L2-entr´ee A M´ecanique Analytique 2005-2006 TD #3 Syst`emes Hamiltoniens
Exercice 1 : Pendule
1. Donner l’expression du hamiltonien du pendule pesant en fonc- tion de l’angle avec la verticale θ et de la quantit´e de mouve- ment.
2. Tracer les trajectoires dans l’espace des phases pour les diff´erents niveaux d’´energie. Commenter.
3. Donner l’approximation quadratique du hamiltonien aux voisi- nages des points d’´equilibres. Commenter.
Exercice 2 : Tunnel
On consid`ere la Terre comme une sph`ere de rayonRT = 6371 km, de densit´e de masse uniforme. On noteg = 9.81 m s−2 l’acc´el´eration de la pesanteur au niveau du sol. On imagine le percement d’un tunnel rectiligne entre deux points AetB quelconques de la surface terrestre, qui rejoigne par exemple Paris `a Tokyo. On imagine tou- jours un wagon qui roule sans frottement dans ce tunnel. Partent de Paris, sous l’action de la pesanteur, il va acc´el´erer puis parvenu
`
a sa distance de moindre approche du centre O de la Terre il va d´ec´el´erer. On n´egligera l’effet de rotation de la Terre.
1. A-t-il un vitesse suffisante pour remonter jusqu’`a Tokyo ?
O
B M A
x r
Fig. 1 – Tunnel rectiligne reliant Paris (A) `a Tokyo (B)
2. Calculer le champ de gravit´e en un point int´erieur `a la Terre `a une distancer de son centre (Utiliser le th´eor`eme de Gauss).
3. Soit la coordonn´ee g´en´eralis´ee x, distance du wagon au milieu du tunnel. Donner (`a une constante pr`es) l’´energie potentielle du wagon de masse m. ´Ecrire le hamiltonien du syst`eme. En d´eduire les ´equations de Hamilton, puis l’´equation diff´erentielle pourx(t).
4. R´esoudre cette ´equation pour un d´epart de Paris `a vitesse nulle.
Combien de temps dure le trajet ? Montrer que celui-ci est ind´ependant des points A et B.
