Relativité générale II

(1)

Fa ulté des s ien es

Département d'astrophysique, de géophysique et d'o éanographie

Syllabuspour le ours de

par

Yves De Rop

(2)

1 Propriétés physiques du hampgravitationnel 1

1.1 Introdu tion . . . 1

1.2 L'énergie du hampnewtonien. . . 2

1.3 Le pseudo-tenseurd'énergie-impulsion . . . 2

1.3.1 Introdu tion. . . 2

1.3.2 Raisonnement dansun as parti ulier . . . 3

1.3.3 Raisonnement dansle asgénéral . . . 4

1.4 Energie etquantité de mouvement totales . . . 6

1.5 Appli ation à lamétriquede S hwarzs hild . . . 8

1.6 Energie totalede lamatière etd'un hamp stationnaire . . . 8

1.7 Cas parti uliers . . . 10

1.8 Le uxde quantité de mouvement . . . 11

1.9 Le moment inétiquedu hampgravitationnel . . . 12

1.10 Métriquesstationnaires au deuxième ordre . . . 13

1.10.1 Tenseur de Ri i leplusgénéral au deuxième ordre . . . 13

1.10.2 Méthode de al uld'un hamp stationnaireà grandedistan e . . . . 14

1.10.3 Solutiongénérale pour les termesdu deuxièmeordre . . . 15

1.10.4 Expressionde lamétriquestationnaire laplusgénérale . . . 17

1.11 Moment inétiqued'unsystème stationnaire . . . 18

1.11.1 Signi ation des omposantes nondiagonales dutenseur métrique. . 18

1.11.2 La métriquede Kerr . . . 19

1.12 Le uxde moment inétique . . . 21

2 La génération des ondes gravitationnelles 23 2.1 Le développement en sériedespotentielsmultipolaires . . . 23

2.2 Appro he heuristique . . . 26

2.3 La naturequadrupolairedesondes gravitationnelles. . . 31

2.4 Le point de vuede larelativitégénérale . . . 34

2.5 Approximations pour le al uldel'intégrale retardée . . . 36

2.6 La solutionquadrupolaire . . . 42

2.7 Rayonnement d'énergie . . . 43

2.8 Rayonnement de moment inétique . . . 44

2.9 La réa tionradiative :interprétationnewtonienne . . . 45

2.10 La jauge TT . . . 47

2.11 Lesmodes depolarisationde l'onde gravitationnelle . . . 50

(3)

2.14 Deux massesaux extrémitésd'unressort . . . 55

2.15 Système de deux orps enintera tion gravitationnelle . . . 56

2.15.1 Cas général . . . 56

2.15.2 Le asparti ulier desorbites ir ulaires . . . 59

A Expressiondu pseudo-tenseur d'énergie-impulsion 63 B Propriétés de l'intégrale retardée 67 B.1 Véri ation de lasolution . . . 67

(4)

Propriétés physiques du hamp

gravitationnel

1.1 Introdu tion

La théoriede Newtongénéralise habilement lanotion d'énergie inétique pour rendre

ompte de l'intera tion de la matière ave le hamp de gravitation : 'est le on ept

d'énergiepotentielle.Dansle asdedeux parti ulesde massesrespe tives

M

1

et

M

2

sépa-rées par une distan e

d

,elle vaut

E = −G

M

1

_d

M

2

.

(1.1)

La loi de onservation de l'énergie totale, inétique plus potentielle, permet de rendre

ompte de ertainsphénomènesplus oumoins ompliqués :par exemple, omment évolue

lavitesserelative desdeux parti ulesen fon tionde leur distan e.

Danslesprésentationsmodernes,on rempla ele on ept d'énergiepotentielledes

par-ti ules par elui d'énergie du hamp

~g

,dénie ommesuit :

E =

−1

8π G

Z

V

∞

|~g (x, y, z)|

2

dx dy dz.

(1.2)

Pour deux parti ules,

~g

est la somme des hamps

~g

1

et

~g

2

générés respe tivement par ha un desdeux orps,et le al ulde(1.2) restitue lerésultat (1.1).

1

Cependant,s'ilpossèdedel'énergie,le hampnewtoniennepeutpasentransférerd'un

endroit àl'autre. Ce irésultedu ara tèreinstantanédelatransmissiondelagravitation.

Ainsi, le hamp, dont l'énergiene onstitue qu'une tradu tion mathématique de l'énergie

potentielle desparti ules, reste antonnédansun rle d'intermédiaire passif, utilepour le

al uldesfor es gravitationnelles maissans dynamiquevéritable.

Dans la théorie lassique des hamps, dont relève la relativité générale, eux- i sont

dotés de propriétés physiques au même titre que les parti ules. Dans e hapitre, nous

allons envisager lanotion d'énergie du hampgravitationnel relativiste.Comme l'énergie

est liée à la quantité de mouvement, nous aborderons naturellement es deux on epts

ensemble. Ensuite sera traitéelaquestion dumoment inétique.

Maistoutd'abord, démontrons larelation (1.2).

(5)

1.2 L'énergie du hamp newtonien

Théorème 1.1 Onpeut réinterpréter l'énergie potentiellegravitationnelle omme énergie

intrinsèque du hamp : si

µ

désigne la masse volumique,

Φ

le potentiel et

~g = −

−

→

_∇Φ

l'a élération gravique, on a

1

2 Z

V

µ(P ) Φ(P ) dx dy dz =

−1

8πG

Z

V

∞

|~g (P )|

2

dx dy dz.

Commentaire. L'intégrale degau he serapporteuniquementaux points

P

où setrouvela matièretandisque ellededroiteserapporteàtoutl'espa e.Ainsi,seulel'énergietotaledu

hampgravitationnel newtonien(l'intégrale)estbiendénie:ilseraitarti ielde her her

à lalo aliser en attribuant unsens physique à l'intégrand. Onretrouve ette situation en

éle trostatique.

Démonstration. Tenant ompte de

−

→

_{∇ · ~g (P ) = −4πGµ(P ),}

on peuté rire

1

2 Z

V

µ(P ) Φ(P ) dx dy dz =

1

2 Z

V

∞

µ(P ) Φ(P ) dx dy dz

=

−1

8πG

Z

V

∞

Φ(P ) −

→

_{∇ · ~g (P ) dx dy dz.}

L'identité

Φ(P ) −

→

_{∇ · ~g (P ) =}

−

→

_{∇ · [Φ(P ) ~g (P )] −}

−

→

_{∇Φ · ~g (P )}

= −

→

_{∇ · [Φ(P ) ~g (P )] + |~g (P )|}

2

permetd'é rire e résultatsous laforme

1

2 Z

V

µ(P ) Φ(P ) dx dy dz =

−1

8πG

Z

V

∞

|~g (P )|

2

dx dy dz−

_8πG

1 Z

V

∞

−

→

_{∇ ·[Φ(P ) ~g (P )] dx dy dz.}

Le théorème de Gauss permet de transformerladeuxième intégraledu membrede droite

en une intégralede surfa e qui s'annule àl'inni, étant donné quelepotentiel

Φ(P )

varie ommel'inversede la distan eetle hamp

~g (P )

ommel'inverse du arré dela distan e. Le théorème estdémontré.

2

1.3 Le pseudo-tenseur d'énergie-impulsion

1.3.1 Introdu tion

Enrelativitégénérale,laloide onservationdel'énergieetdelaquantitédemouvement

s'é rit sous laforme

(6)

La dérivée ovarianterend ompte de l'existen ed'un hamp de gravitation dont les

pro-priétés sont exprimées au travers de l'utilisation d'un espa e-temps ourbe. Mais ette

profonde originalité de la théorie, qui onsiste à fondre la gravitation dans la stru ture

de l'espa e-temps, ne permet pas,au premier abord, d'expli iterles quantités onservées,

omme en éle tromagnétisme où la ontribution de la matière se distingue alors de elle

du hamp. Au demeurant, le prin ipe d'équivalen e ruine tout espoir dedé rire le hamp

gravique seul aumoyen de quantitéstensorielles.

En 1947, les physi iens soviétiques L. Landau et E. Lif hitz ont obtenu une

formu-lation des équations (1.3) où le point-virgule est rempla é par une virgule, omme dans

l'espa e-temps eu lidien, etoù apparaît, à té de

T

µν

,une quantité nouvelle non

tenso-rielle, le pseudo-tenseur d'énergie-impulsion du hamp gravitationnel

t

µν

. En utilisant le

théorème de Gauss, il est alors possible d'é rire expli itement des quantités onservées.

Cette appro he mutile en quelque sorte l'idéal de ovarian e générale. Cependant, elle

permet d'é rire les équations d'Einstein sous une forme plus onforme aux habitudes de

penséehéritéesdel'éle tromagnétisme, etouvre notammentlapisteàlathéoriedesondes

gravitationnelles.

1.3.2 Raisonnement dans un as parti ulier

Dans un premier temps, nous allons utiliser un système de oordonnées où toutes les

dérivéespremièresdutenseurmétriques'annulent enunpointdonnédel'espa e-temps.(Il

n'estpasné essairequeletenseurmétriquesoitréduitàlaforme anoniquedeMinkowski.)

D'après leséquations d'Einstein, on a

T

µν

=

c

4

8πG

(R

µν

−

R

₂

g

µν

)

où

R

µν

= g

µα

g

νβ

R

αβ

R = g

αβ

R

αβ

ave

R

αβ

= g

ρσ

R

ρασβ

=

1

2 g

ρσ

_(g

ρβ,ασ

+ g

ασ,ρβ

− g

ρσ,αβ

− g

αβ,ρσ

).

Don

T

µν

=

c

4

16πG

(g

µα

_g

νβ

_g

ρσ

₋

1

2 g

αβ

_g

ρσ

_g

µν

_)(g

ρβ,ασ

+ g

ασ,ρβ

− g

ρσ,αβ

− g

αβ,ρσ

).

Or,

g

αβ

g

ρσ

g

ασ,ρβ

= g

αβ

g

ρσ

g

ρβ,ασ

g

αβ

g

ρσ

g

αβ,ρσ

= g

αβ

g

ρσ

g

ρσ,αβ

don

T

µν

=

c

4

16πG

g

µα

_g

νβ

_g

ρσ

_(g

ρβ,ασ

+g

ασ,ρβ

−g

ρσ,αβ

−g

αβ,ρσ

)−

c

4

16πG

g

αβ

_g

ρσ

_g

µν

_(g

ρβ,ασ

−g

ρσ,αβ

).

(7)

La relation

g

ρβ,α

= −g

ργ

g

βδ

g

γδ

,α

valable danstoutsystèmede oordonnées, implique

g

ρβ,ασ

= −g

ργ

g

βδ

g

γδ

_,ασ

valable dans le système de oordonnées adopté i i. En l'utilisant dans haque terme de

T

µν

,on trouve

16πG

c

4

T

µν

= −g

µα

g

νβ

g

ρσ

g

ργ

g

βδ

g

γδ

,ασ

− g

µα

g

νβ

g

ρσ

g

αγ

g

σδ

g

γδ

,ρβ

+g

µα

g

νβ

g

ρσ

g

ργ

g

σδ

g

γδ

_,αβ

+ g

µα

g

νβ

g

ρσ

g

αγ

g

βδ

g

γδ

_,ρσ

+g

αβ

g

ρσ

g

µν

g

ργ

g

βδ

g

γδ

_,ασ

− g

αβ

g

ρσ

g

µν

g

ργ

g

σδ

g

γδ

_,αβ

= −g

µα

g

νσ

_,ασ

_−g

νβ

g

µρ

_,βρ

+g

µα

g

νβ

g

ρσ

g

ρσ

_,αβ

+ g

ρσ

g

µν

,ρσ

::::::::::

+g

µν

g

ασ

_,ασ

::::::::::

− g

µν

g

αβ

g

ρσ

g

ρσ

,αβ

.

Or, danstoutsystème ona

g

,α

= g g

ρσ,α

g

ρσ

= −g g

ρσ

,α

g

ρσ

.

Don , dansnotre systèmede oordonnées parti ulier, on peuté rire

g

ρσ

g

ρσ

_,αβ

= −

g

,αβ

g

.

Ainsi(les termes soulignés se orrespondent),

16πG

c

4

T

µν

_{= g}

µν

,αβ

g

αβ

::::::::::

+ g

µν

g

αβ

_,αβ

::::::::::

−g

µα

,αβ

g

νβ

−g

µα

g

νβ

,αβ

+

g

,αβ

g

(g

µν

_g

αβ

_{− g}

µα

_g

νβ

₎

=

g

µν

g

αβ

_{− g}

µα

g

νβ

,αβ

+

g

,αβ

g

µν

g

αβ

_{− g}

µα

g

νβ

.

En on lusion,

(−g) T

µν

=

c

4

16πG

h

(−g) (g

µν

g

αβ

_{− g}

µα

g

νβ

)

i

,αβ

.

(1.4)

1.3.3 Raisonnement dans le as général

Posons

λ

µναβ

=

c

4

16πG

(−g) (g

µν

_g

αβ

− g

µα

g

νβ

)

(1.5) et

h

µνα

=

∂λ

µναβ

∂x

β

.

(1.6)

(8)

Ces deuxquantitéssont antisymétriques surles indi es

ν

et

α

.La relation (1.4) s'é rit

(−g) T

µν

= h

µνα

_,α

.

Elle n'est valable que si les dérivées premières du tenseur métrique sont nulles au point

onsidéré. Dans unsystèmede oordonnées quel onques, on pose

(−g) (T

µν

+ t

µν

) = h

µνα

_,α

.

(1.7) Ce idénitlesquantités

t

µν

,dontonpeutdéjàdirequ'ellessontsymétriquessurleursdeux

indi es

µ

et

ν

,etqu'ellesdoivent s'annuler dansunsystèmede oordonnées où

g

αβ

,γ

= 0

. Ontrouve leur expressionen é rivant

t

µν

_{= −}

1 g

h

µνα

,α

− T

µν

= −

1 _g

c

4

16πG

h

(−g) (g

µν

g

αβ

_{− g}

µα

g

νβ

)

i

,αβ

− T

µν

(1.8)

=

c

4

16πG

1 g

h

g (g

µν

g

αβ

_{− g}

µα

g

νβ

)

i

,αβ

− 2 R

µν

_{+ R g}

µν

.

(1.9)

Le al ulest ee tuéen détaildansl'annexeA. Onobtient :

16πG

c

4

t

µν

₌

_{2 Γ}

σ

αβ

Γ

ρ

σρ

− Γ

σ

αρ

Γ

ρ

βσ

− Γ

ρ

αρ

Γ

σ

βσ

g

µα

g

νβ

_{− g}

µν

g

αβ

+ g

µα

g

ρσ

Γ

ξ

_αξ

Γ

ν

_ρσ

+ Γ

ν

_αξ

Γ

ξ

_ρσ

_{− Γ}

ξ

_αρ

Γ

ν

_σξ

_{− Γ}

ν

_αρ

Γ

ξ

_σξ

+ g

να

g

ρσ

Γ

ξ

_αξ

Γ

µ

_ρσ

+ Γ

µ

_αξ

Γ

ξ

_ρσ

_{− Γ}

ξ

_αρ

Γ

µ

_σξ

_{− Γ}

µ

_αρ

Γ

ξ

_σξ

+ g

αβ

g

ρσ

Γ

µ

_αρ

Γ

_βσ

ν

_{− Γ}

µ

_αβ

Γ

ν

_ρσ

.

(1.10) Les symboles de Christoel sont tensoriels pour les transformations linéaires de

oordon-nées.Aussiles

t

µν

héritent-ils de ettepropriété:onditqu'ils onstituentles omposantes

d'unpseudo-tenseur.

Vu l'antisymétriedes

h

µνα

surles deuxderniersindi es, la dénition(1.7) implique

[(−g) (T

µν

+ t

µν

)]

_,ν

= 0 .

(1.11) Cetteéquation doitêtre onçue ommeune nouvelle formede laloide onservation(1.3).

L'appli ation duthéorème de Gaussà l'équation(1.11) donne larelation

I

(−g) (T

µν

+ t

µν

) n

ν

dV = 0,

(1.12) oùl'onintègresurunehypersurfa eferméedenormaleunitaire

n

ν

.Ilyadon onservation desquantités

P

µ

=

1 c

Z

(−g) (T

µν

+ t

µν

) n

ν

dV.

(1.13) Ce ijustielenom,donnéàl'objett,depseudo-tenseurd'énergie-impulsiondu hamp

gravitationnel.

Larelation (1.8) permetd'é rire les équations d'Einstein sousla forme

h

(−g) (g

µν

g

αβ

_{− g}

µα

g

νβ

)

i

,αβ

=

16πG

c

4

(−g) (T

µν

_{+ t}

µν

_{) .}

(1.14)

Lesloisde onservation(1.11)endé oulentautomatiquement.Insistonssurlefaitque ette

(9)

onsidé-1.4 Energie et quantité de mouvement totales

Dans(1.12), hoisissons ommehypersurfa eunparallélipipède dontlesdeuxbases

B

1

et

B

2

sont réalisées par l'espa e spatial aux instants respe tifs

x

0

et

x

′ 0

, etles deux

téslatéraux

L

1

et

L

2

limitentasymptotiquement l'espa etridimensionnelentre esdeux instants (gure 1.1). L'intégration sur les surfa es latérales donne

0

si l'on suppose que

Figure 1.1: Pour é rireles loisde onservationde l'énergieetde laquantitéde mouvement,

il est ommode d'utiliser l'hypersurfa e parallélipipédique i i représentée. Les lignes de

oordonnées

x

2

et

x

3

ne sont pas indiquées. Les deux bases

B

1

et

B

2

représentent l'espa e spatial aux instants respe tifs

x

0

et

x

′ 0

. Les omposantes de la normale unitaire y prennent

respe tivementles valeurs

(−1, 0, 0, 0)

et

(1, 0, 0, 0)

. Leshypersurfa es latérales

L

1

et

L

2

sont rejetées àl'innispatial.

les sour esont une extension spatialelimitée (

T

µν

_{= 0}

à l'inni,espa e-temps

asymptoti-quement eu lidien) et si l'on yutilise des oordonnées artésiennes (auquel as

t

µν

_{= 0}

à

l'inni). Onobtient alors

1 c

Z

B

2

(−g) T

µ0

+ t

µ0

dx

1

_dx

2

_dx

3

₋

1 c

Z

B

1

(−g) T

µ0

+ t

µ0

dx

1

_dx

2

_dx

3

_{= 0.}

Ce iétablit la onstan eau oursdu temps desquantités

P

µ

=

1 c

Z

(−g) T

µ0

+ t

µ0

dx

1

_dx

2

_dx

3

_,

(1.15)

représentant l'énergie etlaquantité de mouvement totales(matière et hamp).

L'intégrand dans (1.13) ou (1.15) n'est pas tensoriel. En eet,

t

µν

est un

(10)

sont paslo alisables.Cependant, ellespeuvent êtredé ritesglobalement pardesquantités

géométriques, ommelemontre le

Théorème 1.2 L'intégrale

P

µ

onstitue un ve teur libre, déni dans l'espa e-temps

a-symptotique, pour legroupe deLorentz.

Commentaire.Enpratique,onintègresurunehypersurfa etemporelleseréduisant

asymp-totiquement àunhyperplandansl'espa e-tempsdeMinkowski.On hoisitles oordonnées

pour que l'hypersurfa e ait pour équation

x

0

₌

onstante, auquel as les

P

µ

sont

al u-lablespar(1.15).Cesnombresreprésentent enquelquesorte leuxd'une ertainequantité

(non tensorielle) au travers de l'hypersurfa e. Le théorème arme qu'ils onstituent les

omposantes d'unve teur asso iéà ette hypersurfa e, 'est-à-dire qu'ilsse transforment

selon la loi ve torielle lorsque, dans un deuxième système de oordonnées relié au

pre-mier par une transformation de Lorentz, on intègre la quantité en question sur la même

hypersurfa e. Répétons-le, il est essentiel que l'espa e-temps soit asymptotiquement plat

(sour esisolées)etrapportéaux oordonnéesdeMinkowski.Ainsi,au unedénition laire

delaquantitédemouvement etdelamassenes'imposedansle ontexte osmologique,ni

d'ailleurs elledu moment inétique quisera étudié plusloin. 2

Démonstration. Montrons d'abord que les

P

µ

relatifs à une hypersurfa e donnée ne

dépendentque du hoixdusystèmede oordonnées artésiennesasymptotiques.Pour ela,

supposons quel'espa e spatial soit rapportéà deuxsystèmes de oordonnées quel onques

mais ra ordés au même système de oordonnées artésiennes à l'inni. Imaginons un

troisième système de oordonnées ra ordé asymptotiquement à es mêmes oordonnées

artésienneset oïn idantave lepremiersystèmeàl'instant

x

0

etave ledeuxièmesystème

à l'instant

x

′ 0

. La onstan e de (1.15) prouve que l'intégrale al ulée dans le premier

système (elle-même onstante temporellement) est identique à l'intégrale al ulée dansle

deuxième système(elle aussi onstante).

Dès lors, puisque

t

µν

se transforme omme un tenseur pour le groupe des

transfor-mations linéaires dont elui de Lorentz, qui par ailleurs préserve

(−g)

, les quantités

P

µ

,

dénies par (1.13), sont ve torielles pour e groupe.Le théorème estdémontré.

2

Onpeutévaluer eve teuràl'aided'uneintégralesurune2-surfa epurementspatiale.

En eet,d'après(1.7),

(−g) T

µ0

+ t

µ0

= h

µ0α

_,α

= h

µ0k

_,k

.

En inje tant erésultat dans(1.15) eten utilisant lethéorème deGauss, on obtient

P

µ

=

1 c

I

h

µ0k

n

k

dS.

(1.16)

Un hoix judi ieux de la surfa e permet de simplier onsidérablement les al uls, par

(11)

1.5 Appli ation à la métrique de S hwarzs hild

La métrique de S hwarzs hild, exprimant le hamp engendré par une distribution de

matière stationnaire à symétrie sphérique de masse

M

, peut s'é rire en oordonnées iso-tropes souslaforme (10.12)

ds

2

_{= −}

1 − GM/(2rc

2

₎

1 + GM/(2rc

2

₎

2

c

2

dt

2

+

1 +

GM

2rc

2

4

(dx

2

+ dy

2

+ dz

2

)

(1.17)

où

x, y, z

sont des oordonnées artésiennes et

r =

px

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

. On al ulefa ilement :

g = −1 −

4GM

_rc

₂

+ O

1 r

2

g

µ0

= δ

µ0

−1 −

2GM

rc

2

+ O

1 r

2

g

kl

= δ

kl

1 −

2GM

_rc

₂

+ O

1 r

2

,

don

h

µ0k

= λ

µ0kν

, ν

= λ

µ0kl

, l

=

c

4

16πG

h

(−g)(g

µ0

g

kl

_{− g}

µk

g

0l

)

i

,l

=

M c

2

4πr

2

δ

µ0

_n

k

_{+ O}

1 r

3

.

Utilisant (1.16), onen déduit

P

0

= M c,

P

i

= 0.

(1.18)

Cerésultatétaitprévisible puisquelessour essontimmobilesautourdel'originedes

oor-données. Conformément auprin ipe d'équivalen e, 'estbienl'expressiondelamasse

gra-viquequiintervient dansla omposante

0

duquadrive teur énergie-impulsion du hamp.

1.6 Energie totale de la matière et d'un hamp stationnaire

En1930,R.Tolmanadonnéuneformulationgénéraledel'énergiepourn'importequelle

métriquestationnaire, 'est-à-direindépendantedela oordonnéetemporelle

x

0

.Cal ulons

d'abord (les termes soulignés enondulé s'annulent):

R

0 ₀

= g

0α

R

α0

= g

0α

R

β

_αβ0

= g

0α

(Γ

β

_α0,β

_{− Γ}

β

_αβ,0

:::::

+ Γ

β

_ρβ

Γ

ρ

_α0

_{− Γ}

β

_ρ0

Γ

ρ

_αβ

)

= g

0α

Γ

β

_α0,β

+ g

0α

Γ

ρ

_βρ

Γ

β

_α0

_{− g}

0ρ

Γ

β

_α0

Γ

α

_ρβ

= g

0α

Γ

β

_α0,β

+ g

0α

Γ

ρ

_βρ

Γ

β

_α0

_{− (g}

0ρ

Γ

β

_α0

Γ

α

_ρβ

+ g

αρ

Γ

0 _ρβ

Γ

β

_α0

:::::::::::

) + g

αρ

Γ

0 _ρβ

Γ

β

_α0

:::::::::::

(12)

= g

0α

Γ

ρ

_βρ

Γ

β

_α0

_{− (g}

0ρ

Γ

β

_α0

Γ

α

_ρβ

+ g

αρ

Γ

0 _ρβ

Γ

β

_α0

) + g

0α

Γ

_α0,β

β

+ g

αρ

Γ

0 _ρβ

Γ

β

_α0

=

g

,β

2g

g

0α

_Γ

β

α0

+ g

0α

,β

Γ

β

α0

+ g

0α

Γ

β

α0,β

+ g

αρ

Γ

0 ρβ

Γ

β

α0

,

en utilisant leségalités

Γ

ρ

_βρ

=

g

,β

2g

et

g

0ρ

_Γ

α

ρβ

+ g

αρ

Γ

0 ρβ

= −g

0α

,β

.

Ainsi,

R

0 ₀

=

_√

1 −g

√

−g g

0α

Γ

β

_α0

,β

+ g

αρ

_Γ

0 ρβ

Γ

β

α0

=

_√

1 −g

√

−g g

0α

Γ

β

_α0

,β

+

1

2 g

αρ

_Γ

0 ρβ

Γ

β

α0

+

1

2 g

αβ

_Γ

0 ρβ

Γ

ρ

α0

=

_√

1 −g

√

−g g

0α

Γ

k

_α0

,k

−

1

2 Γ

0 ρβ

g

βρ

,0

::::

puisque

g

αρ

Γ

β

_α0

+ g

αβ

Γ

ρ

_α0

_{= −g}

βρ

_,0

.

En on lusion,pourune métriquestationnaire,

R

₀

0

=

_√

1 −g

√

−g g

0α

Γ

k

_α0

,k

(1.19) etdon

Z

R

0 ₀

√

_{−g dx}

1

dx

2

dx

3

=

I

√

−g g

0α

Γ

k

_α0

n

k

dS.

(1.20) Or, en première approximation, toute métrique stationnaire se réduit à la métrique de

S hwarzs hild (1.17) si l'on se pla e susamment loin des sour es. Plus pré isément, on

peuté rire

√

−g = 1 + O

1 _r

g

00

_{= −1 + O}

1 r

Γ

k

_α0

=

GM

r

2

_c

2

δ

α0

_n

k

_{+ O}

1 r

3

.

En exploitant (1.20) surune sphèrede rayon inniment grand, ontrouve ainsi

Z

R

0 ₀

√

_{−g dx}

1

dx

2

dx

3

=

−4πGM

c

2

.

(1.21)

Comme,en vertu deséquations d'Einstein,

R

0 ₀

=

4πG

c

4

(T

0

− T

1

− T

2

− T

3

),

(1.22) on obtient une expression générale donnant l'énergie totale (matière plus hamp) d'une

solution stationnairequel onque :

M c

2

=

Z

(−T

0

+ T

1

+ T

2

+ T

3

)

√

(13)

1.7 Cas parti uliers

Silessour essont onstituées d'unuideparfait,on a

T

µν

=

1 c

2

(ρ + P ) U

µ

_U

ν

_{+ P g}

µν

_.

Si, deplus, le uideeststatique,

U

k

= 0.

Dela ondition

U

α

_U

α

= −c

2

, ilrésultealors

U

0

=

_√

c

−g

00

,

U

0

= −c

√

−g

00

.

Dès lors,

T

₀

0

_{= −ρ,}

T

₁

1

= T

₂

2

= T

₃

3

= P.

Pour unuide parfaitstatique, on trouveainsi

M c

2

=

Z

(ρ + 3P )

√

_{−g dx}

1

dx

2

dx

3

.

(1.24)

La solution obtenue historiquement par S hwarzs hild pour un astre de rayon

R

sta-tiqueetàsymétriesphérique, postulel'équationd'état d'unuidein ompressible,

'est-à-dire d'énergie volumique

ρ

homogène.Dansles oordonnées

(ct, r, θ, ϕ)

,on al ule

(ρ + 3P )

√

_{−g dx}

1

dx

2

dx

3

= ρ r

2

sin θ dr dθ dϕ

M c

2

= ρ

Z

R

0

4πr

2

dr

(1.25)

=

4

3 πR

3

_ρ.

(1.26)

Cerésultatn'est pasaussiévident qu'ilpeutparaîtreàpremièrevue.Onsavaitdéjà qu'en

relativité restreinte, la masse propre n'est pas additive. En relativité générale, on peut

intuitivement armerque lamassed'unsystèmede parti ulesen intera tion

gravitation-nelle doitêtreinférieureàlasommedesmasses individuelles arl'énergied'intera tionest

négative.Autrement dit, larelation (1.26) estparadoxale.

Voi i l'expli ation. En fait, le volume physique

dV

de la oquille sphérique omprise entreles oordonnéesradiales

r

et

r + dr

n'estpasdonnéparlarelation

dV = 4πr

2

_dr

mais bien par

dV =

pg

rr

(r) 4πr

2

dr

=

4πr

2

_dr

p1 − 8πGρr

2

_/3c

4

.

Dansles onditionsnewtoniennes (énergieinternethermiquenégligeable et hampfaible),

laquantité

µ = ρ/c

2

représente lamassevolumique propre etl'onpeut é rire

dV ≃ 4πr

2

(1 + 4πGµr

2

/3c

2

) dr

4πr

2

_{dr ≃ dV − 4πr}

2

4πGµr

2

(14)

Par onséquent, larelation(1.25) peutseliresouslaforme

M ≃ M +

∆

_c

2

où

M = µ

Z

R

0

4πr

2

dr

est lamasseee tive totale;

M = µ

Z

dV

représentelamassetotaleausensnewtonien, 'est-à-diredénie ommesommedesmasses

propres;et

∆ =

Z

R

0

− 4πr

2

_µ

4πGµr

2

3 dr

=

−3GM

2

5R

≃

−3GM

2

5R

n'est autrequel'énergiegravitationnelle d'unesphèrenewtonienne homogène derayon

R

. La diéren e entre le volume- oordonnée et le volume physique engendre don le terme

d'énergie de liaisongravitationnelle.

Enrésumé, on estautorisé à on lure quelaquantité (1.26) onstitue en faitl'énergie

totale (de masse propre, interne thermique et du hamp). Remarquons, une fois de plus,

ave quelnatureletquellesimpli ité etermesupplémentaireissudu hampgravitationnel

est intégrédans l'appareilgéométrique delathéorie.

1.8 Le ux de quantité de mouvement

Cal ulonsladérivée temporellede larelation(1.16).

dP

µ

dt

=

I

h

µ0k

_,0

n

k

dS

=

I

h

µαk

_,α

n

k

dS −

I

h

µlk

_,l

n

k

dS

= −

I

h

µkα

_,α

n

k

dS −

Z

h

µlk

_,lk

dx

1

dx

2

dx

3

.

Le se ondterme estnul ar

h

µlk

_{= −h}

µkl

.En tenant omptede (1.7) ona don ,dansune

région loin dessour esoù

T

µk

_{= 0}

:

dP

µ

dt

= −

I

(−g) t

µk

n

k

dS.

(1.27)

Ce résultat peut sembler en ontradi tion ave la onstan e du ve teur

P

µ

, établie dans

l'équation (1.15).En fait, pour démontrer (1.16) onintroduit une intégralesurfa ique sur

(15)

le ve teur

P

µ

orrespondant à e volume très grand mais borné. On peut on lure que

toutevariationde

P

µ

,dansunvolumedonnéloindessour es, résulted'unuxdu

pseudo-tenseurd'énergie-impulsionautraversdelasurfa edélimitant evolume.Dansle asd'une

métrique stationnaire, les symboles de Christoel varient omme

1/r

2

, le pseudo-tenseur

omme

1/r

4

[vularelation(1.10)℄, etl'intégrale(1.27) vautzéro. Par ontre, sile

pseudo-tenseur varie omme

1/r

2

,alors (1.27) est nonnulle, e qui signieque de l'énergie et de

laquantité demouvement s'é oulenthorsduvolume.Onren ontre ettesituation dansla

théoriedes ondesgravitationnelles.

1.9 Le moment inétique du hamp gravitationnel

Lesrelations

h

x

α

_(−g)(T

βν

+ t

βν

_{) − x}

β

_(−g)(T

αν

+ t

αν

)

i

,ν

= 0,

qui résultent de (1.11) etde lasymétriede

T

µν

_{+ t}

µν

,impliquent

I

_h

x

α

_(−g)(T

βν

+ t

βν

_{) − x}

β

_(−g)(T

αν

+ t

αν

)

i

n

ν

dV = 0.

Il ya don onservationdesquantités

L

αβ

=

1 c

Z

h

x

α

_(−g)(T

βν

+ t

βν

_{) − x}

β

_(−g)(T

αν

+ t

αν

)

i

n

ν

dV

=

Z

x

α

dP

β

_{− x}

β

dP

α

.

(1.28)

Ce moment du quadrive teur énergie-quantité demouvement d'unsystème gravitationnel

dénittoutnaturellement sonmoment inétique.(L'intégrand n'estpasinvariantde jauge

maisl'intégralerestaurele ara tèretensorieldelaquantitéévaluée.Cettesituationadéjà

été ren ontrée dans ladénition du quadrive teur

P

µ

.) Sil'on intègre sur tout l'espa e à

un temps donné

x

0

,on peuté rire

L

αβ

=

1 c

Z

_h

x

α

T

β0

+ t

β0

_{− x}

β

T

α0

+ t

α0

i

(−g) dx

1

dx

2

dx

3

=

1 c

Z

x

α

h

β0ν

_,ν

_{− x}

β

h

α0ν

_,ν

dx

1

dx

2

dx

3

=

1 c

Z

x

α

h

β0ν

,ν

− δ

α

ν

h

β0ν

−

x

β

h

α0ν

,ν

+ δ

β

ν

h

α0ν

dx

1

dx

2

dx

3

=

1 c

Z

x

α

h

β0ν

_{− x}

β

h

α0ν

,ν

+ h

α0β

_{− h}

β0α

dx

1

dx

2

dx

3

=

1 c

Z

x

α

h

β0k

_{− x}

β

h

α0k

,k

+

λ

α0βξ

_{− λ}

β0αξ

,ξ

dx

1

dx

2

dx

3

=

1 c

Z

x

α

h

β0k

_{− x}

β

h

α0k

,k

+ λ

α0ξβ

,ξ

dx

1

dx

2

dx

3

=

1 c

Z

x

α

h

β0k

_{− x}

β

h

α0k

,k

+ λ

α0kβ

,k

dx

1

dx

2

dx

3

=

1 c

Z

x

α

h

β0k

_{− x}

β

h

α0k

+ λ

α0kβ

,k

dx

1

_dx

2

_dx

3

=

1 c

I

x

α

h

β0k

_{− x}

β

h

α0k

+ λ

α0kβ

n

k

dS.

(16)

Dans es transformations su essives, on notamment a utilisé l'antisymétrie de

h

sur ses deux derniersindi eset ellede

λ

sur lesdeuxindi es du milieu.

Onpeutainsi al ulerletenseur exprimantlaquantité demoment inétique, ontenue

danstoutl'espa eenuntemps

x

0

donné,d'une ongurationphysique quel onque,àl'aide

d'une intégrale sur une surfa e spatiale fermée asymptotique de normale unitaire

n

k

. Il sut don de onnaître le hamp gravitationnel loin de ses sour es. Si on se limite aux

omposantesspatiales de e tenseur, onobtient :

L

ij

=

1 c

I

x

i

h

j0k

_{− x}

j

h

i0k

+ λ

i0kj

n

k

dS

(1.29)

où,pour mémoire :

λ

i0kj

=

c

4

16πG

(−g) (g

i0

_g

kj

_{− g}

ik

_g

0j

₎

(1.30)

h

αβγ

= λ

αβγµ

_,µ

.

(1.31)

Généralement, le moment inétique est présenté omme un pseudo-ve teur

L

~

, via les relations

L

i

=

1

2 ǫ

ijk

L

jk

_.

(1.32)

Onpeuten donnerune formulationgénérale assezsimple :

L

i

=

ǫ

ijk

2c

I

x

j

h

k0l

_{− x}

k

h

j0l

+ λ

j0lk

n

l

dS

=

ǫ

ijk

2c

I

x

j

λ

k0lµ

_,µ

_{− x}

k

λ

j0lµ

_,µ

+ λ

j0lk

n

_l

dS

=

ǫ

ijk

c

I

x

j

λ

k0lµ

_,µ

n

l

dS +

c

3

16πG

I

(−g)

ǫ

ijk

₂

g

j0

g

lk

_{− g}

jl

g

0k

n

l

dS

=

ǫ

ijk

c

I

x

j

λ

k0lµ

_,µ

n

l

dS +

c

3

16πG

I

(−g)ǫ

ijk

g

j0

g

lk

n

l

dS

=

ǫ

ijk

c

I

x

j

λ

k0lµ

_,µ

n

l

dS +

c

3

16πG

I

(−g)ǫ

ijk

g

j0

g

lk

_{− g}

l0

g

jk

n

l

dS

=

ǫ

ijk

c

I

x

j

λ

k0lµ

_,µ

+ λ

j0kl

n

l

dS.

(1.33)

Il possible de al uler expli itement le moment inétique dans le as d'une métrique

stationnairequel onque,solutiondeséquationsd'Einstein danslevide,en hoisissantpour

surfa e d'intégration dans l'expression (1.29) une sphère de oordonnée radiale

r

grande par rapportà ladimension ara téristique dessour es, 'est-à-diretelle que

r ≫ GM/c

2

.

Commel'élémentdesurfa e estproportionnelà

r

2

,ilfaut pour ela onnaîtrel'expression

du tenseur métriquejusqu'aux termesen

1/r

2

in lus. C'estl'objetde lase tionsuivante.

1.10 Métriques stationnaires au deuxième ordre

1.10.1 Tenseur de Ri i le plus général au deuxième ordre

Supposonsletenseurmétriquedéveloppableensériedepuissan esd'unepetitequantité

etlimitons-nous auxtermesjusqu'à l'ordredeux in lus:

(17)

où

h

µν

serapporte auxtermesd'ordre 1 et

H

µν

à euxd'ordre 2.Alors, 3

g

µν

= η

µν

_{− h}

µν

_{− H}

µν

+ h

µ

_α

h

αν

+ O(3).

On al ule, sans di ulté notoire,

R

µν

= R

(1)

µν

+ R

(2)

µν

+ O(5),

ave 4

R

(1)

_µν

=

1

2 η

αβ

_(h

µα,νβ

+ h

να,µβ

− h

µν,αβ

− h

αβ,µν

)

R

(2)

_µν

=

1

2 η

αβ

_(H

µα,νβ

+ H

να,µβ

− H

µν,αβ

− H

αβ,µν

)

−

1 ₂

h

αβ

(h

µα,νβ

+ h

να,µβ

− h

µν,αβ

− h

αβ,µν

)

−

1 ₂

h

αβ

_,α

₋

1

2 η

ρσ

_h

β

ρσ,

(h

βµ,ν

+ h

βν,µ

− h

µν,β

)

+

1

4 h

αβ,µ

h

αβ

,ν

+

1

2 h

α

µ,β

h

αν,

β

−

1

2 h

β

µ,α

h

α

ν,β

.

1.10.2 Méthode de al ul d'un hamp stationnaire à grande distan e

ConsidéronslamétriquedeS hwarzs hild,exprimantle hampengendréparune

distri-butiondematièrestationnaireàsymétriesphériquedemasse

M

,en oordonnéesisotropes souslaforme(1.17).Laquantité

1/r

vaassumerlerledelapetitequantitéduparagraphe 1.10.1. A grande distan e des sour es, un hamp stationnaire quel onque est donné, en

première approximation, par la solution à symétrie sphérique, don par la métrique de

S hwarzs hild.Les

h

µν

orrespondent ainsiauxquantitésd'ordre1danslasolution(1.17), 'est-à-dire

h

S

₀₀

=

2GM

rc

2

h

S

_ij

=

2GM

rc

2

δ

ij

.

(1.34)

Ces termes annulent exa tement letenseur deRi i au premierordre, omme ilsedoit :

R

(1)

_µν

(h

S

_αβ

) = 0.

Pour onnaîtrelamétrique stationnairegénéraleà l'ordre 2,ilfaut résoudreles équations

R

(2)

µν

= 0

,linéairesenlesquantités

H

µν

:leursolutiongénéraleestdon lasolutiongénérale del'équationhomogèneplusunesolutionparti ulière.Or, elle- idoitdépendrede

M

,via 3. Dans e hapitre,lesindi esdesquantitésperturbéesserontdésormaislevésouabaissésàl'aidedu

tenseurdeMinkowski.Lavarian edesindi esspatiauxestdon sansimportan e.

4. I i ommeailleurs, sont réputés d'ordre2 les termeslinéaires en

H

ouquadratiquesen

h

.Ce vo abulaire est unpeuambigudanslamesure oùletenseurde Ri is'exprime enfon tiondes dérivées

se ondesdutenseurmétrique: 'estpourquoilestermesnégligés ontiennent,enfait,lapuissan e inquième

(18)

les

h

S

µν

: on peut ainsi s'attendre à e que le termes du deuxième ordre dans la solution (1.17), 'est-à-dire

H

₀₀

S

=

−2G

2

_M

2

r

2

_c

4

H

_ij

S

=

3G

2

_M

2

2r

2

_c

4

δ

ij

,

(1.35)

onstituent une solutionparti ulière exa te; e que onrme un al ulsimple :

R

_µν

(2)

(h

S

_αβ

, H

_αβ

S

) = 0.

Enrésumé, lamétriquestationnaire laplusgénérale estdonnéepar

g

µν

= η

µν

+ h

S

µν

+ H

µν

S

+ H

µν

G

+ O(1/r

3

),

(1.36)

où

H

G

µν

est lasolutiongénéralede lapartie homogène de l'équation

R

(2)

µν

= 0

,i.e.satisfait

1

2 η

αβ

_H

G

µα,νβ

+ H

να,µβ

G

− H

µν,αβ

G

− H

αβ,µν

G

= 0.

(1.37)

1.10.3 Solution générale pour les termes du deuxième ordre

Posant

Ψ

µν

= H

µν

G

−

1

2 η

αβ

_H

G

αβ

η

µν

,

(1.38) équivalent à

H

_µν

G

= Ψ

µν

−

1

2 η

αβ

_Ψ

αβ

η

µν

(1.39)

ettravaillant dansla jauge deLorenz 5

où

Ψ

µν

_,ν

= 0,

(1.40)

on réduit (1.37),dansle asstationnaire, àl'équation de Lapla e

∇

2

Ψ

µν

= 0.

(1.41)

La solution générale,variant omme

1/r

2

,de l'équation

∇

2

_{Ψ = 0}

estdonnéepar

Ψ = ~a ·

−

→

∇

1 _r

ave

~a

onstant.En eet,

∇

2

~a ·

−

→

∇

1 _r

= ~a ·

−

→

∇ ∇

2

1 _r

= 0.

Introduisant le ve teur unitaire

n

k

=

x

k

r

,

(1.42)

5. Les hangementsdejaugeont i ipour obje tifdesimplier les quantités

Ψ

µν

,d'ordre

1/r

2

.Ilsse

manifestent,danslamétrique,pardesmodi ationsd'ordre2seulement,quin'ae tentpaslesquantités

h

S

µν

du premierordre. Deplus, l'équation

R

(2)

µν

= 0

est invariantedejauge, don la solutionparti ulière

H

S

(19)

on adon

Ψ

00

=

B

k

n

k

r

2

(1.43)

Ψ

0i

=

B

ik

n

k

r

2

(1.44)

Ψ

ij

=

B

ijk

n

k

r

2

(1.45)

où tousles oe ientssont onstants. Les onditions dejauge (1.40) imposent

B

kk

− 3 n

j

n

k

B

jk

= 0

(1.46)

B

ikk

− 3 n

j

n

k

B

ijk

= 0

(1.47) Or,untenseur

B

ik

peuttoujourssedé omposerenune tra e

B

,unepartiesymétrique sans tra e

S

ik

etune partie antisymétrique

A

ik

:

B

ik

= B δ

ik

+ S

ik

+ A

ik

,

S

kk

= 0.

La ondition(1.46) implique

S

ik

= 0,

don

B

ik

= B δ

ik

+ A

ik

,

A

ik

= −A

ki

.

(1.48) Demême, en dimension 3,un tenseur

B

ijk

symétriquesurses deuxpremiers indi es peut sedé omposer ommesuit:

B

ijk

= A

k

δ

ij

+ C

(i

δ

j)k

+ ǫ

mk(i

E

j)m

+ S

ijk

où les parenthèses onstituent le symbole de symétrisation;

E

jm

est symétrique et sans tra e :

E

jm

= E

(jm)

,

E

mm

= 0;

et

S

ijk

estsymétriqueetsans tra e:

S

ijk

= S

(ijk)

,

S

iik

= S

kjk

= S

ikk

= 0.

(En eet, les 3 quantités

A

k

, les 3

C

i

, les 5

E

jm

[6 nombres liés par une ontrainte, don 5 quantités indépendantes℄ et les 7

S

ijk

[10 nombres liés par 3 ontraintes℄ peuvent s'exprimerlinéairement etunivoquement enfon tion des18 quantités

B

ijk

.)La ondition (1.47) implique

C

j

= −2A

j

,

E

jm

= 0,

S

ijk

= 0,

don

B

ijk

= A

k

δ

ij

− A

i

δ

jk

− A

j

δ

ik

.

(1.49) Remplaçant les résultats(1.48) et(1.49) dans(1.43), (1.44) et(1.45),on obtient

Ψ

00

=

B

k

n

k

r

2

Ψ

0i

=

B n

i

+ A

ik

n

k

r

2

,

A

ik

= −A

ki

Ψ

ij

=

A

k

n

k

δ

ij

− A

i

n

j

− A

j

n

i

r

2

(20)

don ,par (1.39),lasolutiongénéraledel'équationhomogène pourles termesdudeuxième

ordre danslajauge de Lorenz:

H

₀₀

G

=

(A

k

+ B

k

) n

k

2 r

2

(1.50)

H

_0i

G

=

B n

i

+ A

ik

n

k

r

2

,

A

ik

= −A

ki

(1.51)

H

_ij

G

=

(A

k

+ B

k

) n

k

δ

ij

2 r

2

−

A

i

n

j

+ A

j

n

i

r

2

.

(1.52)

1.10.4 Expression de la métrique stationnaire la plus générale

On peut simplier onsidérablement les résultats en exploitant les libertés résiduelles

dansle hoix du systèmede oordonnées. Le hangement de jauge

x

α

_{= x}

α

_{+ ξ}

α

,où

ξ

0

=

B

r

ξ

i

=

A

i

r

,

préserve les onditions de Lorenz (1.40), puisque

∇

2

_ξ

α

_{= 0}

, et induit dans le tenseur

métriquedes modi ations d'ordre

1/r

2

.Tenant ompte de

1 r

=

1 r

+ O(1/r

3

_),

on al ulefa ilement les quantités

H

G new

µν

= H

µν

G old

− ξ

µ,ν

− ξ

ν,µ

:

H

₀₀

G new

=

(A

k

+ B

k

) n

k

2 r

2

H

_0i

G new

=

A

ik

n

k

r

2

,

A

ik

= −A

ki

H

_ij

G new

=

(A

k

+ B

k

) n

k

δ

ij

2 r

2

.

Laissant tomberlesindi ationsnewetlesbarres,et ombinant erésultat ave (1.34),

(1.35) et(1.36), ona don

g

00

= −1 +

2GM

rc

2

−

2G

2

_M

2

r

2

_c

4

+

(A

k

+ B

k

) n

k

2 r

2

+ O(1/r

3

₎

g

0i

=

A

ik

n

k

r

2

+ O(1/r

3

_),

_A

ik

= −A

ki

g

ij

=

1 +

2GM

rc

2

+

3G

2

M

2

2 r

2

_c

4

+

(A

k

+ B

k

) n

k

2 r

2

δ

ij

+ O(1/r

3

).

Enn, enmodiant ommesuit l'originedes oordonnées spatiales:

x

i

= x

i

+

c

2

4GM

(A

i

+ B

i

),

il vient

1 r

=

1 r

−

c

2

4GM

(A

k

+ B

k

) n

k

r

2

+ O(1/r

3

₎

n

k

r

2

=

n

_k

r

2

+ O(1/r

3

_).

(21)

En supprimant à nouveau les barres, on obtient ainsi la valeur du tenseur métrique

pour le hamp gravitationnel stationnaire à grande distan e des orps qui le génèrent et

jusqu'audeuxième ordre in lusen

1/r

:

g

00

= −1 +

2GM

rc

2

−

2G

2

_M

2

r

2

_c

4

+ O(1/r

3

₎

(1.53)

g

0i

=

A

ik

n

k

r

2

+ O(1/r

3

_),

_A

ik

= −A

ki

(1.54)

g

ij

=

1 +

2GM

rc

2

+

3G

2

M

2

2 r

2

_c

4

δ

ij

+ O(1/r

3

).

(1.55)

1.11 Moment inétique d'un système stationnaire

1.11.1 Signi ation des omposantes non diagonales du tenseur

mé-trique

Nousallonsappliquerlarelation(1.29)pour al ulerlemoment inétiqued'unsystème

gravitationnel dansle asstationnaire. D'après(1.54), ona

g

j0

=

A

jm

n

m

r

2

+ O(1/r

3

_).

Dans les relations (1.30) et (1.31) on peut don , dans un al ul à l'ordre 2 in lus, se

ontenter d'é rire

g = −1 + O(1/r),

g

kl

= δ

kl

+ O(1/r).

Enutilisant l'antisymétriedutenseur

A

ij

etladénition(1.42) duve teur unitaire

n

k

,on trouve ainsi

λ

i0kj

=

c

4

16πG

A

im

n

m

δ

kj

− δ

ik

A

jm

n

m

r

2

(1.56)

h

j0k

= λ

j0kl

_,l

=

c

4

16πG

A

jm

n

m

r

2

δ

kl

− δ

jk

A

lm

n

m

r

2 ,l

=

c

4

16πG

A

jm

δ

mk

− 3 n

m

n

k

r

3

.

(1.57)

Inje tons esrésultatsdans (1.29) etintégrons surune sphèrede rayon

r

.Onobtient

L

ij

=

c

3

16πG r

3

I

x

i

_A

jm

(δ

mk

− 3 n

m

n

k

) − x

j

A

im

(δ

mk

− 3 n

m

n

k

) n

k

dS

+

c

3

16πG r

2

I

(A

im

n

m

δ

kj

− δ

ik

A

jm

n

m

) n

k

dS

(1.58) où

dS = r

2

_{sin θ dθ dϕ}

.Comptetenu desrelations

x

k

_{= r n}

k

et

I

n

i

n

j

sin θ dθ dϕ =

4π

3 δ

ij

,

(1.59)

les deuxtermes dumembre de droite de(1.58) valent respe tivement

c

3

3G

A

ij

et

c

3

6G

A

ij

.

(22)

Onen déduit lesensphysique destermes

0i

dansletenseur métrique(1.54) :

A

ij

=

2G

c

3

L

ij

.

(1.60)

Compte tenude (1.32), ona don

A

12

=

2G

c

3

L

3

,

A

13

= −

2G

c

3

L

2

,

A

23

=

2G

c

3

L

1

.

(1.61) 1.11.2 La métrique de Kerr

Nous allons appliquer les résultats de la se tion pré édente à la métrique de Kerr

(dé ouverte en 1963),à proposde laquelleChandrasekhar aé rit: 6

Inmyentires ienti life,extendingoverforty-veyears,themostshatteringexperien e

hasbeen therealizationthat anexa tsolutionof Einstein'sequationsofgeneral relativity,

dis overed by the New Zealand mathemati ian, Roy Kerr, provides the absolutely exa t

representation of untold numbersof massive bla k holes that populate the universe. This

shudderingbeforethebeautiful, thisin redible fa t thatadis overymotivatedby asear h

afterthebeautifulinmathemati sshouldnditsexa trepli ainNature,persuadesmetosay

thatbeautyisthattowhi hthehumanmindrespondsatitsdeepestandmostprofound.

Dansles oordonnées utiliséespar R.BoyeretR.Lindquisten 1967, ette solutionexa te