L'adéquation entre l'espace physique et l'espace économique multicentrique dans les problèmes de localisation

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L’adéquation entre l’espace physique et l’espace

économique multicentrique dans les problèmes de

localisation

Catherine Maurice-Baumont

To cite this version:

Catherine Maurice-Baumont. L’adéquation entre l’espace physique et l’espace économique multi-centrique dans les problèmes de localisation. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques (IME). 1991, 18 p., Illustration, ref. bib. : 2 p. �hal-01538744�

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

DOCUMENT de TRAVAIL

UNIVERSITE DE BOURGOGNE

FACULTE DE SCIENCE ECONOMIQUE ET DE GESTION

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9112

L ’ADEQUATION ENTRE L ’ESPACE PHYSIQUE ET L ’ESPACE ECONOMIQUE MULTICENTRIQUE DANS LES

PROBLEMES DE LOCALISATION

Catherine MAURICE-BAUMONT*

octobre 1991

RESUME :

L ’espace économique multicentrique utilisé dans les m o d è l e s de localisation et l ’espace physique où les agents se localisent réellement ne sont pas symétriques. Ce problème s ’avère crucial lorsque la localisation optimale donnée p a r le modèle m a t h é m a t i q u e n ’est pas localisable dans l’espace réel. Mais, si on admet que la l o c a lisation optimale peut appartenir plus ou moins à une f o n ction d e d e m a n d e de localisation, on peut résoudre cette question. Le concept de f o n c t i o n de d e m ande de localisation floue est alors défini puis illustré.

SUMMARY :

Lo c a t i o n models are constructed in mathematical e c o n o m i c spaces whereas people locate themselves in real or physical spaces. If economic spaces are multi centric ones, their p r operties are diffe r e n t from physical spaces. Whe say that these two spaces are not symmetric. Hence, mathematical location model can lead to an optimal location solution w h i c h d o e s n ’t exist in physical space. But, if w e admitt that an optimal location solution owns more or less to a f u n c t i o n of dem a n d of location, we can resolve this question. Then, fuzzy d e m a n d f u n c tions of location are d e fined in multicentric spaces and an i l l u s t r a t i o n of this concept is presented.

Mots clés : espace économique, espace physique, f o n c t i o n de dema n d e floue de localisation, fonction d ’appartenance.

L ’AD E Q U A T I O N ENTRE L ’ESPACE PHYSIQUE ET L ’ESPACE E C O N O M I Q U E M U L T I CENTRIQUE DANS LES PROBLEMES DE L O C A L I S A T I O N

par

Catherine MAURICE-BAUMONT Maître-Assistant ENSSAA

Chercheur IME-LATEC

L ’analyse des choix de localisations dans les esp a c e s urbains multicentriques révèle, suivant la terminologie e m p l o y é e par Y. PAPAGEORGIOU [1976], que 1 ’espace physique des localisations (celui sur

lequel nous évoluons) et l’espace économique des choix de localisations (c’est celui de la représentation économique des localisations physiques) ne sont pas symétriques. En d ’autres termes, ce qui représente une règle de description de l’organisation s p atiale et de choix de localisation dans le second espace où les décisions économiques sont définies et prises, ne correspond pas forcément à la description spatiale ni à la règle de localisation réelle dans le premier espace où les individus devront pourtant trouver à se localiser.

L ’examen des fonctions de demande de localisation p e r m e t néanmoins de trouver un m o y e n de réconcilier ces deux espaces. Il faut pour cela travailler directement dans l’espace physique tout e n continuant à attribuer à chaque localisation son contenu économique. O n est ainsi amené à définir des courbes de demande de l o c alisation épaisses construites à partir d ’une conception floue du calcul économiq ue spatial des agents. On montre ensuite comment l ’u t i l i s a t i o n des demandes de localisation floues peut conduire à la d é t e r m i n a t i o n d ’une localisation optimale pour les agents et quelle place t h éorique on peut réserver à cette démarche en analyse spatiale.

Dans un premier temps, nous présenterons le pr o b l è m e de la non symétrie entre l ’espace physique et l ’espace économique. D e u x aspects seront analysés : la non symétrie pour la description des localisations d ’une part, et la non symétrie dans les problèmes é c o n o m i q u e s de localisation d ’autre part. Dans un second temps, nous p r o p o s e r o n s une méthode de résolution de ces problèmes. Nous p r é s e n t e r o n s alors quelques réflexions, visant à replacer notre solution da n s u n cadre théorique plus général.

I - PRESENTATION DU PROBLEME 1.1 Définitions

Un espace physique, noté (PAPAGEORGIOU, [1976]), est un ensemble fermé et connexe de localisations û. On peut le représenter par un plan où la position de chaque point est donnée, par exemple, par un couple de coordonnées (x;y) dans un repère { 0; (0, x] ; (0; y ] >. Il est associé à une fonction distance. Concrètement, c ’est l ’espace sur lequel nous évoluons.

U n es p a c e multicentrique est un espace physique organisé autour d ' u n n o mbre fini de centres économiques dont les p o s itions dans l ’espace sont connues. D'un point de vue purement spatial, un centre est un sous e n s e m b l e de l'espace if. On suppose qu'il y en à n.

O n peut se référer à une organisation multicentrique hiérarchisée, à la L ö s c h ou à la Christaller, ( PAPAGEORG I OU, [1971], [1976], P A P A G E O R G IOU et CASETTI, [1971]) ou non (BAUMONT, [1990]).

U n e s p a c e économique, noté S, (PAPAGEORGIOU, [1976]), est une d e s c r i p t i o n fo n c t i o n n e l l e de l'espace physique. En particulier, chaque l o c a l isation a de l'espace physique peut être maintenant rapportée à l ' o r g a n i s a t i o n multicentrique de l'espace. On notera s une localisation de l'espace économique. Elle sera repérée par un vecteur de distances :

les n d i s t a n c e s séparant la localisation des n centres économiques. L' e s p a c e é c o n o m i q u e est une représentation abstraite de l'espace physique. C'est l'espace utilisé dans les modèles.

A p p l i q u é e aux espaces urbains, ces définitions supposent que "l'espace é c o n o m i q u e contient la structure urbaine abstraite, tandis q ue l'espace p h y s i q u e contient la m a nifestation spat i a l e de cette s t r u c t u r e u r b a i n e " (PAPAGEORGIOU, [1976], p 425).

1.2. Le p r o b l è m e de non symétrie

L or s q u e l'on construit un modèle de localisation, on caractérise, généralement, l'espace physique par certaines hypothèses, tandis que les s o lutions sont recherchées dans l'espace économique. Or, ces deux e spaces ne sont pas comparables. Ainsi, l'espace économique m u l t i c e n t r i q u e apparaît ordonné, tandis que l'espace physique corre s p o n d a n t ne l'est pas de la même manière. Dès lors, les c o n c l u s i o n s g é n é r a l e s auxquelles le modèle aboutit n'ont pas toujours de c o r r e s p o n d a n c e dans la structure particulière que représente

l'espace physique.

Ces p h é n o m è n e s de non correspondance directe entre les deux e s pa ces sont r e g r o u p é s sous le terme de non-symétrie, b i e n qu'ils ne s'agisse pas toujours à proprement parler d'une absence de symétrie. Toutefois, n o u s conserverons cette appellation car elle permet de s ynt h é t i s e r l'e n s e m b l e des divergences que nous avons mis en évidence entre les d e u x espaces.

D e u x sortes de non symétrie peuvent être mises en évidence si on p r i v i l é g i e l'aspect simplement spatial des deux espaces ou si on s ' i n t éresse é g a l e m e n t à leurs rôles dans le choix d'une localisation optimale.

1.2.1. L a position des localisations

Dans l'espace physique, il existe une bijec t i o n entre l'ensemble des lo c a l i s a t i o n s et l'ensemble des couples de coordonnées (x;y) déf i n i s précédemment. Par contre, dans l'espace économique multicentrique, on peut associer à deux localisations diffé r e n t e s le même v e c teur de distances, comme l'illustre le g r a phique (1).

o c i ---o V - (î i. Jj) ' Graphique (1) Source : P A P A G E O R G I O U [1976], p 430

Par ailleurs, si à chaque localisation de l ’e s pace physique on peut associer u n vecteur de distances, la r é ciproque n ’est pas vérifiée.

Le g r aphique (2) montre que la localisation s de l ’espace économique multicentrique définie par le vecteur [ d ; d ; d ] n ’existe pas dans l ’espace physique. 1 2 3

En effet, les trois cercles symbolisant toutes les localisations situées r e s p e c t i v e m e n t aux distances d^ , d et d^ des centres C , C ^ et C 3 n ’ont pas de point d ’intersection. Il n ’y a pas de localisation û c o r r e s p o n d a n t à s. Ainsi, dans l’espace économique, les distances c o n s t ituant le v e c t e u r de localisation peuvent être indépendantes les unes des autres, tandis que dans l’espace physique, elles doivent être c o m p a t i b l e s ent r e elles. Intuitivement, on explique ce phénomène par l ’abs e n c e de c o n v e x i t é dans l’espace économique multicentrique.

Enfin, P A P A G E O R G I O U [1976], insiste sur la signification d i f f é r e n t e d ’une variation de localisation, par rapport à un seul centr e économique, dans les deux espaces. Il montre q u ’une variation infinit é s i m a l e des coordonnées d ’un point dans l ’espace physique ne c o r r e s p o n d pas forcément à une variation infinitésimale d ’une des co m p o s a n t e s d u v e c t e u r dans l’espace économique multicentrique. En particulier, la correspondance entre les deux espaces dis p a r a î t dès que le n o m b r e de cen t r e s économiques est supérieur à 2 (Graphiques (3) et (4)).

G r a p h i q u e (3) Graphique (4) V a r i a t i o n m a rgi n ale Variation non m a r g i n a l e

de la localisation de la l o c a li s at ion S ourc e : P A P A G E O R G I O U [1976], p 430

O n re m a r q u e effectivement que le passage de la l o c a l isation û à la l o c a l i s a t i o n & (figure 3) correspond à une v a r i a t i o n infinitésimale de la l o c a l i s a t i o n dans les deux espaces. Par contre, ce n ’est plus le cas dès que l ’on ajoute un troisième centre (figure 4). Une variation i nfin i t é s i m a l e de la distance par rapport au centre 1 ne correspond plus à une v a r i a t i o n infinitésimale de la localisation (passage de ^ à

). De même, une variation infinitésimale de la locali s a t i o n (passage de ^ à ) ne correspond plus à une simple var i a t i o n d u vecteur des

distances par rapport au seul centre 1.

En résumé, s* il est toujours possible de passer du c o n t e n u spatial de l ’espace physique à celui de l ’espace économique, l ’inverse n ’est pas garanti.

Remarque : ce p r o b l è m e de n o n sym é t r i e n ’existe pas e n t r e l ’espace p hysique et l ’espace économique monocentrique. En effet, sur le plan mathématique, la représentation de l ’espace économique mul t i c e n t r i q u e et celle de l ’espace physique sont équivalente dès lors que le centre économique est placé à l’orifgine du repère mathématique. De là, il est toujours possible de caractériser une localisation de l ’espace économique dans l ’espace physique.

1.2.2. le choix d ’une localisation optimale

D ’une façon générale, on définira le problème de la recherche d ’une localisation optimale dans un espace m u l t i c e n t r i q u e comme la recherche d ’une position optimale par rapport à tous les centres économiques. On supposera q u ’il y en a n. Ils seront repérés par l ’indice k, tandis que les localisations seront indicées i.

Le calcul économique de l ’agent est réalisé d a n s l ’espace économique. Il s ’agit de maximiser une fonction d ’u t i l i t é de résidence au lieu i, notée sous une contrainte budgétaire s p a t i a l i s é e R.

En toutes généralités, on posera :

U = u [L, 2, D l1

i ik

R = pl L + pz Z + pt

i i

avec : L : nombre d ’unités de service résidentiel consommées. : Z : nombre d ’unités de bien composite consommées.

: D : distance du lieu de localisation i au centre économ i q u e k. : pl^ : prix du sol (ou plus généralement du ser v i c e résidentiel) au lieu de localisation i (on suppose que ce p r i x est une f onction de tous les centres économiques de l ’esp a c e et que la distri b u t i o n spatiale des prix du sol est donnée de f a ç o n exogène).

: pz^ : prix du bien composite en i.

: pt^ : coût de transport supporté en i. Il c o mprend à la fois les coûts des d é placements pour se rendre sur un lieu de travail et ceux pour le motif de consommation.

: R : revenu de l ’agent.

La pris e en compte des variables D dans la f o n c t i o n d ’utilité ik

s ignifie que l ’agent est capable d ’exprimer des p r é f é r e n c e s pour une localisation i en fonction de sa position par rap po r t a ux centres économiques k.

La r é s o l u t i o n du problème nous amène à définir des fonctions de d e m a n d e de l o c a l i s a t i o n que l’on peut exprimer de la f a çon suivante :

d L ■

fk (pl, ; pz. ; pti : R

Comme toute fonction traditionnelle de demande, les fonctions de d e m a n d e de locali s a t i o n sont liées à une structure de préférence donnée. O n peut alors supposer que la structure de p r é f é r e n c e comprend des p r é f é r e n c e s spatiales pour 1 ’éloignement ou la pro x i m i t é des cent r e s é c o n o m i q u e s (BAUMONT [1990]) ou non.

En u t i l i s a n t les fonctions de demande f^ , on peut matérialiser l 'en se m b l e des localisations optimales par rapport à chaque centre é c o n o m i q u e k, p o u r un système de prix et de revenu donné. O n obtient un e n s e m b l e de cer c l e s solutions comme pour le problème précédent.

O n met en é v i dence le problème de non symétrie des localisations de l ’espace é c o n o m i q u e vers celles de l ’espace physique, mais, on m o n t r e é g a l e m e n t q u ’un autre effet de non symétrie apparaît maintenant, des l o c a l i s a t i o n s de l ’espace physique à celles de l ’e s pace économique.

Le g r a p h i q u e ci-dessous en apporte l ’illustration.

O n a r e p r é s e n t é trois centres économiques et les c e r cles solutions c o r r e s p o n d a n t s po u r un système de prix donné et pour un nive a u R de r e v e n u fixé.

Graphique (5)

La l o c a l i s a t i o n A appartient aux deux esp a c e s p u i s q u ’elle s atisfait à la fois le système de demande et q u ’elle c o r r e s p o n d à une l o c a l i s a t i o n ré e l l e de l ’espace physique.

L ’e n s e m b l e des cercles en pointillés représente une localisation de l ’espa c e économique, non réalisable dans l ’espace p h y s i q u e puisque les cercles s o l u t i o n s ne présentent pas de point d* intersection. On d i r a que cette localisation est de type B.

La l o c a l i s a t i o n C appartient à l ’espace ph y s i q u e mais pas à l ’espa c e é c o n o m i q u e puisque les distances qui la séparent des centres é c o n o m i q u e s ne peuvent être "achetées" par le revenu R, le système des

prix étant donné (on pourrait aussi suppposer que ces d i s t ances ne représentent pas le même prix de service résidentiel en i toutes choses égales par ailleurs). Par exemple, cela signifie que si on achète x unités de localisation pour atteindre le centre 1 et y unités de localisation pour atteindre le centre 2, alors il ne restera pas suffisamment de revenu pour acheter les z unités de l o c a l i s a t i o n entre C et le centre 3.

En d ’autres termes, si on peut toujours carac t é r i s e r la position de n ’importe quelle localisation de l ’espace physique pa r u n vecteur de distances dans l ’espace économique, cela n ’est plus p o s s i b l e dès que l ’on raisonne en termes de contenu économique des localisations. Les localisations de type C sont des localisations qui ne p o u r r o n t jamais appartenir à u n système de demande de localisation. E l l e s ne sont pas optimales. On voit donc que la totalité de l’espace p h y s i q u e ne peut répondre au problème du choix de localisation résidentiel car il existe des localisations qui ne peuvent pas faire partie d ’u n système de demande pour le consommateur.

Finalement, on peut distinguer deux types de l o c a l i s a t i o n s :

■ les localisations symétriques qui appartiennent aux d e u x espaces, quel que soit le problème traité. Ce sont les l o c a l isations de type A, ou plus généralement, toutes les localisations é c o n o m i q u e s dont la forme vecto r i e l l e ne comprend que des distances c o m p a t i b l e s avec les positions des centres dans l’espace physique.

■ les localisations a-symétriques qui appartiennent à l ’u n ou à l ’autre des espaces, soit parce q u ’elles existent dans l ’espace é c o n o m i q u e mais pas dans l ’espace physique (localisation de type B ou, plus généralement, toutes les localisations économiques do n t la forme vectorielle est incompatible avec les positions de s centres dans l ’espace physique), soit parce q u ’elles appartiennent à l ’espace physique mais pas à l ’espace économique (localisation de type C dont le contenu é c o nomique n ’a pas de sens dans l ’espace économique).

Si en formulant un modèle de choix de localisation, les structures spatiales des prix étant données de façon exogène, les solutions obtenues sont des localisations a-symétriques, a l o r s le modèle n ’apporte pas de solution. Il faut donc s ’intéresser a u x localisations a-sy métriques e.t proposer un moyen de les réconcilier.

II R E S O L U T I O N D U PROBLEME

Intuitivement, le problème posé est celui de f a ire coïncider une "offre" de localisations, c ’est-à-dire un ensemble de localisations réelles dont les prix d ’achat (l’ensemble des prix pz, pl et pt) sont donnés de f a ç o n exogène; c ’est l’espace physique, à u n e demande de localisations formulée dans l’espace économique.

Pour réconcilier les supports de l’offre et de la demande, il faut, pour reprendre la terminologie employée par P A P A G E O R G I O U [1976], retrouver dans l ’espace physique l ’ordre qui existe d a n s l ’espace économique. E n d ’autres termes, l ’ordonnancement des l o c a l i s a t i o n s fait à partir d ’hypothèses économiques ne peut pas ne pas exister réellement, et nous nous en rendons compte p u i s q u e les agents économiques réussissent à se localiser, compte tenu de leurs contraintes économiques.

La mét h o d e que nous proposons ici est basée sur l ’examen des f o n ctions de d e m a n d e de localisation, c ’est-à-dire sur les conditions d ’o p t i m a l i t é de "consommation de localisation" compte tenu d ’une c o ntrainte budgétaire.

2.1. L ’e x a m e n des fonctions de demande

Pour c h aque niveau de revenu, les quantités deman d é e s de "localisation" par rapport à l ’ensemble des centres économiques r e p résentent la po s i t i o n économique de la localisation optimale. Dans l ’espace physique, cette position est trouvée en prenant l ’intersection de n cercles c e ntrés sur les n centres économiques. Or, d ’une manière générale, l ’intersection de n cercles est vide. La localisation op t i m a l e est généra l e m e n t de type B.

L ’idée est alors la suivante : si les ensembles de solutions étaient plus larges (surfaces circulaires au lieu de cercles), on augmen t e r a i t les chances de trouver des localisations à leurs intersections. A la limite, l ’ensemble de l ’espace ph y s i q u e pourrait être recouvert par des surfaces optimales, se chevauchant plus ou moins. Ainsi, c h aque localisation de type C de l ’espace p h y s i q u e aurait u n con t e n u é c o n o m i q u e : elle pourrait être considérée comme plus ou m o i n s o p t i m a l e au regard de la localisation optimale de type B. .

Le p r o b l è m e est de donner une signification écon o m i q u e à cette s o u s - o p t i m a l i t é et donc à 1’"épaississement" des cercles solutions.

2.1.1. Des demandes de localisation épaisses

Pour b i e n signifier ce que nous entendons par d em a n d e de l o c a l i s a t i o n épaisse, nous allons rappeler quelques définitions.

D ans l ’es p a c e économique des biens, les fonctions de demande e xpr iment une relation, à l ’optimum, entre la quantité d e m a n d é e du bien et des v a r i a b l e s explicatives telles que le prix de ce bien, le prix des autres bi e n s liés et le revenu. La courbe de d e m a n d e est une relation, à l ’optimum, entre les quantités demandées d u b i e n et les d i f f é r e n t s n i v e a u x de son prix, toutes choses égales par a i l l e u r s .

D ans l ’e s p a c e économique monocentrique, la courbe de demande de l o c a l i s a t i o n m o n o c e n t r i q u e relie une distance optimale, entre un lieu et le centre é c o n o m i q u e (c’est la "quantité" de l o calisation demandée), et le prix d u service résidentiel en ce lieu. Graphiquement, la courbe de d e m a n d e de localisation est une surface, puisque, pour chaque niveau de prix, tout u n ensemble de localisations, é q uidistantes d u centre, sont optimales.

Dans l ’e s p a c e économique multicentrique, on ap p e l e r a courbe de d e m a n d e de l o c a l i s a t i o n unicentrique, la courbe de d e m a n d e par rapport à un seul c e n t r e économique et courbe de demande de localisation m u l t i c e n t r i q u e la courbe de demande par rapport à l ’ensemble des centres. Il y a autant de courbes de demande de localisation u n i c e n t r i q u e s q u ’il y a de centres économiques. Si la f o n c t i o n de prix de service r é sidentiel varie, alors l ’ensemble des q u a n t i t é s demandées de l o c a l i s a t i o n varie. Autrement dit, le prix du service résidentiel en un lieu d é p e n d de l ’influence conjointe de tous les centres économiques. Les courbes de demande de localisation unicent r i q u e s ne sont pas indépen d a n t e s les unes des autres.

partir des courbes de demande unicentriques en a t t r i b u a n t à chaque niveau de pr i x de service résidentiel, toutes ch o s e s égales par ailleurs, une localisation repérée par le vecteur des qua n t i t é s de localisation unicentriques correspondantes.

Nous avons montré, que dans l ’espace physique, à d e u x dimensions, une telle courbe de demande ne pouvait être représentée.

Quel que soit l ’espace économique traité, si une de s composantes de la condition "toutes choses égales par ailleurs" change, alors on a un déplacement des courbes de demande, c ’e s t-à-dire q u ’elles se modifient graphiquement.

Pour un n i v e a u de prix donné et plusieurs m o d i f i c a t i o n s de revenu, par exemple, on obtient plusieurs valeurs D ■ soit p l u s i e u r s cercles de localisations optimales pour le centre économique k.

A la limite, pour une variation continue de l ’é l é m e n t "toute choses égales par ailleurs", la surface de demande d e v i e n t épaisse et par conséquent, pour un niveau de prix de service ré s i d e n t i e l donné, on passe d ’un cercle de localisations optimales à une s u r f a c e circulaire de localisations optimales. C ’est ce que nous appelons une dem a n d e de localisation épaisse.

Finalement, l ’espace économique multicentrique peut être recouvert, pour une structure spatiale des prix de ser v i c e résidentiel donnée, par un ensemble de demandes de localisation un i c e n t r i q u e s épaisses.

On peut attribuer à chaque localisation de l ’es p a c e p h y s i q u e une signification économique en termes de demande : en fonction de sa position par rapport à chaque centre, elle traduira un niveau de variation de l'élément "toutes choses égales par ailleurs”.

On a u n es p a c e à trois centres. Les demandes t r aditionnelles sont rep r é s e n t é e s par les cercles en trait plein. Une localisation q u e l c o n q u e I de l ’espace physique est située sur trois cercles en pointillés. Les segments [I-I ] , e t » représentent les va r i a t i o n s de l ’élément "toutes choses égales par ailleurs" pour que l ’on passe, pour chaque centre, des cercles en trait p l e i n aux cercles en pointillés. O n remarque, bien sûr, que ces segments n ’ont pas la même taille, ni le même sens. Cela signifie que les variations de l ’él ément "toutes choses égales par ailleurs" ne sont pas identiques.

Pour p o u v o i r utiliser les demandes de localisation épaisses, il faut donc montrer, comment on peut, pour un même indiv i d u et dans un même laps de temps, envisager des variations m u l t i p l e s de l ’élément "toutes c h oses égales par ailleurs".

2.1.2. M i s e en oeuvre A p p r o c h e i n t u i t i v e

Les é l é m e n t s "toutes choses égales par ailleurs" des courbes de d e m ande de l o c a l i s a t i o n unicentriques sont : la structure de préférence des agents, le pr i x des biens liés (bien composite et coûts de transport) et le revenu des agents. On peut alors envisager des d é p l a c e m e n t s des courbes de demande pour des variat i o n s de chacun de ces éléments.

C ’est e n intégrant l ’imprécision propre à la d é f i n i t i o n de chacun de ces é l é m e n t s que l’on peut admettre, pour u n même agent, des d é p l a c e m e n t s d i f f é r e n t s et instantanés des courbes de demande de lo c a l i s a t i o n unicentriques. On obtient alors les courbes de demande é p ai sses a p p e l é e s encore courbes de demande floues.

Par exemple, FUSTIER (1982) construit des courbes de demande floues en intégrant l ’imprécision relative à la structure de préférence des consommateurs. On suppose alors que les agents possède une

rationalité affaiblie c ’est-à-dire q u ’ils ne sont pas capables d ’exprimer des relations précises de préférence ou d ’indifférence entre les assortiments de biens. Au contraire, les agents raisonnent sur le type de propositions suivantes : "environ x unités du bien X avec un peu moins de y unités du bien Y" est équivalent à "approximativement x f unités de X avec un peu plus de y ’ unités de Y" (FUSTIER [1982], p 2). Ce principe signifie que la fonction d ’utilité des consommateurs est imprécise.

BAUMONT [1990] construit des courbes de demande de localisation unicentriques floue en faisant porter l ’imprécision sur le revenu des ménages. Cette fois-ci, on estime que c ’est la contrainte de richesse qui est imprécise. Elle est d ’une part, selon PONSARD [1980], [1981], plus ou moins contraignante en fonction du niveau de reve n u des agents et d ’autre part, la notion de richesse est elle même imprécise car différents revenus peuvent être pris en considération (par exemple pour les investissements immobiliers, les conditions d ’emprunt sont variables). Ainsi, les agents ne disposent plus d ’un n i v e a u R précis de revenu, mais attribuent à tout un évantail r de revenus plausibles un degré de réalisation de la proposition suivante “r est le revenu réel dont je dispose effectivement pour payer mes différentes dépenses".

On peut également imaginer que la formation des p r i x des biens liés soit également imprécise, ce qui permettrait d ’envisager des courbes de demande de localisation floues via la contrainte budgétaire des agents.

2

On peut enfin, comme le suggère PAELINCK , assouplir les conditions du premier ordre relatives à la maximisation de la fonction d ’utilité sous une contrainte budgétaire en posant que les dérivées partielles du premier ordre ne sont plus obligatoirement nulles mais q u ’elles peuvent prendre un ensemble de valeurs appartenant à un intervalle [-e ; e] centré en 0; la plausibilité de chaque nouvelle condition ainsi obtenue étant valuée par un degré d ’a p p a r tenance défini sur l ’ensemble [0;1]. Cette procédure permet de faire porter l’imprécision du calcul économique globalement sur la fonction d ’utilité et sur la contrainte budgétaire.

Approche technique

Concrètement, la prise en compte de l’imprécision se fait en utilisant la théorie des sous-ensembles flous. Les courbes de demande floues constituent alors un ensemble de quantités de biens plus ou moins optimales pour chaque niveau de prix. Ainsi, à chaque quantité de biens est associée un degré d ’appartenance traduisant le degré de vérification de la proposition suivante "la quantité x du bien X est optimale, compte tenu du niveau de prix".

Si on reprend le graphique (7), l’utilisation des sous-ensembles flous permet de mesurer, pour chaque centre économique, la perte d ’optimalité d ’une localisation I quelconque de l ’espace physique par rapport à une localisation optimale de type B située sur les cercles en trait plein. Chaque localisation de l’espace physique devient ainsi

Ré f ér en ce à une intervention de l’auteur sur ce suj e t lors du

plus ou moins optimale en fonction des écarts [ I — I ] (k e [ 1 ; 3] ), et de la façon de les évaluer.

Les variations de l’élément "toutes choses égales par ailleurs" sont généralement traduites à l’aide d ’un nombre flou, discret (FUSTIER, [1982]) ou continu, dont les propriétés (DUBOIS et PRADE, [1980]) permettent de retrouver facilement les courbes de demande traditionnelles.

Par exemple, BAUMONT [1991a] suppose que l’imprécision du revenu peut être circonscrite par un intervalle [r ; r ] où r et r

m M m M

représentent respectivement les valeurs minimales et maximales de v ariation de revenu compatibles avec le calcul économique de l ’agent.

La valeur R du revenu permet de se positionner sur les cercles en trait plein, tandis que toutes les autres valeurs x comprises dans cet intervalle sont associées à des cercles en traits pointillés. On "remplace" la valeur précise R du revenu de l’agent par un nombre flou L f - R g 3 (Left-Right, DUBOIS et PRADE, [1980]) noté n qui permet d ’attribuer à chaque valeurs r possibles de revenu un degré d ’appartenance a(x) à la proposition "cette valeur de revenu est effectivement celle dont je dispose".

Une fois que le nombre flou 3? est particularisé, on évalue

les déplacements des courbes de demande de localisation, c ’est-à-dire les écarts [ I — I ], en utilisant les expressions des fonctions de

d emande de localisation :

|

j

En notant D (x) la distance entre la localisation i et le centre ik

économique k obtenue à partir d ’un niveau de revenu x, on particularise toutes les localisations de l ’espace physique : pour q u ’une localisation soit optimale par rapport au centre économique k, il faut que le revenu soit égal à R, sinon, elle est plus ou moins optimale et son degré d ’optimalité est déduit du degré d ’appartenance a(x).

Finalement, à chaque localisation i de l ’espace physique on peut attribuer un degré d ’optimalité par rapport à chaque demande de localisation unicentrique en fonction de son éloignement des cercles en trait plein. S-’ il y a n centres économiques, chaque localisation i possédera n degrés d ’optimalité.

On notera 25 le degré d ’optimalité de la localisation i par

rapport au centre k.

25 g [0; 1] V i, V k.

ik

On peut b ien sûr envisager d ’utiliser les mêmes principes pour traduire les déplacements des courbes de demande de localisation unicentriques liées aux variations d ’autres éléments "toutes choses égales par ailleurs".

Pour résoudre le problème du choix d ’une localisation optimale

L ’a p p e l l a t i o n Left (resp. Right) caractérise la d i s t r i bu t i on des

degr és d ’a p p a r t e n a n c e pour des éléments situés à ga uc he (resp. à

dans les espaces économiques multicentriques, il faut maintenant examiner les possibilités d ’agrégation des différentes fonctions de demande unicentriques en une demande de localisation multicentrique cohérente avec les comportements économiques des agents.

2.1.3. La demande de localisation multicentrique

En intégrant l ’imprécision des comportements des agents et/ou l ’imprécision de leur environnement (on peut toujours penser que les agents ont un comportement imprécis parce q u ’ils ne disp o s e n t pas d ’une information précise sur leur environnement) on peut obtenir, pour une structure spatiale de prix de service résidentiel donnée, un ensemble de courbes de demande de localisation unicentriques épaisses susceptibles de couvrir, même en se chevauchant, l ’ensemble de l ’espace physique.

Pour chaque localisation i de l ’espace physique, on connait maintenant son aptitude à ressembler à la localisation optimale de l’espace économique. Elle est donnée par un profil d ’optimalité 0

défini par l ’ensemble des degrés d ’optimalité 2) .

Pour la localisation optimale de l’espace économique, les valeurs des degrés d ’optimalité 7) sont toutes égales à 1. Pour toutes les

autres localisations elles sont comprises entre 0 et 1. Les profils d*optimalité permettent de traduire l’ordre de l ’espace économique multicentrique dans l ’espace physique.

La recherche d ’une localisation optimale dans l ’espace économique multicentrique peut alors être résolu puisqu’on peut directement confronter 1 ’"offre" des localisations, c ’est-à-dire l ’espace physique, à la demande des localisations traduite aussi dans l ’espace physique.

Le choix d ’une localisation optimale dans l ’espace physique s ’effectue maintenant en examinant les profils d ’optimalité. On choisit alors la localisation qui présente le meilleur profil. O n peut, bien sûr, trouver plusieurs localisations équivalentes.

Plusieurs méthodes peuvent être mises en oeuvre pour ordonner les profils d ’optimalité.

■ BAUMONT [1991b] propose de calculer, pour chaque localisation i, la moyenne des valeurs D . Si on la note M. , on construit ensuite des

ik i

classes d ’équivalence pour les localisations possédant la même valeur

M^ et on peut ordonner facilement les différentes classes ainsi

obtenues.

Par exemple, les graphiques ci-dessous illustrent la distribution spatiale, sur l ’agglomération dijonnaise structurée autour de trois centres économiques, des valeurs M^ (figure (b)) correspondant à une

localisation optimale dans l’espace économique tricentrique (figure (a)); le problème économique traité étant celui de la localisation résidentielle (BAUMONT, [1990], p 437 et 502).

Cet exemple montre que les localisations les plus "proches" de la localisation optimale ont un degré d*optimalité de 0.63, tandis que les localisations les plus "éloignées" ont un degré d ’optimalité de 0.07.

f i g u r e (a) figure (b)

Graphique (8)

■ En considérant que les profils d ’optimalité 0 m sont des

sous-ensembles flous, on peut encore les ordonner en utilisant les méthodes de classement des sous-ensembles flous (ZADEH [1965], DUBOIS et PRADE [1980], DUBOIS [1987]). Les classes d ’équivalence seront alors formées par les sous-ensembles flous égaux.

■ Enfin, en cherchant, d ’une part, la ou les localisations qui se rapprochent le plus de la localisation optimale de l ’espace économique et en ayant besoin, d ’autre part, d ’agréger différents critères de localisation, on rend possible l ’utilisation d ’une technique de p r ogrammation : le Goal Programming. Cette méthode adaptée à des programmes formés de plusieurs objectifs et de plusieurs contraintes permet de considérer des intervalles d ’acceptation pour les objectifs et des intervalles de violation pour les contraintes (YAGER, [1986]). Dans notre cas, atteindre plus ou moins les distances D sont les

* ik

objectifs du programme tandis que la variation de l’élément "toutes choses égales par ailleurs" en constitue la contrainte. De là, on cherche à mini m i s e r les écarts entre la localisation optimale de l ’espace économique et les autres localisations.

On remarque que les méthodes de classement des localisations en fonction de leur profil d ’optimalité ne font pas nécessairement appel à la théorie des sous-ensembles flous. Par contre, l ’intégration de l ’imprécision est nécessaire à la justification des demandes de localisation épaisses car elle permet d ’envisager, pour un même individu et de façon simultanée l’existence de plusieurs courbes de demande de localisation.

Finalement, nous avons montré q u ’il était possible de réconcilier l’espace physique et l’espace économique multicentrique. Nous allons maintenant nous interroger sur la place de ce principe de

2.2. Analyse théorique

L ’idée source de notre approche était que la localisation optimale de l ’espace économique ne pouvait être atteinte. Il fallait trouver une autre localisation qui s ’en rapproche le plus, au sens économique du terme, mais qui soit directement située dans l’espace physique.

Une question doit alors être formulée : une telle démarche a t-elle une justification méthodologique ?

Si oui, quels peuvent être ses fondements théoriques ?

En présentant le concept de dominance et la théorie du second-best nous tenterons d ’apporter des éléments de réponse à ces questions.

2.2.1. Le concept de dominance

Dans un programme de maximisation d ’objectifs sous contraintes, une solutions est dite dominante si elle est meilleure que t o u t e s “ les autres pour la réalisation des objectifs.

Dans notre problème, la localisation optimale trouvée dans l ’espace économique est dominante car elle est meilleure que toutes les autres dans la satisfaction des préférences des individus.

Pourtant cette solution ne peut être réalisée.

Dans ces conditions, il est parfaitement légitime d ’essayer de trouver une solution qui s ’en rapproche le plus. ZIONTS [1988] insiste sur cette idée en montrant q u ’il faut trouver une s o l ution "close to the goal". ZIMMERMANN [1978] et KAUFMANN [1977] la justifient en expliquant que la recherche d ’une solution maximale répondant à tous

les critères du programme de maximisation d ’objectifs sous contraintes est quelquefois trop "contraignante", trop rigide. Le but est là encore d ’"assouplir" les conditions de réalisation du programme de manière à obtenir une solution.

Différentes méthodes sont alors proposées. Il s ’agit, soit de rechercher les valeurs d ’optimalité des éléments de l ’ensemble des solutions proches de l ’optimum. On mesure alors selon KAUFMANN la sensibilité de la fonction objectif à l’optimum. On peut encore, selon ZIMMERMANN trouver une solution de compromis en s ’aidant des préférences des agents de manière à trouver dans l ’ensemble des solutions possibles, une solution qui s ’éloigne le moins de l ’optimum.

On peut enfin, selon ZIONTS relâcher certains objectifs ou reconsidérer complètement le problème en définissant une fonction qui minimise les écarts entre l ’optimum et les autres éléments.

Finalement, deux approches s ’imposent : soit on considère le même modèle, mais on assouplit les conditions de réalisation des objectifs et/ou des contraintes. Soit on reconsidère complètement le problème en définissant une fonction d ’éloignement des éléments par rapport à l ’optimum.

Dans les ceux cas cependant, on aboutit à une formalisation différente du problème puisqu’il contiendra des objectifs et/ou des contraintes différentes dans le premier cas, tandis que dans le second cas il sera totalement différent : d ’un programme de maximisation d ’objectifs sous contraintes, on passe à un programme de minimisation de l’écart entre la solution optimale et les autres solutions possibles.

En utilisant les fondements de la théorie du second-best, il est possible d ’apporter une justification théorique à ces démarches.

2.2.2. La théorie de l’optimum de second rang

A l ’origine, cette théorie, formalisée par LIPSEY et LANCASTER

[1956-1957], s ’applique aux problèmes d ’équilibres économique de PARETO. Les auteurs montrent q u ’une situation d ’optimum de second rang peut être atteinte quand l’optimum de PARETO est inaccessible.

Les auteurs remarquent alors que même s ’il n ’y a q u ’un seul o ptimum de PARETO, il peut exister plusieurs optimums de second-rang. On ne peut pas, a priori, dire si un optimum de second-rang atteint en satisfaisant plus de conditions est meilleur q u ’un autre qui en satisfait moins. On ne peut pas non plus assurer que 1 ’"optimum de PARETO" est amélioré par la réalisation d ’un optimum de second rang, car d ’une part, l ’optimum de PARETO n ’est pas réalisable et d ’autre part, l ’optimum de second rang s ’applique à un problème devenu différent.

En réalisant le passage de l’espace économique multicentrique à l ’espace physique nous pouvons comparer notre démarche à celle des théoriciens du second-best même si nous ne traitons pas un problème d ’équilibre général.

En effet, LIPSEY et LANCASTER citent une étude de A. SMITHIES [1936] où la théorie du second best est appliquée à un problème de p rodu c t i o n pour une firme. L ’auteur part du principe que les conditions initiales d ’égalisation à l’optimum entre les coûts marginaux et les p roductivités marginales des inputs conduisent à un niveau de profit ma x i m u m pour le producteur. Il suppose ensuite que le producteur fait face à des contraintes techniques de production l ’obligeant à employer des quantités minimales de certains inputs ( on note q u ’ il y a toujours des quantités minimales, ne serait-ce que la quantité nulle). Si le ni v e a u de profit donné par la réalisation de l’équilibre nécessite l ’u t i l i sation de quantités négatives ou insuffisantes d ’inputs, alors le producteur utilisera par défaut soit zéro unité de cet input soit le min i m u m technique imposé par ses contraintes de production. Dès lors, pour cet input, l ’égalisation entre la productivité marginale et le coût marginal n ’est plus assurée. On ne se trouve plus dans les conditions initiales de réalisation de l ’optimum. Il faut alors reconsidérer le problème en entier en intégrant directement les contraintes techniques de production et non pas simplement modifier les conditions qui ne sont pas vérifiées.

On peut tout à fait appliquer cette démarche à notre problème p uisque la non existence de la localisation optimale provient de "quantités" de distances non compatibles entre elles. En effet, chaque point de l ’espace est caractérisé par un vecteur de distances précis, alors que tout vecteur de distances ne correspond pas forcément à une

localisation dans l ’espace physique. Le vecteur de distances obtenu par la résolution de l ’optimum en fait partie. Même si dans ce vecteur, certaines d istances sont peut être compatibles entre elles, on ne peut pas les conserver et modifier simplement les conditions portant sur les distances non compatibles. Il faut reconstruire un modèle où toutes les distances peuvent varier de manière à devenir compatibles entre elles. C ’est ce que nous avons réalisé.

Par ailleurs, la nouvelle localisation optimale obtenue, n ’est pas forcément unique. On peut donc avoir des niveaux de satisfaction des

objectifs et des contraintes différents même si les solutions présentent, globalement, une optimalité identique. On ne peut donc pas déterminer a priori la solution la meilleure dans le nouvel ensemble des optimums de second rang. On retrouve alors les p r o p riétés énoncées plus haut.

Finalement, nous pouvons assimiler notre démarche à celle des théoriciens d u second-best, alors que le cadre d ' a p p l i c a t i o n de la théorie et les procédés techniques employés sont différents.

Au terme de cet exposé, il convient d' insister sur les points suivants :

1) L'intégration de l'espace dans l'analyse des phénomènes économiques rend nécessaire l'utilisation de deux espaces différents : l'espace physique et l'espace économique.

2) Si l'organisation spatiale est multicentrique, alors ces deux espaces sont a-symétriques car les significations économiques et spatiales des localisations sont différentes.

3) Pourtant, le problème du choix d'une localisation optimale oblige à s'interroger sur les propriétés économiques des espaces tout en recherchant une localisation dans l'espace physique.

4) Pour résoudre ce problème, il faut envisager que les déplacements des courbes de demande sont possibles pour un même individu et dans un même laps de temps. Ceci n'est envisageable que si on prend en considération l'imprécision des comportements économiques. On construit ainsi des courbes de demande floues.

5) On montre alors qu'il est possible d'attribuer à chaque localisation de l'espace physique son contenu économique et de là, on peut réconcilier les deux espaces. L'application de notre méthode au choix d'une localisation résidentielle dans l'agglomération dijonnaise en constitue un élément positif.

6) Cependant, les solutions données dans l'espace économique et celles obtenues ensuite dans l'espace physique ne sont pas comparables. On peut alors assimiler les nouvelles localisations optimales à des optimum de second-rang.

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