Courants positifs à supports dans une bande

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Analyse complexe

Courants positifs à supports dans une bande

Fredj Elkhadhra, Souad K. Mimouni

Faculté des sciences de monastir, 5019 Monastir, Tunisie

Reçu le 1^erjuin 2005 ; accepté le 1^erseptembre 2005 Disponible sur Internet le 11 octobre 2005

Présenté par Jean-Pierre Demailly

Résumé

SoitT un courant positif de bidimension(p, p)surCⁿà support dans une bande. SiT est fermé, S. Giret a démontré queT se relève bien par un éclatement de centre lisse. La classe de courants positifs fermés de bidimension(1,1)sur le bidisque unité

∆²et à support dans une bande joue un rôle important dans l’étude de la dynamique de certaines applications holomorphes. Dans cette note, on étudie la croissance de la mesure trace deT dans le cas oùdd^cT 0, on montre en particulier que siT est fermé alors il est algébrique. On montre ensuite deux théorèmes de support ; le premier lorsqu’on suppose de plus queT est de degé finie et le deuxième dans le cas oùT est positif fermé à support tubulaire. Le dernier résultat généralise le casp=n−1 démontré par M. Blel, S.K. Mimouni et G. Raby et le cas oùT est un courant d’intégration sur une hypersurface démontré par M.T. Togni. Pour citer cet article : F. Elkhadhra, S.K. Mimouni, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).

2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Abstract

Positive currents with support in a strip. LetT be a positive current of bidimension(p, p)onCⁿwith support in a strip. If T is closed, S. Giret has proved thatT admits a well defined lifting through a blow up with smooth center. The class of positive closed currents with bidimension(1,1)in the unit bidisc∆²and with support in a strip, plays a central role in the study of the dynamics of some holomorphic maps. In this note, we prove some estimates of the trace measure ofT whendd^cT0, we prove in particular that ifT is closed, then it is algebraic. We then prove two support theorems; the first one in the case where the degree ofT is finite and the second in the case whereT is positive closed and with tubular support. The latter result generalizes the case p=n−1 proved by M. Blel, S.K. Mimouni and G. Raby, which is also a generalization of the case whenT is the current of integration on an hypersurface as proved by M.T. Togni. To cite this article: F. Elkhadhra, S.K. Mimouni, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).

2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Abridged English version

LetT be a positive current of bidimension(p, p)onCⁿandν_T(r)=_r¹2p

{|z|<r}T∧(dd^c|z|²)^pforr >0.T is said algebraic if there exists a positive currentTonPⁿsuch thatT=T onCⁿandT=0 on the hyperplane at infinityH_∞.

Adresses e-mail : [email protected] (F. Elkhadhra), [email protected] (S.K. Mimouni).

1631-073X/$ – see front matter 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.

doi:10.1016/j.crma.2005.09.003

It was proved in [1] that ifT is closed and there existsc >0 such thatν_T(r)cfor everyr >0 thenT is algebraic.

We prove here the following result:

Theorem 0.1. LetT be a positive current,dd^cT 0 of bidimension(p, p)onCⁿsuch that SuppT ⊂ {z=(z, z)∈ C^k×C^n−k, z1}, pk. Then, there existsc >0 such that for everyr >0 we haveν_T(r)c. In particular, if T is positive and closed thenT is algebraic.

As a consequence of Theorem 0.1, we have:

Corollary 0.2. LetT be a positive (or negative) psh current of bidimension(p, p)onCⁿ. If there existsc >0 such thatν_T(r)cfor everyr >0, thendd^cT is an algebraic current.

LetT be a positive current of bidimension(p, p)onCⁿ. We define the degree ofT byδ(T ):=

CⁿT∧(dd^clog(1+

|z|²))^p. IfT is a positive closed algebraic current thenδ(T ) <+∞. We give hereafter a result based on an assumption on the degree ofT:

Theorem 0.3. LetT be a positive currentdd^cT 0 of bidimension(p, p)onCⁿsuch that SuppT ⊂ {z=(z, z)∈ C^k×C^n−k, z1}, pk. Then, for every k+1j n we haveδ(T ∧dz_j ∧dz_j) <+∞. Moreover, if δ(T ) <+∞thenT ∧dz_j∧dz_j=0.

Thanks to Choquet’s theorem and to the support theorem for positiveC-flat currents, we have the following gener- alization of a result of [1,4].

Proposition 0.4. LetT be a positive psh (resp.dd^cT 0) current of bidimension(p, p)on an open subsetU ofCⁿ such thatT ∧dz_j∧dz_j =0 for everyp+1jn. Letπ:z→z=(z_p+1, . . . , z_n)the canonical projection on C^n−p. Suppose that the fibersπ⁻¹(t )are connected. Then, there existsµ_U a positive Radan mesure onπ(U )andv_t a positive psh function (resp.−v_t psh) on[z=t]such thatT =

π(U )v_t[z=t]dµ_U(t ).

By Proposition 0.4, ifT is a closed positive current with a tubular support we prove:

Theorem 0.5. Let T be a closed positive current of bidimension (p, p) on Cⁿ. Let P =(P₁, . . . , P_n−p) be a polynômial application onCⁿ such that dimP⁻¹(t )=pfor every t∈C^n−p. Suppose that SuppT ⊂ {PC^te}, thenT is algebraic. Moreover, we denote byV (resp.V_i) the space of irreducible components of all different fibers P⁻¹(t )inCⁿ, t∈C^k\P (X)(resp. deP⁻¹(t ),t∈P (X)) whereXis the set of critical points ofP. Then there is a unique positive measureµonV =V (

iVi), such thatT =

v∈ V[P⁻¹(t )]vdµ(v).

This theorem covers a result of [5] whenT is the current of integration on an hypersurface, and another of [1,4]

whenp=n−1.

1. Introduction

Dans cette Note nous étudions les propriétés algébriques des courants positifs à support dans une bande. SoitT un courant positif de bidimension(p, p)surCⁿ. Le courantT est dit algébrique s’il existe un courant positifT sur Pⁿ tel que T =T sur Cⁿ etT=0 sur l’hyperplan à l’infiniH_∞. D’après [1], si T est positif fermé etν_T(r):=

1 r^2p

{|z|<r}T ∧β^pcpour toutr >0, avecβ=dd^c|z|²la forme de Kähler surCⁿ, alorsT est algébrique.

Théorème 1.1. SoitT un courant positif,dd^cT 0 de bidimension(p, p) surCⁿ tel que SuppT ⊂ {z=(z, z)∈ C^k×C^n−k, z1}, pk. Alors, il existec >0 telle que pour toutr >0 on aν_T(r)c. En particulier, siT est positif fermé alorsT est un courant algébrique.

Démonstration. Sans perte de généralité, on peut supposer que T est de classeC^∞. Si p > k, alorsT =0. En effet le courantT estC-plat donc la trancheT , π, z (π c’est la projection surC^k) existe p.pz∈C^k et c’est un

courant positif dedd^c-négatif de dimensionp−k1 et à support compact, donc d’aprés [3]T , π, z =0 p.pz. Par la formule de tranchage pour les courants C-plats (voir [3]) on a T =0. Supposons maintenant que p=k.

Soit χ ∈D(R), χ (t )=1 si |t|1 et χ=0 si |t|>2. Soitβ=dd^c|z|², pour a=(a₁, . . . , a_p)∈C^p, on pose g(a)=

CⁿT ∧χ (|z+a|²)β^p. 2i ∂²g

∂a1∂a1

=

Cⁿ

T ∧ 2i∂²

∂a1∂a1

χ

|z+a|² β^p=

Cⁿ

T∧ 2i∂²

∂z1∂z1

χ

|z+a|² β^p

=

Cⁿ

T ∧dd^c

χ (|z+a|²i

2dz₂∧dz₂∧ · · · ∧ i

2dz_p∧dz_p)

=

Cⁿ

dd^cT ∧χ

|z+a|² β^p0.

Il en résulte quea₁→ −g(a₁,·)est négative et sousharmonique surC, donc elle est constante par rapport àa₁et vaut g(0,·). Par itération on ag(a)=g(0)=

CⁿT ∧χ (|z|²)β^p, et donc

|z|1,zT ∧β^pC. Soitj ∈ {p+1, . . . , n}, on poseI_j=

CⁿT ∧χ²(|z|²) dd^c|z_j|²∧β^p−1, alors I_j=

Cⁿ

T ∧dd^c

|z_j|²χ²

|z|² β^p

−

Cⁿ

|z_j|²T ∧dd^c χ²

|z|²

∧β^p−1

−

Cⁿ

T ∧dχ²

|z|²

∧d^c|zj|²∧β^p−1−

Cⁿ

T ∧d|zj|²∧d^cχ²

|z|²

∧β^p−1

=(1)+(2)+(3)+(3).

Comme(1)=

CⁿT∧dd^c(|z_j|²χ²(|z|²)β^p)=

Cⁿdd^cT ∧ |z_j|²χ²(|z|²)β^p0, alors on a l’inégalité

Cⁿ

T ∧χ²

|z|²

dd^c|z_j|²∧β^p−1(2)+(3)+(3). (1)

Le terme (2) est égal à

−2

Cⁿ

|z_j|²T ∧χ²

|z|² dd^cχ

|z|²

∧β^p−1−2

Cⁿ

|z_j|²T ∧dχ

|z|²

∧d^cχ

|z|²

∧β^p−1 −2

Cⁿ

|z_j|²T∧χ

|z|² dd^cχ

|z|²

∧β^p−1C

1|z|2

T ∧β^pC₁.

La constanteCrésulte du fait que|χ|et|χ|sont bornées.

Soitϕ∈D(R), 0ϕ1 etϕ=1 sur suppχ. D’après l’inégalité de Cauchy–Schwarz, le terme|(3)| = |

CⁿT ∧ 2χ (|z|²)ϕ(|z|²) dχ (|z|²)∧d^c|z_j|²∧β^p−1|est majoré par :

1 ε

Cⁿ

T ∧2ϕ²

|z|² dχ

|z|²

∧d^cχ

|z|²

∧β^p−1+ε

Cⁿ

T ∧2χ²

|z|²

d|z_j|²∧d^c|z_j|²∧β^p−1

donc|(3)|^C_ε²

1|z|2T ∧β^p+4ε

CⁿT ∧χ (|z|²) dzj∧dzj∧β^p−1pourε=1/8 et d’après(1), on a

Cⁿ

T ∧χ²

|z|²

dd^c|z_j|²∧β^p−1C₁+8C₂+1 2

Cⁿ

T ∧χ²

|z|²

dz_j∧dz_j∧β^p−1C₃

donc

Cⁿ

T ∧χ²

|z|²

dd^c|z|²∧β^p−1(n−p)C₃. (2)

Pour montrer que

CⁿT ∧χ²(|z|²)(dd^c|z|²)²∧β^p−2C^te, on utilise(2)et on récrit la preuve avecdd^c|z|²∧ β^p−2à la place deβ^p−1. Donc par récurrence on a

CⁿT∧χ²(|z|²)(dd^c|z|²)^s∧β^p−sC^tepour tout 1sp.Il en résulte que

|z|1,|z|1T∧β^p

CⁿT∧χ²(|z|²)β^pC^te. SoitR >0, on peut recouvrirB(0, r)= {z,|z|< r} par moins de([r] +1)^2pcubes unité. Donc

B(0,r)T∧β^pC^te([r] +1)^2p. En particulier siT est positif fermé alors d’après [1]T est algébrique. 2

Remarque 1. SiT est un courant positif psh alors le Théorème 1.1 tombe en défaut. Ceci résulte du contre-exemple suivant :

SoientD(0,1)le disque unité dansCethune fonction sousharmonique positive surC. Soientf, g∈D(D(0,1)) 0 de sorte queg(z₂)dd^c|z₂|²−dd^cf (z₂). Considérons le courant T =f (z₂) dd^c|z₁|²+g(z₂)(h(z₁)+ |z₁|²)× dd^c|z₂|².Alors,T est un courant positif, psh de bidegré(1,1)et à support dans{(z₁, z₂)∈C², |z₂|<1}maisν_T(r) n’est pas majoré indépendamment der.

2. Conséquence du Théorème 1.1

Comme conséquence du Théorème 1.1, on montre le résultat suivant :

Corollaire 2.1. SoitT un courant positif (ou négatif ) psh de bidimension(p, p)surCⁿ. Supposons qu’il existec >0 tel que pour toutr >0 on aν_T(r)c, alorsdd^cT est un courant algébrique.

Soitψ=log(1+ |z|²)etα=dd^cψ. SoitT un courant positif de bidimension(p, p) surCⁿ. On noteδ(T )=

CⁿT∧α^ple degré deT. SiT est fermé etϕune fonction psh, Demailly [2] a introduit le degré généraliséδ(T , ϕ)=

CⁿT ∧ϕ^p. SiT = [A]est le courant d’intégration sur un ensemble algébrique alorsδ(T ) <+∞. Ce résultat reste vrai pour le cas oùT un courant positif fermé algébrique. Dans ce qui suit on se propose d’étudier quelques propriétés deδ(T )siT est psh oudd^cT 0. SoitB(r₁, r₂)= {z, r₁<1+ |z|²< r₂}.

Lemme 2.2. SoitT un courant positif de bidimension(p, p)surCⁿ. On suppose qu’il existec >0 tel que pour tout r >0 on aν_T(r)c, on a :

(i) SiT est psh, alorsδ(T ) <+∞et les courantT etdd^cT sont algébriques i.e. les extensions triviauxTetdd^cT existent surPⁿ. Il existe alors un courantSpositif porté par l’hyperplan à l’infiniH_∞tel queS=dd^cT−dd^cT. (ii) Sidd^cT 0, alors il existec₁, c₂>0 telle que

B(r1,r2)

T ∧α^pc₁+c₂

1− 1 r2

p

−

1− 1 r1

p

+c₁logr₂ r1

.

SoitT un courant positifdd^c-négatif et à support dans une bande, alors par le théorème suivant on construit des courants de même nature queT, qui de plus sont de degré fini.

Théorème 2.3. SoitT un courant positifdd^cT 0 de bidimension(p, p)surCⁿ tel que SuppT ⊂ {z=(z, z)∈ C^k×C^n−k,z1}, pk. Alors, pour toutk+1jnon aδ(T ∧dz_j∧dz_j) <+∞. Si de plusδ(T ) <+∞, alorsT ∧dz_j∧dz_j=0.

Démonstration. On peut supposer quep=k. On commence par le cas oùδ(T ) <+∞. On considèreχ∈C^∞(R,R) telle queχ=1 sur]–∞,1,1], χ=0 sur[1,9,+∞[et 0−χ2.Alors si on considère la suite(ψ_ν)_ν,ν∈N, définie parψ_ν(z)=χ (2^−ν−1ψ (z)). SoitK_ν= {z∈Cⁿ; ψ (z)2^ν+1}, alorsCⁿ= K_ν etK_ν contenu dans l’intérieur de K_ν+1pour toutν. Comme 2^−ν−1ψ (z)1 surK_ν et2 surCⁿ\K_ν+1, on a 0ψ_ν1, ψ_ν=1 sur un voisinage deK_ν, Suppψ_ν⊂K_ν^◦₊₁.De plus

−dd^cψ_ν= −χ(2^−ν−1ψ (z))

2^2(ν+1) dψ∧d^cψ−χ(2^−ν−1ψ (z))

2^ν+1 dd^cψC 1

2^2(ν+1)dψ∧d^cψ+ 1 2^νdd^cψ

.

Alors, on a

Cⁿ

dd^clog

1+ |zj|²

∧T ∧α^p−1= lim

ν→∞

Cⁿ

ψνdd^clog

1+ |zj|²

∧T∧α^p−1. (3)

La formule de Stokes et le fait queψ_νlog(1+|z_j|²)est à support compact entraîne que le terme négatif

Cⁿψ_νlog(1+

|zj|²)∧dd^cT ∧α^p−1=

Cⁿdd^c(ψνlog(1+ |zj|²))∧α^p−1est égal à

K_ν+1

ψνdd^clog

1+ |zj|²

∧T ∧α^p−1+

K_ν+1\K_ν

log

1+ |zj|²

dd^cψν∧T∧α^p−1

−

K_ν+1\Kν

d^clog

1+ |zj|²

∧dψν∧T ∧α^p−1+

K_ν+1\Kν

dlog

1+ |zj|²

∧d^cψν∧T ∧α^p−1. Il en résulte que le terme

Kν+1

ψ_νdd^clog

1+ |z_j|²

∧T ∧α^p−1 (4)

est majoré par :

K_ν+1\K_ν

−log

1+ |z_j|²

dd^cψ_ν∧T ∧α^p−1+

K_ν+1\K_ν

d^clog

1+ |z_j|²

∧dψ_ν∧T ∧α^p−1

−

K_ν+1\K_ν

dlog

1+ |zj|²

∧d^cψν∧T ∧α^p−1.

On note ces trois termes respectivement(a), (b)et(c). Comme log(1+ |z_j|²)est bornée sur SuppT et d’après la majoration de−dd^cψ_ν, on a l’inégalité suivante :

(a)c₁ 1

2^2(ν+1)

{2^ν+1ψ2^ν+2}

dψ∧d^cψ∧T ∧α^p−1+ 1 2^ν

{2^ν+1ψ2^ν+2}

T ∧α^p

. (5)

On aδ(T ) <+∞, d’où l’inégalité suivant :

{2^ν+1ψ2^ν+2}

dψ∧d^cψ∧T ∧α^p−1=

2^ν+2

2^ν+1

dt

{ψ=t}

d^cψ∧T ∧α^p−1

=

2^ν+2

2^ν+1

dt

{ψ<t}

T∧α^p−

2^ν+2

2^ν+1

dt

{ψ<t}

d^cψ∧dT∧α^p−1δ(T )2^ν+1. (6)

L’inégalité résulte du fait que la deuxième intégrale est négative. Il en résulte que(a)^c2₂^{δ(T )}ν+1 .D’après l’inégalité de Cauchy–Schwarz et (6), on a

(b)ε

Kν+1\Kν

dlog(1+ |z_j|²)∧d^clog(1+ |z_j|²)∧T ∧α^p−1+1 ε

Kν+1\Kν

dψ_ν∧d^cψ_ν∧T ∧α^p−1

2ε

Kν+1\Kν

dz_j∧dz_j∧T ∧α^p−1+ 1 2^2(ν+1)ε

Kν+1\Kν

χ²

2^−ν−1ψ (z)

dψ∧d^cψ∧T ∧α^p−1

2ε

Kν+1\Kν

dz_j∧dz_j∧T ∧α^p−1+ c3δ(T ) 2^(ν+1)ε.

Comme(c)=(b)et d’après (3), (4) et la majoration de(a), on a

K_ν+1

ψ_νdd^clog

1+ |z_j|²

∧T ∧α^p−14ε

K_ν+1\Kν

dz_j∧dz_j∧T∧α^p−1+2c₃δ(T )

2^(ν+1)ε +c₂δ(T ) 2^ν+1 . Soitε=1/8. On add^clog(1+ |z_j|²)^dzj∧₄^dzj sur SuppT, d’où¹₄

K_ν+1(ψ_ν−¹₂) dz_j∧dz_j∧T∧α^p−12c₂³ν^{δ(T )}+1 +

c₂δ(T )

2^ν+1 . Par passage à la limite, on a

Cⁿdz_j∧dz_j∧T ∧α^p−1=0.

Sans supposer queδ(T ) <+∞, on montre queδ(T ∧dz_j ∧dz_j) <+∞. En effet : on reprend la majoration de(a). D’après Théorème 1 on aν_T(r)cpour tout r >0, alors Lemme 4 implique qu’il existec>0 tel que

B(r₁,r₂)T ∧α^pc+clog^r_r²

1 on a₂¹ν

{2^ν+1ψ2^ν+2}T∧α^p₂^cν +2cet

{ψ<t}T∧α^p=

{11+|z|²<e^t}T∧α^p c+ct. Il résulte de(6)que

{2^ν+1ψ2^ν+2}

dψ∧d^cψ∧T ∧α^p−1c₁2^ν+1+c₂2^2ν+2.

D’après (5), on a(a)₂^cν+³1 +c₄. Le reste de la démonstration est la même, donc par passage à la limite on trouve δ(T∧dz_j∧dz_j)c₄.

En utilisant le théorème de support pour les courants positifsC-plats et le théorème de Choquet, on a le résultat suivant démontré par [1,4] dans le cas oùT est positif fermé etp=n−1. 2

Proposition 2.4. SoitT un courant positif psh (resp.dd^cT 0) de bidimension(p, p)sur un ouvertUdeCⁿtel que T∧dz_j∧dz_j=0,pour toutp+1jn. Soitπ:z→z=(z_p+1, . . . , z_n)la projection canonique surC^n−p. On suppose que les fibresπ⁻¹(t )sont connexes. Alors, il existeµU une mesure de Radon positive surπ(U )etvt une fonction positive psh (resp.−vt psh) sur[z=t]tel queT =

π(U )vt[z=t]dµU(t ).

D’après Théorème 2.3 siT est un courant positif,dd^c-négatif, à support dans une bande deCⁿ et de degré fini alors on a la conclusion de la Proposition 2.4.

Dans le cas d’un courantT positif fermé de bidimension(p, p)à support tubulaire, en utilisant Proposition 2.4 on montre

Théorème 2.5. SoitT un courant positif fermé de bidimension (p, p) sur Cⁿ. SoitP =(P₁, . . . , P_n−p)une ap- plication polynômiale surCⁿ tels que dimP⁻¹(t )=p pour toutt ∈C^n−p. Si SuppT ⊂ {PC^te}, alors T est algébrique. De plus si on note parV (resp.V) l’espace des composantes connexes des différentes fibresP⁻¹(t )dans Cⁿ, t∈C^k\P (X), (resp. deP⁻¹(t ), t∈P (X)) oùXest l’ensemble des valeurs critiques deP. Alors, il existe une unique mesure positiveµsurV =VV, telle queT =

v∈V[P⁻¹(t )]vdµ(v).

Si T = [X] oùX est une hypersurface alors [5] montre que T est algébrique. Le Théorème 2.5 généralise un résultat de [1,4] dans le cas oùp=n−1.

Remerciements

Nous remercions H. El Mir pour d’utiles conversations qui ont contribué à dégager les idées de ce travail.

Références

[1] M. Blel, S.K. Mimouni, G. Raby, Courants algébriques et courants de Liouville, Prépublication de l’Université de Poitiers, 2000.

[2] J.-P. Demailly, Potential theory in several complex variables, Cours CIMPA, Nice, juillet 1989.

[3] K. Dabbek, F. Elkhadhra, H. El Mir, On the extension of PSH currents, Math. Z. 245 (2003) 455–481.

[4] S.K. Mimouni, Théorème de type Liouville pour les courants positifs fermés, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I (2000) 611–616.

[5] M.T. Togni, Sur les espaces de Liouvilles, Thèse d’Université de Bordeaux I, 1996, pp. 361–376.