Etude de quelques E.D.P. non linéaires faisant intervenir l'opérateur (p(x), q(x))-Laplacien
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Texte intégral
(2) ﻣﻠﺧﺹ. ﻧﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻁﺭﻭﺣﺔ ﺍﻟﺟﻣﻠﺔ ﺍﻹﻫﻠﻳﻠﻳﺟﻳﺔ ﻏﻳﺭ ﺍﻟﺧﻁﻳﺔ ﺍﻟﺗﺎﻟﻳﺔ PQ. px u ax|u| px2 u F x, u, v u qx v bx|v| qx2 v F x, u, v v ﺃﻳﻥ pxﻭ qxﻫﻣﺎ ﺩﺍﻟﺗﺎﻥ ﻣﺳﺗﻣﺭﺗﺎﻥ ﺑﺣﻳﺙ 1 px, qx N N 2ﺃﻣﺎ ﺍﻟﻣﺗﻐﻳﺭ N . x Rﺍﻟﻛﻣﻭﻥ Fﻳﻧﺗﻣﻲ ﺍﻟﻰ ﻓﺿﺎء ﻣﻧﺎﺳﺏ ﻭ ﻳﺧﺿﻊ ﻟﺷﺭﻭﻁ ﺍﻟﺗﺯﺍﻳﺩ ﻏﻳﺭ ﺍﻟﺧﻁﻳﺔ.. px ﺍﻟﻣﺅﺛﺭ pxﻳﺳﻣﻰ - pxﻻﺑﻼﺳﻲ ﻣﻌﺭﻑ ﺏ px u div|u| uﻭ ﻭﺳﻳﻁ ﺣﻘﻳﻘﻲ ﻣﻭﺟﺏ.. ﻓﻲ ﺍﻟﺟﺯء ﺍﻷﻭﻝ ،ﻧﻌﺗﺑﺭ ax bx 0ﻭ 1ﺑﺗﻁﺑﻳﻕ ﻧﻅﺭﻳﺔ ﻛﻼﺳﻳﻛﻳﺔ ﻋﻠﻰ ﻓﺿﺎءﺍﺕ ﺑﻧﺎﺥ ﺍﻹﻧﻌﻛﺎﺳﻳﺔ ﺍﻟﺗﻲ ﺗﺿﻣﻥ ﻭﺟﻭﺩ ﺣﺩ ﺃﺩﻧﻰ ﻛﻠﻲ ﻟﻠﺗﻭﺍﺑﻊ ﺍﻟﺩﺍﻟﻳﺔ ﺍﻟﻧﺻﻑ ﻣﺳﺗﻣﺭﺓ ﻣﻥ ﺍﻷﺳﻔﻝ ﻭ ﺍﻟﻘﺳﺭﻳﺔ. ﻭ ﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﺣﻠﻭﻝ ﺑﺩﻳﻬﻳﺔ u, v. ﻟﻠﺟﻣﻠﺔ . PQ. ﻓﻲ ﺍﻟﺟﺯء ﺍﻟﺛﺎﻧﻲ ،ﻧﻔﺭﺽ ﺃﻥ 0. ax 0, bxﻭ 1ﻧﺑﻳﻥ ﺇﺫﻥ ﻭﺟﻭﺩ ﺛﻼﺛﺔ ﺣﻠﻭﻝ ﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗﻝ ﺑﺎﻹﺳﺗﻌﺎﻧﺔ ﺑﻧﻅﺭﻳﺔ ﺣﺩﻳﺛﺔ ﻟﺑﻭﻧﺎﻧﻭ ﻭﻣﺎﺭﺍﻧﻭ..
(3) Remerciements Je remercie ALLAH le clément et le mésirécordieux. Mes premiers remerciements vont à Monsieur le professeur Djellit Ali, qui a dirigé mes travaux de recherches avec beaucoup de patience et de gentillesse. Il a su motivé chaque étape de mon travail par des remarques pertinentes et instructives et a su me faire progresser dans mes recherches grâce à sa compétence pédagogique et ses grandes connaissances scienti ques. Je le remercie très sincèrement pour sa disponibilité (même à distance) et son accueil chaleureux depuis ma préparation du Magister au sein de son laboratoire. Je remercie vivement Monsieur le professeur Moumeni Abdelkader pour avoir accepter de rapporter sur ce travail et de présider le jury de soutenance. Je suis également très reconnaissante envers Madame le professeur Tas Saadia, et Messieurs les professeurs Aissaoui Med Zine, Kechkar Nasserdine et Saker Hacène davoir accepté dexaminer cette thèse et de mavoir fait lhonneur de participer au jury. Mes remerciements vont aussi aux membres du laboratoire MDM (Mathématiques ,Dynamique et Modélisation) de luniversité Badji Mokhtar de Annaba, que jai côtoyés pendant ces années et qui mont témoigné beaucoup de sympathie et dencouragements.. 1.
(4) A ma famille Mes plus tendres remerciements vont à celui qui partage et embellit ma vie depuis de nombreuses années. Merci pour le tendre soutien et les relectures assidues. Merci de mavoir poussée et encouragée à aller au delà de mes capacités. Merci pour le réconfort, les bons moments et lamour que tu mo¤res chaque jour. Une très grande gratitude donc à So ene, avec toutes mes prières. Je pense à mes parents ma mère Mansri Mabrouka et mon père Abd El Hamid dont le travail naurait pu aboutir sans leur inépuisable soutien et amour. Que Dieu leur apporte bénédiction et mésiricorde et quils trouvent dans la réalisation de ce travail, laboutissement de leurs e¤orts ainsi que lexpression de ma plus a¤ectueuse gratitude. Un tendre remerciement à ma grand-mère Zina, que Dieu la garde pour nous, quelle voit toujours ses ls et petits- ls comme une preuve despérance. A mes yeux, mes très chères Khadidja et Fatima. Que leurs vies soient pleines de santé, de joie et de succés continus. Je tiens également à exprimer mes plus tendres a¤ections à mes soeurs et frères, Sabira, Amel, Mouloud, Souhaila, Abd Errahmane, Zineb, Sara, Boudjemaa et Mohamed, pour leur présence et soutien constants ainsi que leurs enfants, Touka, Maria, Meriem et Abd Allah. De tous mon coeur je remercie ma belle famille, qui par leur a¤ection et bienveillance mont aidé à accomplir ce travail dans la sérénité, surtout ma belle mère Zehaira qui a veillé à léducation de mes lles durant mes occupations. A mes très chères Sarah et Zineb. Zahra. 2.
(5) Table des matières: Introduction....................................................................................7 Chapitre 1:Cadre fonctionnel.........................................................14 Paragraphe 1.1 Les espaces de Lebesgue généralisés et de Sobolev généralisés......................................................................................14 Paragraphe 1.2 Les espaces de Lebesgue généralisés à poids et de Sobolev généralisés à poids..............................................................................18 Paragraphe 1.3 Quelques notions sur la théorie des points critiques.......................20. Chapitre 2:Existence de solutions pour une classe de systèmes elliptiques........................................................................24 Chapitre 3:Solutions multiples pour une classe de systèmes elliptiques........................................................................38 4. Références bibliographiques.......................................................49. 3.
(6) Notations. : ouvert de RN x := (x1 ; x2 ; :::; xN ) est un point de RN i=N X 2 jxj := x2i est la norme euclidienne de x dans RN i=1. dx := dx1 dx2 :::dxN est la mesure de Lebesgue sur RN @F : dérivée partielle de F par rapport à u @u div (u): divergence de u ru : gradient de u mes ( ) : mesure de Lebesgue de. C k (Z) : espace des fonctions k fois continument di¤érenciables sur Z C01 RN : lespace des fonctions in niment continument di¤érenciables à support compact sur RN 0;1 N C+ R : lespace des fonctions lipschitziennes dé nies sur RN N := p 2 L1 RN = inf p(x) > 1 L1 + R N x2R 1 N N Lloc R = ff 2 M R ; telle que f K 2 L1 RN pour tout sousensemble compact K RN g: X : espace dual de X: un ! u : convergence forte de un vers u un * u : convergence faible de un vers u:. 4.
(7) Résumé Nous étudions le système elliptique non linéaire dérivant dun potentiel suivant. 8 > > > < > > > :. p(x) u + a (x) jujp(x). 2. q(x) 2. q(x) v + b (x) jvj. @F (x; u; v) @u. sur RN. @F v= (x; u; v) @v. sur RN. u=. (PQ). où p(x) et q(x) sont deux fonctions continues telles que 1 < p(x); q(x) < N (N 2) pour tout x 2 RN : Le potentiel F appartient à un espace approprié, lopérateur p(x) dit p(x) Laplacien est dé ni par p(x) u = div(jrujp(x) 2 ru); et est un paramètre réel positif. Dans la première partie, on prend a (x) = b (x) = 0 et = 1: En utilisant des théorèmes classiques sur les espaces de Banach reexifs, précisément lexistence dun minimum global pour une fonctionelle semicontinue inférieurement et coercive, on montre alors lexistence de solutions non triviales (u; v) pour le Système (P Q) 8 > > > < > > > :. @F (x; u; v) @u. sur RN. @F q(x) v = (x; u; v) @v. sur RN. p(x) u =. (PQ). avec le potentiel F satisfaisant des conditions de croissance sous-linéaires. Dans la deuxième partie, on suppose que a (x) > 0; b (x) > 0 et un réel positif quelconque. On montre alors lexistence dau moins trois solutions distinctes à laide du récent théorème dû à Bonanno et Marano:. Abstract We consider in this thesis the elliptic system 5.
(8) 8 > > > < > > > :. p(x) u + a (x) jujp(x). 2. q(x) 2. q(x) v + b (x) jvj. u=. @F (x; u; v) @u. (PQ). @F v= (x; u; v) @v. In the rst part, we take a (x) = b (x) = 0 and = 1 we give su¢cient conditions to show the existence of nontrivial solutions for nonlinear elliptic system (P Q) 8 > > > < > > > :. @F (x; u; v) @u. sur RN. @F (x; u; v) q(x) v = @v. sur RN. p(x) u =. :. Roughly speaking, we use classical existence theorem in reexive Banach space, precisely existence of global minimum for a semicontinous and coercive functional. According to some growth conditions on the nonlinearities , we establish the existence of solutions. In the second one, we suppose that a (x) > 0; b (x) > 0 and any positif real. We prove the existence of three weak solutions, by applying a recent critical three points theorem due to Bonano and Marano. Mots clés: Lopérateur p(x) Laplacien, les espaces de Lebesgue généralisés, problèmes elliptiques non linéaires, théorie des points critiques, conditions de croissance sous linéaires. AMS classi¤cation : 35J60, 35J65, 35K55, 35K60, 35L60, 35L65.. 6.
(9) Introduction Les équations aux dérivées partielles sont un outil essentiel de modélisation, et leur étude occupe les mathématiciens depuis le 18ème siècle, avec les travaux dEuler, de dAlembert, de Lagrange et de Laplace etc (voir [7]). Elles permettent daborder dun point de vue mathématique des phénomènes observés, par exemple dans les domaines de la physique et de la chimie. Les situations dépendant du temps se traduisent plus particulièrement par des équations dévolution tenant compte déventuelles interactions entre objets et événements. La préoccupation première du mathématicien confronté à une équation aux dérivées partielles est de lui donner un sens dans des espaces fonctionnels appropriés et dy démontrer lexistence et lunicité de la solution.. Historique Lemploi de lopérateur p (x) Laplacien dans les équations aux dérivées partielles est trés récent. Létude des espaces fonctionnels à exposant variables particulièrement les espaces de Lebesgue généralisés avait connu un développement appréciable dans les dernières années. Ces espaces sont apparus dans la littérature, pour la première fois en 1931 par W. Orlicz. Cet auteur cherche à établirP les conditions nécessaires et su¢santes sur la série fyn g pour que la série xpnn converge; fpn g et fxn g étant deux suites de n0. nombres réels. On peut véri er Paisément à laide de linégalité P de pHölder 0 xn yn converge si la série (yn ) n condans lespace Lpn que la série n0. n0. verge pour tout > 0; où p0n désigne le conjugé de pn : Ensuite, Orlicz a généralisé linégalité de Hölder dans lespace Lp(:) sur (a; b); ce qui lui a permis dintroduire les espaces qui portent son nom, dexpression: M. L ( ) =. . f : ! R;. Z. M (x; f (x)) dx < +1. . > 0; de mesure strictement positive et M : R ! R+ une fonction mesurable satisfaisant: 1) Pour presque tout x 2 ; M (x; :) : R ! R+ est une fonction semicontinue inférieurement, convexe et paire. 7.
(10) 2) lim M (x; u) = M (x; 0) = 0: u!0. Exemple Soit p : ! R une fonction bornée p. p. sur et M (x; u) = jujp(x) : Dans ce cas, lespace dOrlicz LM ( ) est précisément lespace de Lebesgue Lp(x) ( ) : Ensuite dans les années 1950-1951, Nakonov développa la théorie des espaces modulaires en généralisant les espaces dOrlicz. Malheureusement le peu dapplication de cette nouvelle théorie na pas motivé beaucoup de chercheurs à aller plus loin dans cette direction. La littérature soviétique regorge de travaux sur ces espaces, dévelopés indépendamment des travaux dOrlicz. Notamment, les travaux de I. Sharapudinov (1978) qui avait introduit la norme de Luxembourg. De plus cet auteur a établi quelques propriétés de ces espaces comme la réexivité lorsque 1 < p (x) < +1: Ensuite il a su contourné les di¢cultés de problèmes posés par I. Tsenov en 1961 sur la minimisation de la forme Z. b. ju (x). v (x)jp(x) dx. a. où u est une fonction xée et v appartenant à un sous-espace de dimension nie de Lp(x) (a; b) : Une version plus explicite des espaces de fonctions modulaires ont été développés par lécole polonaise dans les années 70-80, notamment les auteurs H. Hudzik et A. Kaminska et J. Musielak. En particulier, ce dernier a introduit une présentation approfondie sur les espaces de fonctions modulaires. Plus tard, au milieu des années 80, V. Zhikov (1987) avait opté pour une nouvelle ligne de recherche, celle des intégrales variationnelles avec des conditions de croissance non-standard qui sont intimement liées à ces espaces. Létape majeure de ces investigations avait été en 1991 par Kováµcik et Rákos- ník [25] ; qui avaient fourni la référence de base standard des espaces Lp(:) RN ; quon appelle aussi les espaces de Lebesgue généralisés (ou espaces de Lebesgue à exposent variable) et les espaces de Sobolev généralisés W 1;p(:) RN (dits aussi espaces de Sobolev à exposent variable). Leur analyse avait couvert uniquement les propriétés de base telles que la reexivité, la séparabilité, 8.
(11) la dualité et les premiers résultats concernant les inclusions et la densité des fonctions régulières. Les mêmes propriétés ont été établi par des méthodes di¤érentes par X. L. Fan et D. Zhao [20] une décennie après: Au début du millinium, beaucoup de¤orts étaient déployés pour mieux cerner ces espaces, par exemple, comment établir la connexion entre ces espaces, les conditions de coercivité et les intégrales variationnelles avec des conditions de croissance non-standard. Entre 2001 et 2006, L. Diening a apporté des résultats montrant que lopérateur maximal est borné pour des fonctions à exposants dé nies sur un domaine ouvert, et que certaines inclusions de Sobolev restent valables. Présentement, on essaie de savoir quest-ce qui se passe lorsque p (x) ! 1 ou +1 (lorsque les espaces Lp(:) perdent des propriétés importantes). Dans [8] en 2010, les auteurs avaient remplacé les hypothèses p > 1 (p+ < +1) par p 1 (p+ +1) lorsque cest possible, et ont trouvé les conditions correctes de régularité. Ces espaces représentent un cas particulier des espaces dOrlicz que nous pouvons trouver dans [4; 10; 14; 17; 18; 19; 20; 23; 25]. Ils forment le cadre fonctionnel le plus approprié pour la résolution des équations aux dérivées partielles non linéaires faisant intervenir lopérateur p (x) Laplacien. Ces équations modélisent de nombreux phénomènes physiques comme lélasticité non linéaire, les uides electrorhéologiques (linteraction entre les uides et les champs électromagnétiques) et termorhéologiques, le traitement dimage, la propagation à travers les milieux poreux et le calcul de variations avec des conditions de croissance non standard [2; 3; 8; 9; 22; 30]. 1) Un uide électrorhéologique (ER) [9] est constitué de nes particules dispersées dans un liquide diélectrique. Sous laction dun champ électrique, les particules sattirent pour former des bres reliant les électrodes parallèlement à la direction du champ électrique en donnant les équations suivantes données par Rajagopal et R° uµziµcka en 2001 [30]: 8 > > > > > < > > > > > :. @v @t. n P @S. i=1. @xi. n P @E. i=1. @xi. = 0; curl E = 0. (x; E; E (v)) + jrvj v + r = g (x; E) n P @v. i=1. @xi. 9. =0.
(12) où E est le champs électromagnétique. v : R3 ! R3 est la vitesse du champs. (v) est la partie symétrique du gradient. S un tenseur et a pour expession p 2 2 2 z. 8z 2 R3 : S (x; E; z) = v (E) 1 + kzk la pression et p = p kEk2 E dépendant de x i.e p = p (x) :. Nous citons un autre exemple le problème posé aussi par Rajagopal et R° uµziµcka en 2001 [29] 8 > > < > > :. p (x) 2 div 4@1 + j" (u)j 20. 2. 1. 3. A " (u)5 + r = f. div (u) = 0. où u : R3 ! R3 est la vitesse du champs électromagnétique et la pression. 2) Le traitement dimage [8] est la régularisation dimage, de maillage ou plus généralement de données discrètes, par des méthodes variationnelles. Ces dernières ont été appliquées avec succès pour résoudre di¤érents problèmes intervenant dans la vision par ordinateur, linformatique graphique ou encore lanalyse des données. Lobjectif de la régularisation est de fournir une approximation des données réelles à partir des données observées qui ont subi une dégradation provenant de lenvironement (le bruit) ou les méthodes dacquisition comme la quanti cation et la discrétisation. Une méthodologie classique consiste à représenter les images discrètes par des fonctions continues dé nies sur un domaines borné régulier : Limage observée f0 : ! RN ; (qui est une version dégradée) est alors modélisée par la somme de limage recherchée f : ! RN , convoluée par un opérateur K (généralement un opérateur de ow) et dune image résiduelle r : ! RN tels que f0 = K (f ) + r. 10.
(13) Ensuite, limage f est constituée en minimisant une fonctionnelle de la forme: E (f; f0 ; ) = Eregu (f ) + Eapprox (f; f0 ) où Eregu est un terme de régularisation ou énergie interne mesure la p régularité de f sur un domaine de limage. Eapprox est un terme dapproximation, ou énergie externe. Le paramètre 0, appelé multiplicateur de Lagrange, contrôle la quantité dapproximation mesurée. La minimisation de lénergie E revient alors à trouver la fonction f; su¤isamment régulière sur ; tout en étant su¢samment proche de la fonction observée f0 : Nous nous bornons au modèle proposé par Blomgren, Chan, Mulet, Wong en 2000.. min. Z. jrf jp(rf ) dx. où p (s) est monotone et décroissante et tel que limp (s) = 2; lim p (s) = 1: s!0. N. s!+1 2. Ici f : ! R est limage observée (version dégradée), R étant le domaine de limage. 3) Loi de Darcy en milieu poreux [3] La loi expérimentale de Darcy ou loi de Darcy a été établie par Henry Darcy. Elle est notamment utile pour calculer les écoulements souterrains de leau ou dun liquide, verticalement à travers le sol vers la nappe par exemple, ou au travers dun milieu poreux (comme, par exemple, dans un barrage en terre). Elle est utilisée dans le domaine de lhydraulique et des sciences du sol, pour calculer les coe¢cients de percolation, ou de circulation horizontale ou verticale de leau, selon la masse deau présente en surface ou dans un milieu hydrophile. On considère ici le phénomène de ltration dun gaz ayant une pression = ((x)) et une densité dans un milieu poreux non homogène de perméabilité K; est une fonction connue représentant les conditions du milieu. A laide. 11.
(14) de la loi de Darcy non linéaire donnant la vitesse du gaz, la pression est donnée par léquation div K (x; ) p(x) r) = h (x; t). . 1 et h la hauteur du barrage (x) poreux étudiée en fonction de la position horizontale x: Une étude de modèle de ce type a été faite en particulier par Antontsev et Shmarev en 2005, et par Kandilakis et Sidiropoulos en 2011. K (x; t) est une matrice diagonale, p (x) =. Motivation Lobjectif de ce travail est létude des équations di¤érentielles elliptiques faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type p (x) Laplacien dé ni de W 1;p(x) RN dans W 1;p(x) RN : Ces équations sont dune façon générale non intégrables (i.e. quon ne peut pas déterminer la forme explicite). Pour cela on se contente de montrer lexistence de solutions faibles (i.e. au sens des distributions), qui sont précisément les points critiques la fonctionnelle dEuler-Lagrange. Les auteurs montrent dans certains travaux que cette solution est unique [10; 11; 14]. Dautres travaux assurent lexistence de deux solutions [26] ; trois solutions [27; 31; 32] ; multiples solutions [5; 36] ; où une in nité de solutions [29] ; en se basant sur les récents résultats de Bonnano et Marano [6] ; et Ricceri dans [32]. De prime abord, nous commençons par donner un bref exposé des dé nitions et résultats nécessaires à la suite de ce travail. Nous introduisons les espaces de Lebesgue à poids généralisés et de Sobolev à poids généralisés, en faisant remarquer que la quasi-totalité des propriétés classiques surtout les immersions, demeurent vraies. En n nous nous sommes e¤orcés de reprendre les résultats relatifs à la théorie des points critiques pour rendre la lecture plus aisée. Nous prouvons dans le premier chapître lexistence de solutions faibles. Par contre, dans le deuxième chapître, lexistence de trois solutions faibles distinctes est établie. Lune des di¢cultés majeures qui apparaissent lors de létude de ces équations est la perte de compacité dans les inclusions de Sobolev car le système 12.
(15) est dé ni sur lespace RN tout entier. En guise de compensation, la pondération par des fonctions poids savère incontournable. Une seconde di¢culté concerne le choix des nonlinéarités, qui doivent satisfaire des conditions de croissance. Ces conditons garantissent la di¤érentiabilité, la coercivité et la semicontinuité la fonctionnelle dénergie associée au système. En n la dernière di¢culté est liée à la construction des espaces fonctionnels à poids pour assurer la structure d espaces de Banach reexif ainsi que les di¤érentes inclusions de Sobolev.. 13.
(16) Chapître 1 Cadre fonctionnel 1.1 Les espaces de Lebesgue généralisés et de Sobolev généralisés . Nous allons travailler dans lespace à exposant variable D1;p(x) RN ; pour cela nous avons besoin de rappeler quelques propriétés de base sur les espaces p(x) N 1;p(x) N R et W R ; (Voir [9; 10; 14; 17; 20; 25]): L Posons C+ R Pour tout h 2 C+ R. N. N. . N = h 2 C R : inf h(x) > 1 x2RN. ; on note. h+ := sup h(x). h := inf h(x); x2RN. x2RN. fonctions dé nies sur RN à valeurs réelles Notons M (RN ) lensemble des mesurables. soit p 2 C+ RN , nous dé nissons lespace de Lebesgue à exposant variable par: L. p(x). R. N. . Z N = u2M R :. p(x). ju(x)j. dx < 1. RN. muni de la norme dite de Luxembourg:. jujp(x) := inf. (. >0:. Z. RN. . )
(17)
(18)
(19) u(x)
(20) p(x)
(21)
(22) dx 1
(23)
(24). Nous dé nissons lespace de Sobolev à exposant variable W 1;p(x) RN par n o W 1;p(x) RN = u 2 Lp(x) RN : jrujp(x) 2 Lp(x) RN 14.
(25) muni de la norme kuk1;p(x) = jujp(x) + jrujp(x) Nous considérons ensuite lespace D1;p(x) RN qui est ladhérence de C01 RN par rapport à la norme. kukp(x) = jrujp(x). Proposition 1: (voir [10; 17]) Si p > 1; alors les espaces Lp(x) RN ; W 1;p(x) RN et D1;p(x) RN sont des espaces de Banach réexifs et séparables. Proposition 2: (voir [10; 17]) 1 1 0 + 0 = 1: Pour Lespace conjugué de Lp(x) RN est Lp (x) RN ; avec p (x) p (x) 0 tout (u; v) 2 Lp(x) RN Lp (x) RN ; nous avons lanalogue de linégalité de Hölder Z. juj jvj dx . RN. . 1 1 + 0 p (p ). . jujp(x) jvjp0 (x) 2 jujp(x) jvjp0 (x) :. Dé nition 1: On appelle module de u la quantité. (u) :=. Z. jujp(x) dx;. pour tout. RN. u 2 Lp(x) RN :. Proposition 3: (voir [10; 17]) Soient u; v deux fonctions mesurables sur dans RN ; et soient ;
(26) deux constantes positives telles que +
(27) = 1 alors: ( u +
(28) v) (u) +
(29) (v) 15.
(30) La relation existant entre la norme de Luxembourg et le module de u se résume dans les propriétés suivantes: n o n o + + min jujpp(x) ; jujpp(x) (u) max jujpp(x) ; jujpp(x). (i) jujp(x) < 1 (resp. = 1; > 1) , (u) < 1(resp.= 1; > 1) +. (ii) jujp(x) < 1 =) jujpp(x) (u) jujpp(x) +. (iii) jujp(x) > 1 =) jujpp(x) (u) jujpp(x). (iv) . u jujp(x). !. = 1:. Soient p (x) et q (x) deux fonctions mesurables telles que p(x) 2 L1 RN et 1 p (x) q (x) 1 presque partout sur RN : Proposition 4: (voir [10]) Pour tout u 2 Lq(x) RN ; u 6= 0; alors,.
(31)
(32)
(33)
(34) jujp(x)q(x) 1 =) jujpp(x)q(x)
(35) jujp(x)
(36) +. jujp(x)q(x) 1 =) jujpp(x)q(x). +. q(x).
(37)
(38)
(39) p(x)
(40)
(41) juj
(42). jujpp(x)q(x). q(x). jujpp(x)q(x). En particulier, si p (x) = p est constant, alors. jjujp jq(x) = jujppq(x) : Proposition 5: (voir [17]) p(x) N R ; n = 1; 2; :::; alors les propositions suivantes sont équivSi u; un 2 L alentes: 16.
(43) (1) lim jun n!1. (2) lim (un n!1. ujp(x) = 0 u) = 0. (3) 8" > 0; 9N" tel que n > N" ) jun. uj < " et lim (un ) = (u) : n!1. Dé nition 2: Nous dé nissons lexposant critique de Sobolev de p(x) par. . p (x) =. 8 > > < > > :. N p(x) N p(x) +1. si p(x) < N : si p(x) N. Proposition 6: (voir [10]) Soit p 2 C+0;1 RN ; i.e. une fonction lipschitzienne dé nie sur RN ; alors nous avons linclusion continue W 1;p(x) RN ,! Lp (x) RN :. Cest à dire, il existe une constante c > 0 telle que pour tout u 2 W 1;p(x) RN. . jujp (x) c kuk1 ;p(x) :. Proposition 7: (voir [12]) Soient p; q 2 L1 RN tels que p (x) > 1 et q (x) > 1. On suppose que p+ < N et p : RN ! R est uniformément continue, et p(x) q (x) p (x) ; 8x 2 RN ; alors nous avons linclusion continue W 1;p(x) RN ,! Lq(x) RN :. 17.
(44) Remarque 1 Dans la proposition 7, si nous remplaçons RN par un domaine borné , linclusion W 1;p(x) ( ) ,! Lq(x) ( ) :. deviendra compacte.. 1.2 Les espaces de Lebesgue généralisés à poids et de Sobolev généralisés à poids On rencontre une riche littérature sur les espaces de Lebesgue à poids. De manière similaire on dé nit les espaces de Lebesgue généralisés à poids (voir [4]) par. p(x) La(x). R. N. . =. . u2M R. N. . Z. :. p(x). a (x) ju(x)j. RN. . dx < 1 ;. a étant une fonction positive localement intégrable. Autrement dit a 2 L1loc RN : Par exemple, 1 a (x) = 1 + jxj 2 2. p(x) On munit La(x) RN de la norme jujp(x);a(x) := inf. (. >0:. Z. RN. 18. )
(45)
(46)
(47) u(x)
(48) p(x)
(49) a (x)
(50)
(51) dx 1 :
(52).
(53) Cet espace a les mêmes propriétés que lespace de Lebesgue à exposent variable. De manière similaire on dé nit le module à poids. a(x) (u) =. Z. p(x). a (x) ju(x)jp(x) dx;. 8u 2 La(x) RN. RN. . Le lien existant entre les espaces de Lebesgue à exposant variable à poids p(x) N La(x) R et les espaces de Lebesgue à exposant variable Lp(x) RN se résume dans la proposition suivante Proposition 8 (voir [4]) Lorsquil existe C > 0 telle que a (x) C; alors on a linclusion continue p(x) La(x) RN ,! Lp(x) RN : Autrement dit on a C. Z. RN. p(x). ju(x)j. dx . Z. a (x) ju(x)jp(x) dx;. RN. et C kukLp(x) (RN ) kukLp(x) (RN ) : a(x). De la même manière, nous dé nissons lespace de Sobolev généralisé à poids, lorsque les conditions 1 1 < p p (x) p+ < 1 et a p (x) 1 2 L1 RN sont véri ées, par loc. 1;p(x). Wa(x). n o p(x) RN = u 2 La(x) RN : jruj 2 Lp(x) RN ;. équippé de la norme. 19.
(54) kukp(x);a(x) := jujp(x);a(x) + jrujp(x) :. 1;p(x) On note aussi que C01 RN est dense dans Wa(x) RN (voir [4]):. 1-3 Quelques rappels sur la théorie des points critiques Soit E la fonctionnelle dénergie associée au système. Les solutions de léquation DE = 0. représentent les points critiques de la fonctionnelle E et donc les solutions du système. Il est impératif que E jouisse de certaines propriétés de régularité voir [7; 15; 24; 33; 37]. Soit X un espace de Banach reexif et A un opérateur positif dé ni sur X à valeur dans X A : X ! X. On désigne par h ; i le crochet de dualité entre X et X : Dé nition 3: i) On dit que A est coercive, si jhAu; uij = +1: kuk!1 kuk lim. ii) On dit que A est monotone sur un espace de Banach réel reexif si,. 20.
(55) hAu. Av; u. vi 0. pour tout. (u; v) 2 X. Cependant, A est dit strictement monotone, si hAu. Av; u. vi > 0. pour tout. (u; v) 2 X; avec u 6= v:. iii) On dit que A est uniformément monotone ssi il existe une fonction a : R+ ! R+ continue, strictement monotone et croissante avec a (0) = 0 et a (t) ! +1, telle que pour tout u; v 2 X t!+1. hAu. Av; u. vi a (ku. vk) ku. vk. Exemple 2 Nous pouvons choisir a (t) = c jtjp 1 , avec c > 0 et p > 1. Nous obtenons c ku. vkp hAu. Av; u. vi ;. pour tout u; v 2 X. De plus, lorsque p = 2; lopérateur A est dit fortement monotone. Et nous avons les implications suivantes (voir [x25:3 de 37]): A est fortement monotone) A est uniformément monotone) A est strictement monotone) A est monotone. En n, si A est uniformément monotone alors est A est coercive. iv) On dit que A est hemicontinu, si la fonction. [0; 1] t. ! !. R hA (u + tv) ; wi 21.
(56) est continue sur [0; 1] pour tout u; v; w 2 X: v) On dit que A est faiblement coercive si. lim kAuk = 1:. kuk!1. Théorème 1: [37] Soit A un opérateur coercif, hemicontinu et monotone sur X véri ant léquation de la forme. Au = b; u 2 X :. (E ). Alors un certain b 2 X , léquation (E ) admet une solution dans X: Ce résultat fondamental reste vrai, si nous remplaçons la coercivité par la coercivité faible. De plus, si A est strictement monotone alors la solution de (E ) est unique. Dé nition 4 Soit f : X ! R une fonctionnelle, on dit que i) f est faiblement séquentiellement semicontinue inférieurement, si pour toute suite (un )n2N X véri ant un * u; lorsque n ! 1; alors f (u) lim f (un ) : n!1. ii) f est faiblement séquentiellement semicontinue supérieurement, si faiblement séquentiellement semicontinue inférieurement.. 22. f est.
(57) Proposition 9 (voir [37]) Soit f : M X ! R une fonctionnelle dé nie sur un sous-ensemble convexe fermé M de X: Si f est Gâteaux-di¤érentiable sur M et sa dérivée au sens de Gâteaux f 0 est monotone alors f est séquentiellement faiblement semicontinue inferieurement. Théorème 2 (voir [15; 33]) Soit I une fonctionnelle sur X un espace de Banach réexif: Si I est faiblement semicontinue inférieurement et coercive alors elle admet un minimum global. Théorème 3 (voir [26: A de 37]) (Browder (1963) ; Minty (1963)) Si lopérateur A est uniformément monotone, coercif et hemicontinu sur un espace de Banach réel reexif X; alors A admet un inverse continu sur X . Maintenant nous énonçons le Théorème A dû à G. Bonanno et S. A. Marano [6] ; qui assure lexistence des trois points critiques. Théorème 4 (voir [6]) Soit : X ! R une fonctionnelle séquentiellement faiblement semicontinue inférieurement, coercive et continûment Gâteaux-di¤érentiable telle que sa dérivée au sens de Gâteaux admette un inverse continu sur X : Soit : X ! R une fonctionnelle séquentiellement faiblement semicontinue supérieurement et continûment Gâteaux-di¤érentiable telle que sa dérivée au sens de Gâteaux soit compact. Supposant que (0; 0) = (0; 0) = 0 et quil existe r 2 R et (u1 ; v1 ) 2 X avec 0 < r < (u1 ; v1 ) ; tels que (i). sup (u;v)2. 1 (]. (u1 ; v1 ) (u; v) < r (u1 ; v1 ) 1;r]) 3. 7 (u1 ; v1 ) ; (ii) Pour tout 2 r := 5 (u1 ; v1 ). tionnelle . r sup (u;v)2. est coercive.. Alors, pour tout 2 r la fonctionnelle points critiques dans X:. 23. 1 (]. (u; v) 1;r]). 2. 6 4 ; la fonc-. admet au moins trois.
(58) Chapître 2 Existence de solutions pour une classe de systèmes elliptiques Introduction: Nous étudions le système elliptique (P Q) en supposant que a (x) = b (x) = 0 et = 1: 8 > > > < > > > :. @F (x; u; v) @u. sur RN. @F q(x) v = (x; u; v) @v. sur RN. p(x) u =. (PQ). Dans la littérature, les systèmes elliptiques quasilinéaires soumis à certaines conditions de croissance ont été étudiés par plusieurs auteurs [11 13; 21; 34]. Ces conditions peuvent être soit sous linéaires, sur-linéaires ou mixtes. Le terme sous-linéaire (ou encore sous-homogène) signi e que les exposants qui gurent dans les conditions de croissance des nonlinéarités sont inférieurs à ceux gurant dans les opérateurs à gauche en loccurence p (x) et q (x) : Dans [11], A. Djellit & S. Tas ont montré lexistence de solutions non triviales pour le système faisant intervenir lopérateur p Laplacen: 8 > > > < > > > :. p u =. @F (x; u; v) @u. dans RN. q v =. @F (x; u; v) @v. dans RN. en appliquant le Théorème de Passe Montagne soutenue par la condition de Palais Smale. Dans [16] A. El Hamidi obtient la multiplicité des solutions du système: 24.
(59) 8 > > > > > > > < > > > > > > > :. p(x) u =. @F (x; u; v) @u. dans :. p(x) v =. @F (x; u; v) @v. dans. u = v = 0 sur @ :. dé ni sur un domaine borné RN . Lintroduction de certaines hypothèses de croissance sur le terme de droite du système assure la géométrie appropriée de la fonctionnelle dénergie associée au système. Autrement dit on peut appliquer le théorème de Passe Montagne. Xu et An [36] ; traitent le système à laide de la théorie des points critiques : 8 > > > < > > > :. p(x) u + jujp(x). 2. u=. @F (x; u; v) @u. dans RN :. p(x) v + jvjq(x). 2. v=. @F (x; u; v) @v. dans RN :. Ici F est une fonction de Carathéodory bornée. Dans [28] S. Ogras, R. A. Mashiyev, M. Aveci, et Z. Yucedag étudient le système: 8 > > > < > > > :. p(x) u =. @F (x; u; v) @u. sur RN. q(x) v =. @F (x; u; v) @v. sur RN. En choisissant des conditions appropriées sur les nonlinéarités, les auteurs prouvent lexistence de solutions non triviales en utilisant le théorème de Passe-montagne. Notre travail se veut une continuité de ce qui précède. En imposant certaines conditions de croissance sur les non linéarités, nous montrons lexistence de solutions non triviales à laide de la théorie des points critiques. 25.
(60) La solution (u; v) appartient à lespace produit. muni de la norme. Z := D1;p(x) RN D1;q(x) RN. o n 8 (u; v) 2 Z: k(u; v)kp(x);q(x) := max kukp(x) ; kvkq(x) Lespace Z représente lespace dual de Z muni de la norme k:k;p(x);q(x) : Autrement dit Z = D. 1;p0 (x). RN D. 1;q 0 (x). RN ;. 0 0 où D 1;p (x) RN (resp. D 1;q (x) RN ) est lespace dual topologique de D1;p(x) RN (resp. D1;q(x) RN ) et k:k;p(x) (resp.k:k;q(x) ) est sa norme duale). On dé nit sur Z; les fonctionnelles F, J et I par R F(u; v) = RN F (x; u(x); v(x))dx; J (u; v) =. I(u; v) =. R. R. RN. RN. R 1 1 jrujp(x) dx + RN jrvjq(x) dx; p(x) q(x) R R 1 1 jrujp(x) dx+ RN jrvjq(x) dx RN F (x; u(x); v(x))dx; p(x) q(x). pour tout (u; v) dans Z:. Nous allons montrer que le système (P Q) admet une solution non triviale si les non linéarités véri ent certaines conditions de croissances.. 26.
(61) Hypothèses (H1) F 2 C 1 RN R2 ; R et F (x; 0; 0) = 0: (H2) Il existe des fonctions positives ai ; bi telles que:.
(62)
(63)
(64) @F
(65) p1
(66)
(67)
(68) @u (x; u; v)
(69) a1 (x) juj
(70)
(71)
(72)
(73) @F
(74) b1 (x) jujq1
(75) (x; u; v)
(76)
(77) @v. +. 1. + a2 (x) jvjp1. 1. + b2 (x) jvjq1. +. où 1 < p1 (x); q1 (x) < min fp(x); q(x)g ; et. N < p (x) ; q (x) ; 2. a1 2 L 1(x) RN ;. b2 2 L 2(x) RN ;. avec 1 (x) =. 2 (x) =. a2 ; b1 2 L
(78) (x) RN ;. p (x) ; p (x) 1.
(79) (x) =. p (x) q (x) p (x) q (x) p (x). 1. 1. ;. 8x 2 RN ;. q (x). ;. q (x) : q (x) 1. (H3) Il existe des constantes R > 0; 0 < < 1; et une fonction positive H : RN R2 ! R telles que pour x 2 RN ; juj ; jvj R et t > 0 su¢samment petit: 1 1 F x; t p(x) u; t q(x) v t H (x; u; v) : Remarque 2 Lhypothèse (H3) traduit le fait que le potentiel est su¢ssamment positif au voisinage de la solution triviale, de telle sorte que la fonctionnelle dénergie prenne des valeurs négatives.. 27.
(80) Exemple 3 Considérons par exemple, (x)
(81) (x) + < 1 et a une fontion F (x; u; v) = a (x) juj
(82) (x) jvj (x) avec p (x) q (x) positive appartenant à Ls(x) RN ; s (x) =. p (x) q (x) p (x) q (x)
(83) (x) q (x). (x) p (x). :. Il est clair que F véri e (H1) et (H3) avec (x) =.
(84) (x) (x) + : p (x) q (x). (H2) découle de linégalité de Young. Lemme 1: Sous les hypothèses (H1) et (H2), la fonctionnelle F est bien dé nie et de classe C 1 sur Z; de plus sa dérivée de Fréchet est donnée par:. F (u; v) (!; z) =. R. RN. . @F @F (x; u; v)! + (x; u; v) z dx; @u @v. 8 (u; v) ; (!; z) 2 Z: Preuve: La fonctionnelle F est bien dé nie sur Z. En e¤et, pour tout (u; v) 2 Z; nous avons en vertu des hypothèses (H1) et (H2),. R u @F F (x; u; v) = 0 (x; s; v) ds + F (x; 0; v) = @s R u @F R v @F (x; s; v) ds + (x; 0; s) ds + F (x; 0; 0) 0 0 @s @s 28.
(85) doù lestimation suivante. h + F (x; u; v) c1 a1 (x) jujp1 + a2 (x) jvjp1. 1. i + juj + b2 (x) jvjq1 :. (1). Maintenant, en utilisant les propositions 2, 4, 6 et 7, les inclusions de Sobolev et (H2) ; nous obtenons R F (u; v) = RN F (x; u; v) dx
(86) +
(87)
(88)
(89) p1 c2 ja1 j 1 (x) jjuj jp(x) + ja2 j
(90) (x)
(91) jvjp1 1
(92). q (x).
(93) +
(94)
(95)
(96) jujp (x) + jb2 j 2 (x)
(97) jvjq1
(98). Puisque D1;p(x) RN ,! Ls(x)p(x) RN ; pour s (x) > 1; il existe c1 > 0
(99)
(100)
(101) p1
(102)
(103) juj
(104). p. p(x). p. 1 = jujp1 p(x) c1 kukp(x) 1. De manière analogue, on a. De même. On a alors.
(105) +
(106)
(107) p1 1
(108)
(109)
(110) jvj. p+ 1. q (x).
(111) +
(112)
(113) q1
(114)
(115) jvj
(116). p+ 1. 1 = jvj 1p+ 1 q (x) c2 kvkq(x) (1 ). q+. q(x). q+. 1 = jvjq1+ q(x) c3 kvkq(x) : 1. F (u; v) p1 p+ 1 q1+ 1 c4 ja1 j 1 (x) jujp p(x) + ja2 j
(117) (x) jvj p+ 1 q (x) jujp (x) + jb2 j 2 (x) jvjq+ q(x) (1 ) 1 1 29. q(x). .
(118) Et par suite. F (u; v) c. h. p1 ja1 j 1 (x) kukp(x). +. p+ 1 1 ja2 j
(119) (x) kvkq(x). kukp(x) +. q1+ jb2 j 2 (x) kvkq(x). i. ; (2). ce qui prouve que F est bien dé nie. Notons aussi que F 0 (u; v) est bien dé nie sur Z puisque nous avons lestimation suivante.
(120)
(121)
(122) R @F
(123) R
(124) h @F
(125) N
(126) N
(127)
(128) a1 (x) jujp1 (x; u; v) ! + (x; u; v) zdx R
(129) R @u
(130) @v R
(131)
(132) h b (x) jujq1 RN
(133) 1. 1. 1. +. + a2 (x) jvjp1. q1+ 1. + b2 (x) jvj. Comme p(x); q(x) < N; alors en appliquant la proposition 7 nous obtenons
(134)
(135)
(136)
(137) R @F @F
(138)
(139) N
(140) R @u (x; u; v) ! + @v (x; u; v) zdx
(141)
(142)
(143) c4 (ja1 j 1 (x)
(144) jujp1
(145)
(146) jb1 j
(147) (x)
(148) jujq1.
(149)
(150). 1
(151).
(152)
(153). 1
(154). p (x). p (x).
(155) +
(156)
(157)
(158) j!jN + ja2 j
(159) (x)
(160) jvjp1 1
(161).
(162) +
(163)
(164)
(165) jzjq (x) + jb2 j 2 (x)
(166) jvjq1 1
(167). ou encore
(168)
(169)
(170)
(171) R @F @F
(172)
(173) N (x; u; v) ! + (x; u; v) zdx
(174)
(175) R @u @v p. q (x). 1. j!jp (x) +. q (x). jzjN ). p+ 1. 1 1 c5 (ja1 j 1 (x) kukp(x) k!kp(x) + ja2 j
(176) (x) kvkq(x) k!kp(x) +. q. q+ 1. 1. 1 1 jb1 j
(177) (x) kukp(x) kzkq(x) + jb2 j 2 (x) kvkq(x) kzkq(x) ) < 1:. 30. 1. i
(178)
(179) !
(180) dx+. i
(181)
(182) z
(183) dx.
(184) Maintenant, montrons que F est Fréchet-di¤érentiable en tout point (u; v) de Z: Autrement dit 8" > 0; 9 = ";u;v > 0 tel que k(!; z)kp(x);q(x) < =) jF (u + !; v + z). F (u; v). F 0 (u; v) (!; z)j . " k(!; z)kp(x);q(x) : Soit BR = B (0; R) la boule de RN de rayon R centrée à lorigine, et BR0 = RN B (0; R). Nous dé nissons FR (u; v) =. Z. F (x; u; v) dx:. B(0;R). Il est facile de véri er en tenant compte de (H1) et (H2) que FR 2 C 1 D1;p(x) (BR ) D1;q(x) (BR ) ; R : De plus lopérateur FR 0 :. D1;p(x) (BR ) D1;q(x) (BR ) ! D1;p(x) (BR ) D1;q(x) (BR ). est compact [17] :. . On peut alors écrire. jF (u + !; v + z). F (u; v). jFR (u + !; v + z)
(185)
(186) R
(187) 0 F (x; u + !; v + z)
(188) BR. F 0 (u; v) (!; z)j . FR (u; v). F (x; u; v) 31. FR0 (u; v) (!; z)j +. @F (x; u; v) ! @u.
(189)
(190) @F (x; u; v) z dx
(191)
(192) @v.
(193) En utilisant le théorème des accroissements nis, nous avons. @F @F (x; u + 1 !; v) ! + (x; u; v + 2 z) z; @u @v 1 ; 2 2 ]0; 1[ :. F (x; u + !; v + z). F (x; u; v) =. La condition (H2) entraine
(194)
(195) R
(196) 0 ( @F (x; u + 1 !; v) ! + @F (x; u; v + 2 z) z
(197) BR @u @v R R. 0 BR. h. a1 (x) ju + 1 !jp1. 0 BR. h. b1 (x) jujq1. 1. 1. + jujp1 1. + jujq1. . 1. . + + a2 (x) jvjp1.
(198)
(199) R
(200) 0 F (x; u + !; v + z)
(201) BR . 2. 2. R. . p1. 0. BR +. 2 q1. 2. +1. R. 0 BR +. a2 (x) jvjp1 2. +1. R. 1. j!j dx + 2 +. 0 BR. 1. a1 (x) jujp1. b2 (x) jvjq1. ou encore
(202)
(203) R
(204) 0 F (x; u + !; v + z)
(205) BR. R. 1. 1. + + b2 (x) jv + 2 zjq1. A laide de linégalité élémentaire ja + bjs 2s a; b 2 RN ; nous obtenons lestimation suivante. 1. 1. 2 p1 1. +. jzj dx + 2q1. F (x; u; v) 32. 1. 1. 1. i. i. !dx+. zdx. (jajs + jbjs ) pour tout. j!j dx + 2p1 b1 (x) jujq1. +. + jvjq1. F (x; u; v). 0. +. + jvjp1. @F (x; u; v) ! @u. BR.
(206)
(207) @F (x; u; v) z)dx
(208)
(209) @v. @F (x; u; v) ! @u. 1. R. 0. BR.
(210)
(211) @F (x; u; v) z dx
(212)
(213) @v 1. a1 (x) j!jp1. j!j dx+. jzj dx+. + 2 q1 1 2. R. +. 0. BR. b2 (x) jzjq1. @F (x; u; v) ! @u. 1. jzj dx.
(214)
(215) @F (x; u; v) z dx
(216)
(217) @v.
(218) p. 1. p+ 1. 1. p. 1 1 1 c5 (ja1 j 1 (x) (kukp(x) + k!kp(x) ) + ja2 j
(219) (x) kvkq(x) ) k!kp(x) +. q. q+ 1. 1. q+ 1. 1 1 1 (jb1 j
(220) (x) kukp(x) + jb2 j 2 (x) (kvkq(x) + kzkq(x) )) kzkq(x). En considérant le fait que. 8 > < ja1 j 1 (x) ;. > : ja j 2
(221) (x) ;. jb2 j. 2(x). !0. ;. pour R assez grand,. (3). jb1 j
(222) (x)!0. nous pouvons écrire.
(223)
(224) R
(225)
(226)
(227) B 0 (F (x; u + !; v + z) F (x; u; v)) dx
(228) R
(229)
(230)
(231)
(232) R
(233) 0 @F (x; u; v) ! @F (x; u; v) z dx
(234)
(235)
(236) BR @u @v " k!kp(x) + kzkq(x) :. Dautre part, F 0 est continue sur Z: En e¤et, soit (un ; vn ) ! (u; v) dans Z; pour (!; z) 2 Z: Nous avons. F 0 (un ; vn ) (!; z). jFR0 (un ; vn ) (!; z). F 0 (u; v) (!; z) . FR0 (u; v) (!; z)j +.
(237)
(238) R
(239) 0 @F (x; un ; vn )
(240) BR @u. 33.
(241)
(242) R
(243) 0 @F (x; un ; vn )
(244) BR @v.
(245)
(246) @F (x; u; v) !dx
(247)
(248) + @u
(249)
(250) @F (x; u; v) zdx
(251)
(252) @v.
(253) Lopérateur F 0est continu sur D1;p(x) (BR ) D1;q(x) (BR ) voir [17] ; donc. jFR0 (un ; vn ) (!; z). FR0 (u; v) (!; z)j ! 0; quand. n ! 1:. En utilisant une fois de plus (H2) et (1) ; les autres termes du membre de droite tendent également vers zéro. Lemme 2: Sous les mêmes hypothèses, la fonctionnelle F est faiblement semi-continue inférieurement (f. s. c. i.) dans Z: Preuve: Soit (un ; vn ) une suite faiblement convergente vers (u; v) dans Z: Nous écrivons comme précédemment. jFR (un ; vn ). jF (un ; v
(254) n ) F (u; v)j
(255) R FR (u; v)j +
(256) B 0 (F (x; un ; vn ) R.
(257)
(258) F (x; u; v)) dx
(259). Lopérateur de restriction étant continu, la suite (un ; vn ) converge faiblement vers (u; v) dans D1;p(x) (BR )D1;q(x) (BR ) : Or FR est faiblement semi-continu inférieurement. Ceci résulte des conditions de croissance (H1) ; (H2) et des inclusions compactes de Sobolev D1;p(x) (BR ) D1;q(x) (BR ) ,! Ls(x) (BR ) Lt(x) (BR ) ; (s; t) 2 [p(x); p (x)[ [q(x); q (x)[ : Les autres termes du membre de droite tendent aussi vers zéro en vertu de (H2) et de (1) : Remarque 3: La fonctionnelle J est de classe C 1 sur Z et sa dérivée est donnée par. 34.
(260) J 0 (u; v) (!; z) =. R. RN. jrujp(x). 2. rur!dx +. R. RN. jrvjq(x). 2. rvrzdx. Ainsi les solutions faibles du système (P Q) ne sont autres que les points critiques de la fonctionnelle dénergie I dé nie par. I(u; v) =. Z. RN. 1 jrujp(x) dx+ p(x). Z. RN. 1 jrvjq(x) dx q(x). Z. F (x; u(x); v(x))dx;. RN. De plus I est de classe C 1 sur Z en vertu des lemmes 1 et 2. La dérivée au sens de Fréchet de I est donnée par. Z. RN. . p(x) 2. jruj. q(x) 2. rur! + jrvj. rvrz. @F @F (x; u; v)! + (x; u; v) z dx @u @v. 8 (u; v) ; (!; z) 2 Z: Lemme 3: Sous les hypothèses (H1) et (H2), la fonctionnelle I est coercive. Preuve: En utilisant (1) ; nous avons. 1 1 p(x) q(x) jruj jrvj I (u; v) = RN + F (x; u; v) dx p (x) q (x) R 1 1 RN + jrujp(x) + + jrvjq(x) dx p q R p1 p+ 1 q1+ 1 a dx (x) juj + a (x) jvj juj + b (x) jvj 2 2 1 N R R. . ou encore. 35.
(261) I (u; v) . 1 1 (ru) + + (rv) + p q.
(262)
(263)
(264)
(265) ja1 j 1 (x)
(266) jujp1
(267). p(x).
(268) +
(269)
(270)
(271) + ja2 j
(272) (x)
(273) jvjp1 1
(274). q (x).
(275) +
(276)
(277)
(278) jujp (x) + jb2 j 2 (x)
(279) jvjq1
(280). q(x). . :. En vertu des propositions 3 et 4, nous pouvons déduire que. I (u; v) . 1 1 kukpp(x) + + kvkqq(x) + q p p1 p+ 1 q1+ 1 ; ja1 j 1 (x) kukp(x) + ja2 j
(281) (x) kvkq(x) kukp(x) + jb2 j 2 (x) kvkq(x). Ainsi daprès linégalité de Young:. 1 1 kukpp(x) + + kvkqq(x) + p q + 1 p1 1 p1 p+ p+ q1+ 1 1 kvkq(x) + + kukp(x) + jb2 j 2 (x) kvkq(x) ja1 j 1 (x) kukp(x) + ja2 j
(282) (x) p+ p1 1. I (u; v) . Autrement dit. I (u; v) . 1 1 p kuk + kvkqq(x) p(x) p+h q+ i p1 p+ p+ q1+ 1 1 c6 ja1 j 1 (x) kukp(x) + ja2 j
(283) (x) kvkq(x) + ja2 j
(284) (x) kukp(x) + jb2 j 2 (x) kvkq(x). Comme 1 < p1 (x) < max fp (x) ; q (x)g et 1 < q1 (x) < q (x) ; nous voyons bien que I (u; v) tend vers lin ni lorsque k(u; v)kp(x);q(x) tend vers lin ni.. 36.
(285) Théorème 5: Sous les hypothèses (H1) non triviale dans Z:. (H3) ; le système (P Q) admet une solution faible. Preuve: La fonctionelle I est faiblement semi-continue inférieurement et coercive sur Z qui est un espace de Banach réexif, donc admet un minimum global. Puisquelle est di¤érentiable, ce minimum est un point critique et par suite une solution faible du système (P Q) : Montrons alors que cette solution est non triviale. En e¤et, puisque I (0; 0) = 0; il su¢t de montrer quil existe un couple (u1 ; v1 ) 2 Z; tel que I (u1 ; v1 ) < 0: Pour cela soient R > 0; 0 < < 1 1 N 1 N et (0; 0) 6= ('; ) 2 C0 R C0 R tel que j'j ; j j R et t > 0: En vertu de (H3) ; nous avons 0. t. R. . RN. 1 1 1 B C I @t p (x) '; t q (x) A . 1 1 jr'jp(x) + jr jq(x) dx p q. . 1 1 (r') + (r ) t p q. . . t. R. RN. R. RN. 1 1 1 C B F @x; t p (x) '; t q (x) A dx 0. H (x; '; ) dx. n n o o 1 1 p p+ q q+ t max jr'jp(x) ; jr'jp(x) + max jr jq(x) ; jr jq(x) p q t. R. RN. H (x; '; ) dx. . n n o o 1 1 p p+ q q+ t max kr'kp(x) ; kr'kp(x) + max kr kq(x) ; kr kq(x) p q t pour t > 0 assez petit.. R. RN. H (x; '; ) dx < 0;. 37.
(286) Chapitre 3 Solutions multiples pour une classe de systèmes elliptiques Introduction: Nous établissons lexistence dau moins trois solutions faibles pour le système non linéaire (P Q) ; en supposant maintenant que a (x) > 0; b (x) > 0 et un paramètre réel positif quelconque. Lapproche utilisée ici est basée sur le récent Théorème de trois points critiques dû à Bonano et Maranno [6]. Nous généralisons ainsi le résultat obtenu dans [5] par G. Bonano, S. Heidarkhani et D. ORegan. Ces derniers ont montré lexistence de trois solutions faibles distinctes pour un système elliptique quasilinéaire dé ni sur un domaine borné de RN : La recherche de solutions multiples pour les systèmes elliptiques a été lobjet de plusieurs travaux. Nous invitons le lecteur à consulter les travaux de D. S. Moschetto [29] qui a établi lexistence dune in nité de solutions pour le système ci-dessous en utilisant la théorie des points cririques. 8 > > > > < > > > > :. p(x) u = f (u; v). in. q(x) v = g (u; v). in. u=v=0. on @. En ce qui concerne le système (P Q), les fonctions p et q sont supposées liptchiziennes; et telles que 1 < p (x) ; q (x) < N; presque partout dans RN (N 3) :. Hypothèses Les conditions de croissance sur les non linéarités garantissent la régularité de F: On suppose donc que les hypothèses (H1) et (H2) sont véri ées. Assumons de plus que 38.
(287) (H4) Les fonctions a; b 2 L1loc RN avec a (x) a0 > 0 et b (x) b0 > 0 pour tout x 2 RN . (H5) Il existe une constante positive r et un couple (u1 ; v1 ) 2 Z tels que les conditions suivantes sont véri ées:. (c1 ). o n + min kju1 jkpp(x) ; kju1 jkpp(x). (c2 ). R. p+. sup. +. o n + min kjv1 jkqq(x) ; kjv1 jkqq(x) q+. >r. F (x; ; ) dx. 1 < r R F (x; u1 ; v1 ). o n o n < + + max kju1 jkpp(x) ; kju1 jkpp(x) + max kjv1 jkqq(x) ; kjv1 jkqq(x) (;)2S(sr). Remarque 4: 1;p(x) La condition (H4) implique que D1;p(x) RN Wa(x) RN et que 1;q(x) D1;q(x) RN Wb(x) RN :. Observons que les solutions éventuelles de (P Q) appartiennent à lespace produit Z; puisque la norme la norme du gradient jrujp(x) est équivalente 1;p(x) à la norme dé nies sur lespace de Sobolev généralisé à poids Wa(x) RN précemment introduite kukp(x);a(x) grâce à lhypothèse (H4) : muni de la norme k(u; v)kZ avec k(u; v)kZ = kukp(x) + kvkq(x) nous écrivons pour tout (u; v) 2 Z kj(u; v)jkZ = kjujkp(x) + kjvjkq(x) Avec. 39.
(288) kjujkp(x) = inf. (. Z. jrujp(x) + a (x) jujp(x) dx 1 p(x). kjvjkq(x) = inf. (. Z. jrvjq(x) + b (x) jvjq(x) dx 1 q(x). et. > 0;. RN. > 0;. RN. ). ). Les modules associés sont respectivement. Jp(x) (u) =. Z. . Z. . RN. et Jq(x) (v) =. RN. jrujp(x) + a (x) jujp(x) dx jrvjq(x) + b (x) jvjq(x) dx. Il est aisé de constater que la norme kj:jkp(x) est équivalente à la norme mentionnée au dessus k:kp(x) . On pose So(t) = n n o o n (p ) (p )+ (q ) (q )+ 2 (; ) 2 R : min jjp (x) ; jjp (x) + min jjq (x) ; jjq (x) t ; pour t > 0; et o oo n n n (p ) (p )+ (q ) (q )+ s = min p+ min cp(x) ; cp(x) ; q + min cq(x) ; cq(x) où cp(x) ; cq(x) représentent les constantes associées à la proposition 6. On dé nit ensuite sur Z les deux formes et à partir du système comme suit 40.
(289) R. RN. (u; v) = R 1 1 p(x) p(x) jruj + a (x) juj jrvjq(x) + b (x) jvjq(x) dx dx + RN p (x) q (x). et. (u; v) =. Z. F (x; u (x) ; v (x)) dx:. RN. Il est bien connu que sous les hypothèses (H1) (H2) et sont des fonctionnelles bien dé nies et continûment Gâteaux-di¤erentiables. De plus leurs dérivées au sens de Gâteaux au point (u; v) 2 Z sont les fonctionnelles 0 (u; v) ; 0 (u; v) 2 Z ; données respectivement par 0 (u; v) (h1 ; h2 ) = R et. RN. R. jru (x)jp(x). RN. jrv (x)jq(x). 0 (u; v) (h1 ; h2 ). 2. ru (x) rh1 (x) dx + 2. R. rv (x) rh2 (x) dx +. =. R. R. RN. RN. RN. R. a (x) ju (x)jp(x). RN. b (x) jv (x)jq(x). 2. u (x) h1 (x) dx+. 2. v (x) h2 (x) dx. @F (x; u (x) ; v (x)) h1 (x) dx+ @u @F (x; u (x) ; v (x)) h2 (x) dx @v. Lexpression E = 0 0 représente la fonctionnelle dEuler-Lagrange associée au système (P Q) : Par conséquent; le point critique de E est précisément la solution faible du système. Les lemmes suivants déterminent les propriétés des fonctionnelles et : Lemme 4 La fonctionnelle est séquentiellement faiblement semicontinue inférieurement, coercive et sa dérivée admet un inverse continu sur Z : 41.
(290) Preuve Tout dabord, est coercive en utilisant les propriétés du module associé à la norme de lespace de Sobolev à poids Jp(x) (u) et Jq(x) (v) : Jp(x) (u) Jq(x) (v) + p q o o n n 1 1 p p+ q q+ min kjujkp(x) ; kjujkp(x) + min kjvjkq(x) ; kjvjkq(x) p q (u; v) . Il est clair que lorsque kj(u; v)jk tend vers lin ni la forme tend aussi vers lin ni. Doù la coercivité de : Maintenant nous commençons par rappeler linégalité bien connue introduite dans [13]. Pour tout ;
(291) 2 RN 8 < j :. j.
(292) j 2 j j. 2. j
(293) j.
(294) j2 (j j + j
(295) j)2. j j. 2.
(296) ; . 2.
(297). j
(298) j. si 2.
(299) ; .
(300). 2. si 1 < < 2. où h:; :i désigne le produit scalaire usuel dans RN : Ensuite on dé nit les sous-ensembles de RN dépendants de p et de q suivants . Up = x 2 RN : p (x) 2 . Vp = x 2 RN : 1 < p (x) < 2 ; . Uq = x 2 RN : q (x) 2 . Vq = x 2 RN : 1 < q (x) < 2 :. Maintenant nous montrons que 0 est uniformément monotone. En e¤et 42.
(301) (0 (u1 ; v1 ) 0 (u2 ; v2 )) (u1 u2 ; v1 v2) = R jru1 jp(x) 2 ru1 jru2 jp(x) 2 ru2 r (u1 RN R R R. . p(x) 2. RN. a (x) ju1 j. RN. . RN. b (x) jv1 jq(x). jrv1 jq(x). 2. u1. ju2 j. jv2 jq(x). v1. ou encore. (0 (u1 ; v1 ) R R R. 1 . Up. Vp. 2p(x). R R R. Up. Vq. Vq. 1 . 2q(x). u2 )j. u2 )j. b (x) ju1. . p(x). u2 j. u2 ) dx+. rv2 r (v1. u 2 ; v1. ju1 u2 j ju1 j + ju2 j. u2 j. 2. 2. q(x). u2 )j. . p(x). u2 j. jru1 ru2 j jru1 j + jru2 j. . ju1 u2 j ju1 j + ju2 j. 43. 2. v2 ) p(x). + a (x) ju1. jru1 ru2 j jru1 j + jru2 j. . v2 ) dx+. v2 ) dx;. . dx+. p(x). dx+. p(x). dx+ v2 jq(x) dx+. v2 )jq(x) + b (x) jv1. jr (v1. jr (u1. u2 (u1. v2 (v1. p(x). p(x). a (x) ju1 Vp. 2. . 0 (u2 ; v2 )) (u1. jr (u1. jr (u1. 2. jrv2 jq(x). rv1 2. p(x) 2. u2 ) dx+. 2. q(x). dx+. q(x). dx.
(302) Comme. 0 0 0 0 . 2 p(x) jru1 ru2 j 1; jru1 j + jru2 j 2 p(x) ju1 u2 j 1; ju1 j + ju2 j 2 q(x) jru1 ru2 j 1; jru1 j + jru2 j 2 q(x) ju1 u2 j 1 ju1 j + ju2 j . Il vient alors j(0 (u1 ; v1 ) 0 (u2 ; v2 )) (u1 u2 ; v1 v2 )j R 1 p(x) p(x) jr (u dx+ u )j + a (x) ju u j 1 2 1 2 N R 2p(x) R 1 jr (v1 v2 )jq(x) + b (x) jv1 v2 jq(x) dx: RN q(x) 2 Autrement dit (0 (u1 ; v1 ). 0 (u2 ; v2 )) (u1 u2 ; v1 v2 ) 1 1 min Jp(x) (u1 ; 2p(x) 2q(x). u2 ) + Jq(x) (v1. o n 1 p p+ min kju u jk ; kju u jk 1 2 p(x) 1 2 p(x) + 2N n o 1 q q+ min kjv1 v2 jkq(x) ; kjv1 v2 jkq(x) 0 2N. . 44. v2 ). .
(303) pour tout (u1 ; v1 ) ; (u2 ; v2 ) 2 Z: Par conséquent 0 est uniformément monotone et donc coercive daprès [34]. Puisque la fonctionnelle 0 est hemicontinue dans Z alors elle admet un inverse continu sur Z en vertu du théorème 26 A de [36] : De plus, la monotonie de 0 sur Z nous assure que la fonctionnelle est séquentiellement faiblement semicontinue inférieurement sur Z (voir [36], proposition 25. 20): Lemme 5 La fonctionnelle est séquentiellement faiblement semicontinue supérieurement sur Z et sa dérivée 0 est compact: Preuve Soit une suite (un ; vn ) 2 Z Z convergeant faiblement vers (u; v) xé: Alors. j (un ; vn ).
(304) R (u; v)j =
(305) RN (F (x; un ; vn ).
(306) R
(307)
(308) B(0;R) F (x; un ; vn ).
(309) R
(310)
(311) RN. (F (x; un ; vn ) B(0;R).
(312)
(313) F (x; u; v) dx
(314) +.
(315) F (x; u; v)) dx
(316).
(317)
(318) F (x; u; v)) dx
(319). Sur B (0; R), nous utilisons linclusion compact 2 1;p(x) 1;q(x) Wa(x) (B (0; R)) Wb(x) (B (0; R)) ,! C 0 (B (0; R)). (4). En tenant compte de (3) ; nous déduisons que est séquentiellement faiblement semicontinue supérieurement sur Z: De la même manière, nous montrons que 0 est compact sur Z ; en considérant encore une fois une suite (un ; vn ) qui converge faiblement vers (u; v) dans Z: En e¤et pour tout (h1 ; h2 ) 2 Z; on a 45.
(320) ( 0 (un ; vn ) = R R R. R. @F @F (x; un (x) ; vn (x)) h1 (x) + (x; un (x) ; vn (x)) h2 (x) dx @u @v. B(0;R). B(0;R). (. 0 (u; v)) (h1 ; h2 ). @F @F (x; u (x) ; v (x)) h1 (x) + (x; u (x) ; v (x)) h2 (x))dx+ @u @v. RN B(0;R). (. @F @F (x; un (x) ; vn (x)) h1 (x) + (x; un (x) ; vn (x)) h2 (x))dx @u @v. RN B(0;R). (. @F @F (x; u (x) ; v (x)) h1 (x) + (x; u (x) ; v (x)) h2 (x))dx: @u @v. Nous obtenons la convergence forte de la suite (un ; vn ) vers (u; v) dans C 0 (B (0; R)) C 0 (B (0; R)) grâce à linjection compacte de Z dans C 0 (B (0; R)) C 0 (B (0; R)) : Par conséquent; cette première partie des intégrales sur B (0; R) tend vers zéro. Par contre sur le complémentaire de la boule, on utilise encore une fois lhypothèse (H2) et (3) : On déduit alors que 0 (un ; vn ) ! 0 (u; v) fortement, ce qui veut dire que 0 est continu donc compact dans Z : Théorème 6 Sous les hypothèses (H1) (H5) ; alors le système (P Q) admet au moins trois solutions faibles distinctes dans X: Preuve Choisissons (u0 ; v0 ) = (0; 0) : Par dé nition (u0 ; v0 ) = (u0 ; v0 ) = 0: De plus (c1 ) implique 0 < r < (u1 ; v1 ) en se servant de la proposition 3, et (c2 ) implique (i) : En outre, (u; v) r:. 1. (] 1; r]) S (sr), (u; v) 2 . 46. 1. (] 1; r]) : On en déduit que.
(321) Cependant (u; v) = R. RN. R. RN. 1 p(x) p(x) jruj dx+ + a (x) juj p (x). 1 jrvjq(x) + b (x) jvjq(x) dx q (x) . . . Jp(x) (u) Jq(x) (v) + p+ q+ n o + min kju1 jkpp(x) ; kju1 jkpp(x) p+. n o p p+ min ku1 kp(x) ; ku1 kp(x) p+. +. +. n o + min kjv1 jkqq(x) ; kjv1 jkqq(x) q+. n o q q+ min kv1 kq(x) ; kv1 kq(x) q+. n o n o 1 (p ) (p )+ (q ) (q )+ min ju1 jp ; ju1 jp + min jv1 jq ; jv1 jq s. pour tout (u; v) 2 Z: Il sen suit que sup (u;v)2. =. (u; v). 1 (]. sup (u;v)2. 1;r]). R. . 1 (]. 1;r]). sup. RN. R. RN. F (x; u (x) ; v (x)) dx. F (x; ; ) dx. (;)2S(sr). Par conséquent, daprès (c2 ) ; nous obtenons sup (u; v) (u;v)2. 1 (]. 1;r]). . r. R. sup. RN. F (x; u(x); v(x)) dx. (;)2S(sr). R. F (x; u1 (x) ; v1 (x)) dx RN n o n o q+ p p+ q max kju1 jkp(x) ; kju1 jkp(x) + max kjv1 jkq(x) ; kjv1 jkq(x) (u1 ; v1 ) ; r (u1 ; v1 ) 47.
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