Stabilité exponnentielle d’un système de Bresse avec Second son

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université D’Adrar

Faculté des Sciences et de la Technologie Département des Mathématiques et Informatique

MÉMOIRE

Pour l’obtention du diplôme de

MASTER

En Mathématiques

Spécialité :

Analyse Fonctionnelle et Applications

Présenté par

DAOUDI Zohra

Thème

Stabilité exponnentielle d’un système de Bresse avec

Second son

Soutenu le 11/9/2020 devant le jury composé de :

M.MAMOUNI Touhami Maître de conférence A Université d’Adrar Président M. KEEDI Ahmed Maître de conférence B Université d’Adrar Rapporteur M.BOUAZIZ Said Maître assistant A Université d’Adrar Examinateur

Dédicaces Je dédie ce modeste travail

à mes chers parents, à mes soeurs, à toute ma famille.

à mon professeur superviseur KEDDI Ahmed. à Tous mes enseignants .à mes amis sans exception.

Remerciements

J e remercie premièrement Dieu ALLAH, qui m’a donné a puissance et la volonté pour achever ce travail.

J e tiens à remercier in…niment Dr. KEDDI Ahmed qui a encadré cette thèse avec beaucoup de patience et de gentillesse. Il a su motiver chaque étape de mon travail par des remarques pertinentes et a su me faire progresser dans mes recherches. Je le remercie trés sincèrement pour sa disponibilité (même à distance).

À le professeur qui n’hésite jamais à donner a chaque fois que j’avais besoin DAOUDI Hassen

J e pro…te aussi de cette occasion pour remercier tous les enseignants du département de mathématiques et informatique de université Ahmed Dria,Adrar.

Notations générales D(A) Domaine de l’opérateur A:

B (E) L’espace des opérateur linéaires bornés de E dans E: p:p Presque par tout.

H1_{; H}1

0; Espaces de sobolev.

% (A) Ensemble résolvant de l’opérateur A: R (:; A) Application résolvante de A:

Table des matières

1 Préliminaires 4

1.1 Rappels sur les espaces de Sobolov et de Lebesgue . . . 4

1.1.1 Dé…nitions et propriétés élémentaires des espaces Lp_{(I) . . . . 4}

1.1.2 Espace de Sobolev W1;p(I) . . . 6

1.1.3 Espace de Sobolev Wm;p_{(I) . . . . 7}

1.2 Rappels sur Les opérateurs . . . 8

1.2.1 Dé…nitions . . . 8

1.3 Quelques propriétés spectrales, . . . 10

1.4 Rappels sur la théorie des semi-groupes . . . 10

1.4.1 Quelques dé…nitions . . . 10

1.5 C0-Semi-groupe généré par un opérateur dissipatif . . . 13

1.6 Le théorème Lax Miligrame . . . 14

2 Existence et Unicité 16

Introduction

Le systèm de Bresse prend en compte les déformations de arc d’un cercle soumis aux déplacements longitudinal, vertical et l’angle de rotation indiqués par w; ' et respectivement. Le système est donné par les équations suivantes

8 > > > < > > > : 1'tt k('x+ + lw)x lk0(wx l') = F1; 2 tt b xx+ k('x+ + lw) = F2; 1!tt k0(wx l')x+ lk('x+ + lw) = F3; (1)

où F1; F2 et F3 représentent les forces extérieures et les cofecients i; k; k0; l et b sont des constantes positives. Le système de Bresse (1) est composé de trois équations des ondes et il a été introduit par Bresse [2]. Lorsque F1 = F2 = F3 = 0, le système (1) est purement conservateur. En d’autres termes, en prenant en compte tous les conditions aux limits, l’énergie du système dé…nie par la fonctionnelle suivante

E (t) = 1 2 1 Z 0 1'2t + 2 2 t + 1wt2+ +k('x+ + lw)2+ k0(wx l') 2 dx;

satisfait E0(t) = 0. Par conséquent, E(t) = E(0) pour tout t 0: Cette identité est appelée la propriété de conservation de l’énergie.

En outre, si l 0, alors le système de Bresse se réduit au système de Timoshenko. Santos et Almeida Júnior [11] ont considéré (1) lorsque F1 = ₁'_t; F2 = 1 t et F3 = 3wt, avec des conditions initiales et les conditions aux limites de type Dirichlet-Dirichlet-Dirichlet, et ils ont montré que le système est exponentiellement stable sans imposer aucune condition sur les coefecients. Le même résultat a été obtenu par Soriano et al [12] lorsque F1 = a(x)g1('t); F2 = g2( t) et F3 = (x)g3(wt), où a; 2 L1(0; L) et les fonctions g1, g2 et g3 sont continues et monotones.

F1 = 1 Z 0 g1(s) 'xx(x; t s) ds; F2 = 1 Z 0 g2(s) xx(x; t s) ds et F3 = 1 Z 0

g3(s) wxx(x; t s) ds; où gi sont des fonctions di¤érentiables décroissantes satisfaisant certain hypothèses. Précisément, ils ont établi l’exictence et l’unicité des solution et la stabilité asymptotique de ce système, mais sans imposer aucune condition sur les coe…cients. Lorsque F1 = F3 = 0 et F2 = _t avec > 0; Alabau Boussouira et al [1] ont montré que le système est exponentiellement stable sous les conditons

1 2

= k

b et k = k0; sinon le sytème manque de stabilité exponentielle.

Dans ce mémoire, on étude l’exsistence et l’unicité des solutions et le comportement asymptotique du système de Bresse suivant, où le ‡ux de chaleur est donnée par la loi de Cattaneo ₈ > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : 1'tt k('x+ + lw)x lk0(wx l') = 0; 2 tt b xx + k('x+ + lw) + x = 0; 1!tt k0(wx l')x+ lk('x+ + lw) = 0; 3 t+ qx+ tx = 0; qt+ q + x = 0; (2)

dans (0; 1) (0;_{1) avec les conditions aux limites}

'(0; t) = _x(0; t) = !x(x; 0) = (0; t) = 0 '_x(1; t) = (1; t) = !(1; t) = q(1; t) = 0 8t

0 (3)

et les conditions initiales pour x 2 (0; 1)

'(x; 0) = '₀(x) '_t(x; 0) = '₁(x) (x; 0) = ₀(x) _t(x; 0) = ₁(x) !(x; 0) = !0(x) !t(x; 0) = !1(x) (x; 0) = 0(x) q(x; 0) = q0(x):

Ce mémoire est basé sur le travil de Keddi et al [7] mais on va utiliser une méthode di¤erente pour établir la stabilité exponentielle et elle est organisé comme suite :

Dans le chapitre 1, on va donnée quelques rappels, Dé…ntions et théoremes fonda-mentaux pour traite notre probléme. Dans le chapitre 2, on va utiliser la théorie de semi groupes pour prouver l’exsistence et l’unicité de notre système. dérniérement, on basé sur un résultat de stabilité exponentielle pour va montrer que le système (2) est exponentiellement stable sous les hypothµeses = 0 et k = k0;où

= (1 k 3 1 ) 1 k 2 b 2 b :

Chapitre 1

Préliminaires

1.1

Rappels sur les espaces de Sobolov et de

Le-besgue

1.1.1

Dé…nitions et propriétés élémentaires des espaces

L

(I)

Soit I =]a; b[ un intervalle dans R (pas forcément borné) et 1 p < +_{1: On appelle} espace de Lebesgue Lp_{(I) ; l’espace}

Lp(I) = u : I _{! R; u mesurable et} Z b a jujpdx < +_{1 :} Sa norme est kukLp = Z b a juj p dx 1 P : Si p = +1, on pose

et on défnit sur L1_{(I) la norme}

kukL1 = inf c2 R+ tel que juj < c p:p sur I :

On dit que une fonction u : I _{! R appartient à L}p_loc(I) si 1Ku _{2 L}p_{(I) pour tout} compact K I.

Remarque 1 L’espace L2_{(I) muni du produit scalaire}

(u; v) = R_abuvdx; u; v _{2 L}2_(I)

est un espace de Hilbert.

Théorème 2 [3] Lp _{est un espace de Banach pour tout 1 p +} 1.

Théorème 3 (Inégalité de Hölder) [3]. Soit 1 p +_{1; on désigne par q l’exposant} conjugé de p i.e. 1_p +1_q = 1:

Pour tout u 2 Lp(I) et v _{2 L}q(I) on a uv _{2 L}1_{(I) et}

kuvkL1 kuk

Lp kvkLq:

Théorème 4 (Inégalité de Young). Soient p et q deux réels tels que 1_p +1_q = 1: Alors

8(a; b) 2 R2 +; 8" > 0; ab " pa p₊ 1 q" q pb q_: Si p = q = 2; on a 8(a; b) 2 R2 +; 8" > 0; ab " 2a 2₊ 1 2"b 2_:

Lemme 5 (Inégalité de Cauchy Schwarz). Soit H un espace de Hilbert, on a

Dé…nition 6 _{Soit I un ouvert de R; une fonction u 2 L}p_{(I) a une dérivée faible dans} Lp(I) s’il existe v _{2 L}p(I) telle que pour toute '_{2 C}1

c (I) on ait Z b a u (x) '0(x) dx = Z b a v (x) ' (x) dx:

Cela revient à dire que v est la dérivée de u au sens des distributions.

1.1.2

Espace de Sobolev

W

(I)

En analyse mathématique, les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels par-ticulièrement adaptés à la résolution des problèmes d’équations aux dérivées partielles.

Soit I =]a; b[ un intervalle borné ou non et soit p 2 R avec 1 p < +_1.

Dé…nition 7 L’espace de Sobolev, noté W1;p_{(I), est constitué des fonctions de L}p_(I) dont la dérivées au sens des distributions, s’identi…e à une fonction de Lp(I): La dé…nition précédente s’écrit donc comme ceci

W1;p(I) = u_{2 L}p(I);_{9g 2 L}p(I) tel que Z I u'0dx = Z I g'dx; _{8' 2 Cc}1(I) :

Pour p = 2, il est d’usage de remplacer la notation W1;p_{(I) par H}1_(I):

Proposition 8 [6]

1. L’espace W1;p(I) muni de la norme dé…nie par

kukW1;p =kukLp+ku0kLp

est un espace de Banach.

2. L’espace H1_{(I), muni du produit scalaire}

est un espace de Hilbert.

Corollaire 9 (Intégration par parties)[3]. Soient u; v 2 W1;p_{(I) avec 1 p +} 1. Alors uv 2 W1;p(I) et

(uv)0 = u0v + uv0: De plus on a la formule d’intégration par parties

Ry x u

0

vdx = u (y) v (y) u (x) v (x) R_xyuv0dx; _{8x; y 2 I:}

1.1.3

Espace de Sobolev

W

(I)

Dé…nition 10 Etant donnés un entier m 2 et un réel 1 p < +_{1, on dé…nit par} récurrence l’espace

Wm;p(I) =nu_{2 W}m 1;p(I); u0 _{2 W}m 1;p(I)o:

On pose

Hm(I) = Wm;2(I); et l’espace Hm _{muni du produit scalaire}

(u; v)Hm = (u; v)_L2 +

m X

i=1

(u(i); v(i))_L2

est un espace de Hilbert.

Espace de Sobolev W₀m;p(I)

Dé…nition 11 Etant donnés 1 p +_{1 et m 2 N, on désigne par W0}m;p(I) la fer-meture de Cm

c (I) dans Wm;p(I).On note H0m=W m;2

0 (I), le résultat suivant fournit une caractérisation essentielle des fonctions de W₀1;p(I)

Proposition 12 (Inégalité de Poincaré) [3]. On suppose que I est borné. Alors il existe une constante cp _{(pendant de jIj) telle que}

kukW1;p_(I) ku0k

Lp; 8u 2 W

1;p 0 (I):

Autrement dit, sur W01;p(I) la quantitéku0k_Lpest une norme équivalente à la norme usuelle de W1;p_(I).

Remarque 13 On a la caracterisation suivante de Hm 0 (I)

H₀m(I) =nu_{2 H}m(I), u = u0 = ::: = u(m 1) = 0 sur @(I)o:

Il convient de bien distinguer

H₀2(I) =nu_{2 H}2(I), u = u0 = 0 sur @(I)o:

et

H2(I)_{\ H0}1(I) = u_{2 H}2(I), u = 0 sur @(I) :

1.2

Rappels sur Les opérateurs

Soient E et F deux espaces de Banach.

1.2.1

Dé…nitions

Dé…nition 14 (Opérateur linéaire non borné). Un opérateur linéaire est une application linéaire dé…nit sur un sous espace vectoriel D(A) de E appelé domaine de A:

Ainisi

A : D(A) E _{! F;} D(A) =_{fu 2 E; Au 2 F g}

et 8u; v 2 D(A); 8 2 C

A(u + v) = Au + Av; A( u) = A(u):

Dé…nition 15 On dit que A est un opérateur linèaire borné s’il existe c 0 telle que

8u 2 D(A); kAukF c_kukE: On note A 2 B(E):

Dé…nition 16 (Graphe/Noyau/Image)

Le graphe de A est le sous espace vectoriel de E F noté Gr(A) dé…ni par

Gr(A) =f(u; Au) : u 2 D(A)g :

On appelle Noyau de A le sous espace de E noté ker(A) dé…nie par

ker(A) =_{fu 2 D(A) :} Au = 0_{g :}

Et Image de A le sous espace de F noté Im(A) dé…ni par

Im(A) = A(D(A)) =_fAu; u_{2 D(A)g :}

On dit que A est injectif si ker(A) = f0g ; et que A est surjectif si Im(A) = F: L’opérateur est bijectif s’il est à la fois injectif et surjectif.

Dé…nition 17 (Opérateur inversible). On dit qu’un opérateur A : D(A) E _{! F est} inversible si il est bijectif et a un inverse

borné.

Dé…nition 18 (Opérateur fermé). Un opérateure A est dit fermé si son graphe Gr(A) est fermé dans E E; c-à-d si (xn)_n2N une suite de D(A) telle que xn _{! x alors x 2 D(A)} et Axn _{! Ax:}

1.3

Quelques propriétés spectrales,

Soit H un espace de Hilbert.

Dé…nition 19 Soit A un opérateur dè…ni sur H; l0_{ensemble résolvant %(A) est l’ensemble} des _{2 C tel que I} A inversible.

Dé…nition 20 Soit A un opérateur dè…ni sur H; le spectre (A) est le complément de l’ensemble résolvante.

Dé…nition 21 On appelle application résolvante de A, l application

R(:; A) : %(A) _{C ! B(H)} ! R( ; A) = ( I A) 1:

Théorème 22 [4]. Soit H un espace de Hilbert complexe et soit A 2 B(H): 1. Si j j > kAk ; alors _{2 (A):}=

2. (A) est un ensemble fermé.

1.4

Rappels sur la théorie des semi-groupes

1.4.1

Quelques dé…nitions

Dé…nition 23 On dit aue A est monotone si

Dé…nition 24 Une famille fS (t)gt 0 opérateur linéaires continues est dite semi-groupe fortement continu (C0-semi-groupe) sur H si elle satisfait les propriétés suivantes

1. S (0) = Id

2. S (t + s) = S (t) S (s) ; 8t; s 0

3. Pour chaque x 2 H; S (:) x est continue sur [0; +1[ :i:e: lim

t!0+kS (t) x xkH = 0:

On appelle in…ntésimal du C0_{-semi-groupe fS (t)gt 0} tout opérateur A dé…nie sur l’ensemble D (A) = x_{2 H; lim} t!0+ S (t) x x t exist : Par Ax = lim t!0+ S (t) x x t ; 8x 2 D(A): Par fois on note fexp(At)gt 0 pour fS (t)gt 0:

Dé…nition 25 Un semi-groupe fortement continue fS (t)gt 0 sur H est dit de contrac-tion si kS (t)kL(H;H) 1; 8t 0:

Exemple 26 Soit

C = ff : [0; 1) ! R; f est uniformément continue et bornéeg: Avec la norme jjfjjC = sup

2[0;1)jf( )j, l’espace C devient un espace de Banach. On dé…nit

(S(t)f ) = f (t + );_8t 0 et _{2 [0; 1):} Evidemment S(t) est un opérateur linéaire, et, en plus, on a

2. S ((t + s) f ) = f (t + s + ) = (S (t) f ) (s + ) = (S (t) S (s) f ) ( ) ;_{8f 2 C, donc} S (t + s) = S (t) S (s) ; _{8t; s} 0 3. lim t!0+kS (t) f fkc= lim_t!0+ sup 2[0;1)jf(t + ) f ( )_{j = 0 8f 2 C.} De même, on a 8t 0 kS (t) fkc = sup 2[0;1)j (S (t) f) ( )j = sup 2[0;1)jf(t + )j = sup 2[t;1)jf( )j sup 2[0;1)jf( )j = kS (t) f f_kc

Donc kS(t)k 1,_8t 0. D’aprés la dé…nition précedent _fS(t)gt 0est un C0-semi-groupe de contraction, nommé le C0-semi-groupe de translations à droite.

Soit A : D(A) _{C ! C le genérateur in…nitésimal du C}0-semi-groupe fS(t)gt 0. Si f _{2 D(A), alors on a} Af ( ) = lim t!0+ f (t + ) f ( ) t = f 0_{( );}

uniformément par rapport à . Par conséquent

D(A) _{ff 2 C : f}0 _{2 Cg:}

Si f 2 C tel que f0 2 C; alors S (t) f f t f 0 c = sup 2[0;1) (S (t) f ) ( ) f ( ) t f 0_{( ) :}

Mais (S (t) f ) ( ) f ( ) t f 0_{( ) =} f (t + ) f ( ) t f 0_{( )} = 1 t [f (s)] t+ f0( ) = 1 t Z t+ (f0(s) f0( )) ds 1 t Z t+ jf0(s) f0( )_{j ds ! 0;}

uniformément par rapport à pour t 0: Alors S(t)f f t f0 _c! 0 si t ! 0 d’ou f 2 D(A) et ff 2 C : f0 2 Cg D(A): Par conséquent Af = f 0 et D(A) =_{ff 2 C : f}0 _{2 Cg :}

Dé…nition 27 fexp (At)gt 0 est dit exponentiellement stable s’il existe des constantes positive et M telles que

kexp (At)kL(H) M exp( t); 8t 0:

1.5

C

-Semi-groupe généré par un opérateur

dissi-patif

Théorème 28 (Hille-Yosida) [10]. Un opérateur linèaire (non borné) A : D(A) H _! H est le générateur in…nitésimal d’un C0_{-semi-groupe de contractions fS(t)gt 0} si et seulement si

ii)L’ensemble résolvant % (A) de A contient R+ _{et pour tout > 0}

( I A) 1 1:

Théorème 29 (Lumer-Phillips) [9]. Soit A : D(A) H _{! H un opérateur linéaire et} D(A) est dense dans H. Alors A est le générateur in…nitésimal d’un C0-semi-groupe de contraction si et seulement si

i) A est dissipatif,

ii) Il existe > 0 tel que Im( I A) = H (A est maximal).

1.6

Le théorème Lax Miligrame

Soit H un espace de Hilbert muni de produit scalaire (:; :)_H et de norme associée k:kH:

Dé…nition 30 On dit qu’une forme bilinéaire a(u; v) : H H _{! R est :} (i) continue, s’il existe une constante C > 0 telle que

ja(u; v)j C_{kuk kvk ; 8u; v 2 H:} (ii) coercive, s’il existe une constante > 0

ja(u; u)j kuk2; _{8u 2 H:}

Théorème 31 (Lax-Milgram) [3]. Soit H une espace de Hilbert réel, a(:; :) une forme bilinéaire, continue et coercive sur H et L : H ! R une forme linéaire continue . Alors, il existe un unique élément u de H solution du problème variationnel

de plus, si a est symétrique u dé…nie par 1

2a(u; u) L(u) = minv2H 1

Chapitre 2

Existence et Unicité

Dans ce chapitr, on va donner un résultat d’existence et d’unicité pour le pro-blème (2) (4), en utilisant la théorie de semi groupes. Pour cela, en posant = ('; u; ; v; w; !; ; q)T, où u = 't; v = t et ! = wt: le systèm (2) (4) peut être écrit comme suit

8 < : 0 (t) +_{A (t) = 0} (0) = 0 = ('0; '1; 0; 1; w0;w1; 0;q0) T ; où l’opérateur A est dé…ni par

A = 0 B B B B B B B B B B B B B B B B B B @ u 1 1( k('x+ + lw)x lk0(wx l')) v 1 2( b xx+ k('x+ + lw) + x) ! 1 1( k0(wx l')x+ lk('x+ + lw)) 1 3(qx+ vx) 1_{( q +} x) 1 C C C C C C C C C C C C C C C C C C A :

Hilbert suivants H1_{(0; 1) =} ff 2 H1 _{(0; 1) f (0) = 0} g H2_{(0; 1) = H}2_{(0; 1)} \ H1_{(0; 1)} ^ H1_{(0; 1) =} ff 2 H1 _{(0; 1) f (1) = 0} g H^2_{(0; 1) = H}2_{(0; 1)} \ ^H1_{(0; 1)} et H = H1(0; 1) L2(0; 1) H^1(0; 1) L2(0; 1) H^1(0; 1) L2(0; 1) L2(0; 1) L2(0; 1)

muni du produit scalaire

; ~ H = k 1 Z 0 ('_x+ + lw) ~'_x+ ~ + l ~w dx + k0 1 Z 0 (wx l') ( ~wx l ~') dx + ₁ 1 Z 0 u ~udx + b 1 Z 0 x~xdx + 2 1 Z 0 v~vdx + ₁ 1 Z 0 ! ~!dx + ₃ 1 Z 0 ~dx + 1 Z 0 q ~qdx:

Alors le domaine de l’opérateur A est donné par

D (_{A) =} 8 < : 2 H : ' 2 H2(0; 1) ; ; w_{2 ^}H2(0; 1) ; u; _{2 H}1(0; 1) ; v; !; q _{2 ^}H1_{(0; 1); '} x(1) = 0; wx(0) = x(0) = 0 9 = ;

Pour montrer que A est gènerateur in…nitisimal de C0-semi-groupes de contraction il su¢ t montre que d’aprés le théoreme de Hille-Yosida que A est un opérateur maximal monotone.

Lemme 32 _{L’opérateur A est monotone et satisfait, pour tout 2 D(A)} (_{A ; )H}= 1 Z 0 q2dx 0: (2.1)

Preuve 33 Preuve 34 Preuve 35 En utilisant le produit scalaire, pour tout _{2 D (A) ;} on a (_{A ; )H} = k 1 Z 0 (ux+ v + l!) ('x+ + lw) dx k0 1 Z 0 (wx lu) (wx l') dx + 1 Z 0 ( k('_x+ + lw)x lk0(wx l'))udx b 1 Z 0 vx xdx + 1 Z 0 ( b _xx+ k('_x+ + lw) + x)vdx + 1 Z 0 ( k0(wx l')_xdx + lk('x+ + lw))!dx + 1 Z 0 (qx+ vx) dx + 1 Z 0 1 ( q + x)qdx

Après la simpli…cation, on trouve

hA ; iH = kl 1 Z 0 wuxdx k 1 Z 0 uxdx k 1 Z 0 '_xuxdx + k0l 1 Z 0 '!xdx k0 1 Z 0 wx!xdx kl 1 Z 0 uwxdx k 1 Z 0 u _xdx k 1 Z 0 u'_xxdx b 1 Z 0 xvxdx + 1 Z 0 v xdx b 1 Z 0 v _xxdx + k0l 1 Z 0 '_x!dx k0 1 Z 0 !wxxdx + 1 Z 0 vxdx + 1 Z 0 xqdx + 1 Z 0 qxdx + 1 Z 0 q2dx;

et grâce à la formule d’integration par parties, on obtient hA ; iH = kl[wu] 1 0 k[ u]10 k['xu]10+ k0l['!]10 k0[wx!] 1 0 b [ _xv]1₀+ [vx ]1₀+ [qx ]1₀ + 1 Z 0 q2dx:

Alors, les conditions au bord impliquent

hA ; i_H = 1 Z 0

q2dx:

Lemme 36 L’opérateur A + I est surjectif.

Preuve 37 pour montrer que A+I est surjectif il faut montrer pour tout G = (g1; g2; g3; g4; g5; g6; g7; g8) de H, il existe 2 D(A) tel que

+_{A = G} (2.2) i.e, ₈ > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > : u + ' = g1 2 H1(0; 1) k('_x+ + lw)x lk0(wx l') + 1u = 1g2 2 L2(0; 1) v + = g3 2 ^H1(0; 1) b _xx+ k('_x+ + lw) + x+ 2v = 2g4 2 L2(0; 1) ! + w = g5 2 ^H1(0; 1) k0(wx l')_x+ lk('x+ + lw) + 1! = 1g6 2 L2(0; 1) qx+ vx+ 3 = 3g7 2 L2(0; 1) ( + ) q + x = g8 2 L2(0; 1) (2.3)

l’intégration de (2:3)₈ donne = x Z 0 g8(y)dy ( + ) x Z 0 q(y)dy: (2.4)

Donc (0; t) = 0: Par substitution u = ' g1; v = g3; ! = w g5 et (2:4) en (2:3)2; (2:3)₄; (2:3)₆; (2:3)₇; ona 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : k('_x+ + lw)x lk0(wx l') + 1' = h1 2 L2(0; 1) b _xx+ k('_x+ + lw) + ₂ ( + ) q = h2 _{2 L}2(0; 1) k0(wx l')x+ lk('x+ + lw) + 1! = h3 2 L2(0; 1) qx+ ( + ) 3 x Z 0 q(y)dy _x = h4 2 L2(0; 1); (2.5) oú ₈ > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : h1 = 1(g1+ g2); h2 = 2(g3+ g4) g8; h3 = 1(g5+ g6); h4 = g3x 3(g7 x Z 0 g8(y)dy): (2.6)

On multiple les èquations de system (2:5) respectivement par ~'; ~ ; ~wet ~qpuis en sommant les terms, on trouve la formulation variationnelle suivante

B(('; ; w; q); (~'; ~ ; ~w; ~q) = F (~'; ~ ; ~w; ~q) (2.7) sur l’espace V = H1(0; 1) H^1(0; 1) H^1(0; 1) L2(0; 1) muni de la norme k('; ; w; q)k2V =k('x+ + lw)k 2 2+kwx l'k 2 2+k xk 2 2+kqk 2 2:

Où B est la forme bilinèaire sur V dé…nie par B(('; ; w; q); (~'; ~ ; ~w; ~q)) = k 1 Z 0 ('_x+ + lw) (~'_x+ ~ + l ~w)dx + ( + ) 1 Z 0 q ~qdx + b 1 Z 0 x~xdx 2 1 Z 0 ~ dx ( + ) 1 Z 0 ~ qdx + ₁ 1 Z 0 '~'dx + ( + ) 1 Z 0 ~qdx +k0 1 Z 0 (wx l')( ~wx l ~')dx + ₃( + )2 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A 0 @ x Z 0 ~ q(y)dy 1 A dx + ₁ x Z 0 w ~wdx:

Et F est un application linèaire dé…nie par :

F (~'; ~ ; ~w; ~q) = 1 Z 0 h1'dx +~ 1 Z 0 h2 dx +~ 1 Z 0 h3wdx + ( + )e 1 Z 0 h4 0 @ x Z 0 ~ q(y)dy 1 A dx:

Maintenant , en utilisant l’inègalitè suivante, on montre la continuité de B 1 Z 0 ('2_x+ 2_x+ !w_x2)dx c 1 Z 0 (('_x+ + lw)2+ (wx l')2+ 2x))dx: (2.8)

En e¤et, d’aprés l’inégalité de Hölder, on a

B(('; ; w; q); (~'; ~ ; ~w; ~q)) k_k'x+ + lw_k2 '~_x+ ~ + l ~w 2 + ( + )_kqk2k~q_k2+ b_{k xk2} ~_x 2 + _{2k k2} ~ 2 ( + ) ~ 2kqk2 + _1k'k2k~'_k2 + ( + )_{k k2k~}q_k2+ k0k(wx l')k2k( ~wx l ~')k2dx + ₃( + )2 2 4 1 Z 0 0 @ x Z 0 jq(y)j dy 1 A 2 dx 3 5 1 2 2 4 1 Z 0 0 @ x Z 0 j~q(y)_{j dy} 1 A 2 dx 3 5 1 2 + _{1kwk2k ~}w_k2

En traite 9eme _{term comme suite} 2 4 1 Z 0 ( x Z 0 jq(y)j dy)2dx 3 5 1 2 2 4 1 Z 0 ( x Z 0 j~q(y)_{j dy)}2dx 3 5 1 2 2 4 1 Z 0 0 @ x Z 0 dy 1 A 0 @ x Z 0 jq(y)j2dy 1 A dx 3 5 1 2 2 4 1 Z 0 0 @ x Z 0 dy 1 A 0 @ x Z 0 j~q(y)_j2dy 1 A dx 3 5 1 2 2 4 1 Z 0 0 @ 1 Z 0 dy 1 A 0 @ 1 Z 0 jq(y)j2dy 1 A dx 3 5 1 2 2 4 1 Z 0 0 @ 1 Z 0 dy 1 A 1 Z 0 j~q(y)_j2dy)dx 3 5 1 2 kqk2k~q_k2:

Donc d’aprés les inégalités de Poincaré, Young et (2:8) on obtient

B(('; ; w; q); (~'; ~ ; ~w; ~q)) c(_kqk2₂+ c(_k'x+ + lw_k2₂ +_{k xk}2₂+_k(wx l')k2₂)) 1 2 (_k~q_k2₂+ c( ~'_x+ ~ + l ~w +_{k( ~}wx l ~')k2₂+ ~x 2 2 ))12: c_{k('; ; w; q)kV} (~'; ~ ; ~w; ~q) V : D’où la continuité de B: la coercivité B(('; ; w; q); ('; ; w; q)) = k 1 Z 0 ('_x+ + lw)2dx + k0 1 Z 0 (wx l')2dx + ( + ) 1 Z 0 q2dx + b 1 Z 0 2 xdx 2 1 Z 0 2 dx + ₁ 1 Z 0 '2dx + ₃( + )2 1 Z 0 ( x Z 0 q(y)dy)2dx + ₁ x Z 0 w2dx k_k'x+ + lw_k2₂+ k0kwx l'k2₂+ ckqk2₂ + bk xk2 min(k; k0; b; c)k ('; ; w; q) k2V :

Par conséquent, d’après le théorème de Lax-Milgram, la formulation variationelle admet une solution unique tel que

'_{2 H}1_{(0; 1) w}

2 ^H1_{(0; 1);}

2 ^H1_{(0; 1); q}

2 L2_{(0; 1):}

Par substitution '; ; w et q respectivement dans (2:3)₁; (2:3)₃; (2:3)₅ et (2:3)₈; on obtient

u_{2 H}1(0; 1); !_{2 ^}H1(0; 1); v _{2 ^}H1(0; 1); _{2 H}1(0; 1):

D’autre part, si (~ ; ~w; ~q) = (0; 0; 0)_{2 ^}H1 (0; 1) H^1 (0; 1) L2(0; 1); (2:7) réduit

k 1 Z 0 ('_x+ + lw)~'_xdx k0l 1 Z 0 (wx l')~'dx + 1 1 Z 0 '~'dx = 1 Z 0 h1'dx:~ (2.9) Alors, on a 1 R 0 ( k('_x+ + lw)x k0l(wx l') + 1' h1)~'dx = 0; 8~'2 H1(0; 1): Ce qui implique k'_xx = k _x+ l(k + k0)wx (k0l2+ 1)' + h1 2 L2(0; 1):

Par consèquent, d’aprés la théorie de la régularitè des équations elleptique linéaire, on trouve ' 2 H2_{(0; 1) de plus '}

2 H1_{(0; 1) donc '}

2 H2_{(0; 1) Par ailleurs, (2:9) est} égale-ment vrai pour tout _{2 C}1_{([0; 1]); (0) = 0) H}1_{(0; 1): Donc en utilisant l’intégration} par parties,on trouve

'_x(1) (1) = 0; _{8 2 C}1_{([0; 1]); (0) = 0):}

On déduit que

De même,nous obtenons 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : b _xx = k'_x (k + ₂) lkw ( + ) 1 R 0 q_e'dx + h2 2 L2(0; 1); kwxx = l(k + k0)'x lk + (l2k0+ 1 )w + h3 2 L2(0; 1); qx = x ( + ) 3 x Z 0 q(y)dy + h4 2 L2(0; 1):

Donc nous avons ; w 2 H2_{(0; 1) ; q}

2 ^H1 _{(0; 1) w}

x = x(0) = 0:

Enfn,l’application de la théorie de la régularité des équations linéaires elliptiques ga-rantit l’existence d’un unique _{2 D(A) telque (2:2) est satisfaite. Par conséquent, en} utilisant le lemme 32 et le lemme 36, nous concluons que l’opérateur A est maximale de opérateur monotone. Ainsi, par le théorme de Lumer philips nous avons le réultat suivant Théorème 38 Soit 0 2 H;alors il existe une solution faible unique 2 C(R+;H) du problèm (2) (4): De plus, si 0 2 D(A); 2 C(R+; D(A)) \ C1(R+;H)

Chapitre 3

Stabilité exponentielle

Dans cette chapitre, on va montrer la décroissance exponentielle du système (2:1) (1:3), en utilisant les condtions = 0 et k = k0 et

Théorème 39 _{Soit S(t) = fexp(At)gt 0} est une c0-semi -groupe de contraction sur l’espace de Hilbert H: Alors S(t) est exponentiellement stable ssi %(A) iR et

lim

j j!1 (i A) 1

L(H) <1; où %(A) l’ensemble rèsolvante de A.

Pour cela soit = ('; u; ; v; w; !; ; q)T_{; ~ = ('; u; ; v; w; !; ; q)}T _et

F = (f1; f2; f3; f4; f5; f6; f7; f8)T 2 H. Alors le systéme résolvant associé à l’opérateur A donné par

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > : i ' + u = f1; 1i u + k('x+ + lw)x+ lk0(wx l') = 1f2; i + v = f3; i ₂v + b _xx k('_x+ + lw) x = 2f4; i w + ! = f5; i ₁! + k0(wx l')x lk('x+ + lw) = 1f6; i ₃ qx vx = ₃f7; i q q x = f8: (3.1)

On dé…nit sur l’espace H le produit scalaire suivant

; ~ H = k 1 Z 0 ('_x+ + lw) ('_x+ + lw)dx + k0 1 Z 0 (wx l') (wx l')dx + ₁ 1 Z 0 u udx + b 1 Z 0 x xdx + 2 1 Z 0 vvdx + ₁ 1 Z 0 !$dx + ₃ 1 Z 0 dx + 1 Z 0 qqdx:

Pour simpli…er l’écriture on pose 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : h = b _xx+ k('_x+ + lw); g = k('_x+ + lw)x lk0(wx l') ; = lk('_x+ + lw)x k0(wx l')x; = '_x+ + lw; = wx l':

Lemme 40 Sous les notations ci dessus, ona 1

Z 0

q2dx _{k kHkFkH}:

Preuve 41 En multipliant les équations (3:1)₈; (3:1)₇; (3:1)₄; (3:1)₃; (3:1)₂; (3:1)₁; (3:1)₆ et (3:1)₅ par q; ; v; h; u; g; $ et respectivement, puis en intégrant sur (0:1); on trouve 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : i 1 Z 0 qqdx 1 Z 0 qqdx 1 Z 0 xqdx = 1 Z 0 f8qdx; i ₃ 1 Z 0 dx 1 Z 0 qx dx 1 Z 0 vx dx = 3 1 Z 0 f7 dx; i ₂ 1 Z 0 vvdx + b 1 Z 0 xxvdx k 1 Z 0 ('_x+ + lw)vdx 1 Z 0 xvdx = 2 1 Z 0 f4vdx; i 1 Z 0 hdx + 1 Z 0 vhdx = 1 Z 0 f3hdx; i ₁ 1 Z 0 uudx+ k 1 Z 0 ('_x+ + lw)xudx + lk0 1 Z 0 (wx l') udx = 1 1 Z 0 f2udx; i 1 Z 0 'gdx + 1 Z 0 ugdx = 1 Z 0 f1gdx; i ₁ 1 Z 0 !$dx + k0 1 Z 0 (wx l')_x$dx lk 1 Z 0 ('_x+ + lw)$dx = ₁ 1 Z 0 f6$dx; i 1 Z 0 w dx + 1 Z 0 ! dx = 1 Z 0 f5 dx: (3.2)

de (3:2), on a i k_k'x+ + lw_k2₂+ i k0kwx l'k 2 2+ i 1kuk 2 2+ i bk xk 2 2 +i _2kvk2₂+ i _{3k k}2₂ + i _kqk2₂ 1 Z 0 jqj2dx 2i Im( x; q) 2i Im 1 Z 0 vx dx 2i b Im 1 Z 0 v _xxdx 2i Im 1 Z 0 k('_x+ + lw)vdx + 2i k Im 1 Z 0 u('_x+ + lw)xdx 2i lk0Im 1 Z 0 uwx l'dx 2i k0Im 1 Z 0 !(wx l')xdx 2i lk Im 1 Z 0 ('_x+ + lw) !dx = (_{F; ):}

Maintenant, on passe à la partie réelle, on obtient 1

Z 0

jqj2dx = Re (_{F; ) :}

On deduit, alors d’aprés l’inégalité de Cauchy-Schwarz que 1

Z 0

q2dx =_{jRe (F; )j j(F; )j k kHkFkH}: (3.3)

Lemme 42 Sous les notations ci-dessus, on a

k k2 kvk2+ (c + c )_kqk2+ c_{kFk k k :}

sur (0:1); on a i ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx ₃ 1 Z 0 j j2dx (3.4) = ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 f8(y)dy 1 A dx: On multiple (3:1)₇ par x Z 0

q(y)dy, puis en intégrant sur (0; 1), on obtient

i ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx 1 Z 0 qx 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx 1 Z 0 vx 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx(3.5) = ₃ 1 Z 0 f7 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx;

Sous les conditions au bord, une intégration par parties et par sommation des égalités (3:4) et ( 3:5), on trouve 2i ₃ Re 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx + 1 Z 0 jqj2dx + 1 Z 0 vqdx _{3k k}2 = ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 f8(y)dy 1 A dx + ₃ 1 Z 0 f7 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx;

ceci implique que 3k k 2 = 2i ₃ Re 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx + 1 Z 0 jqj2dx + 1 Z 0 vqdx 3 1 Z 0 0 @ x Z 0 f8(y)dy 1 A dx ₃ 1 Z 0 f7 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx;

Les inégalités deYoung et Cauchy Schwarz impliquent

3k k 2 2i ₃ Re 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx + 3 2 k k 2 + c_kqk2 + _kvk2+ c _kqk2 +c_kf8k + ckf7k kqk : Donc 3k k 2 2i ₃ Re 1 Z 0 0 @ x Z 0 q(y)dy 1 A dx + 3 2 k k 2 + c_kqk2+ _kvk2 +c _kqk2+ c_{kFk k k :}

D’apres l’égalité (3:3) et en passant à la partie réelle, on trouve donc

k k2 kvk2+ (c + c )_kqk2+ c_{kFk k k :}

Lemme 44 Sous les notations ci-dessus, on a

kvk2 c 1 + 1

j j k kHkFkH+ c

j jk kHk kH:

sur (0; 1) après la multiplication par ₃ ; on trouve i _{2 3} 1 Z 0 0 @ x Z 0 v(y)dy 1 A dx + b ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 xx(y)dy 1 A dx k ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 ('_x+ + lw)(y)dy 1 A dx ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 x(y)dy 1 A dx = _{2 3} 1 Z 0 0 @ x Z 0 f4(y)dy 1 A dx:

En multipliant l’équation (3:1)₇ par 2 x Z 0

v(y)dy; en intégrant sur (0; 1), on obtient

i _{3 2} 1 Z 0 0 @ x Z 0 v(y)dy 1 A dx ₂ 1 Z 0 qx 0 @ x Z 0 v(y)dy 1 A dx ₂ 1 Z 0 vx 0 @ x Z 0 v(y)dy 1 A dx = _{3 2} 1 Z 0 f7 0 @ x Z 0 v(y)dy 1 A dx:

En additionnant les deux égalités précédentes, et d’après la formule d’intégration par parties sur (0; 1), on a 2i _{3 2}Re 1 Z 0 0 @ x Z 0 v(y)dy 1 A dx k ₃ 1 Z 0 0 @ x Z 0 ('_x+ + lw)(y)dy 1 A dx + ₂ 1 Z 0 qvdx + ₂ 1 Z 0 jvj2dx + b ₃ 1 Z 0 x dx 3 1 Z 0 j j2dx = _{2 3} 1 Z 0 x Z 0 f4(y)dy dx + 3 2 1 Z 0 f7 0 @ x Z 0 v(y)dy 1 A dx:

En traite le 5eme _{et le 2}eme _{termes comme suite :} 1 Z 0 x dx = 1 i 1 Z 0 (f3x vx) dx

De l’èquation (3:1)₇ et l’intégration par parties, on a 1 Z 0 x dx = 1 i 1 Z 0 ( f3x+ 3f7) 1 i 1 Z 0 q dx + 3 1 Z 0 j j2dx;

et de l’èquation (3:1)₈; on trouve que 1 Z 0 x dx = 1 i 1 Z 0 ( f3x+ 3f7) i 1 Z 0 qf8dx kqk2 i 1 Z 0 jqj2dx + 3 1 Z 0 j j2dx; alors 1 Z 0 x dx c j jk kHkFkH+ c 1 + 1 j j kqk 2 + c_{k k}2: D’autre part, on a 1 Z 0 0 @ x Z 0 ('_x+ + lw)(y)dy 1 A dx = 1 Z 0 ' dx + 1 Z 0 0 @ x Z 0 (y)dy 1 A dx + l 1 Z 0 0 @ x Z 0 w(y)dy 1 A dx c j jk kHkFkH+ c j jk kHk kH

En passant à la partie réelle, en utilisant les inégalités de Young et de Cauchy-Schwarz, on obtient 2kvk 2 2 2 kvk 2 + c 1 + 1 j j kqk 2 +c 1 + 1 j j k kHkFkH+ c j jk kHk kH+ ck k 2 :

D’aprés le lemme 40 et en passant à la partie réelle, on a kvk2 c 1 + 1 j j k kHkFkH+ c j jk kHk kH+ ck k 2 :

Lemme 46 Sous les notations ci-dissus, on a b 2k xk 2 k2 b k'x+ + lwk 2 + c_{k k}2+ c_{k kHkFkH}:

Preuve 47 On multiple (3:1)₄ par et on intégre sur (0; 1); on trouve donc

i ₂ 1 Z 0 v dx + b 1 Z 0 xx dx k 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx 1 Z 0 x dx = 2 1 Z 0 f4 d;

ensuite, on remplace i par v f3; et on intégre par parties, il vient

2kvk 2 b_{k xk}2 k 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx + 1 Z 0 xdx = ₂ 1 Z 0 f4 dx + 1 Z 0 f3vdx:

Les inégalités de Cauchy-Schwarz et Poincaré donnent

b_{k xk}2 _2kvk2+ k_k'x+ + lw_{k k xk + k k k xk + c k kHkFkH}:

En appliquant l’inégalité de Young, on voit que

b_{k xk}2 _2kvk2+ b 4k xk 2 +k 2 b k'x+ + lwk 2 + c_{k k}2 +b 4k xk 2 + c_{k kHkFkH}:

Par conséquent b 2k xk 2 2kvk 2 +k 2 b k'x+ + lwk 2 + c_{k k}2+ c_{k kHkFkH}:

Lemme 48 Sous les notations ci-dessus, on a

k0kwx l'k2₂+ 1 l 2 k!k 2 2 lkk'x+ + lwk 2 2 + ckvk 2 2+ 1lkuk 2 2+ ck kHkFkH:

Preuve 49 En multipliant les équations (3:1)₂ et (3:1)₇ par et respectivement et en intégrant sur (0; 1); on trouve

8 > > > > > > < > > > > > > : 1i 1 Z 0 u dx + k 1 Z 0 ('_x+ + lw)x dx + lk0 1 Z 0 (wx l') dx = 1 1 Z 0 f2 dx i ₁ 1 Z 0 ! dx + k0 1 Z 0 (wx l')_x dx lk 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx = ₁ 1 Z 0 f6 dx

En utilisant la condition k = k0, et par sommation les deux équation précedants, on a

2ik Im 1 Z 0 (wx l')_x dx + 1i 1 Z 0 u(wx l')dx +lk0kwx l'k 2 2+ i 1 1 Z 0 !('_x+ + lw)dx lk_k'x+ + lw_k2₂ = ₁ 1 Z 0 f2(wx l') + 1 1 Z 0 f6('x+ + lw)dx:

D’autre part d’aprés (3:1)₁et (3:1)₅;on a

1i 1 Z 0 u(wx l')dx = 1 1 Z 0 u(!x f5x)dx 1l 1 Z 0 u(u f1)dx:

En utilisant (3:1)₁; (3:1)₃ et (3:1)₅, on conclut que i ₁ 1 Z 0 !('_x+ + lw)dx = ₁ 1 Z 0 !(ux f1x)dx + 1 1 Z 0 !(v f3)dx + 1l 1 Z 0 !(! f5)dx = ₁ 1 Z 0 !f1xdx + 1 1 Z 0 !uxdx 1 1 Z 0 !f3dx + ₁ 1 Z 0 !vdx + ₁l 1 Z 0 j!j2dx ₁l 1 Z 0 !f5dx:

Ceci implique que

2ik Im 1 Z 0 (wx l')_x dx + 2 1i Im 1 Z 0 !uxdx 1l 1 Z 0 juj2dx +lk0kwx l'k 2 2+ 1 1 Z 0 !vdx+ ₁l 1 Z 0 j!j2dx lk_k'x+ + lw_k2₂ = ₁ 1 Z 0 f2(wx l')dx + 1 1 Z 0 !f3dx 1+ 1 Z 0 f6('x+ + lw)dx 1l 1 Z 0 uf1dx + ₁ 1 Z 0 !f1xdx 1l 1 Z 0 !f5dx + 1 1 Z 0 uf5xdx:

En passant à la partie réelle, on trouve

1l 1 Z 0 juj2dx + lk0kwx l'k 2 2+ 1Re 1 Z 0 !vdx + ₁l 1 Z 0 j!j2dx lk_k'x+ + lw_k2₂ = ₁Re 1 Z 0 f2(wx l')dx + 1Re 1 Z 0 !f3dx 1+ Re 1 Z 0 f6('x+ + lw)dx 1l Re 1 Z 0 uf1dx + 1Re 1 Z 0 !f1xdx 1l Re 1 Z 0 !f5dx + 1Re 1 Z 0 uf5xdx:

On applique les inégalités de Cauchy-Schwarz et Young, alors k0kwx l'k 2 + 1l 2 k!k 2 lk_k'x+ + lw_k2 + c_kvk2+ ₁l_kuk2+ c_{k kHkFkH}:

Lemme 50 Sous les notations ci-dessus, on a

1(kuk + k!k) ck'x+ + lwk 2

2+ ck xk 2

+ k0kwx l'k2₂+ ck k_HkFk_H:

Preuve 51 On multiple (3:1)₂ et (3:1)₆ respectivement par ' et w et on intégre sur (0; 1) on trouve 8 > > > > > > < > > > > > > : i ₁ 1 Z 0 u'dx + k 1 Z 0 ('_x+ + lw)x'dx + lk0 1 Z 0 (wx l') 'dx = 1 1 Z 0 f2'dx i ₁ 1 Z 0 !wdx + k0 1 Z 0 (wx l')xwdx lk 1 Z 0 ('_x+ + lw)wdx = ₁ 1 Z 0 f6wdx: De (3:1)₁et (3:1)₅, on obtient 8 > > > > > > < > > > > > > : 1 1 Z 0 u(u f1)dx + k 1 Z 0 ('_x+ + lw)x'dx + lk0 1 Z 0 (wx l') 'dx = 1 1 Z 0 f2'dx 1 1 Z 0 !(! f5)dx + k0 1 Z 0 (wx l')_xwdx lk 1 Z 0 ('_x+ + lw)wdx = ₁ 1 Z 0 f6wdx: :

En additionnant les deux èquations précedentes, on trouve 1(kuk 2 +_k!k2) k 1 Z 0 ('_x+ + lw)('_x+ + lw)dx +k 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx k0 1 Z 0 (wx l') (wx l')dx = ₁ 1 Z 0 f2'dx + 1 1 Z 0 f6wdx + 1 1 Z 0 uf1dx + 1 1 Z 0 !f5dx:

A l’aide des inégalités de Cauchy-Schwarz et Poincaré, on voit que

1(kuk 2

+_k!k2) c_k'x+ + lw_k22+ c_{k xk}2+ k0kwx l'k 2

2+ ck kHkFkH:

Lemme 52 Sous les notations ci-dessus, on a

k 2k'x+ + lwk 2 b 1 Z 0 x('_x+ + lw)dx + "_kwx l'k2+ k!k2 +2b 2_l2 k0 k xk 2 + c _kvk2+ c"k k 2 + c_{kq k}2 +c_{k kHkFkH};

utilise (3:1)₁; (3:1)₃; (3:1)₅; (3:1)₇ et (3:1)₈; on conclut que k 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx = i ₂ 1 Z 0 v dx + b 1 Z 0 xx dx 1 Z 0 x dx 2 1 Z 0 f4 dx = ₂ 1 Z 0 vf1xdx 2 1 Z 0 vf3 dx l 2 1 Z 0 vf5dx 2 1 Z 0 f4 dx 2 1 Z 0 vxudx + 2 1 Z 0 vv dx + l ₂ 1 Z 0 v!dx +b 1 Z 0 xx dx 1 Z 0 x dx; alors k 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx = ₂ 1 Z 0 vf1xdx 2 1 Z 0 vf3 dx l 2 1 Z 0 vf5dx 2 1 Z 0 f4 dx + 2 3 1 Z 0 f7udx 2 1 Z 0 qf1xdx 2 1 Z 0 f8 'xdx 2 3 i 1 Z 0 udx 2 1 Z 0 q '_xdx 2 1 Z 0 x'xdx 2 1 Z 0 vv dx + l ₂ 1 Z 0 v!dx b 1 Z 0 x xdx 1 Z 0 x dx:

On multiple (3:1)₂ par _kb x et on intégre sur (0:1), on obtient

i b 1 k 1 Z 0 u _xdx + b 1 Z 0 x xdx + blk0 k 1 Z 0 (wx l') xdx b ₁ k 1 Z 0 f2 xdx = 0:

La sommation des deux équations précedentes donne k 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx = ₂ 1 Z 0 vf1xdx 2 1 Z 0 vf3 dx l 2 1 Z 0 vf5dx 2 1 Z 0 f4dx + 2 3 1 Z 0 uf7dx 2 1 Z 0 qf1xdx b ₁ k 1 Z 0 xf2dx 2 1 Z 0 '_xf8dx 2 3 i Z udx 2 1 Z 0 q '_xdx 2 1 Z 0 x'xdx 2 1 Z 0 vv dx + l ₂ 1 Z 0 v!dx + 2bi Im 1 Z 0 x xdx 1 Z 0 x dx +b 1 k i 1 Z 0 u _xdx + blk0 k 1 Z 0 (wx l') xdx: On multiple (3:1)₆ par bl

k0 et on intégre sur (0:1), on obtient

i bl 1 k0 1 Z 0 ! dx bl 1 Z 0 (wx l') xdx bl2_k k0 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx bl 1 k0 1 Z 0 f6 dx = 0;

par conséquent k Z ('_x+ + lw) = ₂ 1 Z 0 vf1xdx 2 1 Z 0 vf3 dx l 2 1 Z 0 vf5dx 2 1 Z 0 f4dx 2 3 1 Z 0 f7udx + 2 1 Z 0 qf1xdx b ₁ k 1 Z 0 xf2dx 2 1 Z 0 '_xf8dx bl ₁ k0 1 Z 0 !f3dx bl ₁ k0 1 Z 0 f6 dx 2 3i 1 Z 0 udx 2 1 Z 0 q '_xdx 2 1 Z 0 x'xdx 2 1 Z 0 vv dx + l ₂ 1 Z 0 v!dx +2bi Im 1 Z 0 x xdx 1 Z 0 x dx + b ₁ k i 1 Z 0 u _xdx +bl k0 k 1 1 Z 0 (wx l') xdx + bl ₁ k0 1 Z 0 !vdx bl 2_k k0 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx On multiple (3:1)₄ par bl2

k0 et on intégre sur (0:1); on obtient

0 = i bl 2 2 k0 1 Z 0 v dx b 2_l2 k0 1 Z 0 xx dx +bl 2_k k0 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx + bl 2 k0 1 Z 0 x dx + bl2 ₂ k0 1 Z 0 f4dx;

alors k 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx = ₂ 1 Z 0 vf1xdx 2 1 Z 0 vf3 dx l 2 1 Z 0 vf5dx 2 1 Z 0 f4 dx 2 3 1 Z 0 f7udx + 2 1 Z 0 qf1xdx b ₁ k 1 Z 0 f2 xdx bl ₁ k0 1 Z 0 f6dx bl2 2 k0 1 Z 0 vf3dx +bl 2 2 k0 1 Z 0 f4 dx bl 1 k0 1 Z 0 !f3dx 2 1 Z 0 '_xf8dx b 1 3 k 1 Z 0 uf7dx + 2 3 1 Z 0 f2dx b ₁ k 1 Z 0 qxf1dx b ₁ k 1 Z 0 uf3xdx + 2bi Im 1 Z 0 x xdx +k 2 3 1 1 Z 0 x dx 1 Z 0 x dx lk_{0 2 3} 1 1 Z 0 (wx l')dx 2 1 Z 0 q '_xdx 2 1 Z 0 x'xdx + ₂ bl 2 k0 1 1 Z 0 vvdx+ l ₂ 1 Z 0 v!dx b 3 1 k i 1 Z 0 u dx+b 1 k i 1 Z 0 'qxdx +bl k0 k 1 1 Z 0 (wx l') xdx + bl ₁ k0 1 Z 0 !vdx + b 2_l2 k0 1 Z 0 x xdx bl2 k0 1 Z 0 xdx:

On utilise (3:1)₂; (3:1)₈; on voit que k 1 Z 0 ('_x+ + lw) dx = ₂ 1 Z 0 vf1xdx 2 1 Z 0 vf3 dx l 2 1 Z 0 vf5dx 2 1 Z 0 f4 dx 2 3 1 Z 0 f7udx + 2 1 Z 0 qf1xdx b ₁ k 1 Z 0 f2 xdx bl ₁ k0 1 Z 0 f6dx bl2 2 k0 1 Z 0 vf3dx +bl 2 2 k0 1 Z 0 f4 dx bl ₁ k0 1 Z 0 !f3dx 2 1 Z 0 '_xf8dx b _{1 3} k 1 Z 0 uf7dx 2 3 1 Z 0 f2dx b ₁ k 1 Z 0 'f8xdx + b _{3 1} k 1 Z 0 f2dx b ₁ k 1 Z 0 uf3xdx b ₁ k 1 Z 0 qxf1dx + 2bi Im 1 Z 0 x xdx + k _{2 3} 1 1 Z 0 x dx 1 Z 0 x dx b ₃ 1 Z 0 xdx lk_{0 2 3} 1 1 Z 0 (wx l')dx 2 1 Z 0 q '_xdx 2 1 Z 0 x'xdx + b ₁ k 1 Z 0 '_{x x}dx + ₂ bl 2 k0 1 1 Z 0 vvdx+ l ₂ 1 Z 0 v!dx + blk0 3 k 1 Z 0 (wx l') dx b ₁ k 1 Z 0 'qxdx +bl k0 k 1 1 Z 0 (wx l') xdx + bl ₁ k0 1 Z 0 !vdx + b 2_l2 k0 1 Z 0 x xdx bl2 k0 1 Z 0 xdx;

ceci implique que k_k'x+ + lw_k2 c_{k kHkFkH}+ 2bi Im 1 Z 0 x xdx + 2b ₃ i Im 1 Z 0 x dx +2b 1 k i Im 1 Z 0 '_{x x}dx + b 1 k 2 b 1 Z 0 xdx + b ₁ k l ₂ b 1 Z 0 wxdx + b 1 3k 1 1 k 2 b 2 b 1 Z 0 x dx lk_{0 2 3} 1 1 Z 0 (wx l')dx 2 1 Z 0 q '_xdx + ₂ bl 2 k0 1 1 Z 0 vvdx + l ₂ 1 Z 0 v!dx + l 2b k0 1 Z 0 !vdx +blk0 3 k 1 Z 0 (wx l') dx + b 1 k 1 Z 0 '_xqdx + bl k0 k 1 1 Z 0 (wx l') _xdx +b 2_l2 k0 1 Z 0 x xdx bl2 k0 1 Z 0 xdx

En passant à la partie réelle, les inégalités de Young, Cauchy-Schwarz et Poincaré avec la condition k = k0 donnent

k 2k'x+ + lwk 2 b 1 Z 0 x('x+ + lw)dx + "kwx l'k 2 + _k!k2 +2b 2_l2 k0 k xk 2 + c _kvk2+ c"k k2 + ckq k2 +c_{k kHkFkH};

d’où le resultat voulu.

Maintenant on enonce le théorème principale .

Théorème 54 Sous les hypothéses k = k0; = 0 et l est assez petit , le systéme (3:1) est exponentiellement stable.

maximale monotone. Par conséquent, pour montrer que iR (_{A) il su¢ t de montrer} que A est injective c-à-d i A = 0 implique que = 0: En e¤et, de (3:3) on déduit que kqk = 0 et d’où q = 0; ensuite on utilise (3:1)8 et la condition au bord sur ; on trouve que = 0: De même façon on trouve V = = 0:

On utilise (3:1)₁; (3:1)₂; (3:1)₅ et (3:1)₆, pour trouver

1 2

' + lk0(wx l') = 0 et 1 2

w + k0(wx l')x = 0;

ce que implique que '_x lw = 0 et d’autre part (3:1)₄ implique que '_x+ lw = 0: Alors ' = w = ! = u = 0: d’où = 0:

- On multiple l’équation de lemme 46 par _4kb ; on a donc b2 8k k xk 2 2b 4k kvk 2 +k 4k'x+ + lwk 2 + c_{k k}2+ c_{k kHkFkH}:

On ajoute la dérni¼ere égalité de lemme 52, on trouve k 4k'x+ + lwk 2 + b 2 8k(1 16l 2₎ k xk2 "_kwx l'k2+ k!k2 (3.6) +c _kvk2+ c"k k2+ ckqk2 +c_{k kHkFkH};

On additionne (3:6) et le lemme 48, on voit que k 4(1 4l)k'x+ + lwk 2 + b 2 8k(1 16l 2₎ k xk2+ (k0 ")kwx l'k2+ 1 l 2 k!k 2 (3.7) 1lkuk 2 + _k!k2+ c j jk kHk kH+ c 1 + 1 j j kqk 2 +c 1 + 1 j j k kHkFkH+ c"k k 2

alors, il résult que k'x+ + lw_k2+_{k xk}2+_kwx l'k 2 + c (l )_k!k2 (3.8) c0lkuk 2 + c j jk kHk kH+ c 1 + 1 j j kqk 2 +c 1 + 1 j j k kHkFkH+ ck k 2

D’autre part de (3:8) et le lemme 50 , on a

( ₁ c0l)kuk + 1k!k c j jk kHk kH+ c 1 + 1 j j kqk 2 (3.9) +c 1 + 1 j j k kHkFkH+ ck k 2 :

En additionnant (3:8) et (3:9), en choisissant l; et assez petits, on déuit

k k2_H c j jk kHk kH+ c 1 + 1 j j kqk 2 + c 1 + 1 j j k kHkFkH: On en déduit k k2_H c j jk kHk kH+ c 1 + 1 j j k kHkFkH: lorsque j j ! +1; la dérniere inégalité devient

k k2H ck kHkFkH:

implique que

k k_H c_kFkH: Ceci termine la démonstration

Résumé

Dans cette mémoire, on étude le comportement asymptotique d’un système de Bresse undimensionnel, où le ‡ux de la chaleur est donnè par la loi de Cattaneo agissant à la rotation angulaire, où on trouve un rèsultat d’exictence et unicité et on prouve que le système est exponentiellement stable en fonction des certaines paramètres du système.

Abstract

In this memory we study the long time behavior asymptotic stability of a one dimen-siona Bresse system where the heat conduction is given by Cattaneo law e¤ective in the shear angle displacements, we on trouve the well-posedness of the system and prove that the system is exponentially stabl depending on some paramaters of the system.

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