Les fractions en 6
e
Samuel Rochetin
Mercredi 6 juin 2018
1
Définition et première propriété
Définition 1. Soient a, b deux entiers naturels tels que b 6= 0. On appelle frac-tion de numérateur a et de dénominateur b et on note a
b le quotient de a par b.
a
b := a ÷ b
Remarque 1. En partageant a en b parts égales, chaque part vaut a b. Exemple 1. En partageant 3 en 4 parts égales, chaque part vaut 3
4 = 3 ÷ 4 = 0,75. Dans cet exemple, a = 3, b = 4.
Propriété 1. Soient a, b deux entiers naturels tels que b 6= 0. b × a
b = a Démonstration. D’après la définition 1, b ×a
b = b × (a ÷ b) = a.
Remarque 2. Autrement dit, multiplier une fraction par son dénominateur renvoie son numérateur.
Exemple 2. 7 ×2
7 = 2. Dans cet exemple, a = 2, b = 7. Exemple 3. b ×1
b = 1. Dans cet exemple, a = 1, b 6= 0.
2
Produit par un entier naturel
Propriété 2. Soient a, b, c trois entiers naturels tels que c 6= 0.
a ×b c =
a × b c
Démonstration. b × a = a × b commutativité ⇐⇒ c × b c × a = c × a × b c propriété 1.1 ⇐⇒ c × a ×b c = c × a × b c associativité, commutativité ⇐⇒ 1 c × c × a ×b c = 1 c × c × a × b c multiplication par 1 c ⇐⇒ c ×1 c × a ×b c = c × 1 c ×a × b c associativité, commutativité ⇐⇒ 1 × a ×b c = 1 × a × b c exemple 1.3 ⇐⇒ a ×b c = a × b c Exemple 4. 2 × 3 17 = 2 × 3 17 = 6
17. Dans cet exemple, a = 2, b = 3, c = 17. Remarque 3. Autrement dit, multiplier une fraction par un entier naturel revient à multiplier son numérateur par cet entier naturel.
Exemple 5. a c =
a × 1 c = a ×
1
c. Dans cet exemple, b = 1, c 6= 0.
3
Lecture de fractions
Définition 2. On appelle fraction unitaire toute fraction dont le numérateur est égal à 1.
Exemple 6. 1
7 est une fraction unitaire.
Définition 3 (Lecture de fractions unitaires). Le dénominateur sert à nommer toute fraction unitaire : 1
1 se lit « un », 1 2 se lit « un demi », 1 3 se lit « un tiers », 1
4 se lit « un quart ». À partir de 5, on utilise les adjectifs numéraux ordinaux. Ainsi, 1
5 se lit « un cinquième », et ainsi de suite.
Remarque 4. D’après l’exemple 5, toute fraction se décompose comme produit du numérateur par une fraction unitaire ; le numérateur indique combien de fois est comptée cette fraction unitaire.
Définition 4 (Lecture de fractions). Toute fraction se lit en lisant le numéra-teur puis la fraction unitaire de la décomposition de l’exemple 5, sans lire « un », en accordant.
Exemple 7. 8 9 = 8 ×
1
9 donc la fraction unitaire 1
9 est comptée 8 fois donc 8 9 se lit « huit neuvièmes ». De même, 15
4 se lit « quinze quarts ».
4
Égalité et simplification de fractions
Propriété 3 (Produit en croix). Soient a, b, c, d quatre entiers naturels tels que b 6= 0 et d 6= 0. a b = c d ⇐⇒ a × d = b × c Démonstration. a b = c d ⇐⇒ b ×a b = b × c d multiplication par b ⇐⇒ a = b × c d propriété 1.1 ⇐⇒ a × d =b × c d × d multiplication par d ⇐⇒ a × d = b ×d × c d associativité, commutativité ⇐⇒ a × d = b × c propriété 1.1
Exemple 8. Les fractions 15 14 et 12 11 sont-elles égales ? 15×11 = 165 et 14×12 = 168. Or, 165 6= 168 donc 15 14 6= 12
11. Dans cet exemple, a = 15, b = 14, c = 12, d = 11.
Exemple 9. Les fractions 5 7 et 15 21 sont-elles égales ? 5 × 21 = 105 et 7 × 15 = 105. Ainsi, 5 × 21 = 7 × 15 donc 5 7 = 15
21. Dans cet exemple, a = 5, b = 7, c = 15, d = 21.
Propriété 4 (Simplification). Soient a, b, c trois entiers naturels tels que b 6= 0 et c 6= 0. a × c b × c = a b Démonstration. a × (b × c) = (b × c) × a commutativité ⇐⇒ (a × c) × b = (b × c) × a commutativité, associativité ⇐⇒ a × c b × c = a b propriété 1.3
Remarque 5. Simplifier une fraction revient à trouver le plus grand entier na-turel c divisant son numérateur et son dénominateur. Si c = 1, alors la fraction est déjà simplifiée. Exemple 10. 42 54 = 7 × 6 9 × 6 = 7
9. Dans cet exemple, a = 7, b = 9, c = 6. Exemple 11. 15
14 = 15 × 1 14 × 1 =
15
14. Dans cet exemple, a = 15, b = 14, c = 1. La fraction 15
14 est déjà simplifiée.
Définition 5 (Écriture d’une valeur exacte). Si une fraction est égale à un nombre :
— entier, alors on l’écrit en écriture décimale ;
— décimal non entier, alors on l’écrit en écriture fractionnaire simplifiée puis en écriture décimale ;
— non décimal, alors on l’écrit en écriture fractionnaire simplifiée. Exemple 12. On écrit 51
17 = 3 car 51 ÷ 17 = 3 est un nombre entier. On écrit 27
24 = 9 × 3 8 × 3 =
9
8 = 1,125 car 9 ÷ 8 = 1,125 est un nombre décimal non entier. On écrit 16
26 = 8 × 2 13 × 2 =
8
13 car 8 ÷ 13 = 0,615384615384 . . . n’est pas un nombre décimal.
5
Somme de fractions
Propriété 5. Soient a, b, c trois entiers naturels tels que c 6= 0. a c + b c = a + b c Démonstration. a c + b c = a × 1 c + b × 1 c exemple 1.5 = (a + b) ×1 c factorisation = a + b c exemple 1.5 Exemple 13. 2 11+ 7 11 = 2 + 7 11 = 9
Exemple 14 (Utilisation de la propriété 5 puis de la propriété 4). 19 30 + 5 30 = 19 + 5 30 = 24 30 = 4 × 6 5 × 6 = 4 5 = 0,8
6
Produit par un nombre réel
Propriété 6. Soient a, b deux entiers naturels tels que b 6= 0. Soit x un nombre réel. x ×a b = a × (x ÷ b) Démonstration. 1 × x = b × (x ÷ b) définition du quotient ⇐⇒ b × 1 b × x = b × (x ÷ b) exemple 1.3 ⇐⇒ b × 1 b × x = b × (x ÷ b) associativité ⇐⇒ 1 b × b × 1 b × x =1 b × (b × (x ÷ b)) multiplication par 1 b ⇐⇒ b ×1 b × 1 b × x = b ×1 b × (x ÷ b) associativité, commutativité ⇐⇒ 1 × 1 b × x = 1 × (x ÷ b) exemple 1.3 ⇐⇒ a × 1 b × x = a × (x ÷ b) multiplication par a ⇐⇒ x × a ×1 b = a × (x ÷ b) associativité, commutativité ⇐⇒ x ×a b = a × (x ÷ b) exemple 1.5
Exemple 15. π ×5
7 = 5 × (π ÷ 7)
= 2,24399475 . . . affiché par une calculatrice
= 2,24 arrondi au centième
Dans cet exemple, a = 5, b = 7, x = π.
7
Fraction d’une quantité
Définition 6. Soient a, b deux entiers naturels tels que b 6= 0. Calculer la fraction a
b d’une quantité x, c’est calculer la valeur de a parts du partage de x en b parts égales.
Exemple 16. Calculer 7
3 de 4,2 L, c’est calculer la valeur de 7 parts du partage de 4,2 L en 3 parts égales. En partageant 4,2 L en 3 parts égales, chaque part vaut 4,2 L ÷ 3 = 1,4 L donc 7 parts valent 7 × 1,4 L = 9,8 L. Dans cet exemple, a = 7, b = 3, x = 4,2 L.
Propriété 7. Soient a, b deux entiers naturels tels que b 6= 0. Calculer la fraction a
b d’une quantité x, c’est calculer a b × x.
Démonstration. Par définition du quotient, la valeur d’une part du partage de x en b parts égales est x ÷ b. Donc la valeur de a parts est a × (x ÷ b). D’après la propriété 6 et par commutativité, il vient a × (x ÷ b) = x ×a
b = a b × x. Exemple 17. 4 5 de 7,3 km est égal à 4 5 × 7,3 km = 4 × (7,3 ÷ 5) km = 5,84 km. Dans cet exemple, a = 4, b = 5, x = 7,3 km.
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Représentation graphique
Définition 7 (Demi-droite graduée). Soient O, I deux points distincts du plan. On appelle demi-droite graduée d’origine O et d’unité de longueur OI la demi-droite [OI) graduée en reportant la longueur OI depuis l’origine.
O I
Définition 8 (Abscisse d’un point). Soient O, I deux points distincts du plan. Soit A ∈ [OI). On appelle abscisse du point A sur la demi-droite graduée d’origine O et d’unité de longueur OI le nombre x tel que OA = x × OI. On note A(x) le point A d’abscisse x.
Propriété 8.
Le point O a pour abscisse 0. Le point I a pour abscisse 1. Démonstration. OO = 0 = 0 × OI et OI = 1 × OI.
Exemple 18. Dans cet exemple, x = 8 donc placer A(8), c’est reporter 8 fois la longueur OI depuis l’origine.
O 0 I 1 A 8 Figure 2 – Placement de A(8)
Propriété 9 (Abscisse fractionnaire). Soient a, b deux entiers naturels tels que b 6= 0.
Placer Aa b
, c’est reporter a fois la longueur OI ÷ b depuis l’origine. Démonstration. OA = a b × OI définition 1.8 = OI × a b commutativité = a × (OI ÷ b) propriété 1.6
Exemple 19. Dans cet exemple, a = 7, b = 3 donc placer A 7 3
, c’est reporter 7 fois la longueur OI ÷ 3 depuis l’origine.
O 0 I 1 A 7 3 Figure 3 – Placement de A 7 3
