La connaissance des racines carrées de nombres entiers remonte au début de l’Histoire de l’humanité (il y a environ 3800 ans). On a retrouvé des tablettes Babyloniennes où figurent des valeurs approchées de racines carrées dans la recherche de valeurs approchées des longueurs des diagonales d’un carré.
La partie de gauche correspond au dessin de la tablette originale, celle de droite, à la transcription avec notre système de numération.
Les nombres 1,24 51 10 et 42,25 35 babyloniens correspondent à 1,414219 c’est à dire à la valeur approchée à 10-6 près de la racine carrée de 2 et à 42,426389, c’est à dire la valeur approchée à 10-4 près de la longueur de la diagonale du carré de coté 30.
L’histoire pourrait nous apporter tout un ensemble de problèmes liés aux différentes méthodes de calcul de valeurs approchées de racines carrées (citons par exemple la méthode de Héron d’Alexandrie (1er siècle), mais aussi au statut même de nombres comme celui de 2(existe-t-il deux entiers a et b tels que le quotient de a par
b donne 2 ?). Mais revenons à notre notation elle même...
Le mathématicien perse Mohammad Ibn Moussa al Khwarizmi (780 – 850), l’inventeur de l’algèbre, utilise régulièrement le mot racine. A cette époque, la numération était différente de celle que l’on utilise de nos jours, et le calcul littéral n’existait pas encore. En 833, al Khwarizmi dédie au Calife de Bagdad, al Ma’moun, un traité qui contient ses propres méthodes pour la résolution de problèmes et qui s’intitule « livre abrégé sur le calcul par la restauration (al jabr) et la comparaison (al mugabala) ». Dans ce traité, les équations ainsi que les méthodes pour les résoudre étaient présentées sous la forme de phrases. Le « bien » désigne l’inconnue de l’équation, la « racine », la racine carrée de l’inconnue et les « nombres » les coefficients de nos équations modernes. Par exemple, lors de la résolution d’une équation du type ax + b x = 1, il fait référence à la comparaison de (b/2)2 à a: « tu dois savoir, qu’en prenant la moitié des racines dans sa forme d’équation et que tu multiplies cette moitié par elle-même ; si ce que tu obtiens par cette multiplication est inférieur aux unités susnommées qui accompagnent le bien, tu auras une équation ». On était encore loin des calculs littéraux, mais les bases de l’algèbre étaient enfin posées.
Le symbole racine carrée « moderne » date de la même période que l’apparition des symboles algébriques encore utilisé de nos jours. Il semble une fois de plus, que la politique de l’Europe au XVIe siècle ait été plus déterminante que l’évolution des sciences, et que les allemands aient réussi à imposer leur point de vue alors que les plus grands algébristes de l’époque étaient italiens. Le premier a avoir utilisé un symbole moderne pour les racines carrées est l’allemand Christophe Rudolph en 1525, auteur de « Coss », premier manuel d’algèbre en allemand. Le symbole qu’il a utilisé était « √ ». C’est une abréviation du « w » de l’allemand « wurzel » (racine). La notation n’était alors utilisée que pour l’écriture des nombres, lors de la recherche des solutions des équations du second degré. La notation définitive « », ainsi que ses dérivées « 3 ; …» nous vient d’un autre allemand, Michel Stifel (1487 – 1567) ; elle apparaît dans son manuel « Arithmetica integra » publié en 1554. C’est à cet ouvrage que l’on doit aussi l’utilisation commune (mais non son invention) des symboles + et – de l’addition et de la soustraction, à la place des symboles italiens p et m utilisés depuis leur introduction par Leonardo da Pisa (1180-1250), dit aussi Fibonacci, père du renouveau des mathématiques en Europe.
Le symbole le plus utilisé avant ça était un R avec sa partie en bas à droite barrée : « R », R pour « Radice quadrata ». On le voit entre autre chez Nicolò Tartaglia (1500 – 1557), Gerolamo Cardano (1501 – 1576) ou chez Ludovico Ferrari (1522 – 1565) dans leurs travaux sur la recherche des solutions des équations linéaires de degré 3 et 4. Ainsi à l’époque de Cardan, on écrivait 2pR 5
pour 2 + 5 , et 1Zp5R m.4 pour x2 + 5x - 4. On retrouve encore cette notation bien des années plus tard, dans les ouvrages de l’italien Raffaele Bombelli (1522 – 1572), non seulement pour l’écriture des nombres, mais aussi dans les calculs algébriques; en effet, c’est à lui en premier que l’on doit l’utilisation des parenthèses et donc de l’utilisation moderne de la racine carrée d’une expression, mais sans le symbole allemand…
TABLEAU RECAPITULATIF DES ECRITURES ALGEBRIQUES ET LITTERALES:
Fibonacci Rudolph Stifel Bombelli Moderne
2pR 5 2p√5 2 + 5 2pR 5 2 + 5
