Somme de Etudiants

1

Bienvenue à l’Ecole des HEC

• Nous espérons que le programme correspond à vos attentes, même si dans les cours de 1^ère année vous devez surtout apprendre les techniques utilisées en sciences économiques.

• Il y a deux groupes de cours en 1ère année:

• Groupe 1: management, comptabilité, droit, informatique

• Groupe 2: mathématiques, statistique, économie politique

• Il faut une moyenne d’au moins 4 pour chaque groupe pour réussir la 1ère année

Statistique

• Ce cours est dédoublé:

• Groupe A: pour les étudiants dont les noms commencent par les lettres A-K.

Dans cette salle de 8h à 10h45.

• Groupe B: pour les étudiants dont les

noms commencent par les lettres L-Z. Le mardi dans la salle A (13h15-16h).

3

HORAIRE EXERCICES

• A-BE: lundi 17-19, 126 (Nef)

• BF-CE: vendredi 13-15, 210 (Pol)

• CF-DZ: mardi 15-17, 210 (Pol)

• E-GO: mardi 17-19, 231 (Nef)

• GP-KZ: jeudi 13-15, 410 (Max)

• L-MI: mercredi 17-19, 321 (Pol)

• MJ-RA: lundi 10-12, 321 (Pol)

• RB-ST: lundi 17-19, 122 (Nef)

• SU-ZW: jeudi 12-14, 232 (Nef)

Manuels

• Le polycopié pour ce cours est:

A. Mattei, Statistique, Lausanne, 2007

• Il fait partie du paquet de première année (160 Fr pour le paquet, 30 Fr pour ce

polycopié). En vente au Bureau des polycopiés, Anthropole 2088.

• En anglais: G. Keller, Statistics, Thomson, London, 2005

Calculatrice, logiciels et tables

• Autrefois on utilisait des tables pour calculer des logarithmes ou des

probabilités

• Aujourd’hui on utilise au minimum des calculatrices mais le plus souvent des tableurs et des logiciels statistiques

• Dans ce cours on utilisera la TI-83/84, EXCEL et MINITAB

En vente au Comité HEC pour environ 160 Fr

Exercices

• Les étudiants sont répartis en 9 groupes pour des séances d’exercices de 2 heures.

• Début des exercices: la semaine prochaine.

• Répartition des groupes et horaires: voir le site

internet pour les derniers changements:

www.hec.unil.ch/amattei/stat.htm

• Conseil: faire les exercices et réviser

régulièrement la matière traitée au cours.

A noter dans votre agenda

• Test 1: mardi 20 novembre 2007

• Test 2: mardi 26 février 2008

• Test 3: mardi 20 mai 2008

• Si la moyenne géométrique des tests est supérieure à l’examen final, la note sera la moyenne arithmétique de ces deux notes.

• Examen MINITAB: 31 mai 2008. C’est une question de l’examen final.

STATISTIQUE

• Ensemble de données (ex. les statistiques du commerce extérieur)

• Ensemble de techniques mathématiques utilisées pour analyser des données. La statistique est une branche des mathéma- tiques appliquées. Science qui s’occupe de la collecte, de la présentation, de

l’analyse, de la déduction et de

l’interprétation de données nombreuses.

CHAPITRES

• Statistique descriptive

• Théorie des probabilités

• Distributions de probabilité

• Introduction aux méthodes bayesiennes

• Théorie de l’échantillonnage

• Théorie statistique de l’estimation

• Tests d’hypothèses

• Test chi-carré

• Analyse de la variance

• Ajustement statistique

• Séries chronologiques

Importance de la statistique

• Depuis des siècles, les hommes tiennent des

statistiques pour toutes sortes de raisons: compter le

nombre d’habitants, noter l’importance des récoltes, des températures et des précipitations, enregistrer l’évolution du prix de l’or ou du pain, etc.

• Dans le monde moderne, la statistique est devenu

omniprésente. Il ne passe pas un jour sans lire dans la presse ou écouter la radio les résultats d’une enquête statistique, que se soit le nombre d’accidents de la

circulation, le lien entre alimentation et cancer, le degré de couverture des caisses de pension, les indices

boursiers ou celui des prix à la consommation.

• Interpréter toutes ces informations n’est pas facile. Très souvent, le public en tire des

conclusions fausses ou incomplètes. Par

ailleurs, la présentation des statistiques n’est souvent pas neutre. On veut rassurer ou

alors impressionner le public. Parfois, l’effet n’est pas voulu mais il est la conséquence d’une présentation lacuneuse ou imprécise.

Même si l’on exclut les cas flagrants de manipulation des statistiques, une

méconnaissance des techniques conduit souvent à un résultat similaire.

• On a pu dire que la statistique était la forme scientifique du mensonge (c’est le titre d’un ouvrage de Jean-Louis Boursin mais avec un point d’interrogation). On a attribué à un

ministre de la reine Victoria (Disraeli) la sentence suivante: il y a trois sortes de mensonges: les simples mensonges, les damnés mensonges et les statistiques.

• En 1954, Darrell Huff publie un petit livre intitulé « Comment mentir avec les

statistiques ». Il présente toute une série

d’exemples où les statistiques sont biaisées, les conclusions fausse ou l’interprétation est erronée.

• Voici quelques exemples significatifs:

• On publie le revenu moyen des licenciés d’une célèbre université en prenant les résultats d’un questionnaire envoyé aux membres d’une association de gradués.

• On donne la température moyenne sans préciser que cette valeur très agréable est le résultat d’un froid très fort en hiver et

d’une chaleur élevée en été (nous verrons qu’il ne suffit pas de donner la moyenne, il faut aussi préciser l’écart-type).

• En changeant l’échelle d’un graphique, on peut faire passer une hausse des dépenses publiques comme insignifiante ou très

importante.

• On dit qu’il y a plus d’accidents sur

l’autoroute à 7 h. de l’après-midi qu’à 7 h.

du matin sans préciser que le trafic est plus important à la fin de l’après-midi.

• On souligne que le risque de décès est plus élevé à New York que dans la marine

militaire sans préciser qu’il n’y a pas de soldats âgés.

• Si les étudiants qui fument ont des notes plus basses que ceux qui ne fument pas, il ne faut pas en déduire que la fumée réduit la performance des étudiants (différence entre corrélation et causalité).

• Cinquante ans plus tard, on trouve toujours les mêmes erreurs. Voici quelques exemples de présentations lacuneuses, de conclusions inappropriées ou des erreurs.

EXEMPLES

• Interpréter correctement les données est difficile: décès dus à la chaleur, OMS:

60000 décès dus au soleil, profit de l’UBS, salaire moyen (dictature de la moyenne)

• Les données ne sont pas neutres:

impressionner ou rassurer (accidents d’avion ou à la maison, accident de

plongée ou de parapente, grippe aviaire, nombre de pauvres: relatif (moins de la moitié du revenu médian) ou absolu

(moins de 16000 $)

21

• Si l’on veut impressionner le public, on prend des chiffres absolus sans mentionner leur signification réelle. Par exemple, on indique que le bénéfice de l’UBS a été de 11.25 milliards de francs en 2006.

Parfois on donne le bénéfice par employé (144’000 francs) en oubliant les bureaux, les ordinateurs et les capitaux mis à disposition par les actionnaires.

• Le bénéfice par action (valeur nominale de 10

centimes) de 5.6 francs ne vaut rien dire non plus car il y a des réserves légales et latentes.

• On peut calculer le bénéfice par rapport aux fonds

propres (26.5%) ou par rapport à la valeur de l’action (7.5%). C’est moins spectaculaire mais c’est un chiffre qui peut être comparé aux taux d’intérêt des capitaux risqués.

• Lorsqu’on critique l’emprise de l’Etat dans la vie économique, on prend le total des budgets des collectivités publiques et on le compare au

produit intérieur brut (31%). Or, ce dernier

exprime la valeur ajoutée dans une économie tandis que les dépenses publiques

comprennent aussi les achats de biens et services et les transferts. Si l’on prend le

volume de la production, la part des budgets publics n’est que d’environ 15%.

• Lorsqu’en 2005 un accident de plongée

faisait deux morts, on pouvait lire dans les journaux que ce sport est moins dangereux que l’automobile car il y a plus de morts sur la route que dans le lac.

• Les dangers des différents moyens de

transport doivent aussi être mis dans leur

juste perspective. Si l’on prend le nombre de décès par passager et par kilomètre

parcouru, l’avion est l’un des plus sûrs. Si l’on prend les décès par heure passée dans chaque moyen de transport, la différence est moins grande.

Exemple de discrimination?

• 31% de femmes admises contre 74%

Hommes Femmes

Postulé Admis % admis Postulé Admis % admis

Lettres 43 13 30 129 48 37

Psychologie 61 7 11 285 60 21

Physique 125 119 95 8 8 100

Chimie 166 155 93 21 20 95

Total 395 294 74 443 136 31

Exemples

• Erreurs avec les pourcentages (TV, journaux ):

variation en pour-cent et variation de points de pourcentage

• Faux calcul des probabilités: mort subite du nourrisson: (1/8500)²=1/ 72.5 millions

• Extrapolations abusives: Les Suisses vont-ils disparaître?: la population de la Suisse,

problèmes, perspectives politiques, Berne 1985 (si le taux de fécondité reste à 1.5 enfants par femme, en 2040 la population suisse ne sera que de 4.9 millions d’habitants)

Exemple récent

• A la page 12 de L’Hebdo du 23 août 2007 on pouvait lire ceci:

• « 5845 francs, tel est le salaire médian des Suisses (à ne pas confondre avec le salaire moyen, il indique le salaire perçu par le plus grand nombre d’employés d’un secteur

donné). »

• Or, il n’y a peut-être personne avec ce salaire mais en tout cas la majorité des Suisses n’a pas ce salaire (voir la définition de médiane).

Exemples

• Selon l’Office USA du recensement, le 17 octobre 2005 à 7h46 la population des

Etats-Unis était de 300 millions d’habitants.

• Comment peut-on être si précis si l’on sait que lors du dernier recensement plusieurs millions d’individus n’avaient pas été

comptés?

• Il s’agit du résultat d’un modèle utilisé pour prévoir la population.

Exemples

• Les données économiques sont souvent

imprécises: estimation peu fiable (données macroéconomiques), omissions volontai-

res (fisc, maladies)

• Les sondages sont souvent peu fiables (échantillon trop petit, questions mal

posées, cas des non réponses)

• Dans son livre « Précision et incertitude des données économiques », Morgenstern

souligne la qualité souvent médiocre des

données économiques. En effet, ces données sont souvent le sous-produit des résultats du monde des affaires ou de l’administration

publique. Elles n’ont pas été récoltées dans le but d’obtenir une information fiable sur un sujet précis. D’autre part, les agents économiques ont souvent intérêt à donner des informations imprécises pour tromper les concurrents ou pour la crainte du fisc. Parfois la réponse

imprécise provient tout simplement d’une incompréhension de la question posée.

• Les données macroéconomiques sont des estimations souvent très approximatives et qui changent fortement lorsqu’on procède à des révisions. Par exemple,

l’Office fédéral de la statistique a révisé en 1998 les estimations du produit intérieur brut (PIB). C’est ainsi que l’estimation de l’investissement dans l’équipement a subi des changements très importants, même celle déclarée définitive quelques années auparavant. Par exemple, le montant pour 1980, en valeur nominale, a passé de 13 milliards de francs à 20.2 milliards. En

2003, les logiciels deviennent des biens

d’investissements et le chiffre de 1980 passe à 25.4 milliards. Quelle est la valeur effective? Difficile à dire.

• Lorsque vous lisez que le PIB a augmenté de 1.2%, il faut se méfier du chiffre après la virgule et parfois

même celui avant la virgule.

33

Définition de la statistique

• La statistique est la science qui s’occupe de la collecte, de la présentation, de l’analyse et de l’interprétation de données nombreuses.

• Elle étudie les méthodes les plus appropriées pour obtenir toute l’information possible en

utilisant ces données.

• Elle tire son nom de l’Etat (status en latin) qui fut le premier à procéder à la collecte d’un

nombre important de données (exemple: le recensement).

Applications en management

• Finance: rendement et risque

• Comptabilité: audit (« …Nous avons révisé les postes des comptes annuels en

procédant à des analyses et à des examens par sondage »)

• Marketing: sondages, analyses

• Ressources humaines: analyses

Applications en économie politique

• Microéconomie: estimations et tests d’hypothèses

• Macroéconomie: modèles économétriques

• Econométrie: fondement statistique

TYPES DE DONNEES

• Population: totalité des éléments dont on désire connaître les caractéristiques (X, Y)

• Echantillon: une partie de la population qui nous donne des renseignements plus ou moins fiables selon la méthode choisie (x, y)

• Données quantitatives (ventes, revenus), discrète ou continue

• Données qualitatives (nationalité)

Sources des données

• Entreprises: données souvent

confidentielles mais parfois sur internet (utiliser Google)

• Offices de statistique: données macro- économiques, indices statistiques

• Banques nationales: données monétaires

• OCDE, FMI: données internationales

• Datastream: données financières

Signe de sommation: Σ

• L’indice i est un indice fabriqué ou muet.

• On peut écrire, par exemple:

∑

+ +

3

=

1

3 2

1 i

i

x x x

x

∑

∑

=

=

1

2 3

1 j

j k

k

x

x

Propriétés

• 1) Multiplication par une constante

• 2) Somme de constantes

∑

∑ 2 x i ⁼ 2 x i

c c

c c

c

i

3

3

1

= +

+

∑ =

=

Propriétés

• 3)

• 4)

• 5)

∑ ( x

⁺ y

) ⁼ ∑ x

⁺ ∑ y

∑ ∑

∑ ( ax

⁺ by

) ⁼ a x

⁺ b y

2

) 1 (

1

= +

∑

n i n

n

i

[

]

1

1 x nx

s n _i −

= −

∑

21=3 X 7=6 X 7/2

=25²

Double somme

∑ ∑ ∑

= = =

+ +

2

=

1

3

1

2

1

3 2

1

)

(

i j i

i i

i

ij

x x x

x

) (

)

( x

+ x

+ x

+ x

+ x

+ x

=

Exemple

• i= pays, t = semestre:

EXPORTATIONS SUISSES EN 2005 Pays ind. Autres Total

1 semestre 62.0 14.9 76.9

2 semestre 63.3 16.7 80.0

Total 125.3 31.6 156.9

∑

∑

=

=

=

=

= ²

1 1 2

1 2

12 63.3 ; 80.0 ; 125.3

t

t i

i x

x x

∑∑

=

9 .

it

156

x

Propriétés

• 1)

• 2)

• 3)

∑ ∑ ∑∑

= = = =

2

=

1

3

1

3

1

2

1

i j j i

ij

ij

x

x

∑∑ ∑ ∑

= = = =

2

=

1

3

1

2

1

3

1

i j i j

ij i

ij

i

x a x

a

∑∑ ∑∑ ∑ ∑

= = = = = =

=

2

=

1

3

1

3

1 2

1

3

1

2

1

i j j i j i

ij j

ij j ij

j

x a x a x

a

PREMIERE PARTIE:

STATISTIQUE DESCRIPTIVE

• Les techniques graphiques

• Les caractéristiques de tendance centrale

• Les caractéristiques de dispersion

• Les caractéristiques de forme

• Les relations entre les variables

• Les indices statistiques

Techniques graphiques

• Branches et feuilles

• Diagramme à points

• Graphiques en barres

• Histogramme

• Graphique circulaire

• Courbes de fréquence

• Courbes cumulatives

• La méthode du noyau (kernel)

• Graphique semi-logarithmique

Règles pour les graphiques

• Indiquer les échelles des axes

• Ne pas couper l’échelle au milieu des axes

• Dans un dessin, c’est la surface qui représente la quantité, pas la hauteur

• Attention aux illusions graphiques

• Ne pas surcharger le graphique

• Voir les exemples d’erreurs

•

Graphique branche et feuille

• Première visualisation des données

• Chiffres divisés en deux parties:

• Les branches (ex. les dizaines)

• Les feuilles (ex. les unités)

• Pas très utile si données disparates

Exemple

:

47 61 53 43 46 46 68 48 72 57 48 54 41 63

branche feuille

3 4 5 6 7

Exemple

47: 4 = branche, 7=feuille

3 4

5 6 7

7

47 61 53 43 46 46 68 48 72 57 48 54 41 63

Exemple

3 4 5

6 7

7 3 1

47 61 53 43 46 46 68 48 72 57 48 54 41 63

Exemple

3 4

5 6 7

7 3 3 1

47 61 53 43 46 46 68 48 72 57 48 54 41 63

Exemple

3 4

5 6 7

7 3 6 6 3

1

47 61 53 43 46 46 68 48 72 57 48 54 41 63

Commande MINITAB

• Introduisez les valeurs dans C1

• Choisir dans le menu: Graphique et feuilles

• Dans variable: sélectionner le vecteur C1

• La première colonne donne le nombre cumulé de valeurs de la plus petite à la

médiane. En remontant depuis la dernière ligne jusqu’à la médiane on a aussi le

nombre cumulé de valeurs.

• Vous pouvez changer l’unité des feuilles en modifiant l’incrément.

branche

feuille

Le graphique à points

On met des points au-dessus des valeurs

On peut ainsi voir les fréquences

Commande MINITAB

• Introduisez les valeurs dans C1

• Choisir dans le menu: Graphique / Diagramme à points

• Dans variables: sélectionner le vecteur C1

• Le diagramme à points permet de visualiser la distribution des données même dans le cas de nombreuses valeurs car un point peut

représenter plusieurs valeurs (voir exemple de la distribution des revenus en Suisse).

Graphique en barres

• Dénombrement de données qualitatives

• Barres ou tuyaux de même largeur

• Ne pas couper les barres

• Les barres peuvent être décomposées

Nombre d’étudiants

ZH GE BE UNIL BS SG NE TI LU 0

10000 20000

Université

Somme de Etudiants

Nombre d'étudiants

s

FEMMES HOMMES

ZH BE GE UNIL BS SG NE TI LU 0

10000 20000

UNIVERSITE

Somme de ETUDIANTS

Nombre d'étudiants

71

Commande MINITAB

• Introduisez les noms des universités dans C1 et le nombre d’étudiants dans C2

• Choisir dans le menu: Graphique / Carte

• Dans variable: sélectionner le vecteur C2 pour Y et le vecteur C1 pour X

• Si les barres sont décomposées en hommes et

femmes, mettre le nom dans C1, le sexe dans C2 et le nombre d’étudiants dans C3

• Faire la même chose pour les lignes suivantes.

• Sélectionner C3 pour Y et C1 pour X

• Dans affichage des données, choisir Groupe et la

variable est C2. Cliquer sur Options, cocher Empiler et mettre à nouveau C2.

72

Commande EXCEL

• Introduire les chiffres sous la forme d’un tableau avec les noms des universités à la première ligne (en

commençant par la colonne B) et le nombre

d’étudiants à la deuxième ligne. Vous pouvez écrire Etudiants à la cellule A2.

• Sélectionner les cellules utilisées et cliquez sur l’icône Assistant graphique.

• Choisir Histogramme groupé même s’il ne s’agit pas d’un histogramme mais d’un graphique en barres.

• Si les barres sont décomposées mettre le sexe à la première colonne, à la place d’Etudiants et le nombre correspondant dans les lignes suivantes. Choisir

Histogramme empilé.

L’histogramme

• Variable continue

• On crée des intervalles de la variable (faciles à interpréter)

• On compte les données qui se trouvent dans l’intervalle

• Ce nombre donne la hauteur

• Les rectangles se touchent

• Les valeurs qui se trouvent sur la limite

supérieure ne font pas partie de l’intervalle

Nombre d’intervalles

• Le nombre d’intervalles ne doit pas être ni trop petit (peu d’informations sur la

structure des données) ni trop grand (allure générale cachée)

• Formule de Sturges. Nombre de classes:

k = 1 + 3.3 log(n)

• Largeur des classes:

(xmax-xmin)/k

•

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 10 20 30 40 50 60

points

Effectif

Intervalles trop nombreux

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 10 20 30 40 50 60

points

Effectif

0 20 40 60 80

0 50 100 150 200 250

Effectif

Trop peu d'intervalles

.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0

500 1000

alimentation

Effectif

DEPENSES HEBDOMADAIRES

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

POINTS

Effectif

TEST 1

Commande MINITAB

• Introduire le nombre de points dans C1

• Choisir dans le menu: Graphique / Histogramme

• Dans variable: sélectionner le vecteur C1 pour X

• En cliquant sur Options, vous pouvez choisir les différents types et le nombre d’intervalles

81

Commande EXCEL

• Introduire les chiffres dans la colonne A.

• Choisir Histogramme dans l’utilitaire d’analyse.

• Ecrire la plage d’entrée où les données se trouvent (ex. A1:A20). Cocher la représentation graphique.

• Modifier le graphique car on obtient un graphique en barres. Cliquer sur une barre avec le bouton droit de la souris. Choisir Format de la série de données /

Options. Mettre 0 dans Largeur de l’intervalle.

• Vous pouvez choisir les classes en mettant les limites supérieures dans la colonne B et en donnant la plage des classes. Excel considère que la limite supérieure fait partie de la classe.

82

Le graphique circulaire

• Permet de visualiser la part relative

• Aire proportionnelle aux nombres d’éléments

• Angle: 360 x n_i/n

• Plusieurs graphiques: surface proportionnelle aux nombre d’éléments. Rayons:

2 1 2

1

n n r

r =

BE (12174; 13.1%) BS ( 9957; 10.7%)

ZH (23832; 25.6%) LU ( 1771; 1.9%)

NE ( 3595; 3.9%) SG ( 4661; 5.0%)

T I ( 2023; 2.2%)

UNIL (10452; 11.2%) FR ( 9937; 10.7%)

GE (14566; 15.7%)

Graphique en secteurs pour UNIVERSITES

Commande MINITAB

• Introduisez les noms des universités dans C1 et le nombre d’étudiants dans C2

• Choisir dans le menu: Graphique / Graphique en secteurs

• Cocher Tracer le tableau

• Dans catégories: sélectionner C1 et dans effectifs prendre C2

85

Commande EXCEL

• Introduire les chiffres sous la forme d’un

tableau avec les noms des universités à la

première ligne (en commençant par la colonne B) et le nombre d’étudiants à la deuxième ligne.

Vous pouvez écrire Etudiants à la cellule A2.

• Sélectionner les cellules utilisées et cliquer sur l’icône Assistant graphique.

• Choisir Secteurs et cliquer deux fois sur suivant.

• Cliquer sur Etiquettes de données et cocher

Nom de catégorie et Valeur. Cliquer ensuite sur Terminer.

Courbe de fréquence

• Relie les sommets d’un histogramme

• Ne pas l’utiliser pour calculer les fréquences pour chaque x mais

uniquement pour chaque intervalle

• Pour comparer deux séries, utiliser des fréquences relatives ou une densité

(surface = 1)

0 50 100 0

10 20 30 40 50

POINTS

Effectif

TEST 1

0 50 100 0

5 10

test12.05

Pourcentage

0 50 100

0.00 0.01 0.02

Densité

Commande MINITAB

• Introduire le nombre de points dans C1

• Choisir dans le menu: Graphique / Histogramme

• Dans variable: sélectionner le vecteur C1 pour X

• Dans affichage de données, mettre Joindre (ou courbe lissée) à la place de Barre (utilisez la

flèche V)

• Mettre Barre en 2 si vous voulez aussi l’histogramme.

Commande EXCEL

• Introduire les chiffres dans la colonne A et les limites supérieures des classes dans la colonne B.

• Choisir Histogramme dans l’utilitaire d’analyse.

• Mettre la plage d’entrée et la plage des classes.

Cocher la représentation graphique.

• Modifier le graphique car on obtient un graphique en barres. Cliquer sur une barre avec le bouton droit de la souris. Choisir Format de la série de données /

Options. Mettre 0 dans Largeur de l’intervalle.

• Cliquer sur le graphique avec le bouton droit de la souris et choisir Courbes pour type de graphique.

Courbe cumulative (ogive)

• Les fréquences sont cumulées

• Pour chaque x, la courbe donne le nombre de valeurs inférieures ou égale à x

• La pente ne peut pas être négative

• Fréquences relatives ou densités:

la courbe va de 0 à 1 (100%)

0 50 100 0

100 200 300 400 500

POINTS

Effectifs cumulés

TEST 1

Commande MINITAB

• Introduire le nombre de points dans C1

• Choisir dans le menu: Graphique / Histogramme

• Dans variable: sélectionner le vecteur C1 pour X

• Dans affichage de données, mettre Joindre à la place de Barre (utilisez la flèche V)

• Dans Options, choisir Effectif cumulé.

Commande EXCEL

• Introduire les chiffres dans la colonne A et les limites supérieures des classes dans la colonne B.

• Choisir Histogramme dans l’utilitaire d’analyse.

• Mettre la plage d’entrée et la plage des classes.

Cocher pourcentage cumulé et représentation graphique.

• Modifier le graphique car on obtient aussi un graphique en barres. Cliquer sur une barre avec le bouton droit de la souris et effacer la série.

Lissage par le noyau (kernel)

• Courbe dessinée par les données, sans forme prédéterminée

• Meilleure estimation de la densité

• Chaque donnée est remplacée par une densité centrée sur cette valeur et avec écart-type h. Les densités sont cumulées et le résultat est normalisé (surface = 1)

• Lissage plus ou moins fort selon le choix de h.

96

Test 1

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035

Densité

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035

Density

Kernel density plot

Différents lissages

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035

DATA

Densité

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035

Density

Red line = Optimum h - 0.4*optimum h Green line = Optimum h

Kernel density plot

Commande MINITAB

• Introduire le nombre de points dans C1

• Dans la fenêtre Session, taper %Kernel C1

• Répondre N si vous ne voulez pas modifier l’étendue des données

• Répondre N si vous ne voulez pas l’histogramme

• Répondre N si vous voulez trois courbes avec différents lissages

• Ce programme ne fait pas partie des commandes MINITAB standard.

Graphique semi-logarithmique

• Lorsqu’on s’intéresse au taux de variation (r)

1 1

1

1

1 1

−

−

−

−

= − ⇒ + =

= −

t t t

t t

t t

p r p

p p p

p r p

ln 1

ln )

1

ln( + r = p _t − p _{t −}

Propriétés

• Différence entre deux points=ln(1+r)

• Logarithme d’une seule variable

• Même pente=même variation en %

• Graphique usuel:

même pente = même variation en valeur

Echelle

• arithmétique logarithmique

• 0 1

• 1 10

• 2 100

• 3 1000

• 4 10000

• 5 100000

y=1+0.1 x

y=(1+0.1)^x

9/07: Ln(7262.53)=8.8905

9/05: Ln(5742.41)=8.6556

e(8.8905-8.6556) =1.2647

(+26.47%)

2/05-9/05: +29.46%