.3) 0 ; 0 := e x 0 R ; 0 ; # ; 0 := e y e y 0 0 R ; 0

Onpeut alors vérier que es fon tions sont ontinues ouse prolongentpar ontinuité sur fR ; 0 =0get si e U ; 0 \B 6=;, e U ; 0 ! ; 0 ( e U ; 0 )[0;+1)QU (2.4) ; 0 := R ; 0;( ; 0; 0 ; 0;# ; 0);ye

dénit une` arte'. En réalitépouravoirlavéritabledénition de arte,il fautre ouvrirQ pardesouvertshoméomorphesàdesouvertsdutype[0;)

k R n+1 k . Ondénit alors s:= e x e x 0 ; z ; 0:= e y e y 0 0 e x 0 ; t:= e x 0 e x z 0 ; 0 := e y 0 0 e y e x ; ! ; 0 := e y e y 0 0 jey e y 0 0 j ; r ; 0 :=jey e y 0 0 j (2.5) % ; 0 := e x jey e y 0 0j ; % 0 ; 0 := e x 0 jey e y 0 0j

etlestroisouvertssuivants

e U 1 ; 0 := e U ; 0 \f 0 ; 0 6=0g; e U 2 ; 0 := e U ; 0 \f ; 0 6=0g e U 3 ; 0 := e U ; 0 \f# ; 0 6=0g

(26)

quire ouvrentU ;

0

. Lestrois artesasso iéessontdon

e U 1 ; 0 ! 1 ; 0 ( e U 1 ; 0 )[0;)B n [0;+1)R n (2.6) 1 ; 0 :=(ex 0 ;ey 0 0;s;z ; 0) e U 2 ; 0 ! 2 ; 0( e U 2 ; 0)[0;)B n [0;+1)R n (2.7) 2 ; 0 :=(ex ;ye ;t;z 0 ; 0 ) e U 3 ; 0 ! 3 ; 0( e U 3 ; 0)[0;+1) 3 S n 1 B n (2.8) 3 ; 0 :=(r ; 0 ;% ; 0 ;% 0 ; 0 ;! ; 0 ;ye )

ensous-entendantpourla dernièrequeS n 1

est aussire ouvertpar des artes. Si d'autre part e U ; 0 \B=;onpose e U ; 0 ! ; 0 ( e U ; 0 )'U U 0 (2.9) ; 0 :=(ex ;ye ;ex 0 ;ye 0 0 ) omplétantl'atlasde X 0

X, equienfaitunet-variétélisse(un al ulpermetdevoirque les hangementsde artessontlisses). Leproduité laté

X

0

X estunevariétéà oinssises hypersurfa es frontières sont dessous-variétés, 'est-à-diresi il existeune fon tion lissequi dénisse haque hypersurfa e frontière. En reprenantle système de oordonnées (2.4), on peut onstruire,parpartition del'unité, unefon tionR dénissantS

+ NB, puission pose := e x R et 0 := e x 0 R

uneétudedansles artesmontreque esdeuxfon tionsseprolongentde manièrelisse àtout

X 0 X (y ompris sur S +

NB), dénissent ha une une hypersurfa e frontièreet ;

0

;R sontindépendantes. Lavariété X

0

X adon une stru turede variété lisseà oins,ave troishypersurfa esfrontières: lafa efrontalenotéeFdénieparfR=0g, la fa e superieure notée T dénie par f = 0g, puis la fa e inférieure notée B dénie par f

0

=0g. Leproduit é latéest enquelquesorteunpassage en oordonnéespolairesautour deB, élargissantl'espa e desfon tions lissesde

X

X. Par ontre il est fa ile devérier quel'espa e _ C 1 ( X

X)estenbije tion(via )ave l'espa e _ C 1 ( X 0 X),et ilenvade mêmepourleurdual. En étudiantlessystèmesde oordonnées,onpeutaussimontrerque

0 ( X X)= L ( 0 ( X)) R ( 0 ( X)); 0 ( X 0 X)= ( 0 ( X X)) et

dénit unisomorphismeentrelesespa esL 2 ( X X; 1 2 0 )et L 2 ( X 0 X; 1 2 0 ). Pourla suite,on simpliera les notationsen oubliantlesindi es de artes(;

0 )et les tildes,parexempleennotantz;y

0 ;::: àlapla edeez ; 0;y 0 0 ;:::.

Dansles oordonnées(2.6),(2.7)et(2.8)ona

F\ e U 1 ; 0 =fx 0 =0g; T\ e U 1 ; 0 =fs=0g F\ e U 2 ; 0 =fx=0g; B\ e U 2 ; 0 =ft=0g F\ e U 3 ; 0 =fr=0g; T\ e U 3 ; 0 =f%=0g; B\ e U 3 ; 0 =f% 0 =0g

et les hamps de ve teurs x x ;x y i dans U ; 0

(agissantdon sur lefa teur de gau he) se relèventsur

X

0

X ets'exprimentdanslestrois artes( e U i ; 0 ) i=1;2;3 (x x )=s s ; (x y i )=s z i

(27)

(x x )=x x t t z: z 0; (x yi )=x yi z 0 i (x x )=% % ; (x y i )=%! i (% % +% 0 % 0 )+! i %r r %( ! i ! i (!: ! ))

Ce sont don des hamps de ve teurs (lo aux) lisses qui s'annulent sur la fa e T et sont tangentsàF;B. Lesfon tions;

0 ;Rsur X 0

Xs'exprimentdansles artes e U i ; 0 (i=1;2;3) souslaforme = s (1+s 2 +jzj 2 ) 1 2 f; 0 = 1 (1+s 2 +jzj 2 ) 1 2 f; R=x 0 (1+s 2 +jzj 2 ) 1 2 f = 1 (1+t 2 +jzj 2 ) 1 2 f; 0 = t (1+t 2 +jzj 2 ) 1 2 f; R=x(1+t 2 +jz 0 j 2 ) 1 2 f = % (1+% 2 +% 02 ) 1 2 f; 0 = % 0 (1+% 2 +% 02 ) 1 2 f; R=r(1+% 2 +% 02 ) 1 2 f

ave f une fon tionlisse sur e U

;

0 stri tementpositivevériantdf m ()6=0pourtout m2 T[B[Fet2T m ( X 0

X)tangentàl'une deshypersurfa esT,B ouF.

0

1

00

11

B ! T 0 B F x 0 x y y 0 D

Figure3: L'appli ationd'é rasement

Demême,onnote X 0 Xl'é latementde X

XsurB. Celui- iseplongenaturellement parrapportà(2.2)dans

X 0 X X 0 X '( X 0 X)\T en remarquant que (T) = fx = 0g ' X

X. Via es identi ations, e := j T est la fon tiond'é rasement e : X 0 X ! X X

Cettevariétéà oins(sous-variétéà oinsde X

0

X)adeuxhypersurfa esfrontières e B;

e F déniesparlesfon tionse

0 := 0 j T et e R:=R j T . Ennl'é latement X 0 Xde X

XsurBs'inje teaussinaturellementparrapport à(2.2)dans X 0 X X 0 X '( X 0 X)\ e B

(28)

etlafon tiond'é rasementvia etteidenti ationest :=j e B . Lafon tionr:=R j e B dénit lebordde X 0

X, qui est exa tementle relevéde B par . Soit(y 0 ;y 0 )2 B, V y0 un voisinageouvertde epointet (y;y

0

)unsystèmede oordonnéesdansV y0 ,onaalors (jy y 0 j)=rf; f 2C 1 ( 1 (V y 0 )); f >0; r fj r=0 6=0 2.2 Petit al ul

Onpeutremarquerqueladiagonaleintérieurede X

X serelèvevia enunsous-ensemble de

X

0

X dontlafermeturenotéeD

estunesous-variétédelavariétéà oins X 0 X D := 1 f(m;m 0 )2XX;m=m 0 g Deplus,D n'interse telebordde X 0

X quesurlafa efrontaleFetellelefait transver-sallement. Ce isevérieaisémentpuisque dansla arte(2.3) itéeaudessus,ona

D \ e U ; 0 =fm2 e U ; 0 ;(m)= 0 (m);#(m)=0g

Dénitiondu petit al ul Onintroduit l'espa eI m ( X 0 X;D ; 1 2 0 ( X 0 X))des dis-tributions onormalesàD

quis'annulentàtoutordresurB[T: pardénition, esontles distributionsvériant j X0 XnD 2C 1 ( X 0 XnD ; 1 2 0 ( X 0 X)); j B[T 0

ets'é riventdansles artes e U

; 0

detype(2.9)souslaformed'intégralesos illantes

(w;w 0 )= Z e i(w w 0 ): I (w;w 0 ;)djdwdw 0 j 1 2 (2.10) ave I 2S m ( ; 0 ( e U ; 0

))unsymboled'ordre m, puisdansles artes e U 1 ; 0 detype (2.6) souslaforme (s;z;x 0 ;y 0 )= Z e i((s 1)+z:) J (s;z;x 0 ;y 0 ;;)dd dsdzdx 0 dy 0 s n+1 x 0n+1 1 2 (2.11) ave J 2S m ( 1 ; 0 ( e U 1 ;

0))unsymboled'ordrem. Notonsqueladépendan eenw 0 de I et en(s;z)de J

peutêtresupprimeéparunpro édéusueld'intégrationparparties. Rappelons que induitlesbije tions

: _ C 1 ( X X; 1 2 0 ( X X)) ! _ C 1 ( X 0 X; 1 2 0 ( X 0 X)) :C 1 ( X 0 X; 1 2 0 ( X 0 X)) !C 1 ( X X; 1 2 0 ( X X))

LesopérateursdontlenoyaudeS hwartzrelevéviaestdansI m ( X 0 X;D ; 1 2 0 ( X 0 X))

ave m 2 R formentun sous espa e-ve torieldes opérateurs ontinus de _ C 1 ( X; 1 2 0 ) dans C 1 ( X; 1 2 0 ),noté m 0 ( X; 1 2 0

). Onpeutvérierque

0 ( X; 1 2 0 ):= [ m2R m 0 ( X; 1 2 0 )

(29)

est une algèbre. Lesopérateurs dont lessymboles ; dénisen (2.10) et (2.11) ont un développementasymptotique I (w;) X k 2N 0 I k (w;)jj m k ; J (x 0 ;y 0 ;) X k 2N 0 J k (x 0 ;y 0 ;)jj m k ave I k ; J k

homogènesdedegré0en formentunesous-algèbre 0;phg ( X; 1 2 0 )de 0 dontles élémentssontditspolyhomogènes. Cettesous-algèbreest munie d'uneappli ationsymbole prin ipal 0 : m 0;phg ( X; 1 2 0 )!S m (T 0 X)=S m 1 (T 0 X)

quiestunmorphismed'algèbre,S m

(T 0

X)désignantlessymbolesd'ordremsurT 0

X. Ce i permet de onstruireun al ul pseudo-diérentielsur

X, appelé le`petit al ul'. Ilest sem-blable en beau oup de points au al ul pseudo-diérentiel sur une variété ompa te et il

ontient lesopérateursdiérentiels Di 0 ( X; 1 2 0

)(le support de leur noyaurelevévia est in lusdansD

). Pourlasuite,onnégligeralanotation`phg'étantdonnéquelamajoritédes opérateurspseudo-diérentielsquel'onutiliserasontpolyhomogènes.

Propriétésde ontinuité NotonsquesiA2 0 ( X; 1 2 0

)apournoyaudeS hwartzrelevé

A

àsupportprèsdeF(parexempleàsupportdansles artes e U 1 ; 0 ),onal'é riture lo ale A(f)(x;y)= Z k( x s ;y x s z;s;z)f( x s ;y x s z) ds s dz: A :=k(x 0 ;y 0 ;s;z) dsdzdxdy sx n+1 1 2 ; := dxdy x n+1 1 2

Cetteé riturepermetdemontrer(voir[27℄oùle adreestlégèrementdiérentmaislapreuve estidentique)queA est ontinu ommeopérateur

A: _ C 1 ( X; 1 2 0 )! _ C 1 ( X; 1 2 0 ); A:C 1 ( X; 1 2 0 )!C 1 ( X; 1 2 0 ) Deplus,la onjugaisonx a Ax a

(poura2C) ne hangepasle ara tère onormaldunoyau parrapportàD

etsonnoyaurelevé( 0 ) a A

s'annuleen oreàtoutordresurlesfa esT;B don x a Ax a 2 m 0 ( X; 1 2 0 ); a2C (2.12) siA2 m 0

. EnnilestmontréparMelroseetMazzeoqu'unopérateurA2 m 0 ( X; 1 2 0 )ave m0seprolongeenunopérateurbornédeH

0 0 dansH m 0 etdon deH 0 a dansH m a pourtout a2C enutilisant(2.12).

Ellipti ité Pourétudierl'ellipti ité de g

,on abesoinde al ulerson symbole prin ipal

ausensde ette géométrie. Lesymboleprin ipal d'unopérateurL2Di m 0 ( X; 1 2 0 ) L:= X i+jjm a ;i (x;y)(x y ) (x x ) i

(30)

0 (L)(Z):= X i+jj=m a ;i (x;y) i ; Z=(x;y; X j j dy j x + dx x )2T 0 X

orrespondantàlaquanti ationintroduiteen(2.10),(2.11). Lesymboleprin ipaldu lapla- iens'exprimedon ommelaformesymétriqueH

1

(x;y;;)siH 1

estlamétriqueinduite parH sur le otangent(suivant lanotation (1.1) ave x à lapla e de x

0

). C'est don un opérateurelliptique ausensde ettedénition desymbole prin ipal.

Parametrixdanslepetit al ul Onpeutdon maintenant onstruireuneparametrixde

g

danslepetit al ul,essentiellementenimitantlathéoriesurvariété ompa te.Rappelons que g= H x 2 = dx 2 +h(x;y;dy) x 2 Lemme2.1. Soit 0 2[ n 2

+1;1)C, 2C etm2N. Ilexistedesopérateurs

Q m ()2 2 0 ( X; 1 2 0 ); K m ()2 m 0 ( X; 1 2 0 ) telsque ( g (n ))Q m ()=1+K m () (2.13)

lenoyaude S hwartzrelevé K

m de K

m

estàsupportdans

Supp( Km ) [ 2I e U ; ! [ [ 2J e U 1 ; !

ave les notations de la se tion 2.1 et il s'é ritdans es artessous la forme (2.10), (2.11) ave dessymboles

I K m ; J K m

vériantrespe tivementpour2I et 2J

j I Km (w;w 0 ;)jC ;m hi m j3j h 0 i m+1 ; (w;w 0 )2 e U ; (2.14) j J Km (s;z;x 0 ;y 0 ;)jC ;m hi m j3j h 0 i m+1 ; (s;z;x 0 ;y 0 )2 e U 1 ; (2.15) où = ( 1 ; 2 ; 3 ) 2 (N n+1 ) 3 et C ;m

> 0 onstante dépendant de et m. Enn K m

() est un polynme de degré m+1 en dont le oe ient de plus haut degré appartient à

m 1 0 ( X; 1 2 0 ).

Preuve : on onstruit une partition de l'unité ( ) 2K (K = I [J) asso iée au re- ouvrement (U i ) i2I [(U j ) j2J de X puis ( ) 2K

des fon tions lisses à support dans les mêmes artes telles que

= 1 sur le support de

. Rappelons que la métrique est g =x 2 H =x 2 (dx 2

+h(x;y;dy)) omme en (1.3). Pour m =1, onpose Q 1

l'opérateur dontlenoyaudeS hwartzest

( Q1 )ave Q 1 := P 2I ( (w) (w 0 )) R e i(w w 0 ): I Q 1 (w;w 0 ;)djdwdw 0 j 1 2 + P 2J ( (x;y) (x 0 ;y 0 )) R e i((s 1)+z:) J Q1 (s;z;x 0 ;y 0 ;;)dd dsdzdx 0 dy 0 s n+1 x 0n+1 1 2

oùlessymbolessontdénispar

I Q 1 (w;w 0 ;):= x 2 H 1 (w;) 0 (n 0 ) 1 ; w=(x;y)

(31)

J Q 1 (s;z;x 0 ;y 0 ;):=(s;z) s 2 H 1 (sx 0 ;y 0 +x 0 z;) 0 (n 0 ) 1 ; =(;)

(s;z)étantunefon tionlisseàsupport ompa tdans(0;1)R n

valant1dansunvoisinage de(s;z)=(1;0),et H

1

lamétriqueinduiteparH surle otangentT

X. En utilisantque l'a tion de

g

à gau he sur les distributions sur U ;

se relève respe tivement dans e U ; (2I)et e U 1 ;

(2J)enl'a tion desopérateurs

x 2 2 x X i;j h ij (x;y)x y i x y j +P 1 s 2 2 s X i;j h ij (sx 0 ;y 0 +x 0 z)s z i s z j +P 2 ave P 1 ;P 2

quisontrespe tivementdesopérateursd'ordre1enx x ;x y i ets s ;s z i à oef- ientslisses,onvoitque(2.13)estsatisfaitave

I K 1 ; J K 1

quis'exprimentlo alement(dans

les artes( e U ; ) 2I et( e U 1 ; ) 2J )souslaforme F k ((n ) 0 (n 0 );) k Q1 ; k=I;J; 2k oùF k

(Z)est unpolynmede degré 1 en Z 2 C n+2

à oe ients dans les opérateurs dif-férentielsd'ordre2enx x ;x yi supportésdans e U ; sik=I ouens s ;s zi supportésdans e U 1 ;

si k =J. On déduit pour m =1 lesestimations (2.14) et (2.15) en remarquant que pourtoutr>0 jr 0 (n 0 )j 1 (r+1) 1

Sim2,onpro èdeparré urren eenposantpourjmet k=I;J

k Qj := X 2k k Q1 F k (0;) k Qj 1 +F k ((n ) 0 (n 0 );0) k Qj 2

oùpar onvention k Q 0

:=0.

Cepro édépermetd'obtenirunresteaussirégulierquel'onveutsurladiagonaleintérieure D

(si m> n+1, K m

est ànoyau relevé ontinu), mais si lesopérateurs K m

sontbornés dansH

0 0

,ilsnesontenfaitpas ompa tsengenéral. Ilvaeneetnousfalloiruneannulation dunoyaudeS hwartzdurestesurlesfa es T;B;Fpourquelerestedevienne ompa t.

2.3 Opérateur normal

Cette se tion est onsa rée à la résolution de la singularité du reste sur F. Pour elà on

dénitl'opérateurnormald'unopérateurL2 0 ( X; 1 2 0 ).

Opérateur normald'un opérateur diérentiel Lapremièreétapeestde onsidérerle

asdeL2Di 0 ( X; 1 2 0 ). Soitp2

X ontenudansune artep2U , X p :=(0;1)T p X

quiestdiéomorphe à

R n+1 + :=(0;1)R n etundiéomorphismevériant :U !(U )X p ; (p)=0; d p =Id

(32)

SoitR r

ladilatationdefa teurrsurX p

,l'opérateurnormaldeL2Di 0

(

X)enpest déni ommeétantl'opérateurdiérentiel

N p (L): C 1 (X p ) ! C 1 (X p ) u ! lim r!0 R r ( 1 ) L R r 1 u

Onpeutalorsvérierquesi

L= X i+jjq a ;i (x;y)(x y ) (x x ) i

dansunsystèmede oordonnées(x;y), alorsN p

(L)estl'opérateursur(0;1) x (T p X) y N p (L)= X i+jjq a ;i (0;y 0 )(x y ) (x x ) i ; p=(0;y 0 )

et que ette dénition ne dépend pas de la fon tion . De plus, si h 0 (p) est la métrique induiteparh 0 surT p X,onal'isométrieévidente X p ; dx 2 +h 0 (p) x 2 = (0;1) u R n v ; du 2 +jdvj 2 u 2 =H n+1

qui montre que X p

est une variété asymptotiquement hyperbolique (en un sens 'est une approximationde(X;g)àl'inni). Onpeutalors onsidérerN

p (L) ommeunopérateurde Di 0 ( X p )(ousur H n+1

)à` oe ients onstants',et l'opérateurnormals'interprète omme unpro édé invariantpourgelerles oe ientsen unpointpdu bord. L'opérateur normal

deL 2Di 0 ( X; 1 2 0

)sedénit de lamême façonen onjuguantparune se tion trivialisant lebré dedemi-densité.

0

1

1 0000

0000

1111

0

1

0

1

000

111

0 =(1+s 2 +jzj 2 ) 1 2 z s e 0 # e p H n+1 =s(1+s 2 +jzj 2 ) 1 2 F p =f(; 0 ;#);j#j 2 + 2 + 02 =1g #=z(1+s 2 +jzj 2 ) 1 2

Figure4: UnebreF p

diéomorpheàH n+1

Casdu lapla ien Lelapla ien g

s'é ritdansunsystèmede oordonnées(x;y 1 ;:::;y n ) g = (x x ) 2 +nx x +x 2 h(x) 1 2 xTr(h 1 (x) x h(x))x x (2.16)

(33)

h(t) Tr(h

1 (x)

x

h(x)) estlatra edel'opérateurlinéaireasso iéautenseursymétrique( x

h)(x) viah(x). Onendéduitquepourh

0 =h(0)ona N p ( g )= (x x ) 2 +nx x +x 2 h0(p)

quiestexa tementlelapla iensur X p ; dx 2 +h 0 (p) x 2 = H n+1 (2.17)

Cetopérateurétantessentiellementlelapla ien surH n+1

,sa résolvantese al ule expli ite-ment(voirparexemple[15℄ou[24℄)etadmetunprolongementholomorphe(resp. méromor-phe)àC sinestpair(resp. nimpair).

Opérateur normald'un opérateur du petit al ul OnpeutremarquerqueX p

porte unestru turedegroupedeLienaturelle donnéepar

(x;y):(x 0 ;y 0 )=(xx 0 ;y+xy 0 ) (2.18)

ave pourélémentneutree p :=(1;0) etpourl'inverse (x;y) 1 =( 1 x ; y x )

Onpeutaussi levoir ommelesous groupede GL(T p

X) onstitué deséléments qui xent pointparpointT

p

Xetlaissentinvariantfdx>0g. Les hampsdeve teurx x

;x y1

;:::;x yn sontinvariantsàgau hepour ettea tionetlamesuredeHaarinvarianteàdroiteest

dx x

dy. L'opérateuridentitésurX

p

s'interprète ommeladistributionÆ ep

(lamassedeDira ene p

) agissantpar onvolutionàgau he

(f?Æ ep )=f; f 2C 1 0 (X p )

etilenvademêmepourlesopérateursdiérentielsenx x ;x y i à oe ients onstants X i+jjq a ;i (x y ) (x x ) i f = X i+jjq a ;i f?(x y ) (x x ) i Æ ep

Rappelons maintenant que la bre F p := S + N p B dans X 0

X est une variété à oins diéomorpheàunquart desphèrededimensionn+1. Son intérieurestdiéomorphe àX

p viales oordonnées (s;z) de (2.6)(F

p

dénit une autre ompa ti ation deX p queX p ' S n

) et omme le remarquent Mazzeoet Melrose[24℄, l'opérateur N p

(L) interprété omme opérateur de onvolution a pour noyau de onvolution

(L)j

F p

ave ette identi ation.

Cettedistribution estàsupportdansleneutree p deX p ' Æ F p

quiestaussil'interse tion

e p =F p \D

Ce i onduitàdénirl'opérateurnormalenpd'unopérateurA2 m 0 ( X; 1 2 0 )par N p (A):= A j F p (2.19) où A

est le noyau de S hwartz de A relevé sur X 0 X via . Dans (2.19), N p (A) doit êtreinterprété ommeune distribution agissant par onvolutionàgau he surle groupede

(34)

p p p O( osh(d Xp (m;e p ))) 1 ) quand d Xp (m;e p )! 1, d Xp

(:;:)étant la distan e `hyperbolique'

sur(X p ; dx 2 +h 0 (p) x 2 ). Notonsquelebré 1 2 0 ( X 0

X)serestreintenunbrétrivial anonique audessus deF

p et N

p

(A) agitdon par onvolutionàgau he surles demi-densitéssur X p suivant (N p (A)f)(x;y)= Z R n+1 + k(0;y 0 ;s;z)f( x s ;y x s z) dsdz s : p=(0;y 0 ); = dxdy x n+1 1 2 ; f =f(x;y); A =k(x 0 ;y 0 ;s;z) dx 0 dy 0 dsdz x 0n+1 s n+1 1 2

Composition Unepropriété qui estfondamentalepourl'opérateur normalestla

ompo-sition: siL2Di 0 ( X; 1 2 0 )et A2 0 ( X; 1 2 0 ),alors N p (LA)=N p (L)N p (A) (2.20)

LeproblèmepourrésoudrelasingularitédeK m

(; 0

)surF p

revientdon àinverserN p

( g (n )) ettrouverunopérateurdontl'opérateurnormalest

(N p ( g (n ))) 1 N p (K m ()) (2.21)

La premièreétape est possible puisque ela revient à onstruire la résolvante du lapla ien surH

n+1

. Leproblèmequel'onvoitapparaîtreestqueladistribution(2.21)nes'annulepas rapidementsurlesbordsB\F

p

etT\F p

etonnepeutpasespérertrouverunopérateurdans

0

dontl'opérateurnormalest (2.21). En eet,la résolvantedu lapla ien hyperbolique se al uleexpli itement(sonnoyauestdonnéen(B.1))etellenelaissepasstable

_ C 1 ( H n+1 ).

Termesde bords Ledouble[ X 0 X℄ 2 de X 0

X parrapportàl'hypersurfa eFestune variétéà oinsave 2hypersurfa esfrontières[T℄

2 ;[B℄

2

orrespondantaudouble deTet B. Suivant Melrose,on dénit les distributions onormales àT;B d'indi e(a;b) 2 C

2 omme l'ensemble A a;b ([ X 0 X℄ 2 ):=fu2C 1 ([ X 0 X℄ 2 );V b u2 <(a) 0<(b) L 1 ([ X 0 X℄ 2 )g oùV b

estl'algèbredeLiedesve teurstangentsà[T℄ 2

et[B℄ 2

,; 0

sontdesfon tions dénis-sant[T℄ 2 et [B℄ 2 . Onposeensuite A a;b ( X; 1 2 0 ):=A a;b ([ X 0 X℄ 2 )j X0 X 1 2 0 ( X 0 X)

Notonsque esdistributions sontlissesàl'intérieur de X 0 X et jusqu'àFn(B[T). On notera m;a;b 0 ( X; 1 2 0

) l'espa edes opérateurssur

X dontle noyaude S hwartz relevé se

dé ompose en = 1 + 2 ave 2 2 A a;b ( X; 1 2 0 ) et 1

lenoyau relevéd'un opérateurde

m 0 ( X; 1 2 0 ). OnnoteraaussiR i m;a;b 0 ( X; 1 2 0 )(ave i2N) lesous-espa ede m;a;b 0 ( X; 1 2 0 ) desopérateursdontlenoyaurelevés'annulesurF àl'ordrei. En utilisantlespropriétésde

ompositionde 0 ( X; 1 2 0

)etlefaitquel'a tiondeDi 0 ( X; 1 2 0 )àgau hesur X Xserelève enl'a tion de hamps de ve teurs lissessur

X

0

X et tangentsàF[T[B, on déduit la omposition(voiraussi[24,Prop. 5.8℄)

Di k 0 ( X; 1 2 0 ):R i l;a;b 0 ( X; 1 2 0 )R i l+k ;a;b 0 ( X; 1 2 0 ) (2.22)

(35)

on ernantunopérateurAde m;a;b 0 ( X; 1 2 0 )(ave a;b2C, m2N 0 ) A:H 0 r !H m r 0 (2.23) est ontinusir 0 r,a r> n 2 ,b+r 0 > n 2

, a+b>n. Deplusonpeutvérier(enutilisant lesargumentsde [23, Th. 3.25℄)quedans le as parti ulier oùm >n+1,a r

0 n+1, b+rn+1 jjAjj L(H 0 r ;H 0 r 0 ) Cjj( 0 ) n 1 A jj L 1 ( X0 X; 1 2 0 ) (2.24) ave A

le noyaurelevédeA et lanormeL 1 ( X 0 X; 1 2 0

)dénie enxantunese tion du

bré 1 2 0 ( X 0

X), il s'agitessentiellementduLemmedeS hur. Onpeutaussiajouterque l'opérateurAest ontinu

A: _ C 1 ( X; 1 2 0 )!x a C 1 ( X; 1 2 0 ) (2.25)

Il est lair que le pro édé de restri tion (2.19) sur les bres F p

de la fa e frontale F se

généraliseau as des distributions de A a;b ( X; 1 2 0

), le résultat étantinterprété omme une distribution de onvolutionsur X

p

(enfaitlissesur X p

). Laformule de omposition (2.20)

resteenfaitvalablesiAestdansla lasse m;a;b 0 ( X; 1 2 0

)( f. [24℄). Enutilisantlesrésultats deprolongement méromorphede larésolvante sur l'espa e hyperbolique, on vavoirque la famille(dépendantdep) dedistributions(2.21) estbiendénie etonvadon onstruireun

opérateurdansl'espa e 2;; 0 ( X; 1 2 0

)dontlenoyaudeS hwartzrelevéapourrestri tion (2.21)sur haquebreF

p .

Résolution sur la fa e frontale Rappelons le modèle H n+1 = (R n+1 + ; du 2 +jdvj 2 u 2 ) de l'espa ehyperboliqueetsoit

R h ():=( gh (n )) 1

la résolvante hyperbolique étudiée dans l'annexe B. On rappelle l'expressionsuivante qui donneleprolongementméromorpheà2C dunoyaudeGreen( f. [15℄)

G h (;!;! 0 )= 2uu 0 u 2 +u 02 +jv v 0 j 2 1 X j=0 j () 2uu 0 u 2 +u 02 +jv v 0 j 2 2j j ()= 2 2j 1 n 2 (+2j) ( n 2 +1+j) (j+1)

agissantsurlesfon tions. En oordonnéesR=(u 2 +u 02 +jv v 0 j 2 ) 1 2 ,=uR 1 , 0 =u 0 R 1

introduitesen(2.3)lenoyaus'exprimesouslaforme

G h ()=(2 0 ) k (2 0 ); k ()= 1 X j=0 j () 2j

En terme de noyau de onvolution (ave la stru ture de groupe (2.18)), on a pour f 2 C 1 0 (H n+1 ) (R h ()f)(x;y)= Z R n+1 + 2u 1+u 2 +jvj 2 k 2u 1+u 2 +jvj 2 f x u ;y x u v du u dv (2.26)