Td corrigé Maîtrise de Physique - Exercices corriges pdf

(1)

Université de Caen Master I de Physique

TD 2013

TD n°2 – Approximation de Born et sections efficaces Potentiels de Yukawa et coulombien

A. Fonction d'onde diffusée :

I. Laplacien de ¹ ^r :

1. Montrer, en utilisant un parallélépipède rectangle de dimensions dx, dy et dz, que



^V ^ S

S d f grad r

d

f ³ . ² , f étant un champ de scalaires, V le volume du parallélépipède, et S sa surface.

2. Soit une sphère de rayon r = , et g une fonction d'expression ^g

 

^r ^¹ ^r à l'extérieur de cette sphère. Soit f une fonction lentement variable entre 0 et .

2.1. Montrer que



^f₀^^{ }^r ^^g^^{ }^r ^d³^r ^ ^⁴^ ^f^{ }⁰ (On rappelle que, 1 0

1 1

2

2 



 







 



 





rr r r

r si r  0).

2.2. En déduire que ^¹ ^r ^^⁴^

 

^r , ^

 

^r étant la distribution de Dirac.

II. Fonctions de Green :

1. Soient u et v deux fonctions des variables x, y et z. Développer  uv . 2. En utilisant le résultat de la question 1., calculer _



 



 ^ r e ^ikr

.

3. Nous cherchons des fonctions ^G

 

^r solutions de l'équation



^^^k2



^G

^{ }

^r ^^

^{ }

^r . Montrer que  

r r e

G ^ikr

4



  convient (G est appelée fonction de Green). Il est rappelé que f

  

x  xxo



 f

  

xo  xxo



III. Equation intégrale de la diffusion :

(2)

1. Dans la suite de l'exercice, nous n'utilisons que la fonction G. Soit o

 

^r une solution de l'équation



^^^k²



o

 

^r ^⁰. Montrer que toute fonction ^

 

^r qui vérifie ^^{ }^r ^^^o^{ }^r ^



^G^^^r^^r^'^^U^{   }^r^' ^ ^r^' ^d³^r^' est solution de l'équation



^^^k²



^

     

^r ^^U ^r ^ ^r ^.

2. En déduire une expression générale de la fonction d'onde diffusée diff

 

^r en choisissant judicieusement o

 

^r .

3. Soit M un point (position r) très éloigné de points P (position r') de la zone de potentiel, dont les dimensions linéaires sont de l'ordre de L.

3.1. Montrer que

 

^. ^'

4

' 1 îkr e îkû^r r

r e r

G_   ^

 , avec ^u^^r ^r. 3.2. En déduire l'expression de l'amplitude de diffusion f,.

B. Approximation de Born – Applications :

I. Approximation de Born :

La fonction d'onde diffusée s'écrit ^^diff

 

^r ^êⁱ^kⁱ^.^r ^⁴¹^ êîk^r^f^r



ê^îk^fû^.^r^'Û

 

^r^' ^^diff

 

^r^' ^d³^r^'^.

1. Ecrire de la même manière diff

 

^r^' en fonction de

^ ^diff   ^r ^"

et en déduire

 

^r

diff en fonction de diff

 

^r^' et

 diff   ^r ^"

^.

2. Le potentiel U étant une perturbation, on se limite au 1^er ordre en U. Que devient la fonction d'onde diffusée, en fonction de k kf ki ?

II. Amplitude de diffusion et section efficace :

1. Ecrire l'amplitude de diffusion en fonction de V, défini par ^V _^U

2

2

 , et de k. 2. En déduire l'expression de la section efficace de diffusion.

(3)

III. Application à quelques potentiels : 1. Potentiel de Yukawa :

1.1. Le potentiel de Yukawa est défini par

 

r V e r V

r o



  ,  et Vo étant des

constantes positive. Réécrire l'expression de f,. 1.2. Quelle est l'expression de d³r en coordonnées sphériques ?

1.3. Montrer que ^f

 

^^k ^^²



^²²^^^V^o^^k²



(on admettra que ^f

   

^^k ^ ^f ^^k^' )

1.4. Montrer que

 

₂

2 2 2 4

2 2

sin 2 4 4



 



 

  

 



k V_o



2. Potentiel coulombien :

2.1. Dans le cas d'un potentiel coulombien, quelles sont les valeurs de  et Vo ? 2.2. Que deviennent les expressions de f, et de   ?

3. Diffusion par une barrière de potentiel :

3.1. La barrière de potentiel est définie ainsi : si r > ro, V = 0 ; si r < ro, V = Vo. En s'inspirant de la question 1., calculer f,.

3.2. En déduire la section efficace de diffusion.

3.3. Déterminer la section efficace de diffusion dans le cas ^ro^k ^¹.

(4)

Solutions

A. Fonction d'onde diffusée : I. Montrer que ^^¹ ^r^^^⁴^

 

^r :

1. Montrer que



^V^^f ^d³^r ^



^S^grad^f^.^d²^S^:

Pour simplifier, nous allons prendre un parallélépipède rectangle de dimensions dx, dy et dz (Figure 1).

Figure 1 Calculons f d²S sur la surface fermée :

sur les deux surfaces hachurées, d²S dxdzey et x y ez

z e f y e f x f f

grad 

 



 



 

dz y dx dz f y dx

S f d f grad

y dy

y 





 



2 dydxdz

y dz f y dx

f y

f

y dy

y

2 2



 



















 



Le calcul s'effectue de la même manière sur les quatre autres faces. Il faut sommer toutes les contributions.

dy dx z dz dz f dy x dx dz f dx y dy S f

d f

grad ₂

2 2

. 









 



^

 



 















  dxdydz f d r

z f y

f x

f ₃

2 2 2 2 2 2

(5)

2. Soit une sphère de rayon r = , et g une fonction d'expression ^g

 

^r ^¹ ^r à l'extérieur de cette sphère. Soit f une fonction lentement variable entre 0 et .

2.1. Montrer que     ⁴  ⁰

0

3r f

d r g r

f    



^

1 0 1

1

2

2 



 







 



 





rr r r

r si r  0

  ^f ^r ^g  ^r ^d ^r ^f ^r ^g  ^r ^d ^r

I ³

0 3 0



 



^   



 puisque entre  et l'infini, ^^g

 

^r ^⁰

 ^ ^ ^f ⁰



⁰^^ ^g^ ^r ^d³^r ^^f ⁰



⁰^^grad^g^ ^r ^d²^S

I

Figure 2

 

er

r grad r

r g

grad 1 1₂



 



 



          1 4 4  0

1 0 1 0

1 0

0 ₂d²S f ₂d²S f ₂ d²S f ₂ ² f

f r I

S S

S



 



 







 



 

    ³ 4  0

0

f r

d r g r

f  _  



^

2.2. En déduire que ^1 r^4

 

r :

L'égalité précédemment démontrée peut s'écrire aussi

   

_{ }₀

4

3 0

f r r d r g

f  















^  ^^

or     ³  0

0

f r d r r

f 



^ ^ ^donc^g

 

^r 4^^

 

^r

 

^r

r 4 1



 



 II. Fonction de Green :

(6)

1. Soient u et v deux fonctions des variables x, y et z. Développer  uv :

       

2 2 2 2 2 2

z u y

u x

u u













 v v v v

 

u x x u x

u



 



 



 v

v v

 

x x u u x

x u x

u



 



 



 



 v v

v v

2 2

2 2 2 2

2

Les expressions de

 

2 2

y u



 v

et

 

2 2

z u



 v

se déduisent de la précédente par permutation circulaire :

 

y y u u y

y u y

u



 



 



 



 v v v v

2 2

2 2 2 2

2

 

z z u u z

z u z

u



 



 



 



 v v

v v

2 2

2 2 2 2

2

Finalement,

 uv vuuv2gradu.gradv



2. En utilisant le résultat de la question 1, calculer _



 



 ^ r e ^ikr

:

   





 



 



 













 



 ^ ^ ^ ^

grad r e

r grad e

r e r

e ikr 1 ikr ikr 1 2 ikr . 1

Cela fait quatre termes à calculer :

 1^er terme :

   

_



 



 

 ^^ikr re^^ikr dr

d r e r

r ²

1 2

1 1



^re ^ikr



ê îkr îkre îkr

dr

d _ _ _







^re ^ikr



îke îkr îke îkr ^k ^re îkr îke îkr ^k ^re îkr

dr

d²₂       ²  2   ² 

(7)

 

^

 e^ikr r

1



^ik ^k ^r



^e ^ikr

r

 

 ²

2 2

1

 2^nd terme :

 

^ikr

ikr r e

e^ r ^



 



1 4

 3^ème terme :

 

ikr r

r

ikr ikr e ike e

dr e de

grad ^  ^  ^

 4^ème terme : er

r grad r1 1₂







 





Finalement,

 

^ikr

 

^ikr ^ikr _r _r

ikr

r e e ike e

r e

r k r ik

r

e 



 

 











 



 ^ ₂ ² ^ ^ ^ 1₂

. 2

4

1 2 

   

^e ^ikr

ik r r r

k r ik

 



 



 



 









 ₂ ² 1₂

2 4

1 2 

 r e ^ikr r

k 



 



 

 4

2

  ^ikr

ikr

e r r

k r

e^ _



 



 





 



 4

2

3. Nous cherchons des fonctions G_

 

r solutions de l'équation



^k²



^G_

   

^r ^ ^r . Montrer que  

r r e

G

ikr

 4



  convient (G est appelée fonction de Green) :

 

e  r e  r  r r

k e r

G

k îkr îkr îk  

   











 ² _ ² ^ ^ ^ ⁰

4

Conclusion :

fonction de Green

(8)



k²



G_

   

r  r avec  

r r e

G ^ikr

4



 

III. Équation intégrale de la diffusion :

1. Solution de l'équation



^^^k²



^

     

^r ^^U ^r ^ ^r ^:

^^^k²^^diff  ^r ^^^^k²^^o ^r ^^^^k²



^G^^r^^r^'  ^U ^r^'^^diff ^r^'^d³^r^'

       



^^ ^

 k² G r r'U r'diff r'd³r'



^^^k²



n'agit que sur la variable r :

^^^k²^^diff  ^r ^



^^r^^r^'  ^U ^r^' ^^diff ^r^'^d³^r^' ^U

 

^r diff

 

^r

2. Expression générale de la fonction d'onde diffusée : Pour la diffusion o e^ikz

posons k = ki :

r k u z k

k_i  _i. _z  _i.

 

^r ^^eⁱ^k^.^r ^



^G^



^r^^r^'

  

^U ^r^' ^diff

 

^r^'^d³^r^'

diff ⁱ 



3.1. Montrer que ^G

 

^r^r^' ₄¹ ê_rîkr ê^îkû^.^r^'

 :

 

4 ' ' 1

'

r r r e

r G

r r ik

 





 

 cos ' 2 ' '² r² r² rr r

r   



² ²



¹^/² ₂² 'cos ¹^/² ' 2

1 cos

' 2 '

' 

 



  









  

r r r r r rr

r r r r



 'cos

'cos

1 r r

r

r r  



 

 





^r ^r^'



₄¹ êîk^^r_r^r^'^cos ^ ₄¹ ê_rîkr êîkr^'^cos ₄¹ ê_rîkr êⁱ^k^.^r^'

G   ^ 

  





 ^



 

^r ^r^' ₄¹ êîk_r^f^r ê îk^fû^.^r^'

G_   ^



(9)

3.2. Expression de l'amplitude de diffusion :

 ^r ^^eⁱ^k^.^r ^



^G^^r^^r^'  ^U ^r^' ^diff  ^r^'^d³^r^'

diff ⁱ 



   



^^^{ } ^^^ ^



 ' ' '

4

1 . ' ₃

. e U r r d r

r

e e ^ik ^u^r _diff

r r ik

k

i f

f

i 



   



^



 ' ' '

4

1 . ' ₃

. e U r r d r

r

e e ^ik ^u^r _diff

r r ik

k

i f

f

i 



 

r f e

e

r ik r

k

i _i^.  , ^f

 si l'on pose

 ^,  ^^⁴¹



^e^ ^. ^'^U

 

^r^'

 

^r^'^d³^r^'

f ^ik^f^u^r _diff

 



B. Approximation de Born – applications : I. Approximation de Born :

1. diff

 

^r^' en fonction de

 diff   ^r ^"

et en déduire diff

 

^r en fonction de

 

^r^'

diff et

 diff   ^r ^"

^:

 

^r^' ^êⁱ^k^.^r ^⁴¹ êîk^r^'^r^'



ê^îk û^.^r^''Û

   

^r ^'' ^diff ^r ^''^d³^r^''

diff

f f

i 

  donc

         

^^







 



 ^ ^ '' '' '' '

' 4 ' 1

4

1 ' . '' 3 3

' ' .

. . e U r r d r d r

r e e

r U r e

e e

r ^ik ^u^r _diff

r ik r

k r i

u ik r ik r

k i diff

f f

f i f

i 



 

Amplitude de diffusion

(10)

   

         













 







' '' '' ' ''

4 ' 1

' 4 '

1

3 '' 3

. '

' ' .

. 2

' 3 ' .

. .

r d r d r r

U r e

e e r U e

r d e r U r e

e e r

diff r

u ik r ik r k r i

u ik

r k r i

u ik r ik r

k i diff

f f

f i

f i f

i

 

 

2. U perturbation – Fonction d'onde diffusée, en fonction de kkf ki :

 

^r ^êⁱ^k^.^r ^⁴¹ êîk^r^r



ê^îk û^.^r^'Û

 

^r^'^eⁱ^k^.^r^'^d³^r^'

diff ⁱ

f f

i

 

 



^ ^



 ' '

4

1 . ' 3

. e U r d r

r

e e ⁱ^k ^k ^r

r ik r

k

i f i

f

i 

 

^r ^êⁱ^k^.^r ^⁴¹ êîk^r^r



^e^ⁱ^^k^.^r^'^U

 

^r^'^d³^r^'

diff

f i

 

II. Amplitude de diffusion et section efficace :

 ^, ^^⁴¹



^e^^ ^. ^'^U

 

^r^'^d³^r^'

f ⁱ ^k^r

 



or ^U

 

^r^' ^ ₂^_² ^V

 

^r^'

donc



^,



^^² ²



^e^^ ^. ^'^V

 

^r^' ^d³^r^'

f ⁱ ^k^r



 



La section efficace est donnée simplement par le module au carré de l'amplitude de diffusion :

  2 4 ^. ^'

 

³ ²

2

' 4 '

,^ ^ ^^^



^e^ⁱ^^k^r^V ^r ^d ^r





III. Application à quelques potentiels : 1. Potentiel de Yukawa :

1.1. Amplitude de diffusion :

 

r

V e r V

r o



 

donc

Td corrigé Maîtrise de Physique - Exercices corriges pdf

A. Fonction d'onde diffusée :





 



 

 

 





 

 

  



  



 





 

 







     

 

 

 

B. Approximation de Born – Applications :

 



 

 

 

 diff   r "

 

 

 diff   r "

 

 





   

 

Solutions

 









 







 





 









 

   





 

 

 

       

 

 

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