1 Cette leçon est à écrire dans le cahier. Se contenter de la coller ou de la lire sur l’écran ne permet pas de la retenir suffisamment.
Pour chaque heure de cours prévue en mathématiques, effectuer une étape ; - copier la leçon côté cours (quand il y a une leçon à copier)
- faire les exercices côté exercices
- vérifier les réponses à l’aide des corrections qui sont à partir de la page 6 Puissances entières d’un nombre relatif
Partie en bleu à ne pas écrire, à lire seulement :
À l’école primaire, vous avez appris que 𝟑 + 𝟑 + 𝟑 + 𝟑 + 𝟑 + 𝟑 + 𝟑 pouvait s’écrire 𝟕 × 𝟑 ; c’est-à-dire que la multiplication est une écriture plus commode d’une série d’additions identiques.
Il existe de la même façon une écriture plus commode pour une série de multiplications identiques : ce sont les puissances :
𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 = 𝟑𝟕 ce qui se lit « 3 puissance 7 » ou « 3 exposant 7 »
1. Définition
Pour un nombre a quelconque,
𝒂𝟑= 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 𝒂𝟒= 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 Et de manière générale,
𝒂𝒏 = 𝒂 × 𝒂 × … × 𝒂
a est écrit n fois 𝑎𝑛 se lit « a puissance n » ou « a exposant n »
Exemples
𝟒𝟓= 𝟒 × 𝟒 × 𝟒 × 𝟒 × 𝟒 = 𝟏𝟎𝟐𝟒
Écriture sous forme de puissance calcul écriture décimale
𝟏𝟐𝟑= 𝟏𝟐 × 𝟏𝟐 × 𝟏𝟐 = 𝟏𝟕𝟐𝟖
𝟖𝟏𝟎 = 𝟖 × 𝟖 × 𝟖 × 𝟖 × 𝟖 × 𝟖 × 𝟖 × 𝟖 × 𝟖 × 𝟖 = 𝟏 𝟎𝟕𝟑 𝟕𝟒𝟏 𝟖𝟐𝟒
2 À la calculatrice :
Il existe une touche pour calculer avec les puissances :
Attention au piège :
(−𝟑)𝟒 : (-3) est à la puissance 4 donc il se multiplie 4 fois à lui-même : (−𝟑)𝟒 = (−𝟑) × (−𝟑) × (−𝟑) × (−𝟑) = 𝟖𝟏
−𝟑𝟒 : ici la puissance ne porte que sur le 3 et pas sur le (-3)
−𝟑𝟒 = −𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 = −𝟖𝟏 :
Côté exercices : 8 et 9 p 84 Fin de l’étape
3 Remarque :
21 = 2 71 = 7
De manière générale, pour un nombre a quelconque, 𝑎 = 𝑎1
Vocabulaire :
La puissance 2 et la puissance 3 ont un nom spécifique : 52 se lit « 5 au carré » et 53 se lit « 5 au cube » De manière générale, pour un nombre a quelconque :
𝑎2 est « a au carré » 𝑎3 est « a au cube »
Côté exercices : 23 ; 25 et 34 p 85
27 p 85 : il faut essayer différents calculs pour trouver la bonne réponse
Fin de l’étape
4 Séance d’exercices
Relire tout d’abord la leçon
Exercice qui n’est pas dans le livre : 1. recopier et calculer :
1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8
5 5 5 5 5 5 5 5
1 2 3 4 5 6 7 8
4 4 4 4 4 4 4 4
2. Recopier et compléter :
Le chiffre des unités de 2n fait une boucle ….-…..-…..-…… puis encore ….-…..-…..-……
quand la puissance n augmente de 1 en 1.
3. Faire une phrase similaire pour 5n puis pour 4n
Á rendre par pronote ou par mail au collège : 104 p 92 À faire côté exercices : 32 et 33 p 85
Relire la leçon
Séance d’exercices :
94 d’abord puis 93 et 95 p 91 Fin de l’étape
Fin de l’étape
5 2. Puissances négatives
Pour un nombre a quelconque :
𝒂𝟎= 𝟏
𝒂−𝒏= 𝟏
𝒂𝒏 𝒔𝒊 𝒂 ≠ 𝟎
Exemples : 140 = 1
5−2= 1 52 = 1
25
Côté exercices : 11 et 12 p 84 49, 50 et 51 p 86 Fin de l’étape
6 3. Calculs
Partie en bleu à lire et à ne pas écrire : 𝟑𝟓 × 𝟑𝟐
= 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 : il y a en tout 7 fois le 3 : 5 + 2 Donc, 𝟑𝟓× 𝟑𝟐= 𝟑𝟓+𝟐= 𝟑𝟕
De manière générale, pour un nombre a quelconque : 𝒂𝒏× 𝒂𝒌 = 𝒂𝒏+𝒌 Exemples :
35× 37 = 35+7 = 312 23× 214 = 23+14= 217
84× 8−6= 84+(−6)= 8−2 2 × 23 = 21+3= 24 car 2 = 21
De la même façon,
𝒂𝒏
𝒂𝒌 = 𝒂𝒏−𝒌
Exemples : 35
37 = 35−7 = 3−2 28
23 = 28−3 = 25 23
28 = 23−8 = 2−5
84
8−6= 84−(−6) = 810 2
23 = 21−3 = 2−2
Côté exercices : faire les exercices 1 et 2 qui sont sur la page suivante
Fin de l’étape
7 Exercice 1
Recopier (ou imprimer) et compléter par le calcul et la puissance qui conviennent
8 6 ... .... 3 7 ... ... 4 ... ...
2 5 ... ... 3 3 ... .... 8 3 4 ... ...
7 ...
3
5 5 5 5 4 4 4 4 6 6 6 6
4 4 4 4 12 12 12 12 7 7 7 7 7
5 5 5
... .... 5 ... ... 5 ... ...
14 5
3 3 3
... ... ... ... ... ...
3
6 2
5 6 6 2 2
6 2
7 8 3
7 7 8 8 3 3
7 8 3
Exercice 2
Recopier (ou imprimer) et compléter par le calcul et la puissance qui conviennent
8 ... ... 11 ... 3 ... 10 7 ... ... 5
3 ... ... 9 ... 3 ... 0 6 ... 2 ... 12
9
5 5 5 5 2 2 2 2 6 6 6 6
8 8 8 8 15 15 15 15 3 3 3 3 3
5
... ...
... 6 ... 10 ...
.... 14 6
... 3 ...
... 7 ... 15 ... 3
... 2
3 2
5 5 3 3 2 2
5 3 2
4 7 15
4 4 7 7 15 15
4 7 15
Fin de l’étape
8 Correction des exercices
8 p 94 A-G B-H C-E D-F
9 p 84
52 = 5 × 5 = 25 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 19= 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 010= 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0 (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
Fin de l’étape
9 23 p 85
a. 54 b. 37 c. 26 d. 104
25 p 85
a. 53 = 5 × 5 × 5 = 125
b. 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128 c. (−1)3= (−1) × (−1) × (−1) = −1
d. (0,1)5 = 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,00001 e. (−7)2= (−7) × (−7) = 49
34 p 85
(−2)3= (−2) × (−2) × (−2) = −8
−23 = −2 × 2 × 2 = −8
(−2)4= (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
−24 = −2 × 2 × 2 × 2 = −16
(−2)5= (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = −32
−25 = −2 × 2 × 2 × 2 × 2 = −32
(−2)6= (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 64
−26 = −2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = −64
On remarque que (−2)3 = −23 et (−2)5 = −25 mais que (−2)4 ≠ −24 et (−2)6 ≠ −26
27 p 85
25 = 52 64 = 26 81 = 34 729 = 36
−9 = −32 − 625 = −54 1 = 20 𝑜𝑢 30 𝑜𝑢 50 256 = 28
Fin de l’étape
10 Exercice qui n’est pas dans le livre :
1. :
1 2 3 4 5 6 7 8
2 2
2 4
2 8
2 16
2 32
2 64
2 128
2 256
1 2 3 4 5 6 7 8
5 5
5 25
5 125
5 625
5 3125 5 15625
5 78125
5 390625
1 2 3 4 5 6 7 8
4 4
4 16
4 64
4 256
4 1024
4 4096
4 16384
4 65536
2. Le chiffre des unités de 2n fait une boucle 2-4-8-6 puis encore 2-4-8-6 quand la puissance n augmente de 1 en1.
3. Le chiffre des unités de 5n est toujours 5, quelle que soit la valeur de n
4. Le chiffre des unités de 4n fait une boucle 4-6 puis encore 4-6 ; 4-6, etc. quand la puissance n augmente de 1 en1.
32 p 85
a. La veille : 67
b. 5 jours auparavant : 63 c. Le lendemain : 69 d. 3 jours plus tard : 611
33 p 85
Tom a tort, la surface doublant chaque jour, le lendemain l’étang sera recouvert
Fin de l’étape
11 94 p 91
a. Les choix possibles d’Ivan sont : A-P B-P C-P
A-Q B-Q C-Q A-R B-R C-R
b. Il y a 3 choix d’entreé possibles, 3 de plat et 3 de dessert.
Il y a donc en tout 3 × 3 × 3 = 33 = 27 menus gourmands différents
93 p 91
Le nombre de cellules au bout d’une heure est 2
Le nombre de cellules au bout de deux heures est 2² = 4 Le nombre de cellules au bout de trois heures est 23 = 8
…
Le nombre de cellules au bout de n heures est ainsi 2n.
On cherche la valeur de n pour laquelle 2n dépasse 200. On peut s’aider de l’exercice qu’il fallait faire hier (à la page 10 de cette leçon) : c’est n = 8.
À la 8e heure (donc à 20h car elle a commencé à midi) Léa observera plus de 200 cellules.
95 p 91
1. a. Il y a 315 réponses possibles aux 15 premières questions b. Il y a 45 réponses possibles aux 5 dernières questions
2. Pour le questionnaire, il y a en tout 315× 45 = 14 693 280 768 soit plus de 15 milliards de réponses possibles, Sophie a raison.
Fin de l’étape
12 11 p 84
a. 2-2 b. 10-10 c. (-3)-4
12 p 84
I-N J-L K-M
49 p 86 𝑎. 5−4= 1
54 = 1
625 𝑏. 10−8= 1
108 = 1
100 000 000
𝑐. 3−1=1
3 𝑑. (−2)−3 = 1
(−2)3 = −1 8
50 p 86
𝑎. 1 36= 1
62 = 6−2 𝑏. 1
10 000= 1
104 = 10−4 𝑐. 1
25 = 2−5 𝑑. 0,01 = 1
102 = 10−2 𝑒. 1
32 = 3−2 𝑓. 1
106 = 10−6
51 p 86
a 2 3 10
a-1 0,5 1
3 0,1
a-2 0,25 1
9 0,01
a-3 0,125 1
27 0,001
Fin de l’étape
13 Exercice 1
8 6 8 6 14 3 7 3 7 4 4 1 4 5
2 5 2 ( 5) 7 3 3 3 ( 3) 0 8 3 4 . 8 3 ( 4) 9
7 5 5
7 3 4 5 14 19 5 ( 5) 10
3 14 5
3 3 3
3 1 2 3 1 4 3 ( 3) 0
3
5 5 5 5 4 4 4 4 6 6 6 6
4 4 4 4 12 12 12 12 7 7 7 7 7
5 6 2
5 5 6 6 2 2
5 6 2
7 8 3
7 7 8 8 3 3
7 8 3
Exercice 2
8 3 8 3 11 7 3 7 3 10 7 . 2 7 ( 2) 5
3 6 3 ( 6) 9 3 3 3 3 0 6 4 2 .6 4 2 12
9 4 .7
9 3 6 4 14 10 7 6
.3 14 6
6 3 1
6 1 7 3 ( 18) 15 1 2 3
18 2
5 5 5 5 2 2 2 2 6 6 6 6
8 8 8 8 15 15 15 15 3 3 3 3 3
5 3 2
5 5 3 3 2 2
5 3 2
4 7 15
4 4 7 7 15 15
4 7 15
Fin de l’étape
