Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma
N° d’ordre :2880
THÈSE DE DOCTORAT
Présentée par
Mohamed EL IBBAOUI
Discipline : Mathématiques
Spécialité : Analyse
Titre
Composition Operators with univalent symbol and their singular values.
Soutenue le : 16 Juin 2016
Devant le jury
Président :
Abdelhak HASSOUNI PES, Faculté des sciences de Rabat.
Examinateurs :
Omar EL-FALLAH PES, Faculté des sciences de Rabat.
EL Hassan ZEROUALI PES, Faculté des sciences de Rabat.
Allal GHANMI PH, Faculté des sciences de Rabat.
Azzeddine DAOUI PES, Faculté des sciences Ain-chock, Casablanca.
Mohamed ZARRABI Maître de conférence (HC), IBM Bordeaux.
Avant propos
Les travaux de cette thèse de doctorat, ont été effectués au sein du labo-ratoire Analyse et applications à la faculté des sciences de Rabat.
J’aimerais remercier vivement, mon directeur de thèse le professeur Omar EL-FALLAH, Professeur à la Faculté des sciences de Rabat. Professeur Omar EL-FALLAH m’a beaucoup inspiré pendant ce travail et j’ai énormément appris de ses compétences scientifiques et qualités humaines. Je lui adresse ici l’expression de toute ma gratitude et reconnaissance.
Je remercie bien vivement aussi le professeur Abdelhak HASSOUNI, Pro-fesseur à la Faculté des sciences de Rabat, de m’avoir fait l’honneur d’être président de ma soutenance.
Je tiens également à remercier le professeur El Hassan ZEROUALI, Pro-fesseur à la Faculté des sciences de Rabat, qui a gracieusement accepté de rapporter le travail de ma thèse et pour son intérêt à ma recherche.
Je remercie aussi, le professeur Allal GHANMI, Professeur habilité à la Faculté des sciences de Rabat, pour avoir honorer cette thèse en faisant partie du jury.
Je tiens à remercier aussi le professeur Azzeddine DAOUI, Professeur à la Faculté Ain-chock, Casablanca, pour avoir accepté de rapporter ma thèse, en tant que rapporteur externe et pour son intérêt porté à ma recherche.
Je conclue par un grand remerciement au professeur Mohamed ZAR-RABI, Maitre de conférence à l’institut de Mathématiques de Bordeaux, pour avoir accepté de rapporter mon travail de thèse et se déplacer à la Fa-culté des sciences de Rabat pour assister à ma soutenance, à son tour, en tant que rapporteur externe.
Je n’oublie pas de remercier tous mes professeurs du Master pour leurs efforts d’encadrement, durant les deux années universitaires 2009-2011.
Je remercie tous les cadres professionnels de la faculté des sciences de Rabat, qui m’ ont aidé à réaliser ce travail. Je remercie, en particulier mon ami Hatim Naqos pour son aide dans la résolution de quelques problèmes de LATEX.
Je dédie, ce travail à la mémoire de mon père feu My Ahmed, qui m’avait fait aimer le calcul dés mon jeune age, à ma mère que dieu la bénisse et la garde, à ma femme et à mes enfants pour leur compréhension et patience, à mon frère et à mes sœurs.
Je n’oublie pas, en-fin, de prier pour les âmes des mes deux sœurs qui nous ont quitté tôt, durant les années de préparation de ce travail.
Abstract
In this thesis, we study composition operators, induced by a Jordan sub-domain of the unit disc whose boundary intersects the unit circle at 1 and which has, in a neighborhood of 1, a polar equation 1 − r = γ(|θ|).
First, we obtain an explicit characterization for the membership in Schat-ten classes in terms of γ, when lims→0γ(s)s = 0.
Second, we give under some convexity conditions on a positive function
h, an upper and lower estimate of the trace of the operator h(Cϕ∗Cϕ), where
the symbol ϕ is induced by a domain as above. As consequence, we give, in some cases, estimates of the singular values of composition operators acting on some spaces of analytic functions of the unit disc.
At the end of this work, we give an asymptotic formula for the singular va-lues of the composition operators associated with cusp-map, i.e lims→0 γ(s)s =
∞ , in the classical Hardy space case.
Résumé de la thèse
Cette thèse est consacrée à l’étude des opérateurs de composition à symbole induit par un domaine de Jordan du disque unité et dont le bord a, au voisinage de 1, une équation polaire de type 1 − r = γ(|θ|). Les principaux résultats de ce travail sont :
• L’établissement d’une condition nécessaire et suffisante de l’ apparte-nance de ces opérateurs aux classes de Schatten Sp(Hα), dans le cas
lim
s→0
γ(s)
s = 0
• L’étude de la décroissance des valeurs singulières d’un opérateur de composition compact, comme conséquence de l’encadrement de la trace de l’image de l’opérateur h(C∗
ϕCϕ), avec h une fonction positive vérifiant
certaines conditions de concavité ou convexité. Le symbol ϕ étant induit par un domaine comme ci-dessus.
• L’étude de la décroissance rapide et établissement d’une formule asymp-totique des valeurs singulières de l’opérateur de composition induit par un domaine de type "cusp" au voisinage de 1 et agissant sur l’espace classique de Hardy, dans ce cas :
lim
s→0
γ(s)
s = ∞
Table des matières
Introduction 6
Chapitre1 : Mesure harmonique 12
0.0.1 Aperçu historique . . . 12
0.0.2 Mesure harmonique dans le demi-plan supérieur . . . 12
0.0.3 Problème de Dirichlet . . . 14
0.0.4 Mesure harmonique et noyau de Poisson . . . 14
0.1 Mesure harmonique sur un domaine régulier . . . 15
0.1.1 Mesure harmonique sur un domaine de Jordan . . . 15
0.1.2 Mesure harmonique dans le disque D . . . 16
0.2 Longueurs extrémales . . . 18
0.2.1 Module d’un quadrilatère . . . 18
0.2.2 Module d’une famille de chemins . . . 20
0.2.3 Métriques extrémales . . . 27
0.2.4 Principe de comparaison . . . 28
0.2.5 Règles de composition . . . 29
0.2.6 Une inégalité intégrale . . . 31
0.3 Estimation de la mesure harmonique . . . 34
0.3.1 Théorème de distorsion d’Ahlfors et longueurs extré-males . . . 34
0.3.2 Relation entre mesure harmonique et longueur extrémale 36 Chapitre2 : Composition operators with univalent symbol in Schatten class. 41 0.4 Background and Notations . . . 46
0.4.1 Schatten ideals and composition operators . . . 46
0.4.2 Nevanlinna counting functions. . . 46
0.4.3 Pull-back measures . . . 47
0.4.4 Composition operators with univalent symbol . . . 48
0.5 Estimate of harmonic measure. . . 49
Chapitre3 : On the singular values of compact composition
ope-rators. 58
0.7 Toeplitz operators on Bergman spaces . . . 58
0.7.1 Introduction . . . 58
0.7.2 Eigenvalues of Toeplitz operators . . . 59
0.8 Composition operators . . . 67
0.8.1 Composition operators with univalent symbol . . . 71
0.8.2 Some applications . . . 74
Chapitre4 : Decay rate for the singular values of composition operators associated with cusp maps. 78 0.9 Background and Notations . . . 81
0.9.1 Hyperbolic plane D . . . 81
0.9.2 Carleson’s measure . . . 81
0.9.3 Interpolating sequences . . . 83
0.10 Proof of the main theorem . . . 83
0.10.1 Proof of the bound from above . . . 83
Introduction
L’étude des opérateurs de composition repose sur deux piliers, la théorie des fonctions analytiques et la théorie des opérateurs. On appelle opérateur de composition agissant sur un espace de Hilbert H de fonctions holomorphes sur le disque unité D, de symbole ϕ vérifiant ϕ (D) ⊂ D , l’opérateur noté Cϕ
et défini par
Cϕf = f ◦ ϕ f ∈ H.
C’est une notion qui est apparue en 1871 avec le problème de Schroeder [42]. Ce problème consiste à trouver une fonction f et un nombre α vérifiant (f ◦ ϕ) (z) = αf (z), (∀z ∈ Ω) avec Ω un domaine de C et ϕ une fonction don-née. En 1884 Koenigs donna la solution du problème , dans le cas de Ω = D et
ϕ analytique. On retrouve cette notion dans le principe de Littlewood (1925).
Vers 1930 ces opérateurs étaient utilisés dans la physique mathématique et en mécanique classique sous le nom "substitution operators" . En 1940, Banach les utilisa pour caractériser les isométries agissant sur les espaces de Banach. Ils apparaissent en théorie Ergodique avec Von Neumann et Halmos dans la période 1940-1950. Choksi, marqua la fin de cette étape embryonnaire en 1966 en étudiant les opérateurs de composition unitaires.
L’étude systématique de ces opérateurs est marquée par les travaux de Ryff et E.Nordgren au milieu des années soixante, et c’est ce dernier qui a initié l’étude spectrale de Cϕ en 1968 [3] et leur donna le nom "composition
operators". L’opérateur de composition prend son importance par son étroite relation avec la théorie des opérateurs et celle des systèmes dynamiques. Ci-tons encore que la preuve de la conjecture de Bieberbach utilise les opérateurs de composition, voir [8] pour plus de détails. L’exploitation harmonieuse des outils et techniques mêlant analyse fonctionnelle, analyse réelle et complexe confère beaucoup de résultats exprimant les propriétés de Cϕ en fonction des
propriétés analytiques ou géométriques du symbole ϕ.
En résumé l’étude des opérateurs de composition couvre, entre autres, trois classes de problèmes :
1- Bornitude et compacité : si la bornitude de l’opérateur repose sur le prin-cipe de subordination de Littlewood (1925), la compacité quand à elle a été
traitée pour la première fois par Howard Schwartz, dans sa thèse de doctorat, en 1969, pour les espaces de Hardy Hp(D) (p ∈ [1, ∞[) ; puis se développa
notamment, avec les travaux de B. McCluer et J.Shapiro entre 1985 et 1987 ; 2- L’appartenance à la classe de Schatten, initiée par Shapiro/Taylor 1973 sur un critère d’appartenance à la classe de Hilbert-Schmidt de l’espace de Hardy H2; puis par la caractérisation de D.Luecking 1987, et les travaux de Sarason et T.Carrol ;
3- L’estimation des valeurs singulières d’un opérateur de composition et la construction d’un opérateur compact dont les valeurs singulières ont une décroissance lente donnée, avait fait l’objet d’une série de papiers voir, en particulier, [41, 38, 10, 11, 16].
Un opérateur compact T agissant sur un espace de Hilbert H séparable admet, selon la décomposition de Schmidt, une représentation de la forme
T =X
n
snh., eniHfn,
avec {en} et{fn} deux systèmes orthonormaux de l’espace H. Nous déduisons
que :
T∗ =X
n
snh., fniHen,
par suite T∗T (en) = s2nen , les nombres sn := sn(T ) sont donc les valeurs
propres de l’opérateur positif (T∗T )1/2. Si la suite (sn) est p-sommable, alors
on dit que l’opérateur T appartient à la classe de Schatten Sp(H), autrement
dit :
(sn) ∈ `p ⇐⇒ T ∈ Sp(H)
Pour le problème d’appartenance à la classe de Schatten, les critères connus sont en général difficiles à vérifier dans la pratique pour un sym-bole quelconque. L’estimation des valeurs singulières s’impose, car celles-ci n’ont pas de formule explicite. On peut, en effet, vérifier que sn = hT en, fniH, sauf que les familles {en} et{fn} ne sont pas connues. Pour contourner cette
difficulté, d’autres techniques sont inspirées des espaces modèles et de la théorie de l’échantillonnage. L’objectif de cette thèse est d’apporter quelques réponses et améliorations aux deux problèmes cités ci-dessus lorsque le sym-bole ϕ de l’opérateur de composition est induit par un domaine Ω de D dont le bord ∂Ω rencontre le cercle unité au point 1 et admettant au voisinage de 1, une équation polaire 1 − r = γ (|θ|), avec γ une fonction continue et croissante sur l’intervalle [0, δ] et γ(0) = 0. ϕ est l’application biholomorphe qui existe d’après le théorème de l’application de Riemann.
La "finesse" de notre résultat, malgré que le symbole n’est pas explicite, est dˆue à une estimation optimale de la mesure harmonique par les théorèmes
Dans une première étape, on donnera une condition nécessaire et suffi-sante d’appartenance de l’opérateur de composition aux classes de Schatten, valable pour la famille des espaces de fonctions analytiques Hα définie
ci-dessous. En conséquence nous construisons explicitement un opérateur com-pact qui n’appartient à aucune classe de Schatten. Nous déduisons quelques résultats de séparation dans ces classes de Schatten.
Nous donnons ensuite, selon des conditions de convexité d’une fonction positive h, des bornes supérieures et inférieures de la trace de h(Tµ), avec Tµ
l’opérateur de Toeplitz agissant sur un espace de Bergman standard, associé à une mesure de Borel positive. Nous appliquons ces résultats aux opérateurs de composition et donnons quelques exemples concrets.
On donnera, enfin, une estimation précise des nombres d’approximation de l’opérateur de composition, agissant dans l’espace classique de Hardy H2, dont le symbole présente un cusp au voisinage de 1.
Dans toute la suite, Hα désignera l’espace des fonctions analytiques sur
D vérifiant :
Z
D
|f0(z)|2dAα(z) < ∞ avec dAα(z) = (1 + α)(1 − |z|2)αdA(z)
dA(z) étant la mesure de probabilité de Lebesgue sur D.
Notons que par un calcul en coordonnées polaires, nous avons
Z D |f0(z)|2dAα(z) +∞ X n=1 n1−α ˆ f (n) 2
Ainsi pour α = 0 , α = 1 et α = 2, l’ espace Hα correspond respectivement
à l’espace de Dirichlet classique , à l’espace de Hardy H2 et à l’espace de Bergman A2.
Théorème
Soient Ω, γ et ϕ vérifiant les hypothèses ci-dessus. Si γ (t) = Ot/ logβ(1/t) pour β > 1
2, alors pour tout (p > 0 et α > 0), l’opérateur Cϕ appartient à la classe de Schatten Sp(Hα) si et seulement si :
Z δ 0 e−αp2 Γ(t) γ (t) dt < ∞ o`u Γ(t) = 2 π Z δ t γ(s) s2 ds
Le fil directeur conduisant à ce premier résultat, consiste à reformuler le théorème de Luecking en fonction de la mesure harmonique de l’ensemble
Ω = ϕ (D), la preuve repose essentiellement sur l’usage de la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna Nϕ,α , et se complète en utilisant une
estimation optimale de cette mesure harmonique, l’une des inégalités s’ob-tient par le théorème de distorsion d’Ahlfors, l’autre par un théorème de Warschawski [29]. Pour ce faire, nous aurons besoin de notions et outils tels que longueurs et distances extrémales, qui seront détaillés dans le premier chapitre .
Le problème de la décroissance lente et moyenne des valeurs singulières d’un opérateur de composition compact sur Hα, constitue le deuxième
résul-tat de ce travail, nous utilisons la classe des opérateurs Sh(Hα) ([32]) dont
les éléments vérifient la condition :
X
n≥1
h (Csn(T, Hα)) < ∞ o`u C > 0
Le théorème suivant étend et "généralise" le premier résultat énoncé ci-dessus.
Théorème
Soient γ, Ω et ϕ comme ci-dessus. Soit h : [0, +∞) → [0, +∞) une fonction croissante. Si l’une des conditions suivantes est vérifiée
• h est convexe.
• h est concave et la fonction t → h(t)/tεest décroissante pour une valeur
donnée de ε > 0. alors B Z 1 0 h(be−αΓ(s)) γ(s) ds ≤ X n hs2n(Cϕ, Hα) ≤ A Z 1 0 h(ae−αΓ(s)) γ(s) ds
avec A, B, a, b > 0 dépendent de α et γ dans le premier cas et dépendent de
α, γ et ε dans le deuxième cas.
Comme application, nous construisons un opérateur de composition compact, dont les valeurs singulières sont de l’ordre de 1
logδ(n) avec δ > 0, et qui n’appartient à aucune classe de Schatten. Plus explicitement nous obtenons, avec les mêmes notations que ci-dessus, le corollaire suivant :
Corollaire 1. Si γ(t) = C t log(1/t) with C 6= π α, alors sn(Cϕ, Hα) 1 nαC2π .
2. Si γ(t) = Clog(1/t) log log(1/t)t with β > 0, alors
sn(Cϕ, Hα)
1 logαC/πn.
En fin pour la décroissance rapide des valeurs singulières sur l’espace de Hardy H2(D), nous étudions le cas des domaines induits par des expressions de type γ(θ) = θα avec 0 < α < 1 ou encore γ(θ) = 1
log 1/θ. Pour le cas général du domaine Ω, nous supposons que
lim θ→0 γ(θ) θ = +∞ et Z π 0 ds sγ0(s) < +∞
Nous obtenons, en exploitant la méthode générale de Quéffelec et Seip ([16]) et le théorème d’Ahlfors-Warschawski le résultat suivant :
Théorème
Soient Ω, γ et ϕ sont définis ci-dessus. Si γ0(s)/γ(s) ≤ c/s avec 0 < c < 1, alors nous avons
sn Cϕ, H2 = exp −n (π 2/2 + o(1)) log 1 Ψ−1(n) avec Ψ(h) := 1 2πlog 1/h Z π γ−1(h) γ0(τ ) τ dτ
Ce travail est organisé de la manière suivante :
Le premier chapitre est entièrement consacré à la mesure harmonique. Dans ce chapitre, on étudie la notion de longueurs et distances extrémales ainsi que leur relations avec la mesure harmonique. Nous présentons aussi les théorèmes de distorsion de Ahlfors et Warschawski.
Le deuxiéme chapitre est consacré à l’exposé de la condition nécessaire et suffisante d’appartenance d’un opérateur de composition agissant sur Hα,
induit par un domaine de Jordan de type cité ci-dessus, aux classes de Schat-ten ainsi que certaines de ses conséquences .
Le troisième chapitre étudie la décroissance des valeurs singulières d’un opérateur compact sur Hα, nous y développons notre deuxième principale
La thèse prend fin avec le quatrième chapitre concernant la décroissance rapide. On y présente une formule asymptotique des valeurs singulières de l’opérateur de composition induit par un domaine de type "cusp" et agissant sur l’espace de Hardy H2(D) .
Chapitre1 : Mesure harmonique
0.0.1
Aperçu historique
La notion de mesure harmonique a été introduite par H.A.Schwarz en 1890. Elle a été étudiée par Frederick et Marcel Riesz en 1916. Beurling l’a effectivement utilisé dans sa thèse intitulée : Études sur un problème de
majoration(1933).
R.Nevanlinna leur a attribué le nom de "harmonic measure" en (1934). Les résultats des frères Riesz ont été améliorés par Makarov (1984) et Pom-merenke (1985) puis par Bishop et Jones (1990).
Cette notion est intimement reliée au problème de Dirichlet et a des applications dans la théorie des fonctions analytiques et les équations aux dérivées partielles(approche analytique).
L’étude de la mesure harmonique a aussi des liens avec le mouvement Brownien (approche probabilistique). La mesure harmonique est invariante par application conforme. Elle est estimée en termes de quantités géomé-triques par les distances extrémales. Pour plus de détails, on pourra voir [20, 27, 5] et les références qui les accompagnent.
0.0.2
Mesure harmonique dans le demi-plan supérieur
On considère le demi-plan défini par : H := {u ∈ C : =(u) > 0} avec =(u) la partie imaginaire de u. Soit z un point fixé de H, E =]a, b[⊂ ∂H. La fonction ω définie par
ω(z, E, H) := θ π
avec θ la mesure de l’angle des deux segments [z, a] et [z, b], satisfait trivia-lement aux propriétés suivantes :
1. 0 < ω(z, E, H) < 1 ∀z ∈ H.
2. limz→ζ ω(z, E, H) = 1, si ζ est un point de E =]a, b[.
3. limz→ζ ω(z, E, H) = 0, si ζ est un point intérieur de R \ E.
4. Noter que ω(z, E, H) = 1 π= log z − b z − a !! .
La fonction z → ω(z, E, H) est donc une fonction harmonique. Si E =SN
j=1]aj, bj[ avec bj−1 < aj < bj, alors on pose
ω(z, E, H) = N X j=1 θj π
θj étant la mesure l’angle des deux segments [z, aj] et [z, bj]. On vérifie que
z → ω(z, E, H) vérifie les propriétés sus-mentionnées. L’unicité de ω est
conséquence du résultat suivant :
Lemme 0.0.1. La fonction ω , est l’unique fonction harmonique sur H et vérifiant les propriétés ci-dessus.
Démonstration. La démonstration est une application du principe du
maxi-mum généralisé suivant, dit de Lindel¨of.
Théorème 0.0.1. Soit Ω un domaine tel que Ω 6= C. Soit u une fonction harmonique, majorée et à valeurs réelles sur Ω. F est un sous ensemble fini (ou au plus dénombrable) de ∂Ω. Si limz→ζsup u(z) ≤ 0 pour tout ζ ∈ ∂Ω \ F
alors u(z) ≤ 0 pour tout z ∈ Ω.
Démonstration. Nous ne retirons guère de généralité au théorème en
suppo-sant que Ω est borné. Sinon l’application z → 1
z−z0, avec z0 un point fixé de
• Si F = ∅, alors le principe de maximum de Lindel¨of n’est autre que le
principe du maximum ordinaire.
• Si F = {ζ1, ζ2, ..., ζN}, alors soit > 0 et u(z) = u(z) − N X 1 log diam(Ω) |z − ζj| !
Nous appliquons le principe du maximum à u, qui est harmonique sur
Ω, puis on fait tendre vers 0.
Remarque : Le résultat du théorème reste vrai si F est un ensemble polaire.
0.0.3
Problème de Dirichlet
Nous reprenons les notations utilisées ci-dessus. Soit f ∈ C(∂Ω). Le pro-blème de Dirichlet associé à f , consiste à trouver une fonction u ∈ C(Ω) telle que ∆(u) = 0 sur Ω et u|∂Ω= f . Nous énonçons sans démonstration le
théorème suivant :
Théorème 0.0.2. Si f ∈ C (R ∪ {∞}) alors il existe une unique fonction u = uf ∈ C
H ∪ {∞}
harmonique dans H et telle que u|∂H = f .
0.0.4
Mesure harmonique et noyau de Poisson
Soient a et b deux réels tels que a < b et z = x + iy un point de H. Nous avons ω (z, ]a, b[, H) = 1 πarg z − b z − a ! = 1 π arctan x − a y − arctan x − b y ! Par suite ω (z, ]a, b[, H) = Z b a y (x − t)2+ y2 dt π d’après Z y s2+ y2 ds = arctan s y + constante
Nous reconnaissons le noyau de Poisson de H défini par
P (z, t) = 1 π y (x − t)2+ y2 = 1 π= 1 t − z
La solution du problème de Dirichlet ci-dessus est donnée par :
uf(z) =
Z
R
Soit E un borélien de R.( La mesure harmonique de E est la solution du problème de Dirichlet associé à f = χE) nous obtenons alors :
ω(z, E, H) =
Z
E
P (z, t) dt (z ∈ H) (2)
Autrement dit ω(z, E, H) est le prolongement harmonique de χE.
0.1
Mesure harmonique sur un domaine
ré-gulier
Un domaine est régulier si le problème de Dirichlet, correspondant à χE
avec E un ouvert du bord, a une solution. Nous pouvons voir, à ce propos, le théorème de Wiener ([20],p 89).
Définition 0.1.1. Soit Ω un domaine régulier et E ⊂ ∂Ω et z ∈ Ω. La me-sure harmonique de E est la solution du problème de Dirichlet correspondant à χE notée ω (z, E, Ω).
Remarque : La formule explicite de ω (z, E, Ω) est donnée par ω (z, E, Ω) = −1 2π Z E ∂g (z, ζ) ∂nz dsζ
g étant la fonction de Green associée à Ω, voir par exemple ([46], p 38) ; ([44], p 106) et ([4], p 196).
0.1.1
Mesure harmonique sur un domaine de Jordan
Dans la suite, on suppose que Ω est un domaine de Jordan borné et simplement connexe, z ∈ Ω. Nous rappelons que toute application conforme de D dans Ω se prolonge, ainsi que sa réciproque, continument à D d’après le théorème de Carathéodory.
Définition 0.1.2. soit ϕ une application conforme ϕ : D → Ω telle que ϕ(0) = z. Notons de mˆeme par ϕ le prolongement D → Ω. La mesure har-monique définie sur ∂Ω est la mesure positive définie par :
ω(z, E) = ω(z, E, Ω) = mϕ−1(E)
La définition ci-dessus est justifiée puisque ϕ−1(E) est un borélien de ∂D, il est donc naturel de poser
Un tel prolongement existe si Ω est un domaine de Jordan borné ([20], p 13). La définition est consistante, si elle ne dépend pas du choix de ϕ. Supposons, en effet que ϕ1 et ϕ2 sont deux applications conformes D → Ω telles que
ϕ1(0) = ϕ2(0) = z, alors ϕ−11 ◦ ϕ2 est une rotation r de ∂D et on a ϕ−11 =
r ◦ ϕ−12 , ce qui achève la démonstration.
Remarque : Le calcul explicite de la mesure harmonique n’est pas toujours
possible , son estimation est suffisante dans la pratique comme nous allons voir plus tard.
Lemme 0.1.1. Inégalité de Harnack
Soient z et ˜z deux points quelconques du domaine Ω. Si h est une fonction harmonique et positive sur Ω alors il existe une constante C = C (z, ˜z, Ω) (indépendante de h) vérifiant
1
C ≤
h(z) h(˜z) ≤ C
Démonstration. Pour les différentes formulations et l’idée de la preuve ,on
pourra par exemple, voir ([44],p 21) ou ([20], pp 27-28).
Théorème 0.1.1. Soient z et ˜z deux éléments de Ω. Il existe une constante c = c (z, ˜z, Ω) > 0 tel que
1
cω(z, E) ≤ ω(˜z, E) ≤ cω(z, E) pour tout borélien E de ∂Λ
Démonstration. Le résultat est une conséquence de l’inégalité de Harnack
appliquée à la fonction harmonique ω(., E).
Remarque
Notons que si Ω est un domaine régulier alors :
• E → ω(z, E, Ω) est une mesure de probabilité sur ∂Ω ; • z → ω(z, E, Ω) est une fonction harmonique sur Ω
0.1.2
Mesure harmonique dans le disque D
Soit E une réunion finie d’arcs ouverts du cercle ∂D. L’application conforme
ϕ(z) = i
1 + z
1 − z
applique D dans H. Nous avons donc :
Par la formule du changement de variable, nous obtenons : ω(z, E, D) = Z E 1 − |z|2 |ζ − z|2 |dζ| 2π (3)
Nous retrouvons, ainsi, le noyau de Poisson de D
P (z, ζ) = 1 − |z| 2 |ζ − z|2 (z ∈ D) ; (ζ ∈ ∂D) En utilisant l’égalité 1 − |τ (z)|2 |τ (ζ) − τ (z)|2|τ 0 (z)| = 1 − |z| 2 |ζ − z|2 avec τ une transformation de M¨obius , on voit que :
ω(τ (z) , τ (E) , D) = ω(z, E, D) (4)
De plus
ω(z, E, D) = m (E)
2π
m désigne la mesure de Lebesgue normalisée sur le cercle ∂D.
Dans la suite nous donnons des exemples de domaines non nécessairement de Jordan. La formule s’obtient comme solution du problème de Dirichlet associé à la fonction indicatrice χE du borélien E ⊂ ∂Ω.
Disque
Soit E un arc ouvert du cercle ∂D d’angle au centre α, l’angle soutenu par E est de mesure θ.
ω (z, E, D) = (2θ − α) /2π Demi disque de H Soit Λ = {z ∈ C : |z| < 1 et =(z) > 0} = D ∩ H et B = ∂D ∩ H, on a : ω (z, B, Λ) = 2 πarg 1 + z 1 − z Secteur angulaire
Soit Aα := {z ∈ C : 0 < arg(z) < α} et B = {z ∈ C : arg(z) = α}
ω (z, B, Aα) =
arg(z)
Bande verticale
On considère le domaine Ω := {z ∈ C : a < <(z) < b}, la mesure
harmonique de la droite D = {z ∈ C : R(z) = b} est donnée par
ω (z, D, Ω) = <(z) − a b − a Couronne circulaire
On considère le domaine C := {z ∈ C : r < |z| < R}, la mesure
harmonique du cercle S = {z ∈ C : |z| = R} est donnée par
ω (z, S, C) = log (|z|/r)
log (R/r)
Le plan C privé de la demi-droite R+
Le domaine P := C \ R+ est simplement connexe. z → −i log z applique
P conformément dans la bande Ω := {z ∈ C : 0 < R(z) < 2π}. Nous savons que ω (z, R+, P ) = ω (−i log(z), −i log (R+) , Ω). Or −i log (R+) = {z ∈ C : R(z) = 0} donc :
ωz, R+, P= arg(z) 2π
Nous remarquons aussi que le domaine P n’est autre que le secteur angulaire entre 0 et 2π.
0.2
Longueurs extrémales
0.2.1
Module d’un quadrilatère
La notion de module du quadrilatère Q provient d’un problème extré-male, résolu par la méthode dite "Length - area method". C’est une an-cienne méthode géométrique qui a beaucoup enrichi la théorie des applica-tions conformes et quasi-conformes. L.Ahlfors disait ([2]) qu’il l’avait appris dans un livre de Hurwitz. Ahlfors a utilisé cette méthode et ses variantes, notamment l’intégrale du typeR
dx/θ(x), pour obtenir plusieurs résultats dès
le début des années trente. Vers la même époque la dite méthode a été inten-sivement développée par H.Gr¨otzsch en Allemagne (1928-1934). Une dizaine
d’années plus tard, comme le mentionne L.Ahlfors[20], Beurling invente la notion de longueur extrémale en1943 et communique ses résultats au congrès
de Copenhague en 1946 [17, 14].
Soit Q un domaine de Jordan et z1, z2, z3, z4 ∈ ∂Q orientés positivement. Nous disons que Q (z1, z2, z3, z4) est un quadrilatère de sommets z1, z2, z3, z4. La transformation de Schwarz-Christoffel assure l’existence d’une application conforme f qui envoie, sommet à sommet, Q dans un rectangle euclidien R défini par :
R = {w = u + iv : 0 ≤ u ≤ a et 0 ≤ v ≤ b} Le quotient b/a s’appelle module "conforme" de Q et se note :
M od (Q (z1, z2, z3, z4)) =
b a
M od (Q (z1, z2, z3, z4)) est invariant par similitude puisque
k.b k.a =
b a
Le rectangle R est unique à une similitude près ([28]) nous en déduisons que :
M od (f (Q) (f (z1), f (z2), f (z3), f (z4))) = M od (Q (z1, z2, z3, z4)) Notons que si A est l’aire de R, alors l’égalité :
b
a =
A a2 se traduit par la représentation :
M od (Q) = R Q|f 0(z)|2dA(z) R Cu|f 0(z)| |dz|2 . (5)
Cu étant le segment défini par :
Cu = f−1({u + iv; 0 < v < b})
Pour généraliser la notion de module vu dans (5), sans passer par une ap-plication conforme. A.Beurling considère en plus de |f0(z)|, d’autres fonctions
ρ et l’ensemble de tous les chemins γ joignant (z1, z2) à (z3, z4) et démontre que :
Théorème 0.2.1. Le module conforme du quadrilatère Q est donné par : M od(Q) = inf ρ R Qρ2(z) dA(z) infγ R γρ(z) |dz| 2 (6)
Le minimum est atteint pour le choix de la métrique ρ(z) = |f0(z)| dite
métrique extrémale. Remarquons que siR γρ(z) |dz| ≥ 1 alors : M od(Q) = inf γ Z Q ρ2(z) dA(z)
0.2.2
Module d’une famille de chemins
Définition 0.2.1. Soit Γ une famille de courbes du domaine Ω.
ρ : Ω → [0, ∞] une fonction borélienne de carré intégrable. La fonction ρ est dite admissible si : Z
γ
ρ(z) |dz| ≥ 1 , ∀γ ∈ Γ
Le module conforme de Γ est donné par : M od (Γ) = inf
ρ
Z
Ω
ρ2(z) dA(z) (7)
la borne inférieure étant prise sur toutes les fonctions ρ admissibles. Définition 0.2.2. La longueur extrémale de Γ dans le domaine Ω est :
λΩ(Γ) = 1
M od (Γ). Remarques :
• Une autre définition du module, sans la condition d’admissibilité est : sup ρ L2(Γ, ρ) A (Ω, ρ) (8) avec L (Γ, ρ) := inf γ∈Γ Z γ ρ(z) dz : A (Ω, ρ) := Z Ω ρ2(z) dA(z)
• L’expression (8) est homogène en ρ et se normalise par exemple comme : sup
ρ
{L2(Γ, ρ) : A (Ω, ρ) = 1}
• Une autre normalisation utile consiste à prendre A (Λ, ρ) = L (Γ, ρ), confère :
λΩ(Γ) = sup
ρ L (Γ, ρ) = supρ A (Ω, ρ) (9)
Théorème 0.2.2. (Invariance par applications conformes) Soit Ω un domaine de C et E, F ⊂ Ω. f une application conforme sur Ω. Soit ˜E = f (E), F = f (F ),˜ Ω = f (Ω).˜
Γ := (Ω; E, F ) et ˜Γ := Ω; ˜˜ E, ˜F sont respectivement l’ensemble des che-mins joignant E à F (resp) ˜E à ˜F . La longueur extrémale est conformément invariante (i.e) :
Démonstration. Il est clair que si γ ∈ Γ alors f ◦ γ ∈ ˜Γ. Si ˜ρ admissible pour ˜ Γ alors 1 ≤ Z 1 0 ˜ ρ(f (γ(t)) |f0(γ(t))||γ0(t)| dt (10)
Cela nous amène à considérer ρ(z) := ˜ρ (f (z)) |f0(z)|. L’inégalité (10) de-vient : 1 ≤ Z 1 0 ρ (γ(t)) |γ0(t)| dt ⇔ 1 ≤ Z γ ρ(z) |dz|
Donc ρ est aussi admissible pour Γ. Par suite, d’après (7),
M od (Γ) ≤ Z Ω ρ2(z) dA(z) = Z Ω ˜ ρ2(f (z)) |f0(z)|2dA(z)
Nous obtenons, par changement de variable de jacobien Jf = |f0(z)|2 :
M od (Γ) ≤
Z
˜ Ω
˜
ρ2(w) dA(w) pour tout ρ˜ admissible
Donc
M od (Γ) ≤ M odΓ˜
L’inégalité inverse s’obtient directement en utilisant f−1qui est aussi conforme.
Monotonicité du module
Proposition 0.2.1. Soient Γ1 et Γ2 deux familles de chemins de Ω. Nous
avons
Γ1 ⊂ Γ2 ⇒ M od (Γ1) ≤ M od (Γ2)
Démonstration. Il est clair que L (Γ2, ρ) ≤ L (Γ1, ρ). La preuve s’achève, en utilisant par exemple la normalisation (9).
Définition 0.2.3. Soit Γ la famille des chemins joignant E et F . (E, F ⊂ Ω) La distance extrémale de E à F est définie par :
dΩ(E, F ) := λΩ(Γ)
Corollaire 0.2.1. Soit f une application conforme sur Ω. La distance extré-male est invariante par les applications conformes (i.e) :
dΩ˜ ˜ E, ˜F= dΩ(E, F ) , avec ˜ E = f (E), F = f (F ),˜ Ω = f (Ω)˜
Démonstration. La preuve est une conséquence immédiate du théorème
pré-cédent.
Remarque : Si Q (z1, z2, z3, z4) est un quadrilatère, alors :
M od (Q (z1, z2, z3, z4)) = M od (Q (z2, z3, z4, z1)) =
1
M od (Q (z1, z2, z3, z4))
ce qui motive la définition suivante :
Définition 0.2.4. La distance extrémale conjuguée de E à F est la distance extrémale de la famille Γ∗ des chemins séparant E et F , notée
d∗Λ(E, F ) := 1
M od (Γ∗)
Le quadrilatère est une figure de base, nous connaissons son module conforme. Nous allons retrouver la formule de ce module.
Longueur extrémale du rectangle
Proposition 0.2.2. Soit R le rectangle défini par :
(R) = {x + iy ∈ C : 0 ≤ x ≤ a et 0 ≤ y ≤ b}
de cotés E = {x + iy ∈ (R) : x = 0} F = {x + iy ∈ (R) : x = a}. La distance extrémale de E à F est donnée par :
d(R)(E, F ) =
a
b (11)
Démonstration. La fonction ρ définie par : ρ0(z) = 1a est admissible puisque
`(γ) ≥ a pour tout chemin γ joignant E et F . De plus M od ((R), E, F ) ≤ Z (R) ρ20(z) dA(z) = a.b a2 = b a (12)
Réciproquement, supposons que ρ est admissible. Nous avons, en particulier Z γ0 ρ(z) |dz| = Z a 0 ρ(t + iy) dt ≥ 1 , ∀y ∈]0, b[
o`u γ0 est paramétrisé par t → t + iy, t ∈ [0, a]. En intégrant membre à membre, nous obtenons :
Z b
0
Z a
0
ρ(t + iy) dt dy ≥ b
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons :
b2 ≤ Z (R) 1.ρ(z) dA(z) !2 ≤ |(R)| Z (R) ρ2(z) dA(z)
o`u |(R)| est la mesure de (R). Par suite : b
a ≤
Z
(R)
ρ2(z) dA(z) ∀ρ (13) Nous avons, en conséquence :
M od ((R), E, F ) = b a
Remarque : L’idée d’utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz met en relief
une comparaison entre longueur et aire :
Z a 0 ρ(x + iy) dx 2 ≤ a Z a 0 ρ2(x + iy) dx
En intégrant par rapport à y, nous obtenons :
b Z a 0 ρ(x + iy) dx 2 ≤ a Z (R) ρ2(z) dA(z) (14)
(14) est reconnue comme étant la méthode longueur et aire, dont nous avions parlé ci-dessus, voir notes p.149 de [20] .
Une inégalité géométrique
Dans la littérature, nous trouvons un bon nombre d’applications géomé-triques des longueurs extrémales, l’exemple suivant concerne le quadrilatère.
Proposition 0.2.3. Soit Q un quadrilatère général d’aire A. Si a et b sont respectivement les longueurs des plus courts arcs dans les deux paires d’arcs opposés. Alors nous avons :
a × b ≤ A
Démonstration. Soient Γ et Γ∗ les familles de courbes reliant chacune des deux paires d’arcs opposés. Considérons l’application conforme f qui envoie
Q vers le rectangle canonique R, telle que f (Γ) et f (Γ∗) sont les familles d’arcs joignant deux segment opposés du rectangle R. Nous savons que
λ (f (Γ)) × λ (f (Γ∗)) = 1
Le choix de la métrique euclidienne nous permet de minorer de la manière suivante : a2 A × b2 A ≤ λ (Γ) × λ (Γ ∗ )
La preuve s’achève, en utilisant l’invariance par application conforme qui entraine que λ (Γ) × λ (Γ∗) = 1.
Couronne circulaire
Proposition 0.2.4. Soit A (O, r, R) := {z ∈ C ; r < |z| < R} une couronne circulaire. La distance extrémale de Cr = {z ∈ C |z| = r} à
CR= {z ∈ C |z| = R} est :
dA(O,r,R)(Cr, CR) =
log R/r
2π (15)
Démonstration. Soit ρ une fonction admissible et γ0 un chemin radial joi-gnant {z ∈ C |z| = r} et {z ∈ C |z| = R}, γ0 = {seit ; r < s < R}. Nous avons Z γ0 ρ(z) |dz| ≥ 1 ⇔ Z R r ρ(seit) ds ≥ 1.
Par application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous obtenons :
1 ≤ Z R r sρ2(seit) ds ! Z R r 1 s ds ! ∀t ∈ [0, 2π]
Donc 1 log R/r ≤ Z R r sρ2(seit) ds ∀t ∈ [0, 2π]
Nous intégrons par rapport à t, puis nous passons aux coordonnées polaires : 2π
log R/r ≤
Z
A(O,r,R)
ρ2(z) dA(z) , ∀ρ. Nous déduisons que
2π
log R/r ≤ M od (A (O, r, R)) . Pour établir l’autre inégalité, On choisit
ρ0(z) =
c
|z|.
Soit γ un courbe joignant les deux cercles de A (O, r, R). Par calcul direct, nous obtenons Z γ ρ(z) |dz| ≥ c Z 1 0 < γ 0(t) γ(t) ! dt = c log R/r
ρ est donc admissible dès que c = 1
log R/r. Pour l’autre inégalité, rappelons que : M od (A (O, r, R)) ≤ Z A(O,r,R) ρ20(z) dA(z). Or Z A(O,r,R) ρ20(z) dA(z) = 2πc2log R/r,
ce qui achève la démonstration.
Remarques :
1. Γsdésigne la famille des chemins séparant les deux frontières de A (O, r, R),
deux exemples de chemins de Γs sont illustrés dans la figure ci-dessous.
Pour ρ admissible, une intégration sur le cercle {νeiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π}
entraine que : 1 ≤ Z 2π 0 νρ(νeiθ) dθ 2 ≤ 2πν2Z 2π 0 ρ2(νeiθ) dθ.
Si nous intégrons par rapport à ν alors on obtient : 1
Pour montrer l’égalité il suffit de trouver la métrique extrémale, celle ci est donnée par
ρ∗(z) := 1 2π|z|.
2. Les deux couronnes A (O, 1, 2) et A (O, 1, 4) ne peuvent pas être confor-mément équivalentes, car elles n’ont pas le même module. Néanmoins, nous pouvons démontrer que (A (O, r, R)) et (A (O, r0, R0)) sont confor-mément équivalentes si et seulement si elles ont même module (i.e)
R r =
R0
r0, autrement dit si et seulement si elles sont semblables.
3. Il n’existe pas d’application conforme appliquant les sommets d’un carré dans les sommets d’un rectangle non carré.
Module d’une couronne topologique
A l’instar du quadrilatère, on définit le module d’une "couronne" topo-logique C "Ring domain" : un domaine doublement connexe ayant un seul trou. Par équivalence conforme à une couronne circulaire du type A (O, r, R) [14, 20]. Soit Γs l’ensemble de toutes les courbes de C qui séparent les deux
composantes de ∂C. Nous avons :
M od (Γs) =
1
Dans la pratique il est très utile de trouver de bonnes estimations de la distance extrémale. La proposition suivante en est un exemple.
Proposition 0.2.5. Soit Ω un domaine de C et E, F ⊂ Ω. Si d (E, F ) ≥ a (distance euclidienne), alors
dΩ(E, F ) ≥
a2 |Ω|
L’égalité a lieu si Ω est un rectangle.
Démonstration. La fonction ρ0 = a1χΩ est admissible, en effet par change-ment de variable on obtient :
Z γ ρ0(z) |dz| = γ(1) − γ(0) a ≥ d (E, F ) a ≥ 1
Il est clair que
M od (Ω, E, F ) ≤
Z
Ω
ρ20(z) dA(z) ≤ |Ω|
a2
|Ω| étant l’aire de Ω. Nous achevons la preuve par passage à l’inverse.
0.2.3
Métriques extrémales
Dans ce paragraphe nous faisons appel aux notations de (8).
Définition 0.2.5. La métrique ρ∗(z)|dz| est extrémale si ρ∗ est admissible et si
M od (Γ) = inf
ρ (A(Ω, ρ)) = A(Ω, ρ
∗ )
Le problème d’existence des métriques extrémales, est un problème encore ouvert. Néanmoins si une telle métrique existe, alors elle unique presque partout, par rapport à la mesure planaire.
Théorème 0.2.3. Soient Γ une famille de chemins de Ω. Si ρ1 et ρ2 deux
métriques extrémales alors : 1.
ρ1 = ρ2 p.p par rapport à dA(z).
2.
L (Γ, ρ1) = L (Γ, ρ2) = 1.
Démonstration. Il découle de la définition ci-dessus que la métrique ρ∗(z) := 1
2(ρ1(z) + ρ2(z)) |dz| est admissible, donc
Z Ω ρ1(z) + ρ2(z) 2 !2 dA(z) ≥ M od (Γ) . (16)
Nous remarquons que
Z Ω ρ1(z) − ρ2(z) 2 !2 dA(z) = Z Ω 1 2 ρ21(z) + ρ22(z) | {z } M od(Γ) − Z Ω ρ1(z) + ρ2(z) 2 !2 dA(z)
D’après (16), nous déduisons que
Z Ω ρ1(z) − ρ2(z) 2 !2 dA(z) = 0 par suite ρ1 = ρ2 presque partout.
Nous avons aussi le résultat suivant :
0.2.4
Principe de comparaison
Proposition 0.2.6. Si Ω ⊂ Ω0 et Γ une famille de chemins dans Ω alors
λΩ0(Γ) = λΩ(Γ)
De plus, si Γ0 est une famille de chemins de Ω0 vérifiant : (∀γ0 ∈ Γ0) (∃γ ∈ Γ)
avec γ contenu dans γ0 alors :
λΩ0(Γ0) ≥ λΩ(Γ) (17)
Démonstration. Γ est aussi une famille de chemins de Ω0 ayant même mo-dule : il suffit de considérer le prolongement ρ(z) = 0 si z ∈ Ω0\ Ω.
interprétation : La longueur extrémale dépend de la famille des chemins Γ
Application aux quadrilatères
La distance extrémale dΩ(E, F ) décroit si Ω, E et F croissent, dans le sens illustré dans le dessin ci-dessous. Nous avons :
dΩ1(α1, α 0 1) ≥ dΩ(α2, α02) ≥ dΩ2(α2, α 0 2) avec Ω = Ω1∩ Ω2.
0.2.5
Règles de composition
Nous étudierons dans ce qui suit, en plus du principe de comparaison, des critères pour comparer trois longueurs extrémales.
Théorème 0.2.4. Soient Γ1 et Γ2 des familles de chemins respectivement
de Ω1 et Ω2, Ω1 et Ω2 étant deux ouverts disjoints. Si Γ est une famille de
chemins de Ω ⊃ Ω1 ∪ Ω2, telle que tout chemin γ ∈ Γ contient deux sous
chemins γ1 ∈ Γ1 et γ2 ∈ Γ2, alors
λ (Γ) ≥ λ (Γ1) + λ (Γ2) (18)
Démonstration. Si λ (Γ1) ou λ (Γ1) dégénère en 0 ou ∞, alors l’inégalité est triviale d’après le principe de comparaison. Soient ρ1 et ρ2 deux fonctions mesurables respectivement sur Ω1 et Ω2. La normalisation (9) est possible dans les cas non-dégénérés, nous avons L (Γi, ρi) = A (Ωi, ρi). Soit la fonction
ρ définie sur Ω par :
ρ = ρ1 : Ω1 ρ2 : Ω2 0 : Ω \ (Ω1∪ Ω2)
Il est clair que ρ est admissible, nous avons pour tout ρ1; ρ2 qui réalisent la normalisation
λ (Γ) ≥ L (Γ, ρ) ≥ L (Γ1, ρ1) + L (Γ2, ρ2) .
Par suite :
λ (Γ) ≥ λ (Γ1) + λ (Γ2) .
Théorème 0.2.5. Soient Γ1, Γ2 et Γ des familles de chemins respectivement
de Ω1, Ω2 et Γ ; avec Ω1 et Ω2 deux ouverts disjoints. Si tout chemin γ1 ∈ Γ1
et γ2 ∈ Γ2 contiennent un chemin dans Γ, alors : 1 λ (Γ) ≥ 1 λ (Γ1) + 1 λ (Γ2) (19)
Démonstration. Soit ρ définie sur Ω ⊃ Ω1∪ Ω2 telle que L (Γ, ρ) = 1. Nous avons L (Γ1, ρ) ≥ 1 et L (Γ2, ρ) ≥ 1. Ω ⊃ Ω1∪ Ω2 ⇒ A (Ω, ρ) ≥ A (Ω1, ρ) + A (Ω2, ρ) . Or A (Ω1, ρ) + A (Ω2, ρ) ≥ 1 λ (Γ1) + 1 λ (Γ2) .
Nous en déduisons que
1 λ (Γ) ≥ 1 λ (Γ1) + 1 λ (Γ2) .
Remarque : nous pouvons interpréter le dernier résultat à l’aide de la
longueur extrémale conjuguée, en écrivant :
λ∗(Γ) ≥ λ∗(Γ1) + λ∗(Γ2) .
Nous illustrons l’usage des règles de composition dans les deux cas sui-vants.
Exemples typiques
Dans la figure (a), nous considérons le domaine Ω := Ω0 ∪ Ω00 ∪ E. Le domaine Ω dans le dessin (b) désigne l’intérieur de Ω1∪ Ω2.
• Configuration (a) : Il est clair, que tout chemin de Ω joignant E0 et E00, est un chemin de Ω0 joignant E0 et E suivi d’un autre de Ω00 de E vers
E00. Nous déduisons d’après la première loi que :
dΩ(E0, E00) ≥ dΩ0(E0, E) + dΩ00(E, E00)
• Configuration (b) : Tout chemin de Ω1 de E10 vers E 00
1, ainsi que tout chemin de Ω2 de E20 vers E
00
2 est effectivement un chemin de Ω de E 0 =
E10 ∪ E0
2 vers E00 = E100∪ E200. Nous obtenons, d’après la deuxième loi : 1 dΩ(E0, E00) ≥ 1 dΩ1(E 0 1, E100) + 1 dΩ2(E 0 2, E200)
0.2.6
Une inégalité intégrale
Soit Ω le domaine délimité par les droites d’équations x = a et x = b et par les courbes de deux fonctions numériques données. Dans la figure ci-jointe θ(t) désigne la longueur du segment de la droite x = t, intercepté par Ω. Une version intégrale du premier des deux théorèmes ci-dessus, s’écrit :
dΩ(E1, E2) ≥
Z b
a
dx
θ(x) (20)
La distance extrémale entre les segments correspondants à t et t + ∆t, inter-ceptés par Ω est approximativement égale à ∆t
θ(t) si ∆t suffisamment petit.
Nous concluons cette notion de longueurs extrémales par un critère de Beurling, voir ([27], p61, Th 4.4).
Proposition 0.2.7. (critère de Beurling.) La métrique ρ0(z)|dz| est
ex-trémale pour Γ, si il existe Γ0 une sous famille de Γ vérifiant :
1. R
γρ0(z)|dz| = L (Γ, ρ0) ∀γ ∈ Γ0
2. Si h est une fonction de Ω à valeurs réelles vérifiant
Z γ h(z)|dz| ≥ 0 (∀γ ∈ Γ0). Alors Z Ω h(z)ρ0(z) dA(z) ≥ 0.
Démonstration. Normalisons ρ par L (Γ, ρ) = L (Γ, ρ0), nous déduisons que
Z γ ρ(z)|dz| ≥ Z γ ρ0(z)|dz| ∀γ ∈ Γ0.
La fonction h := ρ − ρ0 remplit bien la première condition du critère. Donc
hρ0 = ρρ0− ρ20 est d’intégrale positive, par conséquent :
Z Ω ρ20(z) dA(z) ≤ Z Ω ρ(z)ρ0(z) dA(z).
Par application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous obtenons :
Z Ω ρ20(z) dA(z) ≤ Z Ω ρ2(z) dA(z).
Remarques
• Si ρ0 est extrémale, alors toutes les autres métriques extrémales sont de la forme : ρ = cρ0 (c > 0) ([20], p153, EX 7).
• La donnée d’une métrique extrémale permet de calculer la longueur extrémale, comme le montre les exemples suivants.
Exemple 1
Considérons, à nouveau, le rectangle euclidien (R) := {(x, y) ∈ R2 : a <
x < b et c < y < d}. Si nous prenons ρ0 = 1 et Γ0 est la familles des droites
y=constante, alors il est clair que :
Z b a h(x, y) dx ≥ 0 ⇒ Z d c Z b a h(x, y) dxdy ≥ 0
Donc le critère de Beurling est vérifié. La longueur extrémale de (R) est alors
λ = L 2(Γ, ρ 0) A ((R), ρ0) = b − a d − c Exemple 2
Un triangle topologique est un domaine de Jordan avec trois points sur le bord. Par application du théorème de Kristoffel-Schwarz ce type de domaine est conformément équivalent à un triangle (T ) équilatéral de coté 1. Soit Γ l’ensemble de tous les arcs touchant les trois cotés. La métrique euclidienne correspondant à ρ0 = 1 est extrémale. Par symétrie axiale, nous remarquons que le minimum de `(γ) est atteint si γ est une altitude figure(a). Nous considérons Γ0 l’ensemble des lignes brisées dont chaque ligne touche un coté du triangle et est orthogonale aux deux autres. L’une des trois sous-familles de Γ0 est illustrée dans la figure (b).
Soient γx l’arc de Γ0 partant du point (x, 0) avec 0 ≤ x ≤ 12. Si h est telle que R γxh(z)|dz| ≥ 0, alors R1/2 0 R
γxh(z)|dz| dx ≥ 0 par addition on obtient R
(T )h(z) dA(z) ≥ 0, donc ρ0 = 1 est extrémale par suite :
λ = L 2(Γ, ρ 0) A ((R), ρ0) =√3 Remarque :
Le calcul de la longueur extrémale semble être lié à la géométrie du domaine Ω, comme c’est le cas du rectangle. Parfois la symétrie permet de faciliter le calcul. Pour le cas d’un losange et Γ la famille des chemins joignant deux de ses segments opposés alors :
λ (Γ) = 1
λ (Γ) ⇒ λ (Γ) = 1.
0.3
Estimation de la mesure harmonique
0.3.1
Théorème de distorsion d’Ahlfors et longueurs
extrémales
Soit Ω un domaine simplement connexe, non borné dans les deux sens de droite et de gauche comme dans la figure ci-dessous. Soit Φ une applica-tion conforme envoyant Ω dans la bande S = {z ∈ C, |=(z)| < 1}. Nous supposons que pour tout x, l’ensemble Ω ∩ {<(z) = x} consiste en un ou plusieurs segments θx de longueur θ(x). Notons en fin : u2(x) = supθx<(Φ)
et u1(x) = infθx<(Φ). Avec les notations susmentionnées, nous avons le
théo-rème suivant :
Théorème 0.3.1. (Théorème de distorsion d’Ahlfors) Si
Z x2
x1
dx θ(x) > 2
Alors
Z x2
x1
dx
θ(x) ≤ 4 + u1(x2) − u2(x1).
Démonstration. Nous donnons deux esquisses de la preuve, la première par
la technique dite du principe "aire-longueur" et la deuxième par les longueurs extrémales.
1. Si γx := Φ (θx) et ω(x) := u2(x) − u1(x), alors la longueur de γx est au
moins égale à qω2(x) + 1 (i.e) :
Z θx |Φ0(z)| |dz| ≥qω2(x) + 1 ⇒ Z θx |Φ0(z)| dy2 ≥ ω2(x) + 1. En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on trouve :
θ(x).
Z
θx
|Φ0(z)|2dy ≥ ω2(x) + 1. puis une intégration de x1 à x2, nous donne :
Z x2 x1 Z θx |Φ0(z)|2dx dy ≥ Z x2 x1 1 θ(x)dx + Z x2 x1 ω2(x) θ(x) dx.
En utilisant le rectangle (u2(x2) − u1(x1)) × 1, nous obtenons :
u2(x2) − u1(x1) ≥ Z x2 x1 1 θ(x)dx + Z x2 x1 ω2(x) θ(x) dx.
La preuve s’achève en remarquant que u2(x2) − u1(x1) = u1(x2) −
u2(x1) + ω(x1) + ω(x2), nous utilisons en-suite une judicieuse équation différentielle ([2]) ;([29], pp 136-138).
2. D’après (20) nous avons
dΩ(E1, E2) ≥
Z x2
x1
1
θ(x)dx.
Pour obtenir le résultat, il suffit de majorer dΩ(E1, E2) par u1(x2) −
sous- domaine S0 de S délimité par E1 et E2, F1 et F2 . Le principe de conjugaison entraine que :
dS(E10, E 0 2) = dS0(E0 1, E 0 2) = (dS0(F1, F2))−1
Donc, on se ramène à minorer dS0(F1, F2), pour ce faire Jenkins ei
Oikawa trouvent la bonne métrique ρ ([2],p 299).
Remarque :
Une autre preuve repose sur un théorème de symétrisation de Teichm¨uller
([27], p 76). Nous trouvons :
Z x2
x1
1
θ(x)dx ≤ 2Λ (π exp(u1(x2) − u2(x1))) .
Avec Λ une fonction reliée à la fonction ℘ de Weierstrass et vérifiant entre autre l’équation fonctionnelle Λ(x).Λ(1/x) = 14.
0.3.2
Relation entre mesure harmonique et longueur
extrémale
Cas du disque D
Soit E un sous ensemble fermé de ∂D. La relation suivante entre la capa-cité logarithmique de E et la longueur extrémale est donnée par Beurling et Ahlfors :
γ(E) = lim
r→0(dD(Cr, E) − dD(Cr, ∂D)) .
o`u Cr est le cercle de centre o est de rayon r. γ(E) est dite constante de
Robin de E donnée par :
γ(E) = log 1/cap(E).
Le théorème de Pfluger est une variante du résultat de Beurling-Ahlfors ([2], p 303), nous rappelons l’énoncé sans démonstration.
Théorème 0.3.2. (Pfluger) Soient K un compact de D, E un ensemble fermé de ∂D. Il existe une constante C dépendant uniquement de K tel que :
|γ(E) − πdD(K, E) | ≤ C
Proposition 0.3.1. Si dD(K, E) désigne la distance extrémale entre le
com-pact K et E, alors :
ω (0, E; D) ≤ C exp (−πdD(K, E)) . (21)
Démonstration. Rappelons que sinm(E)4 ≤ cap(E) voir par exemple ([9], p 207). L’inégalité précédente est équivalente à
sin
π
2ω (0, E; D)
≤ cap(E).
En appliquant l’inégalité élémentaire π2x ≤ sin x ∀x ∈ (0,π2), nous trouvons :
ω (0, E; D) ≤ cap(E) = exp (−γ(E)) .
La démonstration s’achève, en exploitant le théorème de Pfluger.
Cas d’un domaine simplement connexe
Proposition 0.3.2. Soit Ω 6= C un domaine simplement connexe, E ⊂ ∂Ω et z ∈ Ω. Soit K un disque centré en z0 et de rayon égale à
d (z0, ∂Ω)
2 . Nous
avons :
ω (z0, E; Ω) ≤ C exp (−πdΩ(K, E))
Démonstration. D’après le théorème de Riemann, il existe une application
conforme ϕ qui applique D dans Ω. Par invariance conforme de la mesure har-monique et la distance extrémale, nous avons : ω (z0, E; Ω) = ω (0, ϕ−1(E); D) et dΩ(K, E) = dD(ϕ
−1(K), ϕ−1(E)). Nous déduisons le résultat d’après le cas du disque ci-dessus.
Majoration de la mesure harmonique
On se place dans un domaine semblable à celui du théorème de distorsion d’Ahlfors. Une minoration de la distance extrémale entraine une majoration de la mesure harmonique. Soit donc le domaine Ω illustré ci-dessous, z0 =
x1+ iy1 , Ω0 := Ω ∩ {<(z) < x2} avec (x1 < x2) et E = θx2. dΩ0(K, E) ≥ Z x2 x1 1 θ(x)dx ⇒ ω (z0, E; Ω 0 ) ≤ C exp −π Z x2 x1 1 θ(x)dx !
Nous énonçons, le théorème suivant qui complète et précise la proposition précédente :
Théorème 0.3.3. Soient Ω un domaine de Jordan, z0 = x1+ iy1 avec x1 <
x2. F ⊂ {z ∈ ∂Ω : <(z) > x2}. Si pour x1 < x < x2, il existe une union
finie de segments θx ⊂ Ω ∩ {<(z) = x} qui sépare z0 et F , alors :
ω (z0, F ; Ω) ≤ 8 π exp −π Z x2 x1 dx θ(x) ! (22)
Remarque : Soit Ω0 la composante de Ω \ {z : <(z) = x} qui contient z0. L’idée de la preuve consiste à montrer, par le principe du maximum, que :
ω (z0, F ; Ω) ≤ ω (z0, θx2; Ω
0 )
puis on applique l’inégalité de la proposition précédente, voir ([20], p 149) pour plus de détails.
Minoration de la mesure harmonique
Soit Ω le domaine illustré dans la figure ci-dessous :
Ω = {(x, y) |y − m(x)| < θ(x)
Nous supposons que les fonctions x → m(x) et x → θ(x) vérifient des condi-tions de régularités convenables. Beurling propose la métrique suivante pour résoudre ce problème ([20], p 159) : ρB(x, y) = v u u t 1 θ2(x) + (y − m(x))θ0(x) + θ(x)m0(x) θ2(x) !2
Nous utilisons la technique ([20], p147), en considérant
Φ(x, y) = (y − m(x))
θ(x)
qui n’est autre que le module du gradient |∇ y − m(x)
θ(x)
!
|. Puisque −1/2 ≤ Φ(x, y) ≤ 1/2, nous avons alors
Z γ |∇Φ||dz| ≥ Z γ |dΦ| ≥ 1
pour tout γ ∈ Γ∗ avec Γ∗ la famille des chemins reliant les deux courbes d’équations :
y = m(x) ±θ(x)
2 Par calcul direct, nous obtenons :
A(ρB, Ω) = Z x2 x1 dx θ(x) + Z x2 x1 m02(x) + 1 12θ 02(x) θ(x) dx
Par suite, pour E = Ω ∩ {z ∈ C : <(z) = x1} et F = Ω ∩ {z ∈ C : <(z) =
x2}, nous rappelons que M od (Γ∗) ≤ A (Ω, ρB), donc :
dΩ(E, F ) = 1 d∗Ω(E, F ) ≤ Z x2 x1 dx θ(x) + Z x2 x1 m02(x) + 121 θ02(x) θ(x) dx. (23)
Théorème 0.3.4. Supposons que Ω = {(x, y) : |y − m(x)| < θ(x)2 ; x1 <
x < x2} est un domaine de Jordan, avec x → m(x) et x → θ(x) deux
fonctions absolument continues sur ]x1 − δ, x1+ δ[. Nous supposons de plus
que : ]x1− δ, x1+ δ[×]y1− δ, y1+ δ[⊂ Ω. Soit z0 = x1+ iy1 et F = Ω ∩ {z ∈ Ω : <(z) = x2} . Nous avons : ω (z0, F ; Ω) ≥ C(δ) exp −π Z x2 x1 1 + m02(x) + 121θ02(x) θ(x) dx ! . Avec C(δ) = exp −π δ2 Z x1+δ x1−δ θ(x) dx ! .
Démonstration. Pour la preuve de ce théorème et du corollaire suivant
consul-ter ([20], pp 160-161).
Corollaire 0.3.1. Soit z0 = x1 + iy1. Supposons que Ω = {(x, y) : |y −
m(x)| < θ(x)2 ; a < x} est un domaine de Jordan tel que ]x1− δ, x1+ δ[×]y1−
δ, y1+ δ[⊂ Ω. Si Z ∞ a m02(x) + θ02(x) θ(x) dx = A < ∞. Soit z0 = x1 + iy1, alors C exp −π Z x2 x1 dx θ(x) ! ≤ ω (z0, F, Ω) ≤ 8 πexp −π Z x2 x1 dx θ(x) ! (24)
∀x2 > x1 et F = {z ∈ Ω, <(z) ≥ x2}. La constante C dépend uniquement
Chapitre 2 : Composition
operators with univalent
symbol in Schatten class.
Introduction
In this chapter, we study composition operators, induced by a sub-domain of the unit disc whose boundary intersects the unit circle at 1 and which has, in a neighborhood of 1, a polar equation 1 − r = γ(|θ|). We obtain an explicit characterization for the membership in Schatten p- classes, in terms of γ. Denote by H(D) the space of all analytic functions on D. The Hardy space
H2 consists of those analytic functions on D such that
kf k2 H2 = ∞ X n=0 |an|2 < ∞, where f (z) = P
n≥0anzn. By Fatou’s radial limits theorem, every function
f ∈ H2 has non tangential limits almost everywhere on the unit circle ∂D. The limit function f∗ belongs to L2(∂D) and
kf k2 H2 = 1 2π Z ∂D |f∗(eiθ)|2dθ = lim r→1− 1 2π Z ∂D |f (reiθ)|2dθ.
By the classical Littlewood - Paley identity we have :
kf − f (0)k2 H2 = 2 Z D |f0(z)|2log 1 |z|dA(z) < ∞ ,
where dA(z) = dxdy/π is the Lebesgue normalized area measure on the disc D.
Using this formula, it is clear that
H2 = f ∈ H(D) : Z D |f0(z)|2(1 − |z|2)dA(z) < ∞
More generally, we define for α ≥ 0, the weighted analytic spaces Hα by Hα := f ∈ H(D) : Z D |f0(z)|2dAα(z) < ∞ , where dAα(z) = (1 + α)(1 − |z|2)αdA(z).
For α ∈ [0, 1), Hα := Dα are the weighted Dirichlet spaces (the classical
Diri-chlet space corresponds to α = 0). Note also that for α > 1, Hα are weighted
Bergman spaces. More precisely, if A2β denotes the weighted Bergman space defined by A2β := f ∈ H(D) : Z D |f (z)|2dAβ(z) < ∞ , (β > −1), then Hα = A2α−2.
Let ϕ be a holomorphic self map of D. The composition operator Cϕ acting
on Hα with symbol ϕ is defined by
Cϕf = f ◦ ϕ, f ∈ Hα.
The boundedness, compactness and membership in Schatten classes of com-position operators was subject of many papers. See, for example, [18, 12, 31, 24, 36, 25, 22]. It is known, from Schwarz lemma, that if the symbol ϕ is univalent then
sup |z|<1
1 − |z|
