MODÉLISATION DE PHÉNOMÈNES DE CROISSANCE :
UNE TENTATIVE POUR CLARIFIER LE RAPPORT DE
L'ÉLÈVE AVEC DES SAVOIRS EN COURS D' ACQUISITION
Claude BÉGUIN
Collège du Cycle d'Orientation de la Gradelle (Genève) Olivier DE MARCELLUS et Bruno VITALE
Centre de Recherches Psycho-Pédagogiques (C.R.P.P.) du cycle d'orientation de Genève
MOTSCLÉS: AMARYLLIS APPUI PAR L'ORDINATEUR· COLIBACILLE -CROISSANCE - GRAPHIQUE - LOGOWRITER - MODÈLE-RELATION FONCTIONNELLE - SIDA - VALIDATION
RÉSUMÉ : Grâce à la formulation de modèles locaux et à leur itération par un programme en LOGOwriter, la modélisation de certaines situations expérimentales est accessible avec un bagage mathématique rudimentaire. Un protocole d'enseignement centré sur les phénomènes de croissance a été développé dans des classes de 9ème année (15 - 16 ans) du Cycle d'orientationà Genève.
SUMMARY : Il is possible to modelise certain experimental situations with very simple mathematics, by formulating local models and iterating them with a simple program in LOGO. Didactical situations centered around phenomena of growth have been developped for 9th grade classes (15 - 16 years old) of the Cycle d'orientation in Geneva.
A. GIORDAN, J .•L. MARTINA ND et D. RAICHV ARG, Actes JIES XVII, 1995 463
1. INTRODUCTION
LI Vous avez dit modélisation ?
La signification de ce terme varie selon l'approche envisagée, et la frontière entre représentation et modèle n'est pas toujours clairement formulée (BÉGUIN et al., 1995). Dans cette communication, nous concentrerons notre attention sur les activités qui supposent l'utilisation d'un outil mathématique et impliquent la notion de "relation fonctionnelle" entre deux grandeurs.
1.2 Les jeunes élèves formulent spontanément des représentations
Au cours de nos différentes recherches en classe, nous avons souvent été frappés par les représentations (BAIN et al., 1993) que nos jeunes élèves du 7ème degré (12 - 13 ans) du cours d'observation scientifique (BAIN et al., 1994) formulent spontanémentàpartir des situations qu'ils observent. En voici deux exemples:
- Manuela et Charlotte ont trouvé deux sons consonants produits par deux cordes de longueur différentes (respectivement 60 et 90 cm) ; au maître, qui leur demande comment elles pourraient en trouver d'autres, elles suggèrent: "en diminuant chaque fois de 10 cm la longueur de la corde la plus courte" ;
- pourSamuel, qui étudie la rétention d'un chariot sur un plan incliné, il est évident, après 3 mesures, que "la force pour retenir le chariot augmente de 50 grammes lorsqu'on augmente la pente de 10°". 11 est très difficile de le convaincre de vérifier cette hypothèse avec des mesures supplémentaires.
1.3 De la représentation évocatrice au cadre explicatif
Notre conviction sur la capacité des jeunes élèvesà créer des modèles pertinents a été confortée lorsque nous avons abordé l'étude de phénomènes de croissance en biologie avec des élèves un peu plus âgés (9ème degré, 15 - 16 ans), qui se sont révélés tout à fait capables de proposer des représentations pertinentes sous la forme de graphiq uesàmain levée, sans échelles graduées. Nous avons donc nourri l'ambition de construire avec eux des modèles plus formalisés auxquels leurs représentations pourraient être confrontées.
2. MODÉLISATION
2.1 La modélisation est-elle accessible avec des outils mathématiques simples ? L'utilisation de formules mathématiques compliquées apparaît souvent comme une fatalité lorsqu'on évoque la modélisation. La construction d'un "modèle instantané", ou "local" (VITALE, 1991) permet de l'éviter. Dans les situations de croissance présentées ici, un tel modèle, prédictif dela variation d'une grandeur considérée au lieu de la grandeur elle-même (d.P d'une population, par exemple, au lieu de Pl, substitue un modèle multiplicatif (DoP=k
*
Dot*
P) à un modèle exponentiel (P=k*
ekt).Le modèle est par ailleurs "empirique" dans la mesure où la constante k n'est pas calculée théoriquement, mais choisie lors de chaque tentative d'ajustage aux valeurs mesurées expérimentalement.
2.2 Validation du modèle
Un modèle n'a de sens que s'il est possible de le mettreàl'épreuve. La validation d'un modèle exige deux conditions: a) bénéficier d'un support sémantique, b) être susceptible d'engendrer un ensemble de valeurs cohérentes avec les résultats expérimentaux. Pour vérifier si un modèle local satisfaitàla seconde condition, il suffit de disposer d'un outil capable de calculer, autant de fois qu'il est nécessaire, une nouvelle valeuràpartir de la précédente, et de l'afficher sur un graphique.
Les modèles élaborés avec les élèves sont introduits dans Modelisator (BEGUIN, 1995), Rédigé en LOGOwrirer (L.C.S.I., 1987), Modelisaror permet d'introduire une formule de changement et y adapte automatiquement les procédures de calcul, assiste la création d'un système de coordonnées approprié aux résultats expérimentaux, aide au choix des valeurs des coefficients du modèle, et engendre un graphique avec les valeurs calculées. LOGOwrirer présente l'avantage d'afficher les points sur le graphique au fur etàmesure que les valeurs qui leur correspondent sont calculées, ce qui permet de suivre l'évolution dans le temps du phénomène simulé. Les procédures de MODELISA TORsont compréhensibles aux élèves qui ont été initiésà LOGOwriter en 7ème année.
2.3 Trois situations de croissance abordées avec les élèves
L'amaryllisest une planteàbulbe qui présente un mode de croissance extrêmement intéressant.La
hampe (ou tige) florale croîtàsa base, mais un segment préalablement formé continue de s'allonger en même temps qu'il est "poussé" vers le haut. Cette plante cultivée a été proposée aux élèves pour des raisons de commodité: cylindrique et verticale, la hampe est facilement mesurable.
Le colibacille (Escherischia coli) est un hôte de notre intestin. Une culture d'Escherischia coli est le prototype même d'une population de grande taille (des dizaines de millions d'individus parml)dont la croissance est néanmoins maîtrisable en milieu scolaire (rapide, reproductible et sans danger). L'étude de l'épidémie de sida en Suisse a été intégrée à un projet pour la santé au collège de la Gradelle.
Les situations ont été proposées aux élèves par le maître, mais les mesures ont été "négociées" avec eux. Nous considérons comme un prémisse essentielà un travail de modélisation avec les élèves la participation active de ceux-ci aux mesures qui, sinon, restent pour eux seulement des chiffres, sans signification.
Dans le cas de la croissance de l'amaryllis, il est apparu aux élèves que la mesure de la plante au cours du temps n'a de sens que si "elle nous apprend mieux le comportement de l'amaryllis". Ils ont donc proposé de tracer des marques sur la hampe pour "savoir où elle grandit". Finalement, il a été convenu de tracer4marques équidistantes (déterminant3segments égaux), dont uneà sa base, au raz du bulbe, et de les suivre régulièrement. Comme le lendemain la marque inférieure s'était élevée, une 5ème a été posée, puis le jour après une 6ème, et ainsi de suite. Pendant plus de40 jours, les élèves
sont venus à tour de rôle, presque quotidiennement, mesurer la hauteur de chaque marque existante et en tracer une nouvelleàla base de la hampe.
Ils ont ainsi découvert que la hampe se fonne à sa base (croissance bulbaire), mais qu'un segment déjà fonné (c'est-à-dire déjà délimité par 2 marques) s'allonge.
Dans le cas desbactéries, la mesure par dilution, étalement et comptage sur agar a été expliquée, discutée, puis exécutée par les élèves eux-mêmes.
L'épidémie desida a été étudiée à partir de données extraites d'un rapport officiel (Office fédéral de la santé publique, 1994).
Les 3 situations sont modélisables par le modèle deHuxley, dans leur phase initiale, ou par celui de Verhulst (VITALE, 1991).
2.4 Traitement des résultats expérimentaux
Les résultats obtenus ont été l'objet d'un très grand nombre de traitements divers afin que les élèves puissent leur donner du sens et se les approprier: recherches d'infonnations dans le tableau de saisie, problèmes de détennination de valeurs, représentations graphiques. Ces diverses opérations, outre qu'elles leur permettaient de mieux comprendre le déroulement des phénomènes observés, les entraînaient à des conduites élémentaires de la démarche scientifique (lecture et interprétation de données, création et analyse de graphiques) et les familiarisaient avec des notions fondamentales (relation fonctionnelle entre deux grandeurs, variables dépendante et indépendante, proportionnalité, attribution d'une valeur à un coefficient, validité et erreurs des mesures). Les élèves ont été frappés par le fait que trois phénomènes distincts, l'allongement d'un segment déjà formé de la hampe de l'amaryllis, la prolifération de bactéries en culture et la propagation de l'épidémie de sida, ont une évolution similaire, caractérisée par une phase d'accélération, une phase rapide et une phase de freinage. De plus, cette évolution leur rappelait des hypothèses préalablement discutées.
2.5 Construction d'un modèle pour la phase d'accélération
Celte phase a d'emblée attiré l'attention des élèves. C'est donc celle que nous avons tenté de modéliser avec eux en les sollicitant de mettre en relation variation et grandeur variée.
Cette démarche a été difficile, même en utilisant des métaphores (dont la plus banale est celle des intérêts composés d'un capital). La fonnulation mathématique, en tennes de proportionnalité, de la conjecture selon laquelle la variation f>x est d'autant plus grande que la grandeur variée x est grande (pendant un intervalle donné de temps), pose des difficultés certaines pour les élèves.
2.6 Validation des modèles
Le modèle retenu pour rendre compte de la phase d'accélération a été introduit dans le programme MODELISATOR dont le "moteur" est du type:
pour CALCUL :t :x :k AFFICHE :t :x
CALCUL :t +1 :x+:k *:x :k
L'ajustage a été réalisé, sous la surveillance du maître, par les élèves qui se relaient à un ordinateur amené en classe pour l'occasion. Ils ont de suite relevé que le calcul et l'affichage avec ce modèle ne rendait pas compte du freinage observé.Leterme de freinage "quadratique" du modèle deVerhulsla donc été introduit par le maître dans le modèle local de variation qui devient :
t.x
=(kl * x - k2 * x2) *.1t.Leprogramme de calcul est transfonnéàson tour : pour CALCUL :t :x :kl :k2 AFFICHE :t :x
CALCUL :t + 1 :x+kl *:x - :kl* x2 :kl :k2 fin
TI est à noter queleterme
t.t
disparaît dans la fonnule introduite dans la procédure CALCUL, car sa valeur est fixée une fois pour toutesà 1.La figure 1 représente les valeurs calculées et affichées sur un graphique par ce programme, où kl et k2 ont été nommés respectivement a et c par un groupe d'élève.
longueur-
MilliMètr-es
35
899
Figure1 :simulation à l'aide de modelisator 1.0 de l'allongement de la hampe florale de l'amaryllis selon le modèle de Verhulsl.
3. CONCLUSIONS
L'objectif premier de ce projet était de concentrer l'effort des élèves sur la construction d'un modèle et sa validation assistée par ordinateur. L'expérience nous a montré que des notions logico-mathématiques généralement considérées comme élémentaires, celle de proportionnalité notamment,
requises pour la construction d'un modèle formel, ne sont pas transposables par les élèvesàpartir de leurs acquis scolaires supposés, mais doivent être reconstruites.
Notre attention s'est donc finalement concentrée sur la phase d'approche, qui s'est révélée extrêmement féconde pour le développement de compétences fondamentales et pour la construction d'une culture scientifique de base.
Nous insistons sur l'importance de considérer la notion de modèle d'un point de vue très large, de la situer dans son cadre épistémologique, d'être attentif au sens que peuvent donner les élèves à un modèle et à la facilité d'accès de son support sémantique.
L'incidence doit également être soulignée de cette démarche sur l'acquisition de connaissances liées au processus de croissance; floraison, division cellulaire, facteurs d'environnement (qui affectent notamment les constantes kil, nutrition et respiration cellulaire, agents pathogènes, compétition entre individus, sont autant de thèmes que ce travail permet d'aborder avec les élèves.
BIBLIOGRAPHIE
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