(1) Soit A⊂Rn un arc g´eom´etrique r´egulier de classe C1

ANNEE UNIVERSITAIRE 2013/2014 Licence de Math´ematiques

Session 2 de G´eom´etrie Diff´erentielle (N1MA6011) Date : ? ?/06/2014 Heure : ? ?h00 Dur´ee : 3h Documents : Non autoris´es. Calculette homologu´ee : autoris´ee Epreuve de Mr : Bessi`eres. Sujet : 2 pages

Exercice 1. Autour du cours.

(1) Soit A⊂Rⁿ un arc g´eom´etrique r´egulier de classe C¹. Montrer qu’il existe un param´etrage de A par longueur d’arc (on rappellera la d´efinition).

(2) Soit M ⊂Rⁿ une sous-vari´et´e de dimension d, repr´esent´ee au voisinage U d’un point a∈ M comme un graphe :

U ∩M ={(x, f(x))|x∈V}, o`u V est un ouvert de R^d et f :V→R^n−d une application.

(a) Montrer queF(x) = (x, f(x))d´efinit un param´etrage deM au voisinage dea(on rappellera la d´efinition).

(b) Montrer queG(x, y) =y−f(x) d´efinit une submersion de V ×R^n−d dansR^n−d telle que M∩U =G⁻¹(0).

(3) Soit Σ⊂R³ une surface, φ:U ⊂R²→Σune param´etrisation. On noteν(u, v) = _|^∂_∂^uφ∧∂vφ

uφ∧∂vφ| et N l’application de Gauss telle que N ◦φ=ν. Montrer que

h∂uν, ∂vφi=h∂vν, ∂uφi

et en d´eduire que l’endomorphisme de Weingarten−dN :TΣ→TΣest sym´etrique.

Exercice 2.

Soit f :R→R³ la courbe d’´equation x=

√2

2 sint, y =

√2

2 sint, z= cos(t) (a) La courbef est-elle param´etr´ee par longueur d’arc ?

(b) Calculer la courbure def en un pointf(t).

(c) Donner le tri`edre de Frenet de cette courbe en un point f(t).

(d) Calculer la torsion def en un point f(t). Aurait-on pu pr´evoir cette valeur sans calcul ? (e) Esquisser l’image de la courbe, et du rep`ere de Frenet au point f(0).

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Exercice 3. Soit U =R×]0,2π[et φ:U→R³ d´efinie par

φ(t, θ) = (coshtcosθ,coshtsinθ,sinht)

(a) Montrer que φest la param´etrisation d’une surface lisse S.

(b) Prouver queφ(U)⊂f⁻¹(1) o`u f(x₁, x₂, x₃) =x²₁+x²₂−x²₃. (c) A-t-onφ(U) =f⁻¹(1)?

(d) Tracerφ(U).

(e) Trouver l’espace tangent `aS enφ(0, π). Tracer∂_tφ et∂_θφen ce point.

Exercice 4. Soit Σune sous-vari´et´e compacte de dimension 2 deR³ ne contenant pas 0. Soit f la fonction deR³ dansRd´efinie parf(x) =x²₁+x²₂+x²₃. Pour toutc∈R, on poseS_c =f⁻¹({c}).

(a) Pour tout c >0, identifierS_c.

(b) Montrer que f_|Σ, la restriction def `a Σ, admet un minimum et un maximum.

(c) Soitx0 un point deΣtel quef(x0) est extremum local def_|Σ. Montrer queTx0Σ =Tx0S_f(x0). En d´eduire quex0 est perpendiculaire a Tx0Σ.

(d) Soientρ >0et x₀ ∈Σ tels quef(x₀) =ρ² =max_x∈Σf(x).

(e) Montrer que (x₀ +T_x0Σ)∩Σ (l’intersection de Σ avec le plan affine tangent en x₀ `a Σ) est r´eduite `a {x₀}. Que peut-on en d´eduire concernant la courbure de Gauss deΣenx₀?

(f) Soit γ :]−1,1[→Σune courbe lisse telle que γ(0) =x0 et||γ⁰(0)||= 1. Montrer que f◦γ(t) =ρ²+t² 1 +hγ⁰⁰(0), x₀i

+o(t²).

En d´eduire quehγ⁰⁰(0), x₀i ≤ −1.

(g) Soit II_x0 la seconde forme fondamentale deΣau point x₀. Montrer que

|II_x0(γ⁰(0), γ⁰(0))| ≥1/ρ,

(on pourra remarquer que la normale unitaire `aΣenx0 est ´egale `a±¹_ρx0).

(h) Montrer que la courbure de Gauss deΣau point x0 est sup´erieure o`u ´egale `a1/ρ².

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