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Transport électronique non local dans des structures hybrides supracondctrices

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Academic year: 2021

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HAL Id: tel-00343716

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Submitted on 2 Dec 2008

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hybrides supracondctrices

Sylvie Duhot

To cite this version:

Sylvie Duhot. Transport électronique non local dans des structures hybrides supracondctrices. Supra-conductivité [cond-mat.supr-con]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2008. Français. �tel-00343716�

(2)

THESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER- GRENOBLE1

DISCIPLINE : PHYSIQUE

T

RANSPORT ÉLECTRONIQUE NON LOCAL DANS

DES STRUCTURES HYBRIDES

SUPRACONDUCTRICES

présenté par Sylvie DUHOT

DIRECTEUR DE THÈSE : Régis Mélin

CODIRECTEUR DE THÈSE: Manuel Houzet COMPOSITION DUJURY:

Hervé Courtois (Président) Benoît Douçot (Rapporteur) Alfredo Levy Yeyati (Rapporteur)

Markus Büttiker (Examinateur) Gilles Montambaux (Examinateur)

2005-2008

Soutenue le 3 octobre 2008

INSTITUTNÉEL, Groupe théorie et nanosciences, CNRS et UJF

INSTITUT NANOSCIENCES ETCRYOGÉNIE, Service de Physique Statistique, Magnétisme et Supraconductivité, CEA

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Remerciements

Je remercie tout d’abord sincèrement Alfredo Levy Yeyati et Benoît Douçot d’avoir accepté d’être mes rapporteurs et d’avoir lu attentivement ce manuscrit. Merci aussi à Hervé Courtois d’être président de mon jury et à Gilles Montambaux et Markus Büttiker d’avoir accepté d’être examinateurs.

Je veux remercier tout particulièrement mon directeur de thèse Régis Mélin, pour sa disponibilité quotidienne. Durant mes trois années de thèse, il s’est toujours rendu disponible pour moi et j’ai tout particulièrement apprécié nos nombreuses discussions scientifiques, qui me permettaient de dévelop-per mes idées. Ses réponses toujours claires et précises à mes questions de la plus simple à la plus compliquée, m’ont motivé tout au long de mon travail.

Par ailleurs, je remercie également mon co-directeur de thèse Manuel Houzet, avec qui j’ai parti-culièrement travaillé durant la dernière année de ma thèse. Il m’a toujours poussé à chercher plus loin et à développer mes idées en me posant les bonnes questions.

Finalement, je remercie mes proches, amis et famille pour leur soutien quotidien. J’ai par ailleurs, une pensée toute particulière pour mon père qui malheureusement n’est plus là avec nous, mais je sais qu’il aurait apprécié ce travail.

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(6)

Table des matières

Introduction 1

1 Transport non local dans une jonction N-S-N 11

1.1 Motivations . . . 11

1.2 Méthode de Blonder, Tinkham et Klapwijk (BTK) . . . 12

1.2.1 Réflexion d’Andreev . . . 12

1.2.2 Théorie BTK . . . 12

1.2.2.1 Equations de Bogoliubov - de Gennes . . . 12

1.2.2.2 Jonction N-S avecV (x) = Hδ(x) . . . 14

1.2.2.3 Jonction N-S-N . . . 17

1.2.2.4 Jonction N-N-S-N . . . 20

1.2.2.5 Jonction N-N-S-N-N . . . 24

1.3 Méthode des fonctions de Green . . . 28

1.4 Jonction N-S-N par les fonctions de Green . . . 28

1.4.1 Principe des diagrammes . . . 28

1.4.2 Diagramme de réflexion d’Andreev non locale et de cotunneling élastique . . . 31

1.4.3 Diagrammes d’ordre supérieur : Double réflexion d’Andreev . . . 32

1.5 Comparaison de l’effet tunnel sans réflexion - approche perturbative . . . 35

1.5.1 Modèle de liaisons fortes . . . 35

1.5.2 Amplification due au désordre . . . 36

1.6 Synthèse et comparaison à l’expérience . . . 37

2 SQUID dc à base d’un nanotube de carbone 39 2.1 Introduction . . . 39

2.2 Modèle à un canal . . . 40

2.2.1 Méthode des fonctions de Green . . . 43

2.2.2 Relations thermodynamiques et états liés . . . 46 iii

(7)

2.3 Résultats . . . 50

2.3.1 Réduction du courant critique . . . 50

2.3.2 Fluctuations d’échantillon à échantillon . . . 50

2.4 Synthèse . . . 51

3 Corrélations croisées dues aux réflexions d’Andreev multiples dans des jonctions multi-terminales 53 3.1 Motivations . . . 53

3.2 JonctionY diffusive connectée à des réservoirs supraconducteurs . . . 55

3.2.1 Fonctions de distribution . . . 55

3.2.1.1 Jonction S-N . . . 57

3.2.1.2 Jonction S-N-S . . . 58

3.2.1.3 JonctionY diffusive avec réservoirs normaux . . . 60

3.2.1.4 JonctionY diffusive avec trois réservoirs supraconducteurs . . . 60

3.2.2 Bruit dans une jonctionY diffusive . . . 61

3.2.2.1 Réservoirs en métal normal . . . 63

3.2.2.2 Un réservoir supraconducteur et deux réservoirs en métal normal . . 64

3.2.2.3 Trois réservoirs supraconducteurs . . . 65

3.2.3 Interactions électron électron . . . 69

3.2.4 Synthèse . . . 72

3.3 Point quantique connecté à des réservoirs supraconducteurs . . . 72

3.3.1 Point quantique avec trois réservoirs en métal normal . . . 73

3.3.2 Point quantique avec un réservoir supraconducteur . . . 74

3.3.3 Point quantique avec trois réservoirs supraconducteurs : limiteeV → 0 . . . . 78

3.3.4 Point quantique avec trois réservoirs supraconducteurs :eV quelconque . . . . 83

3.3.5 Interactions électron électron . . . 89

3.4 Synthèse . . . 90

4 Ondes de densité de charge 93 4.1 Motivations . . . 93

4.2 Une onde de densité de charge . . . 94

4.3 Jonction S-ODC et supercourant . . . 96

4.3.1 Argument qualitatif . . . 96

4.3.2 Expérience de Sinchenko et Monceau . . . 97

4.3.3 Résolution par l’approche de Blonder, Tinkham et Klapwijk . . . 97

(8)

v

4.4 Expérience de Latyshev et al. . . 102

4.5 Processus d’interférence quantique à travers une ODC . . . 103

4.5.1 Autocroisement de modes de transmission dans un système à bande interdite . 103 4.5.2 Effet d’interférence quantique dans l’expérience de Latyshev et al. . . 105

4.5.3 Comparaison avec l’expérience de Latyshev et al. . . . 108

4.6 Synthèse . . . 108

Conclusion 109 A Théorie Bardeen, Cooper et Schrieffer (BCS) 113 A.1 Paire de Cooper . . . 113

A.2 Etat fondamental . . . 114

B Méthode des fonctions de Green 117 B.1 Modèle de l’Hamiltonien . . . 117

B.2 Représentation spectrale . . . 119

B.3 Fonction de Green dans l’espace réel . . . 120

B.4 Méthode de Keldysh . . . 121

B.5 Courant par effet tunnel (jonction tunnel normale) . . . 123

B.6 Moyenne des différents produits de fonctions de Greeen . . . 124

B.7 Mode de transmission pour un supraconducteur . . . 124

C Jonction multiterminale 127 C.1 fonction de distribution pourV1 = 0 et V2 = V3 = V . . . 127

C.2 Calcul des coefficientsBpl . . . 130

C.3 Equation de diffusion avec interactions . . . 132

D Isolant à bande interdite 135 D.1 Description d’un isolant à bande interdite . . . 135

D.2 Transport dans un anneau isolant . . . 136

D.3 Approche des fonctions d’ondes . . . 138

E Onde de densité de charge 141 E.1 Evaluation des diagrammes d’échelle pour le coefficient de transmission . . . 141

(9)
(10)

Introduction

Les structures hybrides supraconductrices multiterminales apportent une physique très riche non présente dans les structures à deux terminaux. Une des motivations pour les étudier est de pouvoir ob-tenir des paires d’électrons corrélés séparés spatialement entre deux électrodes différentes. Ceci ouvre des perspectives à long terme comme la possibilité de réaliser des circuits électroniques manipulant l’intrication. Par exemple, il serait possible de réaliser une expérience de type Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) [1, 2] avec des électrons [3, 4]. Cette expérience a été réalisée avec des photons par Aspect [5], mais pas avec des particules massives comme des électrons. En effet, en 1935, Einstein, Podolsky et Rosen proposèrent une expérience de pensée, dans le but de mettre à l’épreuve les fondements de la mécanique quantique. Le principe était : "Si sans perturber aucunement un système nous pouvons pré-dire avec certitude (c’est-à-pré-dire avec une probabilité égale à l’unité) la valeur d’une quantité physique, alors il existe un élément de réalité physique correspondant à cette quantité physique" [1]. Les auteurs en déduirent que la corrélation consiste en une propriété commune portée par chacune des particules. Ce principe démontrait, alors, le caractère incomplet de la mécanique quantique "orthodoxe" ; il devait exister des variables supplémentaires cachées. Ainsi, la théorie serait déterministe. Bell a montré [2], en introduisant les inégalités de Bell, qu’une théorie de variables cachées conduisait à des prédictions contraires à la mécanique quantique et vérifiables expérimentalement. La mécanique quantique prévoit l’existence de situations qui violent les inégalités. Elles sont délicates à produire mais Alain Aspect [6] a réussi à montrer, pour des photons, que dans de tels cas la nature se comporte conformément aux prédictions de la mécanique quantique, violant les inégalités de Bell et invalidant toute théorie à variables cachées dans sa formulation la plus simple.

Trois difficultés apparaissent lorsque nous nous plaçons dans la perspective de réaliser une expé-rience EPR avec des électrons. La première difficulté est de réaliser et de comprendre le fonctionne-ment d’une source de paires d’électrons corrélés. La seconde difficulté est de réaliser une expérience EPR avec des électrons, ce qui nécessite des dispositifs qui restent assez complexes à contrôler [3]. La troisième difficulté est de mettre en évidence des corrélations quantiques se propageant plus vite que la vitesse de la lumière. Dans les dispositifs de physique du solide, il est très difficile de manipuler les paires d’électrons corrélés une par une. Notre objectif, ici, est de comprendre la première étape, c’est-à-dire comment fonctionne une source continue de paires d’électrons corrélés basée sur des dispositifs supraconducteurs. Les processus d’Andreev [7] (voir Fig. 1) à une interface métal normal -supraconducteur permettent d’induire des paires d’électrons corrélés (paires d’Andreev) dans l’élec-trode normale. Par ailleurs, à une interface double métal normal - supraconducteur - métal normal les processus d’Andreev non locaux permettent d’induire des paires séparées spatialement entre les deux électrodes normales.

Plus précisément, dans une réflexion d’Andreev, un électron arrivant à une interface métal normal - supraconducteur ne peut pas passer par effet tunnel dans le supraconducteur si son énergie, ǫ, est

(11)

inférieure au gap supraconducteur. Une paire de Cooper est créée et afin d’avoir conservation de la charge et de la quantité de mouvement un trou (de charge et spin opposés à ceux de l’électron) est rétrodiffusé. Il aura une énergie−ǫ afin d’avoir conservation de l’énergie. Le trou rétrodiffusé suivra la même séquence d’impuretés en sens inverse que l’électron incident1. La réflexion d’Andreev peut aussi être vue comme une paire d’électrons passant du métal normal au supraconducteur. C’est cette

e * * * * * * * * * * * * * * h e e e S N h S N e e Energie ∆ ∆ − (a) (b) V eV −eV eV

FIG. 1 – Schéma du processus de réflexion d’Andreev à une interface N-S, où un électron est injecté

dans une électrode normale. On a création d’une paire de Cooper qui part dans le condensat du supra-conducteur et rétrodiffusion d’un trou (charge et spin opposés à ceux de l’électron) dans l’électrode normale (a). Schéma en énergie pour la réflexion d’Andreev (b). e↑ représente un électron de spin up et h↓ un trou dans la bande de spin down.

paire d’électrons dans le métal normal qui est appelée paire d’Andreev [9]. Comme nous allons le voir, d’autres processus apparaissent dans des structures à trois terminaux : les réflexions d’Andreev non locales (voir Fig. 2b) [10, 11] et le cotunneling élastique (voir Fig. 2a) [12].

La réflexion d’Andreev non locale ou réflexion d’Andreev croisée [10, 11] correspond à un électron incident à la première interface et à un trou transmis à la seconde interface. Plus précisément, un électron incident arrive à la première interface N-S, si son énergie est inférieure à celle du gap, il ne peut pénétrer et une paire de Cooper est crée avec création d’un trou de spin opposé qui est transmis à la seconde électrode normale. Le processus de cotunneling élastique consiste en un électron qui traverse par effet tunnel le supraconducteur de la première électrode normale à la seconde. Ces deux processus ne sont possible que si le supraconducteur n’est pas trop épais comparé à la longueur de cohérence

ξ : ξbal = ~vF/∆ dans la limite balistique avec ∆ le gap supraconducteur, vF la vitesse de Fermi et

ξdif f ∝√leξbaldu supraconducteur dans la limite sale (le< ξbaloùleest le libre parcours moyen de 1

A tension et température nulle une paire d’Andreev se propage dans le métal normal sur la longueur de cohérence de phaselφ. A température fi nie la propagation se produit sur la plus petite longueur entrelφetlT, aveclT = ~D/kBT

et ~ la constante de Planck,kB la constante de Boltzmann,D la constance de diffusion et T la température. La constance

de diffusion vautD = v2

Fτ /3 = vFle/3 à trois dimensions avec vF = ~kF/m la vitesse de Fermi et le = vFτ le libre

parcours moyen élastique etτ le temps de collision élastique. Finalement, la propagation de la paire d’Andreev se produit sur inf(lφ, lT, lE) à température et énergie E fi nie, avec lE= ~D/E. Néanmoins, même à température fi nie, il existe des

électrons au niveau de Fermi. Une paire d’Andreev avec des électrons au niveau de Fermi aura une longueur de cohérence très grande, seulement limitée par la longueur de cohérence de phase. C’est ce que l’on appelle la cohérence à longue portée [8].

(12)

3 a S (b) * * * * * * * * * * * * * * N e * * * * * * * * * * * * N * * h e e S (a) * * * * * * * * * * * * * * N e * * * * * * * * * * * * N * * e Va Vb Vb V

FIG. 2 – Schéma du processus de cotunneling élastique à une jonction N-S-N où un électron est injecté dans la première électrode normale et traverse par effet tunnel jusqu’à la seconde électrode normale (a). Schéma du processus de réflexion d’Andreev non locale à une jonction N-S-N, où un électron est injecté dans la première électrode normale avec création d’une paire de Cooper qui part dans le condensat du supraconducteur et transmission d’un trou de charge et spin opposés dans la seconde électrode normale (b).

(13)

l’électron).

De nombreuses expériences sur les structures hybrides multiterminales ont été proposées afin d’es-sayer d’obtenir des électrons corrélés. Nous décrivons trois de ces propositions dans l’ordre chronolo-gique :

1) Deutscher et Feinberg [11] ont suggéré d’utiliser la polarisation en spin de bras ferromagné-tiques pour séparer les paires de Cooper (voir Fig. 3). En prenant deux bras ferromagnéferromagné-tiques de polarisation opposée, les électrons des paires de Cooper étant de spin opposés se répartiront dans les deux bras. L’intérêt de considérer une interface double métal ferromagnétique -

supraconduc-b V V S ξ e e e F F e a

FIG. 3 – Schéma de la proposition d’expérience de Deutscher et Feinberg [11] pour essayer d’observer

des électrons enchevêtrés.

teur - métal ferromagnétique (F-S-F) avec des électrodes ferromagnétiques au lieu d’électrodes normales est dû au fait que l’influence sur les propriétés de transport des corrélations non lo-cales par rapport aux corrélations lolo-cales augmente avec l’augmentation de la polarisation de spin dans l’alignement anti-parallèle. Par exemple, seuls sont autorisés les processus d’Andreev non locaux dans la limite de métaux ferromagnétiques polarisés à 100% dans l’alignement anti-parallèle.

2) Deux groupes ont proposé des expériences utilisant des points quantiques. Choi et al. [13] ont suggéré un double point quantique connecté par des jonctions tunnel à des bras supraconducteurs (voir Fig. 4a). Il n’y a de couplage entre les deux points quantiques que par l’intermédiaire des supraconducteurs. Les auteurs ont également proposé d’insérer un double point quantique à la place de la jonction Josephson dans le bras supérieur d’un SQUID et d’étudier les corrélations des spins dans les points quantiques (voir Fig. 4b).

Recher et al. [14] eux ont considéré deux points quantiques connectés à un supraconducteur, chaque point quantique étant connecté à un bras en métal normal (voir Fig. 5). En présence d’une tension et dans le régime de blocage de Coulomb, des électrons venant des réflexions d’Andreev peuvent passer par effet tunnel de manière cohérente dans chacun des bras normaux. Dans le cas des jonctions avec des points quantiques, c’est l’énergie de Coulomb qui empêche les deux électrons de passer dans le même bras. En effet, lorsqu’un électron passe dans un des

(14)

5 (a) S S J J’ I I V φ (b)

FIG. 4 – Schéma de la proposition d’expérience de Choi et al. [13] pour essayer d’observer des

élec-trons enchevêtrés. (a) Deux points quantiques connectés par des jonctions tunnel (en pointillés) à deux bras supraconducteurs. (b) SQUID avec le système (a) à la place de la jonction Josephson dans le bras supérieur. a e e e e ξ S N N Vb V

FIG. 5 – Schéma de la proposition d’expérience de Recher et al. [14] pour essayer d’observer des électrons enchevêtrés.

points quantiques, l’interaction de Coulomb entre les deux électrons empêche le second électron de la paire de le suivre dans le même point quantique. Ainsi le second électron passera dans le second point quantique.

3) Lesovik et al. [3] ont proposé une jonction entre un supraconducteur et un métal normal se séparant en deux bras. Une tension est appliquée de manière à ce que le supraconducteur injecte des paires de quasiparticules dans le guide normal (voir Fig. 6). La séparation des électrons en-chevêtrés est effectuée par la forme du guide et des filtres en spin ou en énergie placés sur les bras normaux. En outre, les auteurs ont suggéré de mesurer les corrélations croisées du courant

S e e V V N

FIG. 6 – Schéma de la proposition d’expérience de Lesovik et al. [3] pour essayer d’observer des électrons enchevêtrés.

entre les deux bras normaux. En utilisant des filtres de Fabry-Perot ces auteurs ont également proposé de manipuler l’intrication orbitale au lieu de l’intrication de spin. Par ailleurs, ils ont proposé de tester la violation des inégalités de Bell [2] grâce aux corrélations croisées.

(15)

Plusieurs expériences ont également été réalisées :

1) Beckmann et al. [15] ont considéré la géométrie de Deutscher et Feinberg [11] en mesurant la résistance non locale (voir Fig. 7). Dans l’état supraconducteur, soit à basse température et

FIG. 7 – Echantillon de l’expérience de Beckmann et al. [15]. Image par microscope électronique de l’échantillonT 2 et schéma expérimental. Trois guides en fer verticaux sont connectés par des points

de contacts à une barre d’aluminium horizontale. Un exemple de courant d’injectionIAet de tension

de détection localeUAet non localeUBpour une paire de contacts est ainsi montrée.

tension bien inférieure au gap, ils observent une résistance non locale dépendante du spin et qui décroît avec la distance entre les bras ferromagnétiques. Le signal étant cohérant avec les pré-dictions de Falci et al. [12] faites pour la réflexion d’Andreev croisée (dépendences en distance et en orientation relative du spin des électrodes ferromagnétiques).

2) Russo et al. [16] ont considéré une tricouche métal normal - supraconducteur - métal normal. Dans cette expérience, les auteurs ont étudié une double jonction N-S-N (voir Fig. 8), injectant un courantIadans la première électrode normale, ainsi qu’une faible tension oscillante ena afin

de pouvoir mesurer la résistance non locale différentielle. Par ailleurs, ils ont mesuré la tension

Vbau niveau de la seconde électrode. Le résultat expérimental donne une courbe non nulle

chan-e

e e

V

b b

I = 0

I

a a b

S

électrode N

électrode N

V

a

e

FIG. 8 – Schéma de l’expérience : jonction N-S-N large et fine avec injection d’un courantIadans

l’électrode normalea et mesure de la tension à l’électrode b.

geant de signe et n’ayant pas d’explication théorique simple (voir Fig. 9), puisque dans la limite tunnel le signal attendu devrait être nul [12]. Nous nous intéressons donc tout particulièrement

(16)

7

FIG. 9 – Mesure effectuée par Russo et al [16]. La tension non locale Vacnl = Vb est mesurée entre

l’électrode normale b et le supraconducteur, sur un échantillon où le supraconducteur faisait d = 15nm d’épaisseur en fonction de la tension Vdc = Va appliquée entre l’électrode normale a et le

supraconducteur. Soit la résistance non locale différentielle en fonction du courant.

à comprendre le transport non local dans une jonction métal normal - supraconducteur - métal normal (N-S-N) par une approche basée sur des processus tunnel d’ordre supérieur.

Une proposition d’explication à cette expérience a été donnée par Levy Yeyati et al. [17]. Les auteurs montrent que des excitations de l’environnement électromagnétique sur le supraconduc-teur peuvent jouer un rôle important en altérant l’équilibre entre les processus de cotunneling élastique et les processus de réflexions d’Andreev croisées. Les excitations de modes de l’envi-ronnement électromagnétique mènent à la dominance d’une contribution (cotunneling élastique ou réflexion d’Andreev croisée) selon les symétries spatiales des modes de l’environnement électromagnétique. Une conductance non locale négative est favorisée soit en augmentant les transparences d’interface [18] soit par des interactions dans un mode symétrique [17].

3) Cadden-Zimansky et Chandrasekhar [19] ont considéré une géométrie avec une électrode su-praconductrice verticale (Al) connectée à de nombreuses électrodes normales horizontales (Au) (voir Fig. 10). Cette géométrie est utilisée afin de pouvoir faire varier la distance entre les élec-trodes normales. Ils trouvent que la contribution à la résistance non locale des processus de cotunneling élastique et de réflexion d’Andreev croisée, à basse température et avec un courant injecté nul, est positive indiquant que l’amplitude des contributions de cotunneling élastique est plus importante que celle des réflexions d’Andreev croisées [18].

Par ailleurs, les mesures de transport ne sont pas les seules à donner des informations sur les pro-cessus non locaux. En effet, les mesures du bruit de grenaille donne des informations sur les porteurs de charges [20]. En outre, les corrélations croisées de courant apportent, elles aussi, des informations supplémentaires. Par exemple, le principe d’exclusion de Pauli impose que les corrélations de courant croisées, dans des structures multiterminales où les électrons n’interagissent pas, soient toujours néga-tives [21, 22]. Par contre, une source supraconductrice émettant des paires d’Andreev dans des guides

(17)

FIG. 10 – (a) Echantillon de l’expérience de Cadden-Zimansky et Chandrasekhar [19]. Image par microscopie électronique d’un échantillon avec six guides en or, chacun séparés de 210nm. Pour les mesures, un courantI est envoyé à travers le guide inférieur dans le supraconducteur et la résistance

non locale résultante pour un système à trois terminaux est mesurée entre les guides en Au 1 à 6 et le guide supraconducteur dénoté V −. Un petit courant ac est utilisé pour les mesures dépendantes de la température et un courant dc I est injecté en parallèle au courant ac pour les mesures de la

résistance différentielle. (b) La dépendance en température de la résistance non locale de l’échantillon est mesurée en utilisant les quatre premiers guides. Les nombres dénotant les courbes correspondent au numéro du guide en (a).

normaux, peut donner des corrélations croisées de courant positives grâce aux paires de Cooper qui ont une statistique bosonique [23, 24, 25, 26, 27, 28, 29].

Dans cette thèse, nous allons traiter quatre grands sujets, tous relatifs aux structures hybrides conte-nant un supraconducteur. Tout d’abord, nous nous concentrerons sur le transport non local dans une jonction N-S-N à trois terminaux. Pour cela, nous étudierons la conductance non locale entre les deux électrodes normales à l’aide de deux approches. La première est l’approche de Blonder, Tinkham et Klapwijk (Sec. 1.2). Par cette méthode, nous pourrons mettre en évidence une possibilité d’augmen-tation importante de l’amplitude de la conductance non locale due à la diffusion sur le désordre dans les électrodes normales (§ 1.2.2.5). Effectivement, les impuretés dans les électrodes normales per-mettent aux quasiparticules de tenter plusieurs fois de passer la barrière amplifiant de cette manière la conductance non locale.

La seconde approche est la méthode des fonctions de Green (Sec. 1.3). Elle fait apparaître à l’ordre le plus bas de la théorie de perturbations dans l’amplitude tunnel les deux processus bien connus de cotunneling élastique et de réflexion d’Andreev non locale (Sec. 1.4.2). Ces deux processus ayant une probabilité identique d’avoir lieu et des contributions opposées dans la conductance non locale, ils s’annulent dans cette dernière [12]. C’est pourquoi, nous considérons les ordres supérieurs dans l’amplitude tunnel. A l’ordre supérieur, la théorie des fonctions de Green fait apparaître un nouveau processus que nous appellerons double réflexion d’Andreev (Sec. 1.4.3) et qui transmet deux élec-trons de l’électrode a à l’électrode b. En comparant les deux approches, nous pouvons constater que

c’est bien le processus de double réflexion d’Andreev qui domine dans la résistance non locale d’une jonction N-S-N en l’absence d’interaction de Coulomb [17].

(18)

9 d’étudier le SQUID formé d’un nanotube de carbone réalisé par Cleuziou et al. [30]. Nous supposons que le SQUID est plus miniaturisé que dans cette expérience de sorte à ce que le supraconducteur central ait une largeur comparable à la longueur de cohérence du supraconducteur. De tels SQUIDs seraient alors sensibles aux processus non locaux, ainsi de nouveaux processus peuvent avoir lieu. Ces processus ayant pour effet principal de diminuer le courant critique circulant dans le SQUID (Sec. 2.3.1) et d’introduire des fluctuations d’échantillon à échantillon du supercourant (Sec. 2.3.2).

Après avoir discuté le transport non local dans différentes structures hybrides supraconductrices, la suite logique est d’étudier le bruit et les corrélations croisées (par exemple comme le proposaient Lesovik et al. [3]). Nous allons considérer le bruit et les corrélations croisées de courant dans une structure en forme deY connectée à trois réservoirs supraconducteurs. Par ailleurs, nous considérons

une jonctionY connectée à trois réservoirs supraconducteurs, car nous espérons que le bruit ainsi que

les corrélations croisées seront amplifiées par les réflexions d’Andreev multiples comme dans le cas d’une jonction S-N-S. Effectivement, Lefloch et al. [31] ont mesuré l’amplification de bruit, dans une jonction S-N-S, prédite par Nagaev [32] et par Bezuglyi et al. [33].

Finalement, nous considérons des systèmes contenant des ondes de densité de charge (ODC), qui peuvent être traité par le même formalisme que les structures hybrides contenant un supraconducteur. Effectivement, il y a une analogie formelle entre ses deux études, qui sont basées sur le formalisme Hamiltonien. Pour le cas N-S-N une compensation entre le canal normal e → e (transmission d’un électron) et le canal anormale → h (transmission d’un trou) découle des propriétés de transport dans la limite tunnel. Pour des ondes de densité de charge la compensation entre le canal normal et le canal anormal se traduit par l’impossibilité de faire passer des paires de Cooper sous le gap de l’onde de densité de charge.

Dans un premier temps, nous nous intéressons à des processus cohérents dans les ondes de densité de charge. Nous considérons des jonctions contenant des ondes de densité de charge telles que les jonctions S-ODC et S-ODC-S. Les ondes de densité de charge ont un paramètre d’ordre fortement différent des supraconducteurs. Effectivement, le condensat des ondes de densité de charge apparie un électron et un trou appartenant à la même bande de spin. Nous constatons que les paires de Cooper ne peuvent pénétrer que sur une longueur d’onde de Fermi dans une onde de densité de charge. Ainsi, les jonctions S-ODC-S ne transportent pas de supercourant (Sec. 4.3.4).

Pour finir, les ondes de densité de charge nous permettent d’étudier un processus de boucle d’inter-férence quantique dans un système à bandes interdites. Ce processus d’interd’inter-férence quantique permet d’expliquer les observations de Latyshev et al. [34] sur les oscillations de la magnétorésistance dans un film d’ondes de densité de charge percé par des nanotrous (Sec. 4.4 et 4.5).

(19)
(20)

Chapitre 1

Transport non local dans une jonction

N-S-N

1.1

Motivations

Nous nous concentrons tout d’abord sur l’expérience de Russo, Kroug, Klapwijk et Morpurgo [16] sur une tricouche métal normal - supraconducteur - métal normal (N-S-N) (voir Fig. 8). Les auteurs mesurent un signal non nul et changeant de signe pour la résistance non locale en fonction de la tension. Le fait de voir un signal et un changement de signe n’est pas évident à première vue.

Effectivement, à l’ordre le plus bas (ordreT0T est la transparence à chaque interface N-S) les

électrodes sont déconnectées. Par conséquent, aucun signal ne peut être mesuré pour le transport non local. A l’ordre T , il n’existe aucun processus, car les électrons ne peuvent pas pénétrer à cet ordre

dans le supraconducteur sous le gap. Le processus le plus bas pour une interface N-S est la réflexion d’Andreev d’ordreT2. A l’ordreT2, Falci, Feinberg et Hekking ont mis en évidence la compensation de deux processus : le cotunneling élastique (Fig. 2a) [12] qui transmet un électron et la réflexion d’Andreev non locale ou croisée (Fig. 2b) [10] qui transmet un trou à la seconde électrode normale et une paire de Cooper dans le supraconducteur. Ces deux processus ont même amplitude et transportent des charges de signe opposé, ils s’annulent donc dans la conductance non locale. C’est pourquoi, nous voulons déterminer le rôle des processus d’ordre supérieur dans un développement dans l’amplitude tunnel.

Nous considérons deux approches microscopiques nous permettant de traiter la jonction N-S-N. Nous étudions, en premier lieu, l’approche de Blonder, Tinkham et Klapwijk (BTK) (Sec. 1.2) en remplaçant les barrières par un potentiel Hδ(x) (§ 1.2.2.2 et § 1.2.2.3). Cette méthode considère la

jonction N-S-N comme unidimensionnelle. Par ailleurs, afin de simuler le désordre dans les électrodes normales, nous ajoutons des jonctions en métal normal en considérant N-N-S-N-N (§ 1.2.2.5). Les jonctions supplémentaires permettant de simuler la diffusion sur des impuretés (l’électron peut tenter plusieurs fois de passer l’interface N-S). Nous en déduisons que la conductance non locale d’une jonction N-S-N peut être fortement amplifiée pour des électrodes désordonnées grâce à la diffusion sur les impuretés, de même que la conductance "locale" à une seule interface N-S.

La deuxième méthode est l’approche des fonctions de Green (Sec. 1.3) à l’aide de la méthode de Keldysh (Appendice B.4). C’est une méthode basée sur la théorie de perturbation. L’approche

(21)

grammatique du système N-S-N donne à l’ordre le plus bas les processus de cotunneling élastique et ceux de réflexions d’Andreev croisées qui s’annulent dans la conductance non locale. A l’ordre supé-rieur un nouveau processus intervient donnant une contribution négative à la conductance non locale : c’est le processus de double réflexion d’Andreev (Sec. 1.4.3) qui transmet deux électrons à la seconde électrode normale.

Les deux approches sont compatibles quant à la nature du processus de double réflexion d’Andreev qui domine dans la conductance non locale dans un développement à l’ordre T4. Par ailleurs, nous

expliquons pourquoi les processus de double réflexion d’Andreev peuvent se coupler à la résistance non locale même si les transparences d’interfaces sont très faibles.

1.2

Méthode de Blonder, Tinkham et Klapwijk (BTK)

1.2.1 Réflexion d’Andreev

Grâce à la théorie de Bardeen, Cooper et Schrieffer (Appendice A), nous pouvons introduire le concept de réflexion d’Andreev. Dans la limite d’une jonction sans barrière (c’est-à-dire pour une transparence parfaite) les électrons du métal normal incidents à énergie E ≫ ∆ passent à travers

l’interface déposant essentiellement toute leur charge Q⋆, comme dans le cas tunnel. Par contre, les électrons incidents du métal normal à énergieE < ∆ ne peuvent pas rentrer comme quasiparticules,

mais sont réfléchis dans le métal normal comme des trous, transférant ainsi une charge 2e à travers

l’interface du supraconducteur. PourkBT et eV ≪ ∆ tous les électrons incidents sont réfléchis comme

des trous par la réflexion d’Andreev pour des interfaces parfaites (voir Fig. 1).

1.2.2 Théorie BTK

Nous commençons par la théorie de Blonder, Tinkham et Klapwijk [35] pour une jonction N-S (§ 1.2.2.2). Ensuite, nous ajoutons progressivement des jonctions supplémentaires : N-S-N (§ 1.2.2.3), N-N-S-N (§ 1.2.2.5) et N-N-S-N-N (§ 1.2.2.5). Pour cela, nous commençons par introduire les équa-tions de Bogoliubov - de Gennes (§ 1.2.2.1).

1.2.2.1 Equations de Bogoliubov - de Gennes

Les équations de Bogoliubov - de Gennes [36] pour un supraconducteur sont données par

i~∂f (x, t) ∂t =  −~ 22 2m − µ(x) + V (x)  f (x, t) + ∆(x)g(x, t) (1.1) i~∂g(x, t) ∂t = −  −~ 22 2m − µ(x) + V (x)  g(x, t) + ∆(x)f (x, t) (1.2) où∆(x) est une bande interdite dans l’énergie, c’est-à-dire le gap, V (x) est le potentiel, µ(x) est le

potentiel chimique etm est la masse de la particule. f (x, t) et g(x, t) sont respectivement les

compo-santes des électrons et des trous.

Considérons, tout d’abord, le cas normal avec ∆(x) = 0. Dans ce cas, l’équation (1.1) est alors

l’équation de Schrödinger pour les électrons et (1.2) est l’équation à temps renversé pour les élec-trons. Lorsqu’un électron normal satisfait l’équation à temps renversé, il se comporte comme un trou.

(22)

1.2. MÉTHODE DE BLONDER, TINKHAM ET KLAPWIJK (BTK) 13 Lorsque∆(x) 6= 0, les fonctions d’ondes des électrons et des trous sont couplées, faisant apparaître un gap dans la relation de l’énergieE en fonction du vecteur d’onde k pour un cas invariant par

trans-lation. Une seconde conséquence est que la vitesse de groupe,vg = dd~Ek, va à0 aux bords du gap. Pour

voir cela, nous pouvons résoudre les équations (1.1) et (1.2) pour une géométrie spécifique. L’exemple le plus simple est pourµ(x), V (x) et ∆(x) constants, alors les solutions sont des ondes planes

indé-pendantes du temps. Nous considérons également pour simplifier que le système est unidimensionnel. Nous pouvons alors faire l’ansatz suivantf (x, t) = ˜ueikx−iEt/~etg(x, t) = ˜veikx−iEt/~. Pour V = 0,

nous trouvons en résolvant le système que

E = s  ~2k2 2m − µ 2 + ∆2. (1.3)

En fonction de cette énergie, nous pouvons déterminer deux valeurs de l’impulsion,

~k±= r

2mµ ±pE2− ∆2. (1.4)

PourE < ∆, nous obtenons ~k± = ±~kF ± i

ξ(E)



oùξ(E) = ~vF

∆2−E2 avecvF = ~kF/m la vitesse de Fermi etξ(E) la longueur de cohérence à l’énergie E. Le transport non local à travers

un supraconducteur à tensionVb (voir Fig. 8) est atténué exponentiellement sur la longueur de

cohé-renceξ(E) avec E = eVb, car il s’agit de pénétration d’électrons à travers un supraconducteur (qui

ressortent dans l’autre électrode comme des électrons ou des trous) par l’intermédiaire de fonctions d’onde évanescentes.

Nous utilisons la notationΨ = 

f (x) g(x)



, ainsi les équations de Bogoliubov - de Gennes prennent la forme :   −i~ ∂ ∂t+  −~2m2∇2 − µ(x) + V (x)  ∆(x) ∆(x) −i~∂t~22 2m − µ(x) + V (x)   Ψ(x, t) =  0 0  (1.5) Nous regardons, maintenant, les lois de conservation pour la probabilité et la charge. Nous définis-sonsP (x, t) la densité de probabilité de trouver soit un électron soit un trou à un temps t et en position x. Pour que ce soit une solution des équations de Bogoliubov - de Gennes (1.5) nous devons avoir P (x, t) = |f(x, t)|2+ |g(x, t)|2. En outre, nous pouvons voir que

∂P (x, t)

∂t + ~∇ · ~JP = 0, (1.6)

avec ~JP(x, t) = m~ [ℑ{f(x, t)⋆∇f(x, t)} − ℑ{g(x, t)⋆∇g(x, t)}]. Le courant de trou entre dans (1.6)

avec un signe opposé à celui de l’électron, juste comme nous nous y attendons pour une particule à temps renversé. Nous pouvons aussi montrer queJP ∝ vg= ∂~k∂E. Ainsi, au bord du gap,JP est nul.

Nous pouvons également dériver une loi de conservation pour la charge des quasiparticules. Nous assignons une unité de charge +e à l’électron et −e au trou, la densité de charge nette de la qua-siparticule dans une des ondes excitées est Q(x, t) = e |f(x, t)|2− |g(x, t)|2. Des équations de Bogoliubov - de Gennes (1.5) nous obtenons

∂Q(x, t)

∂t + ~∇ · ~JQ(x, t) = 4e∆

~ ℑ{f(x, t)

(23)

avec ~JQ(x, t) = e~m[ℑ{f(x, t)⋆∇f(x, t)} + ℑ{g(x, t)⋆∇g(x, t)}]. Le terme de droite de (1.7) est un

terme de source qui connecte les quasiparticules avec le condensat. Dans le courantJQ les

contribu-tions des électrons et des trous au courant des quasiparticules ont le même signe. Effectivement, un électron bouge dans la direction positive et porte un courant positif mais un trou bouge dans la direc-tion négative. Il porte un courant positif à cause du signe de sa charge. Tandis queJP ∝ vg = 0 aux

bords du gap,JQ = evF. Ainsi nous pouvons voir le courant de charge comme voyageant à la vitesse

de Fermi. Pour un métal normal, nous avons simplementJQ = eJP.

1.2.2.2 Jonction N-S avecV (x) = Hδ(x)

Selon l’idée de Blonder, Tinkham et Klapwijk [35], nous modélisons l’interface par un potentiel

Hδ(x). En utilisant les équations de Bogoliubov - de Gennes pour décrire la jonction, nous pouvons

traiter tous les cas de l’interface transparente à la jonction tunnel par raccordement des conditions limites. Les conditions limites pour les particules voyageant deN à S sont les suivantes :

N

S

d

b

a

e

h

h

e

c

e

x

= 0

V

(x) = Hδ(x)

FIG. 1.1 – Schéma de la jonction N-S à une dimension avec l’interface modélisée par un potentiel

Hδ(x).

i) Continuité deψ(x) à x = 0,

ψ(0) ≡ ψN(0) = ψS(0)

ii) Conditions sur la dérivée avec la fonctionδ(x), ~2k2 2m  dψS dx x=0 − dψN dx x=0  = Hψ(0)

iii) La direction des ondes entrantes, réfléchies et transmises est définie par leur vitesse de groupe. Les électrons entrant produisent seulement des particules sortantes.

Ainsi,                ψinc(x) =  1 0  eiq+x ψref l(x) = a  0 1  eiq−x + b  1 0  e−iq+x ψtrans(x) = c  u0 v0  eik+x+ d  v0 u0  e−ik−x

(24)

1.2. MÉTHODE DE BLONDER, TINKHAM ET KLAPWIJK (BTK) 15

où ~q± = √2m√µ ± E et ~k± = √2m q

µ ± (E2− ∆2)1/2 (voir Eq. (1.4)) les coefficients sont

représentés sur la figure 1.1. Le coefficient a (b) est la probabilité de réflexion d’un trou (électron)

et c (d) la probabilité de transmission d’un électron (trou). En utilisant les conditions limites, nous

obtenons un système à quatre équations. i)  1 0  + a  0 1  + b  1 0  = c  u0 v0  + d  v0 u0  ii) i~ 2m  k+c u0 v0  − k−d v0 u0  − q+ 10  − q−a 0 1  + q+b 1 0  = H 1 0  + a 0 1  + b 1 0 

Nous pouvons prendre comme approximationk+= k= q+= q= kF, pour des énergies proches

de l’énergie de Fermi. Nous posons alorsZ = ~HvF afin d’avoir une barrière sans dimension, sachant

que la vitesse de Fermi vautvF = ~kF

m . D’où le système à quatre équations suivant :

       b + 1 = cu0+ dv0 a = cv0+ du0 cu0− dv0+ b + 1 = −i2Z(1 + b) cv0− du0− a = −i2Za

En le résolvant, nous obtenons :

           a = u0v0 γ b = −(u20−v20)(Z2+iZ) γ c = (1−iZ)u0 γ d = iv0Z γ avecγ = u2 0+ (u20− v20)Z2.

Nous considérons la dynamique d’une interface N-S avec tension appliquée (Fig. 1.2). Nous avons alors différentes possibilités de transmission. Vu cinématiquement, dans une approximation semi-classique, les particules approchent de l’interface et sont transmises et réfléchies avec une certaine probabilité.

Soit un électron incident sur l’interface de l’état normal avec énergieE > ∆, (0) : C(E) pour (4)

est la probabilité de transmission à travers l’interface avecq+ → k+, tandis queD(E) pour (2) est la

transmission avecq+ → k−, appelée transmission avec croisement de branche.B(E) pour (5) est la

(25)

5 6 0 1 2 3 4 A B D C E q E k

N S

∆ −q+ −q− qq+ −k+ −kkk+ −∆

FIG. 1.2 – Diagramme de l’énergie en fonction des vecteurs d’onde pour la jonction N-S.

processus implique le transfert d’une paire portant une charge2e à travers l’interface                          A =  a  0 1  eiq−x ⋆ a  0 1  eiq−x  = u20v20 γ2 B =  b 1 0  e−iq+x ⋆ b 1 0  e−iq+x  = (u20−v20)Z2(1+Z2) γ2 C =  c  u0 v0  eik+x⋆ c  u0 v0  eik+x = (u20−v02)u20(1+Z2) γ2 D =  d v0 u0  e−ik−x ⋆ d v0 u0  e−ik−x  = (u20−v02)v20(1+Z2) γ2 .

Nous pouvons voir queb = d = 0 pour un système sans barrière (H = 0 et Z = 0). Physiquement

parlant cela signifie que toute réflexion est une réflexion d’Andreev et les transmissions se font sans changement de branche. Dans ce cas,JQ = |u0|

2+|v 0|2

|u0|2 evFe

−2x/ξ(E). Le courant "disparu" réapparaît

comme un courant porté par le condensat. PourE < ∆, k+etkont une faible partie imaginaire qui

conduit à une décroissance exponentielle sur une longueurξ(E)/2.

Pour trouver le courant dans notre modèle unidimensionnel, nous prenons la différence entre

f(E) et f(E) les fonctions de distribution aux points (0) et (5) sur la figure 1.2. Nous intégrons

alors sur l’énergie.

I = AJ = 2N(0)evFA

Z

−∞

dE [f(E) − f(E)]

A est une surface d’intégration effective incluant un facteur numérique pour la moyenne angulaire, qui dépendra de la géométrie dans le cas à trois dimensions. Nous avons f(E) = f0(E − eV ) et

f(E) = A(E) [1 − f(−E)] + B(E)f(E) + (C(E) + D(E))f0(E). Le courant IN S est alors

donné par

IN S = 2N (0)evFA

Z

−∞

dE [f0(E − eV ) − f0(E)] [1 + A(E) − B(E)] .

Nous pouvons voir que la réflexion ordinaire réduit le courant alors que la réflexion d’Andreev l’aug-mente grâce au passage des paires de Cooper.

(26)

1.2. MÉTHODE DE BLONDER, TINKHAM ET KLAPWIJK (BTK) 17

1.2.2.3 Jonction N-S-N

Nous regardons le cas d’une jonction N-S-N. Nous supposons que le supercourant disparaît, donc que le supraconducteur est à la masse. Cela nous permet de ne pas tenir compte de l’autocohérence du gap supraconducteur et de supposer qu’il vaut∆ dans le supraconducteur, comme dans l’approche de

Falci et al. [12]. Nous pouvons effectuer cette hypothèse, car nous n’avons pas de champ magnétique. Effectivement, l’autocohérence du gap est importante sous champ magnétique et pour des effets hors équilibre. Par exemple, lorsque la phase du supraconducteur est dépendante de la tension.

b d he c e N d’ h c’ b’ he a’ a e h b e S N x=0 N S N (a) (b) l x=l Ia V(x)=H (x)1δ 2δ 1 V (x)=H (x−l)2 V

FIG. 1.3 – Circuit électrique de la jonction N-S-N (a). Schéma de la jonction N-S-N à une dimension avec la première interface modélisée par un potentiel répulsifH1δ(x) et la seconde par H2δ(x − l) (b).

Comme pour le cas d’une jonction N-S, nous considérons que tous les vecteurs d’ondes sont très proches dekF et les barrières sont données par des potentiels répulsifs H1δ(x) et H2δ(x − l). Ainsi

pour l’électrode normale de gauche (L), nous avons la fonction d’onde ψL(x) = 10  eikFx+ a 0 1  eikFx+ b 1 0  e−ikFx.

Pour la fonction d’onde du supraconducteur, nous avons la partie venant de l’électrode de gauche et la partie venant de celle de droite.

ψS(x) = c  u0 v0  eikFxe−x/ξ(E)+ d  v0 u0  e−ikFxe−x/ξ(E) +c′  u0 v0  eikF(l−x)e−(l−x)/ξ(E)+ d′  v0 u0  e−ikF(l−x)e−(l−x)/ξ(E). Pour la seconde électrode normale (R) :

ψR(x) = a′  0 1  eikF(l−x)+ b′  1 0  e−ikF(l−x).

Désormais quatre conditions limites (au lieu de deux) définissent le système, deux pour chaque inter-faces.

(27)

i) Condition de jonction des fonctions d’onde à la première interface : ψL(0) = ψS(0) d’où  1 0  + a  0 1  + b  1 0  = c  u0 v0  + d  v0 u0  + c′  u0 v0  eikFle−l/ξ(E)+ d′  v0 u0  e−ikFle−l/ξ(E). ii) Condition de jonction des fonctions d’onde à la seconde interface :

ψS(l) = ψR(l) d’où c u0 v0  eikFle−l/ξ(E)+ d v0 u0  e−ikFle−l/ξ(E)+ c′ u0 v0  + d′ v0 u0  = a′ 0 1  + b′ 1 0  .

iii) Condition de jonction des dérivées des fonctions d’onde à la première interface :

~2k2 2m  dψS dx x=0− dψL dx x=0  = H1ψL(0) dψL(x) dx = ikF  1 0  eikFx+ ik Fa  0 1  eikFx− ik Fb  1 0  e−ikFx et dψL dx 0 = ikF  1 0  + ikFa  0 1  − ikFb  1 0  dψS(x) dx = ikFc  u0 v0  eikFxe−x/ξ(E) 1 ξ(E)c  u0 v0  eikFxe−x/ξ(E) −ikFd vu0 0  e−ikFxe−x/ξ(E) 1 ξ(E)d  v0 u0  e−ikFxe−x/ξ(E) −ikFc′ u0 v0  eikF(l−x)e−(l−x)/ξ(E)+ 1 ξ(E)c ′ u0 v0  eikF(l−x)e−(l−x)/ξ(E) +ikFd′ vu0 0  e−ikF(l−x)e−(l−x)/ξ(E)+ 1 ξ(E)d′  v0 u0  e−ikF(l−x)e−(l−x)/ξ(E). Commeξ(E) ≫ λF, nous pouvons négliger les termes avec un facteur ξ(E)1 . Par conséquent,

dψS(x) dx = ikFc  u0 v0  eikFxe−x/ξ(E)− ik Fd  v0 u0  e−ikFxe−x/ξ(E) −ikFc′  u0 v0  eikF(l−x)e−(l−x)/ξ(E)+ ik Fd′  v0 u0  e−ikF(l−x)e−(l−x)/ξ(E)

(28)

1.2. MÉTHODE DE BLONDER, TINKHAM ET KLAPWIJK (BTK) 19 et dψS dx x=0 = ikFc  u0 v0  − ikFd  v0 u0  − ikFc′  u0 v0  eikFle−l/ξ(E) +ikFd′  v0 u0  e−ikFle−l/ξ(E) Nous pouvons poserZj = ~HvjF avecj = 1, 2 et ainsi

c  u0 v0  − d  v0 u0  − c′  u0 v0  eikFle−l/ξ(E)+ d′  v0 u0  e−ikFle−l/ξ(E) −  1 0  − a  0 1  + b  1 0  = −i2Z1  1 0  + a  0 1  + b  1 0 

iv) Condition de jonction des dérivées des fonctions d’onde à la seconde interface :

~2k2 2m  dψR dx x=l− dψS dx x=l  = H2ψR(0) dψS dx x=l = ikFc uv0 0  eikFle−l/ξ(E)− ik Fd vu0 0  e−ikFle−l/ξ(E) −ikFc′  u0 v0  + ikFd′  v0 u0  dψR dx = −ikFa ′  0 1  eikF(l−x)+ ik Fb′  1 0  e−ikF(l−x). d’où dψR dx x=l = −ikFa′  0 1  + ikFb′  1 0  . et c u0 v0  eikFle−l/ξ(E)− d v0 u0  e−ikFle−l/ξ(E)− c′ u0 v0  +d′ v0 u0  + a′ 0 1  − b′ 10  = −i2Z2  a′ 0 1  + b′ 1 0  .

Nous avons donc un système linéaire de huit équations à résoudre, pour obtenir les coefficients. Ce sont les coefficientsa′ etb′, qui correspondent à la transmission d’un trou et respectivement d’un électron, qui nous intéressent. Nous pouvons considérer deux cas limites avecZ = Z1 = Z2:Z = 0

etZ → ∞ :

Z = 0 : Dans ce cas, il n’y a pas de barrière, l’interface est complètement transparente. Nous

trouvons a′ = 0, ce qui est normal : sans barrière, il n’y a pas de création de trou du fait de

la conservation de l’impulsion. Dans BTK, le trou est diffusé avec un vecteur d’onde opposé à celui de l’électron. Par conséquent, nous n’avons pas de conservation de l’impulsion si le trou était diffusé vers l’avant. L’électron passe tout droit sans être réfléchi en trou.

b′= e

ikFlel/ξ(E)(u2

0− v02)

u2

(29)

La conductance non locale donnée parGab= e

2

h(A′−B′) est dans cette limite toujours négative.

A′est donné en moyennant sur les oscillations de Friedel par

A′ = Z l0+π/kF l0−π/kF dlkF 2π|a ′|2, (1.8)

l’équivalent est obtenu pourB′.

Z → ∞ : Dans ce cas, les barrières sont très importantes. Pour obtenir a′ etb′, il nous faut faire un développement en série du facteurel/ξ(E)que nous gardons qu’au second ordre. Cela revient à faire l’hypothèse quel ≥ ξ(E) : la longueur du supraconducteur est supposée un peu plus grande que sa longueur de cohérence. Alors,

a′ = −u0v0(e ikFl+ e−ikFl) el/ξ(E)(u2 0− v02)Z2 et b′ = −u 2 0eikFl+ v20e−ikFl el/ξ(E)(u2 0− v02)Z2 .

Nous sommes intéressés par|a|2et|b|2, nous moyennons sur les oscillations de Friedel à l’aide de (1.8). Nous obtenons

A′ = B′ = ∆

4e−2l/ξ(E)

8(∆2− E2)2Z4.

Par conséquent, la conductance non locale qui est donnée par eh2(A′ − B′) est nulle à l’ordre Z−4.

Dans le cas général, nous obtenons les coefficientsA′ etBpar un petit programme qui résout le

système d’équation, grâce à une inversion de matrice, nous permettant ainsi d’obtenir la conductance non locale.

Nous pouvons voir que la conductance non locale est toujours négative et prend sa valeur minimale lorsqu’il n’y a pas de barrières (Z = 0). Elle tend vers 0 dans la limite où les barrières sont importantes

(Z → ∞). Elle est monotone entre ces deux limites. Par ailleurs, la valeur absolue de la conductance non locale diminue avec l’augmentation de la longueur du supraconducteur, car le processus de cotun-neling élastique s’atténue exponentiellement avec la distance parcourue dans le supraconducteur.

Nous incluons maintenant la diffusion sur les impuretés dans les électrodes normales (§ 1.2.2.4) et (§ 1.2.2.5) par un modèle simplifié d’effet tunnel sans réflexion (en anglais : "reflectionless tunneling").

1.2.2.4 Jonction N-N-S-N

Le désordre dans les électrodes normales permet, grâce aux diffusions sur les impuretés, aux élec-trons arrivant à l’interface N-S de tenter plusieurs fois de traverser l’interface [37, 38], comme sur la figure 1.5. Par exemple, un électron arrivant à l’interface N-S peut soit subir une réflexion d’Andreev soit être réfléchi. S’il est réfléchi, la diffusion sur les impuretés des électrodes normales lui permet de revenir à l’interface N-S et ceci jusqu’à subir une réflexion d’Andreev. Lorsque l’électron subit une réflexion d’Andreev, un trou est rétrodiffusé, il suivra alors en sens inverse la même séquence d’im-puretés que l’électron. C’est le processus d’effet tunnel sans réflexion qui confine les quasiparticules à l’interface N-S (en anglais : "reflectionless tunneling").

(30)

1.2. MÉTHODE DE BLONDER, TINKHAM ET KLAPWIJK (BTK) 21 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 10 3G a,b [e 2/h] Z1

Conductance croisee en fonction de Z1=Z2 et E=0.001∆

l=4.5 l=5.0 l=5.5 l=6.0

FIG. 1.4 – Conductance non locale, en unité de e2/h, en fonction de la barrière Z1 = Z2 dans le

cas où l’énergie, E = 0.001∆, est bien au-dessous du gap, en fonction de différentes longueurs du

supraconducteur. La longueur du supraconducteur est en unité de ξ, avec ǫF/∆ = 1000 (où ǫF est

l’énergie de Fermi). (a) e e e h h e e e e e e h * * * * * * * * * * N S * * * * * * * * * * N S * * * * * * * * * * N S (c) (b)

FIG. 1.5 – Schéma de l’interface N-S avec électrode normale désordonnée. (a) L’électron (e)

inci-dent subit une réflexion d’Andreev à sa première approche de l’interface. L’électron est alors réfléchi comme un trou dans la bande de spin down (h comme "hole" en anglais). (b) L’électron est réfléchi à sa première approche de l’interface, les impuretés lui permettent de revenir à l’interface où il peut à nouveau tenter le processus d’Andreev. (c) L’électron est réfléchi deux fois puis subit une réflexion d’Andreev.

(31)

Pour simuler le désordre dans les électrodes normales ou dans le cas où les électrodes normales sont très fines (diffusions sur le bord), nous généralisons au cas multiterminal l’idée de Melsen et Beenakker [39] consistant à insérer une jonction supplémentaire. L’introduction de cette seconde bar-rière (structure N-N-S à deux terminaux) introduit un minimum dans la résistance en fonction de la transparence de l’interface N-S. Le minimum pouvant être expliqué par l’apparition de modes de trans-mission analogues à l’effet tunnel sans réflexion à travers une jonction N-S où l’électrode normale est désordonnée (voir Fig. 1.5).

Nous commençons par considérer N-N-S-N (voir Fig. 1.6).

longueur L

d

h

e

c

e

a

e

h

b

h

d’

c’

e

b’

h

e

a’

N

R 3

S

Z

e

h

β

β

h

e

α

α

Z

Z

N

L

N

1 2

x=0

longueur R

FIG. 1.6 – Schéma de la jonction N-N-S-N à une dimension avec BTK.

Nous procédons comme pour la jonction N-S-N (§ 1.2.2.3). Les fonctions d’ondes dans les diffé-rentes parties valent

ψL(x) =  10  eikF(x+L)+ a 0 1  eikF(x+L)+ b 1 0  e−ikF(x+L) ψN(x) = α  1 0  eikF(x+L)+ β 0 1  e−ikF(x+L)+ α′ 1 0  e−ikFx+ β′ 0 1  eikFx ψS(x) = c uv0 0  eikFxe−x/ξ(E)+ d v0 u0  e−ikFxe−x/ξ(E) +c′ u0 v0  e−ikF(x−R)e(x−R)/ξ(E)+ d′ v0 u0  eikF(x−R)e(x−R)/ξ ψR(x) = a′ 0 1  e−ikF(x−R)+ b′ 1 0  eikF(x−R).

avec six conditions limites, deux pour chaque interfaces. i) Condition de raccordement des fonctions d’onde :

ψL(−L) = ψN(−L)

ψN(0) = ψS(0)

(32)

1.2. MÉTHODE DE BLONDER, TINKHAM ET KLAPWIJK (BTK) 23 i) Condition de raccordement des dérivées des fonctions d’onde :

dψN(x) dx x=−L− dψL(x) dx x=−L= −2iZ1ψL(−L) dψS(x) dx x=0− dψN(x) dx x=0 = −2iZ2ψN(0) dψR(x) dx x=R− dψS(x) dx x=R= −2iZ3ψS(R)

En résolvant ce système d’équations, nous trouvonsa′etb′ et la conductance non locale est égale à eh2(A′− B′), ou A′etB′sont donnés par (1.8).

La conductance non locale, pour une énergie bien supérieure au gap (E = 10∆) est donnée

seule-ment par les processus de cotunneling élastique. Les processus de réflexion d’Andreev ne pouvant avoir lieu dans cette gamme d’énergie avec par conséquent une conductance non locale négative. Nous pouvons voir (Fig. 1.7) que la conductance non locale en valeur absolue est maximale pour un système sans barrière à l’interface N-S et diminue avec l’augmentation des barrières. Effectivement, les élec-trons ont moins de probabilité de passer par effet tunnel si la barrière à l’interface N-S augmente. La conductance non locale est strictement monotone.

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 5G a,b [e 2/h] Z1

Conductance croisee en fonction de Z1, E=10∆

Z2=1 Z2=2 Z2=3

FIG. 1.7 – Conductance non locale en unité de e2/h en fonction de la barrière Z

1 dans le cas où

l’énergie est bien au-dessus du gap (E = 10∆), avec R = 5ξ et L = 10ξ où ǫF/∆ = 1000 (où ǫF est

l’énergie de Fermi).

Si nous considérons une énergie inférieure au gap (E = 0.001∆), il est cette fois-ci possible

d’avoir des réflexions d’Andreev. Néanmoins, les contributions des processus transmettant des élec-trons sont toujours majoritaires, la conductance non locale restant toujours négative. Un minimum dans la conductance non locale apparaît, ceci est dû à la contribution des réflexions d’Andreev qui est positive et qui compense une partie de la contribution des processus de cotunneling élastique. Nous

(33)

voyons donc apparaître des effets caractéristiques du confinement des quasiparticules à l’interface N-S, qui se manifeste par un maximum de la valeur absolue de la conductance non locale (voir Fig. 1.8).

-1.4 (1) (2) (3) -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0 2 4 6 8 10 10 7G a,b [e 2/h] Z1

Conductance croisee en fonction de Z1, E=0.001∆

Z2=2 Z2=3 Z2=4

FIG. 1.8 – Conductance non locale, en unité deeh2, en fonction de la barrièreZ1dans le cas où l’énergie

est bien au dessous du gap (E = 0.001∆), avec R = 5ξ et L = 10ξ où ǫF/∆ = 1000 (où ǫF est

l’énergie de Fermi). Les indice (1), (2) et (3) correspondent aux trois différents régimes de la figure 1.9.

Nous avons trois régimes différents (voir Fig. 1.9) : Dans un premier tempsZ1est tellement petit

que les électrons passent jusqu’à l’interface supraconductrice (1) et sont soit réfléchis dans l’électrode normale soit transmis à travers le supraconducteur. En augmentant progressivementZ1, nous obtenons

un régime où les deux barrières sont du même ordre de grandeur, ainsi l’électron rebondit plusieurs fois entre l’interface N-N et l’interface N-S avant de pouvoir traverser dans le supraconducteur c’est le régime où l’électron est confiné près de l’interface N-S (2). Finalement, si nous continuons à aug-menter Z1, nous arrivons à un régime où tous les électrons sont réfléchis à l’interface N-N (3). La

conductance non locale en valeur absolue diminue avec l’augmentation de la longueur du supracon-ducteur (voir Fig. 1.10). Ceci vient du fait que la probabilité d’un électron de passer par effet tunnel s’atténue exponentiellement avec la distance à traverser dans le supraconducteur.

1.2.2.5 Jonction N-N-S-N-N

Pour simuler le désordre dans les deux électrodes normales, nous introduisons maintenant une double jonctions N de chaque côté du supraconducteur, décrites sur la figure (Fig. 1.11).

(34)

1.2. MÉTHODE DE BLONDER, TINKHAM ET KLAPWIJK (BTK) 25 (1) N S N N (2) Z2 Z2 N S N N Z2 Z2 Z1 (3) Z1 Z2 Z2 N S N N

FIG. 1.9 – Trois différents régimes pour le passage des électrons à travers la jonction N-N-S-N. Les trois régimes sont indiqués sur la figure 1.8.

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0 2 4 6 8 10 10 6G a,b [e 2/h] Z1

Conductance croisee en fonction de Z1, Z2=2 et E=0.001∆

R=4 R=5 R=6

FIG. 1.10 – Conductance non locale en unité de eh2 en fonction de la barrièreZ1dans le cas où l’énergie

est bien au-dessous du gap (E = 0.001∆), avec Z2 = 2. La longueur R du supraconducteur est donnée

(35)

2 d he c e a e h b b’ h e a’ d’ h c’ e S Z e h β β he α α’ ’ Z Z Z δ he he δγ γ ’ ’ NL N1 N2 NR L 1 2 R x=0

longueur R1 longueur RS longueur R

FIG. 1.11 – Schéma de la jonction N-N-S-N-N à une dimension avec BTK.

Les fonctions d’ondes sont données par

ψNL(x) =  1 0  eikF(x+R1)+ a  0 1  eikF(x+R1)+ b  1 0  e−ikF(x+R1) ψN1(x) = α  1 0  eikF(x+R1)+ β  0 1  e−ikF(x+R1)+ α′  1 0  e−ikFx+ β′  0 1  eikFx ψS(x) = c  u0 v0  eikFxe−x/ξ(E)+ d  v0 u0  e−ikFxe−x/ξ(E) +c′  u0 v0  e−ikF(x−RS)e(x−RS)/ξ(E)+ d′  v0 u0  eikF(x−RS)e(x−RS)/ξ(E) ψN2(x) = γ  1 0  eikF(x−RS)+ δ  0 1  e−ikF(x−RS)+ γ′  1 0  e−ikF(x−RS−R2) +δ′  0 1  eikF(x−RS−R2) ψNR(x) = a′  0 1  e−ikF(x−RS−R2)+ b′  1 0  eikF(x−RS−R2). Nous avons huit conditions limites, deux pour chaque interfaces.

i) Condition de raccordement des fonctions d’onde :

ψNL(−R1) = ψN1(−R1)

ψN1(0) = ψS(0)

ψS(RS) = ψN2(RS)

ψN2(RS+ R2) = ψNR(RS+ R2) i) Condition de raccordement des dérivées des fonctions d’onde :

N1(x) dx x=−R1 − dψNL(x) dx x=−R1 = −2iZLψNL(−R1) dψS(x) dx x=0− dψN1(x) dx x=0 = −2iZ 1ψN1(0) dψN2(x) dx x=RS − dψS(x) dx x=RS = −2iZ 2ψS(RS) dψNR(x) dx x=RS+R2 − dψN2(x) dx x=RS+R2 = −2iZRψN2(RS+ R2)

(36)

1.2. MÉTHODE DE BLONDER, TINKHAM ET KLAPWIJK (BTK) 27 Nous moyennons le coefficient de transmission non local sur les oscillations de phase de Fermi

ϕ1 = kF(RS − R1)/2, ϕ = kFRS et ϕ2 = kF(R2 − RS)/2. C’est-à-dire, par exemple pour la

moyenne surϕ1:Ga,b=RRR11−π/k+π/kFFdR1kFGa,b(R1). Nous avons la même chose pour les deux autres

intégrales. La conductance non locale à tension nulle et pourZL= ZRetZ1 = Z2 = 10 en fonction

deZLest représentée sur la figure 1.12.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 0 5 10 15 20 25 10 6 G a,b ZL Conductance non locale

NNSN junction (a) (b) (c) (d) (e) (f)

FIG. 1.12 – Conductance non locale en unité dee2/h en fonction de la barrière ZL = ZRavecZ1 =

Z2 = 10 (E = 0.0001∆). (a) à (f) correspondent à l’augmentation de la précision dans l’évaluation

des facteurs de phase de Fermi. La conductance non locale pour la jonction N-N-S-N est d’amplitude bien inférieure au cas N-N-S-N-N ce qui montre l’importance des réflexions multiples.

La conductance non locale est encore dominée par les processus transmettant des électrons, car elle est toujours négative. Pour une précision suffisamment grande dans le calcul de l’intégrale triple la conductance non locale tend vers les valeurs négatives àZL = 0. La partie positive des courbes

pourZLpetit sur la figure 1.12 n’est dû qu’à un manque de précision numérique. (Voir Fig. 1.23 pour

l’approche des fonctions de Green où nous pouvons obtenir une précision élevée du fait de la plus petite taille de la matrice.)

En comparant le cas N-N-S-N-N avec la jonction N-N-S-N, nous pouvons constater que le désordre peut augmenter fortement l’amplitude de la conductance non locale pour la diffusion des électrons sur les impuretés. Effectivement, en diffusant sur les impuretés les électrons peuvent tenter plusieurs fois de passer la barrière à l’interface N-S.

En conclusion, nous avons montré que le confinement des quasiparticules aux interfaces N-S et S-N a pour effet d’augmenter la conductance non locale en valeur absolue et introduit un maximum. Cet effet est le même que pour la conductance d’une jonction N-S [39].

(37)

1.3

Méthode des fonctions de Green

La méthode des fonctions de Green est une seconde manière d’aborder le problème de la jonction N-S-N. Nous nous basons sur le modèle de Caroli, Combescot, Nozières et Saint-James [40, 41] qui résolvent le transport dans une jonction tunnel N-I-N.

Nous nous allons partir d’un modèle simple de l’Hamiltonien pour une jonction N-I-N (Appendice B.1), où nous calculerons directement le courant tunnel (Appendice B.5). Cette méthode comporte deux avantages :

1) La décomposition du système en trois parties (électrode gauche, barrière et électrode droite) résulte immédiatement de la théorie des perturbations dans l’espace réel, sans augmenter la difficulté mathématique.

2) Le courant peut être calculé directement, même à tension finie, avec l’aide de la théorie des perturbations dans le système hors équilibre qui généralise la technique des diagrammes. Nous suivons les notations utilisées habituellement dans la littérature : nous utilisons la notationω

pour l’énergie dans l’approche des fonctions de Green, qui correspond à la même quantité que l’énergie

E utilisée précédemment dans l’approche BTK.

1.4

Jonction N-S-N par les fonctions de Green

1.4.1 Principe des diagrammes

Les différents processus de transport peuvent être décrits par des diagrammes. Ainsi, la formule de transport (B.8) obtenue par Caroli, Combescot, Nozières et Saint-James [40, 41] est donnée par

I = (2π)2t2at2b~e

Rµ+eV

µ d2πωGAαβ(ω)GRβα(ω)ρaa(ω)ρbb(ω) où taettbsont les amplitudes tunnel

respec-tivement à la première et à la seconde interface,µ le potentiel chimique et V la tension à l’électrode b.

Cette formule de transport se généralise facilement à une somme sur les différents canaux de conduc-tion pour des interfaces étendues. Nous pouvons représenter le transport non local dans une joncconduc-tion N-I-N, où I est un isolant à bande interdite, par le diagramme général de la figure 1.13.

− A

G

α,β

G

Rβ,α

a

α

β

b

N

I

N

ρ

b,b

ρ

a,a

e

e

e

e

temps t1 temps t1+ − temps t2+ temps t2

FIG. 1.13 – Diagramme général du transport dans une jonction N-I-N, oùt+2 > t+1 sur la branche "+" du contour de Keldysh, ett−2 < t−1 sur la branche "-" remontant le temps.

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