Logique des propositions. Souad Meddeb

Logique des propositions

Souad Meddeb

Proposition

• On appelle proposition tout énoncé dont on peut décider s'il est vrai ou faux.

Il pleut

Elle habite à Tunis Il dit la vérité

Elle veut boire du café ou du thé

Les propositions élémentaires

• Définition 1

Les propositions élémentaires (atomes), notées avec une lettre (p,q…appelé variable

propositionnelle) correspondent à des assertions aux quelles on peut attribuer deux valeurs vraie ou fausse

« Yasmine chante » notée par la variable y

« Ali chante » notée par la variable a

Propositions plus complexes

• Pour disposer d'énoncés plus complexes nous relierons des propositions, considérées alors comme élémentaires, par des connecteurs logiques. Les énoncés obtenus seront de

nouvelles propositions susceptibles à leur tour d'être vraies ou fausses et qu'on nommera les formules.

« Yasmine et Ali chante » notée par y a

Opérateurs logiques ( connecteurs)

• Définition 2

Les connecteurs permettent de construire de nouvelles

propositions à partir de propositions données, on distingue les opérateurs unaires, Non noté (), des opérateurs binaires ET(), OU (), l’implication (), et l’équivalence().

De ces considérations se dégagent deux aspects complémentaires:

1. l'aspect sémantique qui est l'interprétation des formules en terme de vrai ou de faux

2. et l'aspect syntaxique qui revient à préciser comment l'on construit les formules dont l'ensemble constitue le langage de la logique des propositions.

Le langage de la logique des propositions

• Alphabet

Commençons par fixer les symboles qui

formeront l'alphabet utilisé. L'alphabet A du

langage de la logique des propositions est formé par:

1. un ensemble infini de symboles appelés variables propositionnelles et notées (par exemple) p, q ···p_o

···

2. les connecteurs logiques (,,,  et ).

3. les parenthèses.

Le langage de la logique des propositions

• La syntaxe Les formules

L’ensemble F des formules de la logique propositionnelle est le plus petit ensemble vérifiant :

1. Toute variable propositionnelle est élément de F

2. Si A  F alors A F (formule composée)

3. Si A  F et B F alors (AB), (AB), (AB) et (AB) sont éléments de F

Priorité

• Quand il n’ya pas de confusion, on peut éviter les parenthèses et on suivra les règles de

priorité suivantes entre connecteurs :







 

Le langage de la logique des propositions

• La sémantique Distribution des valeurs de vérité ou valuation

Une distribution des valeurs de vérité sur F ou une valuation sur F est une application V de F dans {0,1}

vérifiant les conditions :

1. V(A)=  V(A)

2. V(AB)=V(A)  V(B) 3. V(AB)=V(A)  V(B) 4. V(AB)= V(A)  V(B) 5. V(AB)= V(A)  V(B)

Où A et B sont des formules quelconques de F .

Evaluation

• Supposons que v(p)=1,v(q)=0, v(r)=1 v((p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))=?

v((p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) (1 ∨ 0) ∧ (¬ 0 ∨ 1)

1 ∧ (¬ 0 ∨ 1) 1 ∧ (1 ∨ 1)

1 ∧ 1 1

Evaluation

• Supposons que v(p)=0,v(q)=1, v(r)=0 v((p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r))=?

v((p ∨ q) ∧ (¬ q ∨ r)) (1 ∨ 0) ∧ (¬ 0 ∨ 1)

1 ∧ (¬ 0 ∨ 1) 1 ∧ (1 ∨ 1)

1 ∧ 1 1

Grâce à cette méthode, on peut évaluer la

Satisfaction et falsification

• La table de vérité d’une formule décrit entièrement la sémantique d’une formule propositionnelle, puisqu’elle décrit toute les interprétations possibles

• Une valuation v satisfait une formule F signifie que v(F)=1

• Une valuation v falsifie une formule F signifie que v(F)=0

• Une valuation satisfait un ensemble des formules signifie qu’elle satisfait chaque formule de cet ensemble

• Une valuation falsifie un ensemble des formules signifie qu’elle falsifie au moins une formule de cet ensemble

• Une formule propositionnelle est satisfaisable (ou

Evaluation et satisfaction

Modèle

• On appelle modèle une interprétation pour laquelle une formule est vraie.

• Exemple :

– p = 0,r = 1 ,s = 1 est un modèle de (p → (r ∧ s)) . En effet v (p → (r ∧ s)) = 0 → (1 ∧ 1) =1

– a= 1, b=0 est un modèle de (a → (b → a)) . En effet v(a → (b → a)) =(1 → (0 → 1)) = 1 → 1=1

Propriété d’une formule

Valide (valid)

Contingeante consistante (contingent)

Insatisfaisable insatisfiable inconsistante (unsatisfiable)

Une formule est valide ssi toute valuation la satisfait.

Si une formule A est vraie pour n’importe quelle

interprétation de ses variables propositionnelles, on dit qu’elle est valide.

Une formule valide == Une tautologie

Une formule est contingeante ssi quelques valuations la satisfont et quelques valuations la falsifient

Une formule est insatisfaisable ssi aucune valuation ne la satisfait.

Une formule pour laquelle il n’existe pas d’interprétation qui la rende vraie est dite inconsistante, ou encore

Propriété d’une formule

Valide (valid)

Contingente (contingent)

Insatisfaisable (unsatisfiable)

Une formule est satisfaisable (satisfiable) ssi elle est valide ou contingente

Une formule est falsifiable ssi elle est contingente ou insatisfaisable

}

}

Exemple 1

• La formule

((r((pq)(pq)))(pq)) est-elle satisfiable (satisfaisable)?

Table de vérité

Exemple 2

• Trouver une valuation qui satisfait l’ensemble des formules suivant :

{qr, p  qr, r}

Table de vérité

Solution

Exemple 3

• Pour savoir si une formule est satisfaisable

(satisfiable), il peut être plus rapide d’analyser celle-ci, en cherchant un modèle, plutôt que d’énumérer toutes les valuations jusqu’à en trouver une convenable.

• Supposons que l’on souhaite savoir si

(((AB)B)B) est satisfaisable.

Exemple 4

• Cette méthode permet également de savoir si une formule est une tautologie ==méthode de réfutation

Il suffit de savoir si la négation d’une formule F donnée est ou non satisfaisable

• ((AB)A)A est une tautologie ?

Exemple de validité

Formule valide =tautologie